TE Sistem Linier

(1)

TE 226 - Sistem Linier

Jimmy Hasugian

Electrical Engineering - Maranatha Christian University [email protected] - http://wp.me/p4sCVe-g

(2)

Sinyal Waktu-Kontinu, Sinyal Waktu-Diskrit Sinyal Genap, Sinyal Ganjil

Sinyal Periodik, Sinyal Non-periodik Sinyal Deterministik, Sinyal Acak Sinyal Energi, Sinyal Daya

2 Operasi Dasar Sinyal

Operasi pada Variabel Tak-bebas Operasi pada Variabel Bebas Beberapa Sinyal Dasar

3 Sifat-sifat Sistem

Stability Memory

Causality & Invertibility Time Invariance

(3)

Klasifikasi Sinyal

Sinyal didefinisikan sebagai sebuah besaran fisik (physical quantity) yang berubah terhadap waktu, ruang, atau variabel bebas lainnya. Besaran fisik tersebut biasanya berisi informasi tentang perilaku sebuah fenomena. Sebagai contoh, pada rangkaian RC, sinyal dapat saja menyatakan besarnya tegangan yang ada pada kapasitor ataupun arus yang melalui resistor.

Dalam slide ini dipaparkan 5 (lima) metode dalam mengklasifikasikan

(4)

Salah cara dalam mengklasifikasikan sinyal adalah dengan memperhatikan bagaimana sinyal didefinisikan dalam fungsi waktu. Dalam hal ini sinyal dibagi menjadisinyal waktu-kontinu dansinyal waktu-diskrit. Sinyalx(t) dikatakan sinyal waktu-kontinu jika x(t) terdefinisi (memiliki nilai) untuk semua waktu t. Sinyal waktu-diskrit adalah sinyal yang memiliki nilai terhadap waktu secara diskrit. Agar lebih jelas, kedua jenis sinyal dapat dilihat pada gambar berikut ini.

Sinyal x(t) menyatakan sinyal waktu-kontinu danx[n] menyatakan sinyal waktu-diskrit.

(5)

Klasifikasi Sinyal Sinyal Genap, Sinyal Ganjil

Sinyal Genap, Sinyal Ganjil

Sinyal x(t) ataux[n] dinyatakan sebagaisinyal genap(even signal) jika dan hanya jika:

x(−t) =x(t) (1)

x[−n] =x[n]

Sinyal x(t) ataux[n] dinyatakan sebagaisinyal ganjil(odd signal) jika dan hanya jika:

x(−t) =−x(t) (2)

(6)

Contoh sinyal genap dapat dilihat pada gambar berikut ini:

(7)

Klasifikasi Sinyal Sinyal Genap, Sinyal Ganjil

Sinyal Genap, Sinyal Ganjil

Sinyal x(t) ataux[n] dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari 2 buah sinyal, yaitu sinyal genap dan sinyap ganjil, seperti diekspresikan melalui rumus berikut:

x(t) =xe(t) +xo(t) (3)

x[n] =xe[n] +xo[n]

Dapat pula dibuktikan, sehingga

xe(t) = 1 2 h x(t) +x(−t) i (4) xo(t) = 1 2 h x(t)−x(−t) i

(8)

Carilah komponen genap dan ganjil untuk tiap sinyal berikut ini

1 x(t) = cos(t) + sin(t) + sin(t) cos(t) 2 x(t) = 1 +t+ 3t2+ 5t3+ 9t4

3 x(t) = 1 +tcos(t) +t2sin(t) +t3sin(t) cos(t) 4 _{(1 +}_t3_{) cos}3₍₁₀_t₎

(9)

Klasifikasi Sinyal Sinyal Periodik, Sinyal Non-periodik

Sinyal Periodik, Sinyal Non-periodik

Sinyal waktu-kontinu x(t) disebutsinyal periodik dengan periodeT jika terdapat nilai positif-tak-nolT sehingga

x(t+T) =x(t) untuk semuat (5)

Sinyal waktu-diskrit x[n] disebutsinyal periodikdengan periode N jika terdapat bilangan bulat-positif N sehingga

x[n+N] =x[n] untuk semua bilangan bulatn (6)

Nilai T terkecil (kontinu) atau nilaiN terkecil (diskrit) yang memenuhi

persamaan di atas, disebut sebagai periode utama (fundamental period)

Semua sinyal yang tidak memenuhi kedua persamaan di atas dinyatakan sebagai sinyal non-periodik.

