PENGANTAR TEORI HIMPUNAN
MAM 112
DAFTAR ISI
Halaman
1.
Pengantar
2
2.
Kompetensi Dasar
2
3.
Tujuan Pembelajaran
2
4.
Indikator
3
5.
Kegiatan belajar
3
5.1 Pengertian Himpunan
3
5.2 Keanggotaan Himpunan dan Bilangan Kardinal 6
5.3 Penyajian Himpunan
6
5.4 Macam-macam Himpunan
9
5.5 Relasi pada Himpunan
14
5.6 Operasi pada Himpunan
18
5.7 Sifat-sifat Operasi pada Himpunan
31
6.
Latihan
34
Buku Ajar 2
PENGANTAR
TEORI HIMPUNAN
1.
Pengantar
Jika anda perhatikan dengan seksama, himpunan merupakan suatu konsep yang telah banyak mendasari perkembangan ilmu pengetahuan, baik pada bidang matematika itu sendiri maupun pada disiplin ilmu lainnya, misalnya pada ilmu ekonomi dan ilmu komputer. Dengan demikian terlihat jelas begitu penting peran dari konsep himpunan, dan sebagai awal dari bahasan buku ajar ini akan dibahas pengertian himpunan, cara penyajian himpunan, macam-macam himpunan, dan relasi pada himpunan.
2.
Kompetensi Dasar
Mahasiswa dapat mendeskripsikan pengertian himpunan, penyajian himpun-an, macam-macam himpunan, dan relasi pada himpunan.
3.
Tujuan Pembelajaran
o Mahasiswa dapat menyebutkan pengertian himpunan, dan menentukan bilangan kardinal dari suatu himpunan.
o Mahasiswa dapat menyajikan himpunan dalam berbagai cara penyajian himpunan.
1
Bab
Buku Ajar 3 o Mahasiswa dapat menyebutkan macam-macam
himpunan, serta menentukan hubungan antar himpunan
4.
Indikator
o Menyebutkan pengertian himpunan, dan menentukan bilangan kardinal dari suatu himpunan.
o Menyajikan himpunan dalam berbagai cara penyajian himpunan.
o Menyebutkan macam-macam himpunan, dan menentukan hubungan antar himpunan.
5.
Kegiatan Belajar
5.1 Pengertian Himpunan
Konsep tentang himpunan pertama kali dikemu-kakan oleh ahli matematika berkebangsaan Jerman, yaitu George Cantor (1845 – 1918). Pada waktu itu konsep yang dikemukakannya masih kurang mendapat perhatian dari ahli matematika lainnya, namun pada tahun 1920-an konsephimpunan ini mulai digunakan George Cantor sebagai landasan matematika. Bahkan sekarang setiap cabang matematika meng-gunakan konsep himpunan sebagai dasar/landasan dalam pengembangannya.
Apa yang dimaksud dengan himpunan? Istilah himpunan dalam matematika berasal dari kata “set” dalam bahasa Inggris. Kata lain yang sering digunakan untuk menyatakan himpunan antara lain kumpulan, kelas, gugus, dan kelompok. Secara sederhana, arti dari himpunan adalah kumpulan objek-objek (real atau
Buku Ajar 4
abstrak). Sebagai contoh kumpulan buku-buku, kumpulan materai, kumpulan mahasiswa di kelasmu, dan sebagainya.
Objek-objek yang dimasukan dalam satu kelompok haruslah mempunyai sifat-sifat tertentu yang sama. Sifat tertentu yang sama dari suatu himpunan harus didefinisikan secara tepat, agar kita tidak salah mengumpulkan objek-objek yang termasuk dalam himpunan itu.
