EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN FUNGSI EKSPONENSIAL

(1)

Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 05, No. 1 (2016), hal 25 – 30.

25

EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN FUNGSI EKSPONENSIAL Roro Wulan Sunarsih

INTISARI

Fungsi merupakan suatu aturan pengawanan dari setiap anggota di domain (daerah asal) tepat satu ke kodomain (daerah kawan). Fungsi eksponensial merupakan salah satu dari fungsi transenden. Pada penelitian ini, penulis mengkaji secara analisis tentang esksistensi dan ketunggalan fungsi eksponensial.

Dari hasil penelitian ini diperoleh Teorema 1 dan Teorema 3 yang masing-masing menjamin eksistensi dan ketunggalan fungsi eksponensial. Bentuk umum fungsi eksponensial diberikan dengan E(x)=eˣ untuk setiap xє .

Kata Kunci : Fungsi eksponensial, Eksis, Tunggal

PENDAHULUAN

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang mengawankan setiap anggota himpunan A tepat satu ke anggota himpunan B, dengan A dan B adalah himpunan tak kosong [1].

Fungsi eksponensial merupakan salah satu dari fungsi transenden. Fungsi transenden umumnya hanya dikenal secara geometri dan sifat-sifat aljabarnya saja. Pada penelitian ini, penulis mengkaji secara analisis tentang esksistensi dan ketunggalan fungsi eksponensial. Fungsi eksponensial E x( )e^x merupakan fungsi yang unik.

Dalam penelitian ini akan dikaji secara analisis tentang eksistensi dan ketunggalan fungsi eksponensial. Langkah pertama yaitu dipelajari mengenai konsep barisan fungsi untuk mendefinisikan fungsi E, yaitu E:  , dengan E x'( )E x( ) dan E(0) 1 , untuk setiap x . Selanjutnya dibentuk suatu barisan fungsi kontinu



E_n_1( )x



. Setelah itu, dibuktikan bahwa barisan fungsi kontinu yang diberikan well defined. Kemudian dibuktikan bahwa fungsi E_n_₁( )x terdiferensial dan

'_n1( ) ( )

E _ x E x . Langkah selanjutnya adalah dibentuk barisan fungsi



E xn^{( )}



dan dibuktikan kekonvergenannya. Kemudian didefinisikan dua buah fungsi yaitu E E₁, ₂:  . Selanjutnya didefinisikan suatu fungsi F:  dengan FE₁E₂ atau dengan kata lain membuktikan bahwa fungsi tersebut tunggal.

EKSISTENSI FUNGSI EKSPONENSIAL

Suatu fungsi dikatakan eksis jika fungsi tersebut terdefinisi di domainnya. Teorema berikut menjamin eksistensi suatu fungsi

E

.

Teorema 1 [3] Ada suatu fungsi E:  , sedemikian sehingga fungsi

E

memenuhi sifat-sifat berikut:

(i) E x'( )E x( ) untuk setiap x , dan (ii) E(0) 1 .

Bukti :

Akan ditunjukkan bahwa fungsi

E

memenuhi sifat (i) dan (ii).

Diambil sebarang x , untuk setiap n didefinisikan barisan fungsi kontinu

 

En dengan

1( ) 1

E x  x, untuk x , dan

(2)

1

0

( ) 1 ( )

x

n n

E_ x  



E t dt, untuk setiap n , x .

Dengan induksi matematika, akan dibuktikan barisan fungsi kontinu

 

En well defined. Untuk n1 akan dibuktikan bahwa E x kontinu pada ₁( ) . Diambil sebarang c diperoleh

(1) E c₁( ) 1 c, (2) lim ₁( ) 1

x cE x c

   , dan

(3) ₁( ) lim ₁( ) 1

x c

E c E x c

    , maka E x kontinu di ₁( ) c . Karena berlaku untuk setiap c , maka E x kontinu pada ₁( ) .

Selanjutnya diasumsikan

 

En terdefinisi dan kontinu pada

 

0, x , maka fungsi E terintegral pada _n

 

0, x . Kemudian dibuktikan fungsi E_n_₁( )x kontinu. Diambil sebarang c maka (1) E_n_₁( ) 1c  E c_n( )E_n(0),

(2) lim _n₁( ) 1 _n( ) _n(0)

x cE_ x E c E

    , dan

(3) _n₁( ) lim _n₁( ) 1 _n( ) _n(0)

x c

E_ c E_ x E c E

     , maka E_n_₁( )x kontinu di c .

Karena berlaku untuk setiap c , maka E_n_₁( )x kontinu pada , dengan kata lain barisan fungsi kontinu

 

En well defined. Kemudian akan dibuktikan E_n_₁( )x terdiferensial dan E'_n_₁( )x E x( ). Karena E_n_₁ kontinu dan terintegral, maka menurut teorema yang menyatakan bahwa fungsi terintegral dan kontinu maka terdiferensial [3], maka E_n_₁ terdiferensial di sebarang x dan

'_n1( ) _n( )

E _ x E x untuk n . (1)

Selanjutnya dibentuk barisan fungsi



E_n_1( )x



. Untuk setiap n , diperoleh barisan fungsi



^{( )}



¹ ² ^...