(10)

Untuk sinyal berikut ini, tentukanlah apakah periodik atau bukan, dan jika periodik tentukan periode utama-nya

1 _x₍_t_{) = cos}2₍₂_πt₎ 2 _x₍_t_{) = sin}3₍₂_t₎ 3 x(t) =e−2tcos(2πt) 4 x[n] = (−1)n 5 x[n] = (−1)n2 6 _x_[_n_{] = cos(2}_n₎ 7 _x_[_n_{] = cos(2}_πn₎

(11)

Klasifikasi Sinyal Sinyal Deterministik, Sinyal Acak

Sinyal Deterministik, Sinyal Acak

Sebuah sinyal dikatakan deterministik jika dapat direpresentasikan oleh suatu fungsi (persamaan) yang diketahui. Dengan kata lain, sinyal deterministik dideskripsikan sepenuhnya melalui fungsi yang telah ditentukan sehingga nilai dari sinyal dapat diprediksi melalui fungsi tersebut. Dengan demikian, tidak ada ketidakpastian untuk menentukan nilai sinyal tersebut pada sebarang waktu.

Sebaliknya, sinyal acakadalah sinyal yang terdapat ketidakpastian sebelum terjadi. Dengan kata lain, nilai dari sinyal tidak dapat diprediksi.

(12)

Jika diketahui sebuah sinyal x(t), maka daya sesaat (instanteneous power)

p(t) dinyatakan sebagai

p(t) =x2(t) (7)

Dan didefiniskan energi total dari sinyal waktu-kontinu x(t) adalah

E = lim T→∞ Z T₂ −T 2 x2(t)dt (8) = Z ∞ −∞ x2(t)dt

(13)

Klasifikasi Sinyal Sinyal Energi, Sinyal Daya

Sinyal Energi, Sinyal Daya

Daya rata-rata (average power) didefinisikan

P = lim T→∞ 1 T Z T 2 −T 2 x2(t)dt (9)

Dan daya rata-rata dari suatu sinyal periodik x(t) dengan periode utama

T dihitung dengan P = 1 T Z T 2 −T 2 x2(t)dt (10)

(14)

Untuk sinyal waktu-diskrit x[n], maka energi total dihitung dengan E = ∞ X n=−∞ x2[n] (11) Daya rata-rata: P = lim N→∞ 1 2N N X n=−N x2[n] (12)

Dan daya rata-rata dari suatu sinyal periodik x[n] dengan periode utama

N dihitung dengan P = 1 N N−1 X n=0 x2[n] (13)

(15)

Klasifikasi Sinyal Sinyal Energi, Sinyal Daya

Sinyal Energi, Sinyal Daya

Sebuah sinyal dapat dinyatakan sebagai sinyal energi jika dan hanya jika

energi total dari sinyal memenuhi kondisi

0<E <∞ (14)

Sebuah sinyal dapat dinyatakan sebagai sinyal daya jika dan hanya jika

daya rata-rata dari sinyal tersebut memenuhi kondisi

0<P <∞ (15)

Sinyal energi dan sinyal daya bersifat saling eksklusif (mutually exclusive).