Dengan kata lain, himpunan dalam pengertian matematika objeknya/ anggotanya harus tertentu (well defined), jika tidak ia bukan himpunan. Dengan demikian, kata himpunan atau kumpulan dalam pengertian sehari-hari ada perbedaannya dengan pengertian dalam matematika. Jika kumpulan itu anggotanya tidak bisa ditentukan, maka ia bukan himpunan dalam pengertian matematika. Demikian juga dengan konsep himpunan kosong dalam matematika, tidak ada istilah tersebut dalam pengertian sehari-hari. Contoh kumpulan yang bukan himpunan dalam pengertian matematika adalah sebagai berikut :
1) Kumpulan bilangan 2) Kumpulan lukisan indah 3) Kumpulan makanan lezat
Pada contoh di atas tampak bahwa dalam suatu kumpulan ada objek. Objek tersebut bisa abstrak atau bisa juga kongkrit. Pengertian abstrak sendiri berarti hanya dapat dipikirkan (dalam dunia rasio), sedangkan pengertian kongkrit selain dapat dipikirkan mungkin ia bisa dilihat, dirasa, diraba, atau dipegang. Pada contoh (1) objeknya adalah bilangan (abstrak). Objek tersebut belum tertentu, sebab kita tidak bisa menentukan bilangan apa saja yang termasuk dalam himpunan tersebut. Pada contoh (2) dan (3), masing-masing objeknya adalah lukisan dan makanan, jadi ia kongkrit. Namun demikian kedua objek tersebut belum tertentu,
Buku Ajar 5
sebab sifat indah dan lezat adalah relatif, untuk setiap orang bisa berlainan.
Sekarang marilah kita pelajari contoh kumpulan yang merupakan himpunan dalam pengertian matematika. 1) Kumpulan bilangan cacah
2) Kumpulan bilangan asli kurang dari 20 3) Kumpulan warna pada bendera RI 4) Kumpulan binatang berkaki dua 5) Kumpulan manusia berkaki lima
Pada kelima contoh di atas kumpulan tersebut memiliki objek (abstrak atau kongkrit), dan semua objek pada himpunan tersebut adalah tertentu atau dapat ditentukan. Pada contoh (1), (2), dan (3) objeknya abstrak, sedangkan pada contoh (4) dan (5) objeknya kongkrit. Khusus untuk contoh (5) banyaknya anggota 0 (nol), jadi ia tertentu juga. Untuk hal yang terakhir ini biasa disebut himpunan kosong (empty set), suatu konsep himpunan yang didefinisikan dalam matematika. Pembicaraan lebih rinci mengenai himpunan kosong ini akan dibahas pada bagian lain.
Terkait dengan pengertian himpunan, berikut adalah hal-hal yang harus anda cermati dan ingat, yaitu :
Objek-objek dalam suatu himpunan mestilah berbeda, artinya tidak terjadi pengulangan penulisan objek yang sama. Sebagai contoh, misalkan A = {a, c, a, b, d, c}. Himpunan A tersebut tidak dipandang mempunyai jumlah anggota sebanyak 6, tetapi himpunan tersebut dipandang sebagai A ={a, c, b, d} dengan jumlah anggota sebanyak 4.
Urutan objek dalam suatu himpunan tidaklah dipentingkan. Maksudnya himpunan {1, 2, 3, 4} dan {2, 1, 4, 3} menyatakan himpunan yang sama.
Buku Ajar 6
5.2 Keanggotaan Himpunan dan Bilangan
Kardinal
Suatu himpunan lazimnya dinyatakan dengan huruf kapital, seperti A, B, C, D, …, dan untuk menyatakan himpunan itu sendiri dinotasikan dengan tanda kurawal (aqulade). Objek yang dibicarakan dalam himpunan tersebut dinamakan anggota (elemen, unsur). Anggota-anggota dari suatu himpunan dinyatakan dengan huruf kecil atau angka-angka dan berada di dalam tanda kurawal. Tanda keanggotaan dinotasikan dengan , sedangkan tanda untuk bukan anggota dinotasikan dengan . Jika x adalah anggota dari A maka dapat ditulis x A, dan jika y bukan anggota himpunan A maka ditulis dengan y A.
Banyaknya anggota dari suatu himpunan disebut dengan kardinal (bilangan kardinal) himpunan tersebut. Jika A adalah suatu himpunan, maka banyaknya anggota dari A (bilangan kardinal A) ditulis dengan notasi n(A) atau │A│
Contoh 1.
A = {a, b, c, d, e, f}, maka n(A) = 6
5.3
Penyajian Himpunan
Ada empat cara atau metode untuk menyatakan (menuliskan) suatu himpunan, yaitu :
1. Cara Tabulasi
Cara ini sering disebut juga dengan cara pendaftaran (roster method) atau enumerasi, yaitu cara menyatakan suatu himpunan dengan menuliskan anggotanya satu per satu. Untuk membedakan anggota yang satu dengan yang lainnya digunakan tanda koma (,). Jika banyaknya anggota himpunan itu cukup banyak atau tak hingga, untuk menyingkat tulisan lazimnya dengan menggunakan tanda titik tiga yang berarti
Buku Ajar 7
dan seterusnya, asal aturannya sudah tampak pada pernyataan anggota yang telah dituliskan.