1! 2! !

n n

x x x

E x n

 

     

  untuk x . (2)

Akan dibuktikan barisan fungsi



E xn^{( )}



konvergen.

Ditunjukkan bahwa barisan fungsi



E xn^{( )}



konvergen seragam. Diambil bilangan A0 dengan A , jika x A dan m n 2A, maka

1

1 2 3

1 2 3 1

2 3 1

1

( ) ( ) ...

( 1)! !

( 1)! ( 2)! ( 3)! ... !

( 1)! ( 2)! ( 3)! ... ( 1)!

1 .

( 1)!

n m

m n

n n n m

n n n m n

n m n

x x

E x E x

n m

x x x x

n n n m

A A A A

n n n m n

A A A A A

n n n n n



  

    

  

   



    

  

    

    

       

              

Diperhatikan bahwa deret

2 3 1

1

A A A A m n

n n n n

   

         

          

 

  merupakan deret geometri. Karena

0

A , m n 2A berarti 2

An, maka diperoleh

(3)



¹



1

2 2 2.

1 2

n n

n

S a r r

  

         Sehingga dapat disimpulkan

1

( ) ( ) 2

( 1)!

n

m n

E x E x A n

  

 .

Selanjutnya ditunjukkan lim 0

!

n

A

 n  , untuk itu digunakan uji rasio yaitu sebagai berikut

1

( 1)!

lim lim 1.

( 1)

!

n

n n n

A n A

A n

n



 

  



Karena

1

( 1)!

lim 1

!

n

n n

A n





  , maka

1 !

n

A n





 konvergen. Akibatnya lim 0

!

n

A

 n  .

Karena lim 0

!

n

A

 n  , maka

 

En konvergen seragam pada



^^{A A}^,



^{, dengan} ^A^⁰^dan ^A ^.

Sehingga barisan



E x konvergen untuk setiap n^{( )}



^x^{ }



^{A A}^,



^.

Akan d

ibuktikan fungsi

E: 

untuk setiap

x

memenuhi sifat (i) dan (ii).

Didefinisikan fungsi E:  sebagai berikut ( ) lim _n( )

n

E x E x

  untuk x .

Karena setiap x termuat dalam suatu interval



^^{A A}^,



, berdasarkan teorema yang menyatakan bahwa kekonvergenan seragam mempertahankan sifat kekontinuan, maka fungsi E kontinu pada x . (i) Dibuktikan E x'( )E x( ) untuk setiap x .

Untuk sebarang interval



^^{A A}^,



, barisan

 

En konvergen seragam. Dari (1), diperoleh turunan barisan

 

E^'n konvergen seragam. Oleh karena itu menurut teorema yang menyatakan bahwa kekonvergenan seragam mempertahankan sifat differensial, maka limit fungsi E terdiferensial pada interval



^^{A A}^,



^{, dan}

'( ) lim ' ( )_n lim _n1( ) ( )

n n

E x E x E_ x E x

 

   , untuk setiap ^x^{ }



^{A A}^,



^.

Karena berlaku untuk setiap A0, maka E x'( )E x( ) untuk setiap x . (ii) Dibuktikan E(0) 1 . Jika x0 untuk setiap n , maka

(0) lim _n(0) 1

E n E

   .

Karena untuk setiap x berlaku E x'( )E x( ) dan E(0) 1 , maka dapat disimpulkan bahwa fungsi :

E  eksis. ∎

Akibat 2 [3] Diberikan fungsi E yang didefinisikan pada Teorema 1, maka E terdiferensial dan

( )ⁿ( ) ( )

E x E x untuk setiap n , x . Bukti:

Dibuktikan E^{( )}ⁿ( )x E x( ) untuk setiap n , x . Diambil sebarang x . Selanjutnya dengan menggunakan induksi matematika maka

(4)

(i) Untuk n1, diperoleh E x'( )E x( ).

(ii) Diasumsikan benar untuk nk, yaitu E^{( )}^k ( )x E x( ). Selanjutnya dibuktikan benar untuk n k 1, maka

( 1) ( )

( ) '( ) ( ).

k k

E ^ x E  x E x

Karena berlaku untuk setiap x , maka E^{( )}ⁿ ( )x E x( ) untuk setiap n dan x . ∎ KETUNGGALAN FUNGSI EKSPONENSIAL

Setelah dibuktikan bahwa fungsi E pada Teorema 1 memenuhi sifat (i) dan (ii), selanjutnya akan diperlihatkan bahwa fungsi E tersebut tunggal. Suatu fungsi E dikatakan tunggal jika terdapat fungsi F dengan D_E D_F sedemikian sehingga EF. Ketunggalan fungsi E diberikan pada Teorema berikut.