Theorem

Suatu sinyal energi akan memiliki daya rata-rata sama dengan nol;

sementara sinyal daya akan memiliki energi tak-terhingga. Sebuah catatan: sinyal periodik dan sinyal acak, dapat dipandang sebagai sinyal daya; sementara sinyal non-periodik dan sinyal deterministik dapat dipandang sebagai sinyal energi

(16)

Tentukanlah apakah sinyal berikut sinyal energi atau sinyal daya; carilah energi total ataupun daya rata-rata

1 x(t) =      t, 0≤t≤1 2−t, 1≤t≤2 0, lainnya 2 x[n] =      n, 0≤n<5 10−n, 5≤n≤10 0, lainnya 3 x(t) = 5 cos(πt) + sin(5πt), −∞<t <∞ 4 _x_[_n_{] =} ( cos(πn), −4≤n≤4 0, lainnya 5 _x_[_n_{] =} ( cos(πn), n ≥0 0, lainnya

(17)

Operasi Dasar Sinyal

Salah satu isu yang penting dalam bidang sinyal dan sistem adalah penggunaan sistem untuk memproses atau memanipulasi sinyal. Hal ini dapat dilakukan dengan melibatkan kombinasi dari beberapa operasi dasar. Operasi dasar ini dapat dikategorikan ke dalam dua kelompok:

1 _{Operasi pada variabel tak-bebas (}_{dependent variable}₎ 2 _{Operasi pada variabel bebas (}_{independent variable}₎

(18)

Amplitude scaling

Misalkan x(t) adalah sinyal waktu-kontinu. Sinyal y(t) yang merupakan hasil amplitude scaling dari sinyal x(t) didefinisikan sebagai:

y(t) =c x(t) (16)

dengan c adalah faktor skala.

Salah satu contoh fisik penerapan hal ini adalah dalam peralatan elektronikamplifier.

Operasi ini berlaku juga untuk sistem waktu-diskrit yang dinyatakan melalui persamaan berikut:

(19)

Operasi Dasar Sinyal Operasi pada Variabel Tak-bebas

Operasi pada Variabel Tak-bebas

Addition

Misalkan x1(t) danx2(t) adalah sinyal waktu-kontinu. Sinyal y(t) yang

merupakan hasil penjumlahan (addition) didefinisikan sebagai:

y(t) =x1(t) +x2(t) (17)

Salah satu contoh fisik penerapan hal ini adalah dalam peralatan audio

mixer yang menggabungkan musik dan sinyal suara

Operasi ini berlaku juga untuk sistem waktu-diskrit yang dinyatakan melalui persamaan berikut:

(20)

Multiplication

Misalkan x1(t) danx2(t) adalah sinyal waktu-kontinu. Sinyal y(t) yang

merupakan hasil perkalian (multiplication) didefinisikan sebagai:

y(t) =x1(t)x2(t) (18)

Salah satu contoh fisik dariy(t) adalah sinyal radio AM, yaitux1(t) terdiri

dari sinyal audio dan komponen DC, serta x2(t) terdiri dari sinyal

sinusional yang disebut juga sebagai gelombang pembawa (carrier wave).

Operasi ini berlaku juga untuk sinyal waktu-diskrit yang dinyatakan melalui persamaan berikut:

(21)

Operasi Dasar Sinyal Operasi pada Variabel Tak-bebas

Operasi pada Variabel Tak-bebas

Differentiation

Misalkan x(t) adalah sinyal waktu-kontinu. Turunan dari x(t) terhadap waktu t didefinisikan sebagai:

y(t) = d

dtx(t) (19)

Sebagai contoh, induktor menunjukkan operasi turunan. Misalkan arus

i(t) yang mengalir melalui sebuah induktor L, maka teganganv(t) yang muncul di induktor adalah

v(t) =Ld dti(t)

(22)

Integration

Misalkan x(t) adalah sinyal waktu-kontinu. Integrasi dari x(t) terhadap waktu t didefinisikan sebagai:

y(t) =

Z t

−∞

x(τ)dτ (20)