Cara tabulasi bisa digunakan jika anggota dari himpunan itu bisa ditunjukan satu persatu (diskrit), misalnya :
a. A = {0, 1, 2, 3, 4, ...} b. B = {0, 1, 4, 9, 16, ..., 100}
c. C = {merah, putih, kuning, biru, hijau}
Pada contoh (a) banyak anggota dari himpunan A adalah tak hingga sehingga tidak mungkin dituliskan semua anggotanya satu persatu, oleh karena itu digunakan titik tiga setelah aturan (pola) bilangan yang disajikan dapat dilihat. Perhatikan bahwa kita tidak boleh menuliskan seperti A = {0, ...} atau A = {0, 1, ...} untuk contoh (a) sebab belum tampak polanya. Penulisan seperti itu bisa mengandung interpretasi lain, sehingga tidak sesuai dengan yang dimaksudkan.
Pada contoh (b), juga digunakan tanda titik tiga karena banyak anggotanya cukup banyak dan aturan bilangannya sudah tampak, yaitu kuadrat dari bilangan cacah. Kardinal dari setiap himpunan di atas adalah n(A) = , n(B) = 11, dan n(C) = 5. 2. Cara Pencirian/deskripsi
Cara ini dikenal juga dengan “rule method” atau metode aturan, atau disebut juga metode pembentuk himpunan. Dalam menggunakan metode deskripsi ini, anggota dari suatu himpunan tidak disebutkan satu per satu, tetapi penyajian anggota himpunannya dilakukan dengan mendefinisikan suatu aturan/rumusan yang merupakan batasan bagi anggota-anggota himpunan. Himpunan yang anggotanya diskrit dapat disajikan dengan cara deskripsi ini, akan tetapi suatu himpunan yang anggotanya kontinu hanya bisa disajikan dengan cara deskripsi, dan tidak bisa disajikan dengan cara tabulasi.
Buku Ajar 8
Contoh 2.
a. A = adalah himpuan bilangan cacah yang lebih besar dari 2 dan kecil dari 9.
Himpunan A, jika disajikan dengan cara tabulasi didapat :
A = {3, 4, 5, 6. 7, 8}
sedangkan jika disajikan dengan menggunakan metode deskripsi didapat : A = {x | 2 < x < 9, x bilangan cacah}
b. B = {x | 2 < x < 9, x bilangan real}. Himpuan tersebut tidak bisa disajikan dengan cara tabulasi, karena anggotanya kontinu.
Kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang berbeda, yaitu n(A) = 6 sedangkan n(B) = .
3. Simbol-simbol Baku
Beberapa himpunan yang khusus dituliskan dengan sismbol-simbol yang sudah baku. Terdapat sejumlah simbol baku yang menyatakan suatu himpunan, yang biasanya direpresentasikan dengan menggu-nakan huruf kapital dan dicetak tebal. Berikut adalah contoh-contoh himpunan yang dinyatakan dengan simbol baku, yang sering kita dijumpai, yaitu :
N = himpunan bilangan asli = {1, 2, 3, ...}
P = himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, ...} Z = himpunan bilangan bulat {...,-2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Q = himpunan bilangan rasional
= himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks
4. Diagram Venn
Diagram venn
diperkenalkan oleh John Venn (1834 – 1923) ahli logika berkebangsaan Inggris. Dalam diagram venn himpunan semesta S di-gambarkan dengan persegi panjang, sedangkan
Buku Ajar 9
digambarkan dengan lengkungan tertutup sederhana, dan anggotanya digambarkan dengan noktah. Anggota dari suatu himpunan digambarkan dengan noktah yang terletak di dalam di dalam daerah lengkungan tertutup sederhana itu, atau di dalam persegi panjang untuk anggota yang tidak termasuk di dalam himpunan itu.
Contoh 3. S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 2, 5} ; B = {3, 4, 7, 8} 2 1 5 3 4 7 8 6 9 0 10 A B S Gambar 1.1
Pada pembahasan berikutnya, seringkali representasi noktah tidak digambarkan dalam Diagram Venn.