Teorema 3 [3] Diberikan fungsi E:  yang memenuhi sifat (i) dan (ii) pada Teorema 1, maka fungsi E tunggal.

Bukti :

Akan dibuktikan bahwa fungsi E tunggal.

Diambil dua buah fungsi yaitu E E₁, ₂:  dengan E E memenuhi sifat (i) dan (ii) pada Teorema ₁, ₂ 1, yaitu

(i) E' ( )₁ x E x₁( ) dan E' ( )₂ x E x₂( ), untuk setiap x dan (ii) E₁(0) 1 dan E₂(0) 1 .

Selanjutnya didefinisikan fungsi F:  dengan FE₁E₂, maka (i) F x'( )E' ( )₁ x E' ( )₂ x E x₁( )E x₂( )F x( ), untuk setiap x dan (ii) F(0)E₁(0)E₂(0) 1 1 0   .

Akan dibuktikan fungsi F:  dengan FE₁E₂0, atau E₁E₂ artinya dibuktikan bahwa fungsi F tunggal. Menurut Akibat 2, fungsi F mempunyai turunan dan F^{( )}ⁿ( )x F x( ) untuk setiap n , x . Selanjutnya diambil sebarang x dan interval

 

0, x , maka F kontinu pada

 

^{0, x .}

Oleh karena itu, terdapat K0 sedemikian sehingga F t( ) K untuk setiap ^t^

 

^0,^x ^{. Dengan}

menerapkan Teorema Taylor [3] ke fungsi F pada interval

 

^{0, x dan}^F^{( )}^k ⁽⁰⁾^^F⁽⁰⁾^⁰ untuk setiap k , maka untuk setiap c terdapat c_n[0, ]x sedemikian sehingga

 

( ) ( 1)

2 1 ( ) ( )

'(0) ''(0)

( ) (0) ...

1! 2! 1 ! ! !

n n

n F cn n F cn n

F F F

F x F x x x x x

n n n



       

 .

Oleh karena itu, diperoleh

( ) !

K xn

F x  n untuk setiap n .

Selanjutnya ditunjukkan lim 0

!

n

x

 n  , untuk itu digunakan uji rasio yaitu sebagai berikut

1

1 !

( 1)!

lim lim 1.

( 1)!

!

n

n n

x

x n

n

x n x

n



 

   



(5)

Karena

1

( 1)!

lim 1

!

n

n n

x n





  , maka

1 !

n

x n





 konvergen. Akibatnya lim 0

!

n

x

 n  .

Selanjutnya karena lim 0

!

n

x

 n  , maka ( )F x 0.

Karena berlaku untuk setiap x , maka dapat disimpulkan bahwa

1( ) 2( ) ( ) 0

E x E x F x  .

Sehingga berakibat E x₁( )E x₂( ) untuk setiap x atau dengan kata lain, fungsi E tunggal. ∎ Berdasarkan Teorema 1 dan Teorema 3 diperoleh definisi berikut.

Definisi 4 [3] Fungsi tunggal E:  , dengan E x( )E x'( ) untuk setiap x dan E(0) 1 , disebut fungsi eksponensial. Bilangan eE(1) disebut bilangan euler, dan dinotasikan dengan

( ) ^x

E x e untuk setiap x .

Untuk setiap x , grafik fungsi eksponensial E x

( )

e^x diberikan dengan

Gambar 1 Grafik Fungsi E x( )e^x Contoh 5

Diketahui E x( )e^x untuk setiap x , maka untuk sebarang c , diperoleh (i) E c'( )e^c.

(ii) E(0)e⁰ 1. PENUTUP

Fungsi eksponensial memenuhi sifat eksis dan tunggal. Keeksistensian dan ketunggalan fungsi eksponensial (E:  ) ditunjukkan dengan mengkaji secara analisis dua sifat yang berlaku pada fungsi tersebut, sifat yang pertama adalah turunan suatu fungsi eksponensial merupakan fungsi eksponensial itu sendiri, yaitu E x'( )E x( ) untuk setiap x . Sedangkan sifat yang kedua adalah nilai fungsi eksponensial pada x0 adalah 1, yaitu E'(0) 1 . Selanjutnya fungsi eksponensial dinotasikan dengan ( )E x e^x untuk setiap x .

(6)

DAFTAR PUSTAKA

[1]. Shirali, Satish dan Vasudeva, Harkrishan L. 2006. Metric Spaces. Springer-Verlag London.

SPI Publisher Services, Pondicherry, India.

[2]. Bartle, Robert Gardner dan Sherbert, Donald R. 2000. Introduction to Real Analysis. Third Edition. John Wiley and Sons, Inc. United States of America

RORO WULAN SUNARSIH : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak, roro15keren@gmail.com