Kapasitor menunjukkan operasi integrasi. Misalkan arus i(t) mengalir melalui kapasitor C, maka tegangan v(t)

v(t) = 1

C Z t

−∞

i(τ)dτ

dengan τ adalah variabel

(23)

Operasi Dasar Sinyal Operasi pada Variabel Bebas

Operasi pada Variabel Bebas

Time scaling

Misalkan x(t) adalah sinyal waktu-kontinu. Sinyal y(t) diperoleh dengan pen-skalaan variabel bebas t sebesar faktora:

y(t) =x(at) (21)

Jika a>1 sinyaly(t) merupakan kompresi, jika 0<a,1, sinyaly(t) merupakan ekspansi.

Operasi ini berlaku juga untuk sinyal waktu-diskrit yang dinyatakan:

(24)

Reflection

Misalkan x(t) adalah sinyal waktu-kontinu. Sinyal y(t) adalah pencerminan (reflection) dari sinyalx(t) pada garist = 0 dengan

mengubah t menjadi−t:

y(t) =x(−t) (22)

Operasi ini berlaku juga untuk sinyal waktu-diskrit yang dinyatakan:

(25)

Operasi pada Variabel Bebas

1 _{Sebuah sinyal waktu-diskrit}

x[n] =      1, n= 1 −1, n=−1 0, n= 0 dan |n|>1 tentukanlah y[n] =x[n] +x[−n] 2 _Diketahui x[n] = ( 1, n =−1 dann = 1 0, n = 0 dan|n|>1 tentukanlah y[n] =x[−n]

(26)

Time shifting

Misalkan x(t) adalah sinyal waktu-kontinu, maka time shifting dari sinyal

x(t) adalah:

y(t) =x(t−t0) (23)

dengan t0 adalah faktor geser. Jikat0 >0 makay(t) diperoleh dengan

menggeser x(t) ke kanan, sedangkan jikat0 <0 berartix(t) digeser ke kiri.

Untuk sinyal waktu-diskrit:

(27)

Operasi pada Variabel Bebas

1 _{Sebuah sinyal waktu-diskrit}

x[n] =      1, n= 1,2 −1, n=−1,−2 0, n= 0 dan |n|>2 tentukanlah y[n] =x[n+ 3] 2 _Diketahui x[n] = ( 1, n =−1 dann = 1 0, n = 0 dan|n|>1 tentukanlah y[n] =x[n−2]

(28)

Time Scaling Vs Time Shifting

Dalam operasi dasar pada sinyal, kadang kala kedua operasi ini muncul bersamaan. Namun sangat penting untuk mengetahui operasi mana yang lebih dulu dilakukan. Misalkan diketahui sinyal waktu-kontinux(t). Tentukanlah seperti apa sinyal y(t) yang diperoleh dari hubungan:

y(t) =x(at−b)

Untuk mendapatkany(t) dari x(t) maka operasitime scaling dantime shifting harus dilakukan dengan urutan yang benar.

Time scaling: t −→at (notasi t diubah menjadi at)

(29)

Operasi pada Variabel Bebas

Diketahui sebuah sinyal pulsa

Sketsalah sinyal berikut ini

1 x(3t) 2 x(3t+ 2) 3 _x₍−₂_t−₁₎ 4 _x₍₂₍_t_{+ 2))}

(30)

Fungsi Step Sinyal waktu-kontinu u(t) = ( 1, t >0 0, t <0 (24) Sinyal waktu-diskrit u[n] = ( 1, n ≥0 0, n <0 (25)

Gunakan fungsi step, untuk menyatakan sinyal berikut ini

x[n] =

(

1, 0≤n≤9

(31)

Operasi Dasar Sinyal Beberapa Sinyal Dasar

Beberapa Sinyal Dasar

Fungsi Impuls Sinyal waktu-kontinu δ(t) = 0; untukt 6= 0 (26) Z ∞ −∞ δ(t)dt = 1 (27)