5.4
Macam-macam Himpunan
Berikut ini disajikan beberapa konsep berkenaan dengan himpunan yang didefinisikan dalam matematika.
1. Himpunan kosong
Definisi.
Suatu himpunan A dikatakan himpunan kosong jika dan hanya jika n(A) = 0.
Himpunan kosong dilambangkan dengan (dibaca phi). Karena bilangan kardinal dari sama dengan nol, maka himpunan tidak mempunyai anggota,
Buku Ajar 10
sehingga = { }. Pengertian jika dan hanya jika pada definisi di atas berarti : “jika A himpunan kosong”, maka n(A) = 0. Sebaliknya, jika n(A) = 0 maka A adalah himpunan kosong.
Berikut disajikan beberapa contoh tentang himpunan kosong.
a. A = himpunan mahasiswa Jurusan Statistika Unisba anggkatan 2009/2010 yang mempunyai tinggi badan di atas 3 meter.
b. B = {x | 2 < x < 3, x bilangan bulat} c. C = {x | x bilangan prima kelipatan 6} d. D = {x | x2 < 0, x bilangan real}
2. Himpunan Semesta
Definisi.
Himpunan semesta S adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan. Jika anda cermati definisi di atas, tampak bahwa suatu himpunan tertentu merupakan himpunan semesta bagi dirinya sendiri. Himpunan semesta dari suatu himpunan tertentu tidaklah tunggal, tetapi mungkin lebih dari satu. Coba anda perhatikan contoh berikut :
Misalkan A = {b, c, d}, maka himpunan semesta dari A antara lain adalah :
S1= {b, c, d} S2= {a, b, c, d} S3= {a, b, c, d, e} S4= {a, b, c, d, e, f}
Dari contoh di atas, jelas bahwa himpunan semesta dari suatu himpunan tidaklah tunggal. Suatu himpunan bisa merupakan himpunan semesta bagi himpunan tertentu asalkan semua anggota dari himpunan tertentu itu menjadi anggota dari himpunan semesta.
Buku Ajar 11
3. Himpunan Terhingga dan Tak-hingga
Ditinjau dari kardinalnya, himpunan dapat digolongkan menjadi dua macam yaitu himpunan terhingga dan himpunan tak-hingga. Istilah himpunan terhingga berasal dari kata dalam bahasa inggris, yaitu finite set. Sedangkan himpunan tak-hingga terjemahan dari infinite set atau transfinite set. Definisi.
Himpunan A dinamakan himpunan terhingga jika dan hanya jika n(A) = c, dengan c {bilangan cacah}.
Himpunan B dinamakan himpunan tak-hingga jika dan hanya jika n(B) = .
Suatu himpunan terhingga banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah tertentu. Dengan demikian = { } adalah merupakan himpunan terhingga, sebab n( ) = 0. Jika banyaknya anggota dari suatu himpunan tertentu tidak bisa dinyatakan dengan bilangan cacah tertentu maka himpunan tersebut banyak anggotanya tak hingga. Himpunan ini dinamakan himpunan tak hingga. Perhatikan bahwa notasi tidak meyatakan bilangan, ia hanya menyatakan suatu konsep matematika yang banyaknya tak hingga atau ketakhinggaan.
Untuk lebih memahami pengertian himpunan terhingga dan tak-hingga, coba anda perhatikan contoh-contoh berikut.
Contoh himpunan terhingga. a. = { }
b. A = {a, c, e, f, h}
c. B = {1, 3, 5, 7, 9, ..., 19}
d. C = {x | x nama bulan dalam setahun}
Dari contoh di atas, tampak bahwa kardinal dari setiap himpunan dapat dinyatakan dengan bilangan
Buku Ajar 12
cacah tertentu, yakni n( ) = 0, n(A) = 5, n(B) = 10, dan n(C) = 12.
Contoh himpunan tak-hingga. a. P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} b. Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
c. R = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...} d. S = {2, 4, 6 8, 10, 12, 14, ...}
Dari contoh-contoh di atas, tampak bahwa kardinal dari setiap himpunan tidak dapat dinyatakan dengan bilangan cacah tertentu. Kardinal himpunan-himpunan itu adalah tak hingga, dan dinyatakan dengan .