Kadang sinyal impuls dapat juga direpresentasikan melalui gambar berikut:

(32)

Fungsi Impuls Sinyal waktu-diskrit δ[n] = ( 1, n= 0 0, n6= 0 (28)

(33)

Operasi Dasar Sinyal Beberapa Sinyal Dasar

Beberapa Sinyal Dasar

Fungsi Step Vs Fungsi Impuls

Fungsi stepu(t) dan fungsi impulsδ(t) saling berkaitan satu sama lain; sehingga jika salah satu diketahui maka dapat ditentukan yang lainnya. Secara khusus hubungannya adalah fungsi δ(t) adalah turunan dari fungsi

u(t) terhadap waktu:

δ(t) = d

dtu(t) (29)

Atau dapat juga dikatakan bahwa fungsi step u(t) adalah integrasi dari fungsi impuls δ(t):

u(t) =

Z t

−∞

(34)

Fungsi Ramp Sinyal waktu-kontinu r(t) = ( t, t ≥0 0, t <0 (31) r(t) =t.u(t) (32) Sinyal waktu-diskrit r[n] = ( n, n≥0 0, n<0 (33) r[n] =n.u[n] (34)

Jika fungsi δ(t) adalah turunan dari fungsi u(t), fungsi ramp r(t) adalah integrasi dari fungsi u(t).

(35)

Sifat-sifat Sistem

Secara formal sistemdidefinisikan sebagai sebuah entitas yang dapat memanipulasi satu atau lebih sinyal untuk menghasilkan suatu fungsi (yaitu sinyal baru).

Interaksi antara sinyal dan sistem diilustrasikan pada gambar berikut ini:

Secara matematika, sistem dapat juga dipandang sebagai operasi-operasi yang saling berkaitan (interconnections of operations) yang mengubah sinyal input menjadi sinyal output dengan sifat-sifat yang berbeda dengan sinyal input.

(36)

Misalkan operator H menyatakan operasi di dalam sistem, sehingga sinyal

waktu-kontinu sebagaiinput pada sistem menghasilkan sinyal output

y(t) =H{x(t)} (35)

dan pada sinyal waktu-diskrit, dinyatakan:

y[n] =H{x[n]} (36)

(37)

Sifat-sifat Sistem

Pada sistem waktu-diskrit, diperkenalkan operator Sk untuk menggeser

(shifts) sinyal input x[n] sebesar k menjadi x[n−k].

Perhatikan sistem di bawah ini:

(38)

Sistem yang sama dapat juga disusun dalam diagram di bawah ini juga:

(39)

Sifat-sifat Sistem Stability

Sifat-sifat Sistem

Berikut dibahas beberapa sifat-sifat sistem:

Stability

Sebuah sistem dikatakanbounded-input, bounded-output (BIBO) stable

jika dan hanya jika untuk setiap input yang terbatas (bounded) akan

menghasilkan output yang juga terbatas (bounded). Dengan kata lain

operator H dikatakan BIBO stable jika sinyaloutput y(t) memenuhi kondisi berikut

|y(t)| ≤My <∞; untuk semuat (37)

jika sinyalinput x(t) memenuhi kondisi

|x(t)| ≤Mx <∞; untuk semuat (38)

(40)

Periksalah apakah sistem y[n] = 1₃(x[n] +x[n−1] +x[n−2]) stabil atau tidak.

Input x[n]−−−−−−→ |magnitude x[n]|=Mx (terbatas)

Output y[n]−−−−−−→ |magnitude y[n]|=My = ₃1|x[n] +x[n−1] +x[n−2]| 1 3|x[n] +x[n−1] +x[n−2]| ≤ 1 3{|x[n]|+|x[n−1]|+|x[n−2]|} My ≤ 1₃{|x[n]|+|x[n−1]|+|x[n−2]|} My ≤ 1₃{Mx+Mx+Mx} My ≤Mx

(41)

Sifat-sifat Sistem Stability

Sifat-sifat Sistem

JembatanTacoma Narrows, di Washington, diresmikan pada tanggal 1

(42)

(43)

Sifat-sifat Sistem Memory

Sifat-sifat Sistem

Memory

Sebuah sistem dikatakan memiliki memori jika sinyaloutput bergantung

(dipengaruhi) oleh nilai lampau (past) atau nilai masa depan (future) dari sinyal input. Di sisi lain, sebuah sistem disebut tak punya memori

(memoryless) jika nilai sinyaloutput hanyabergantung (dipengaruhi) oleh nilai kekinian (present) dari sinyal input.

Contoh sistem y[n] = 1₃(x[n] +x[n−1] +x[n−2]) adalah sistem yang memiliki memori, karena sinyal output dipengaruhi oleh nilai sekarang dan nilai lampau dari sinyal input x[n].

Sementara sistem y[n] =x2[n] adalah sistem yangmemoryless, karena hanya bergantung pada nilai sekarang.

(44)

Causality

Sebuah sistem dikatakancausal jika nilai sekarang dari sinyaloutput

hanya dipengaruhi oleh nilai sekarang atau lampau (past) dari sinyalinput. Di sisi lain, sebuah sistem disebut noncausal jika nilai sinyaloutput

dipengaruhi oleh nilai masa depan (future) dari sinyal input.

Contoh sistem y[n] = 1₃(x[n] +x[n−1] +x[n−2]) adalah sistem causal. Sementara sistem y[n] = 1₃(x[n+ 1] +x[n] +x[n−1]) adalah sistem yang

(45)

Sifat-sifat Sistem Causality & Invertibility

Sifat-sifat Sistem

Invertibility

Sebuah sistem dikatakaninvertible jikainput dari sistem dapat dipulihkan (recovered) darioutput.

Hinv{y(t)}=Hinv{H{x(t)}}

=HinvH{x(t)}

dalam hal ini, syarat untuk invertible adalah:

HinvH=I (39)

(46)

Time Invariance

Sebuah sistem dikatakantime invariant jika dengan adanya pemunduran

waktu (time delay) ataupun pemajuan waktu (time advance) dari sinyal

input akan memberikan hasil yang identik dengan adanya pergeseran waktu (time shift) dari sinyal output.

y2(t) =H{x1(t−t0)} =H{St0_x 1(t)} =HSt0_{_x 1(t)} y1(t−t0) =St0{y1(t)} =St0_{_H_{_x 1(t)}} =St0_H_{_x 1(t)}

(47)

Sifat-sifat Sistem Linearity

Sifat-sifat Sistem

Linearity

Sebuah sistem dikatakanlinear jika sinyalinput dan sinyaloutput

memenuhi dua karakteristik berikut: superposition dan homogeneity.

Superposition Misalkan sistem diberiinput x1(t) akan menghasilkan

output y1(t), jika diberiinput x2(t) akan menghasilkan output y2(t),

maka jika diberi input x(t) =x1(t) +x2(t) akan memberikanoutput

y(t) =y1(t) +y2(t)

Homogeneity Misalkan jika sistem diberiinput x(t) akan menghasilkan

output y(t), maka jika diberi input a.x(t) akan menghasilkanoutput a.y(t)

(48)

Secara matematis jika diberikan input x(t) = N X i=1 aixi(t) (40)

akan menghasilkan output

y(t) =H{x(t)} =H ( _N X i=1 aixi(t) ) (41) = N X i=1 aiH{xi(t)} = N X i=1 aiyi(t) (42)

(49)

Sifat-sifat Sistem Linearity

Sifat-sifat Sistem

Sifat linearity dapat direpresentasikan melalui diagram berikut ini:

y(t) =H ( _N X i=1 aixi(t) ) y(t) = N X i=1 aiH{xi(t)} = N X i=1 aiyi(t)

(50)