4. Himpunan Terbilang dan Himpunan
Tak-terbilang
Istilah terbilang adalah terjemahan dari countable atau denumerable, sedangkan tak-terbilang terjemahan dari uncountable atau non-denumerable. Pengertian terbilang dimaksudkan sebagai dapat ditunjukkan (dihitung) satu per satu. Jadi ia diskrit. Sedangkan tak-terbilang menyatakan kondisi yang berlawanan, yaitu tidak dapat dihitung satu per satu. Jadi ia kontinu. Dengan demikian himpunan terbilang adalah himpunan yang anggota-anggotanya dapat ditunjukkan satu per satu, sedangkan himpunan tak-terbilang adalah himpunan yang anggota-anggotanya tidak bisa disebutkan satu per satu.
Dengan pengertian tersebut di atas, semua himpunan terhingga (kecuali himpunan kosong) adalah himpunan terbilang. Tetapi tidak setiap himpunan terbilang merupakan himpunan terhingga, himpunan terbilang dapat saja merupakan himpunan tak-terhingga. Semua himpunan tak-terbilang adalah himpunan tak-terhingga, tetapi tidak setiap himpunan terhingga merupakan himpunan tak-terbilang sebab ada juga yang tak-terbilang.
Buku Ajar 13
Untuk lebih memahami pengertian-pengertian tersebut, coba anda perhatikan contoh-contoh berikut.
a. A = {a, c, e, f}
Himpunan A termasuk pada himpunan terhingga, sebab n(A) = 4. Ia juga termasuk pada himpunan terbilang, sebab setiap anggotanya dapat ditunjukan satu per satu. b. B = {4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}
Himpunan B termasuk pada himpunan terbilang sebab anggota-anggotanya dapat ditunjukan satu per satu (diskrit), tetapi ia bukan terhingga. Himpunan B tak-hingga.
c. C = {x | 0 < x < 1, x bilangan real}
Himpunan C termasuk pada himpunan tak-terbilang sebab anggota anggotanya tidak dapat ditunjukan satu per satu (kontinu), juga ia merupakan himpunan tak-hingga.
5. Himpunan Terbatas dan Himpunan
Tak-terbatas
Himpunan terbatas (bounded set) adalah himpunan yang mempunyai batas di sebelah kiri dan batas di sebelah kanan. Himpunan yang mempunyai batas di sebelah kiri saja disebut himpunan terbatas kiri, jika ia hanya mempunyai batas di sebelah kanan disebut himpunan terbatas kanan. Sedangkan himpunan yang tidak mempunyai batas di sebelah kiri dan sebelah kanan disebut himpunan tak-terbatas. Pembicaraan mengenai himpunan ini, biasanya beranggotakan bilangan. Batas sebelah kiri disebut batas bawah, sedangkan batas di sebelah kanan disebut batas atas. Unsur yang menjadi batas itu bisa merupakan anggota dari himpunan bisa juga bukan merupakan anggota himpunan. Pada himpunan berhingga yang disajikan dengan cara tabulasi, anggota terbesar merupakan batas atasnya dan anggota terkecil merupakan batas bawahnya. Pada himpunan yang disajikan dengan cara deskripsi,
Buku Ajar 14
batas atas atau batas bawahnya belum tentu merupakan anggota dari himpunan itu.
Coba anda perhatikan contoh berikut. a. I = {2, 4, 6, 8, 10}
Himpunan I mempunyai batas bawah 2 dan batas atas 10, kedua batas itu merupakan anggota dari himpunan I.
b. J = {x | 0 < x ≤ 1, x bilangan real}
Himpunan J mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 1, 0 bukan merupakan anggota J sedangkan 1 merupakan anggota dari J.
c. K = {x | 5 < x < 6, x bilangan real}
Himpunan K mempunyai batas bawah 5 dan batas atas 6, dengan 5 dan 6 keduanya bukan merupakan anggota K.
d. L = {x | x < 2, x bilangan real}
Himpunan L adalah himpunan terbatas kanan dengan batas atas 2, dan 2 bukan anggota L. e. M = {x | x ≥ 5, x bilangan bulat}
Himpunan M adalah himpunan terbatas kiri dengan batas bawah 5, dan 5 anggota M.
f. N = {x | - < x < , x bilangan real} Himpunan N adalah himpunan tak-terbatas.
5.5 Relasi pada Himpunan
1. Himpunan yang sama
Definisi.
Dua buah himpunan A dan B dikatakan sama , A = B, jika dan hanya jika setiap anggota di A merupakan anggota di B, dan juga setiap anggota di B merupakan anggota di A.
Pada definisi di atas, digunakan perkataan jika dan hanya jika, ini mengandung arti bahwa :
(1) jika himpunan A sama dengan B, maka setiap anggota di A meru-pakan anggota di B, dan (2) jika terdapat dua himpunan sedemikian hingga
Buku Ajar 15
merupakan anggota pada himpunan kedua dan setiap anggota pada himpunan kedua merupakan anggota pada himpunan pertama, maka dikatakan bahwa kedua himpunan itu sama. Contoh 4.
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan B = {x | x < 10, x bilangan cacah}
Himpunan B jika dituliskan dengan metode tabulasi maka di dapat B ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Dengan memperhatikan anggota-anggota pada A dan B, maka jelas bahwa A = B.
Contoh 5.
Misalkan C = {a, b, c, d} dan D = { c, a, d, b}. Jelas bahwa setiap anggota di C merupakan anggota di D dan setiap anggota di D merupakan anggota di C. Dengan demikian bahwa C = D.
Sekarang misalakan E = {c, a, b}. Meskipun setiap anggota di E merupakan anggota di C, akan tetapi tidak setiap anggota di C merupakan anggota di E. Dengan demikian C ≠ E.
2. Himpunan bagian
Definisi.
A dikatakan himpunan bagian dari B, A B, jika dan hanya jika setiap anggota di A merupakan anggota di B.
Jika A B digambarkan dengan menggunakan diagram venn, maka didapatkan sebagai berikut.
S
A
B
Buku Ajar 16
Sebagai contoh bahwa {c, a, b} {c, d, b, a} dan {2, 4, 6, 8} {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Anda pastinya juga setuju bahwa A B adalah ekivalen dengan B A. Penulisan B A lazimnya dimaknai sebagai B superset dari A.
Definisi.
A dikatakan himpunan bagian sejati (proper subset) dari B, A B, jika dan hanya jika setiap anggota di A merupakan anggota di B dan paling sedikit terdapat satu anggota di B yang bukan merupakan anggota A.
Sebagai contoh, perhatikan bahwa {1, 2, 3, 4} {0, 1, 2, 3, 4, 5} akan tetapi {a, b, c} {c, a, b}.
3. Himpunan lepas
A dan B dikatakan lepas (disjoint) jika dan hanya jika tidak terdapat anggota bersama pada A dan B, atau dengan kata lain A dan B dikatakan lepas jika A B= . Simbol A B menyatakan irisan dari A dan B, bahasan lebih lengkap tentang irisan antara dua himpunan bisa anda pelajari pada bab 2. Berikut adalah deskripsi dari A lepas dengan B.
S
A B
Buku Ajar 17
Contoh 6.
Misalkan A = {a, b, c, d, e} dan B = {f, h, i, j, k} maka didapatkan bahwa A B = .
Karena A B = maka A dan B merupakan himpunan yang lepas.
4. Himpunan bersilangan
A bersilangan dengan B jika dan hanya jika A B , atau dengan kata lain irisan dari kedua himpunan tersebut tidak kosong. Berikut adalah deskripsi dari A bersilangan dengan B.
Gambar 1.4 A B
Gb.1.9
Contoh 7.
Misalkan A = {d, e, f, h, i, j, k} dan B = {a, b, c, d, e, f, h} maka didapatkan bahwa A B = {d, e, f, h}. Karena A B = {d, e, f, h} ≠ maka A dan B merupakan himpunan yang bersilangan.
5. Himpunan ekivalen
Definisi.
A ekivalen dengan himpunan B, A~B, jika dan hanya jika banyaknya anggota dari A sama dengan banyaknya anggota B, atau n(A) = n(B).
Contoh 8. A = { 2, 3, 5, 7, 11, 13 } B = { a , b, c, d, e, f } n(A) = 6 n(B) = 6 Maka A ~ B
Buku Ajar 18
6. Himpunan Kuasa (Power Set)
Himpunan Kuasa dari himpunan A, P(A), adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
Contoh 9.
A = {a, b, c}. Himpunan bagian dari A adalah , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.
Sehingga P(A) = { , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
5.6 Operasi pada himpunan
1. Irisan (intersection)Irisan dari A dan B, A B, adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan sekaligus anggota himpunan B.
A B={x│x A dan x B}
Gambar 2.1 Contoh 1.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {a, e, g} maka A B = {a, e}. Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.
Buku Ajar 19
b
c
d
f
g
S
B
A
a
e
Gambar 2.2 Daerah yang diarsir menyatakan A B. Contoh 2.Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { g, h, i, j} maka A B = . Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.
a
c
d
f
g
S
A
B
b
e
h
i j
Gambar 2.3Karena A B = maka tidak ada daerah yang diarsir. Contoh 3.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { a, c, e, f} maka A B = { a, c, e, f}. Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.
Buku Ajar 20 a S A B c e a f b d Gambar 2.4
Daerah yang diarsir menyatakan A B = B. Contoh 4.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { a, c, e, f, b, d} maka didapatkan A B = {a, b, c, d, e, f}. Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.
a
S
A = B
c
a
e
f
b
d
Gambar 2.5Daerah yang diarsir menyatakan A B = A = B.
2. Gabungan (union)
Gabungan antara himpunan A dan himpunan B dilambangkan A B, adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A atau anggota himpunan B. A B = {x/x A atau x B}
Buku Ajar 21
Gambar 2.6 Contoh 5.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {a, e, g} maka A B = {a, b, c, d, e, f, g}. Diagram venn-nya adalah sebagai berikut. b a e c d f g S B A Gambar 2.7 Daerah yang diarsir menyatakan A B. Contoh 6.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { g, h, i, j} maka A B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}. Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.
Buku Ajar 22
g
S
A
B
h
a
e
b
c
d
f
g
i
j
Gambar 2.8 Daerah yang diarsir menyatakan A B. Contoh 7.Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { a, c, e, f} maka A B = {a, b, c, d, e, f}. Diagram venn-nya adalah sebagai berikut. a S A B c a e f b d Gambar 2.9
Daerah yang diarsir menyatakan A B = A. Contoh 8.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { a, c, e, f, b, d} maka didapatkan A B = {a, b, c, d, e, f}. Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.
Buku Ajar 23
a
S
A = B
c
a
e
f
b
d
Gambar 2.10Daerah yang diarsir menyatakan A B = A = B.
3. Komplemen
Diberikan himpunan universal (semesta) S dan himpunan A. A S, komplemen dari A, A’, adalah himpunan semua objek di S yang tidak termasuk di A. A’ = {x|x S dan x A} S A A’ Gambar 2.11 Contoh 9.
Misalkan S adalah himpunan hufuf alfabet dan A adalah himpunan huruf vokal, maka A’ adalah himpunan semua huruf konsonan.
Contoh 10.
Misalkan S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} dan
B = {x|x bilangan genap} maka B’ adalah himpunan bilangan cacah yang tidak genap, atau B’ adalah himpunan bilangan ganjil, yaitu B’ = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} Apakah anda tahu hasil dari A A’ untuk sembarang himpunan A? Apakah anda bisa memastikan bahwa
Buku Ajar 24
A A’ = S untuk sembarang himpunan A dan semesta S? Jawabannya sangat jelas, ya. Kita juga berkesimpulan bahwa A A’ = untuk sembarang himpunan A. Sekarang, apakah anda tahu komplemen dari himpunan kosong? Karena semua anggota yang ada di S berada di luar himpunan kosong maka komplemen dari himpunan kosong adalah himpunan semesta, yakni jika C = maka C’ = S. Dengan logika yang serupa S’ = . Terkadang, kita ingin menggambarkan komplemen dari beberapa himpunan, misalkan saja ingin digambarkan A’ (B C). Pertama kali kita identifikasi/gambarkan A’ kemudian kita gambarkan B C seperti berturut-turut dapat dilihat pada gambar (a) dan (b), setelah itu baru kita gambarkan gabungan dari (a) dan (b) dan didapatkan gamabar seperti dapat dilihat pada (c).
S A B C (a) A’ S A B C (b) B C S A B C (c) A’ (B C) Gambar 2.12
Buku Ajar 25
Apakah komplemen dari suatu himpunan adalah tunggal? Ternyata tidak. Komplemen dari suatu himpunan tidaklah tunggal, tetapi mungkin lebih dari satu. Hal ini disebabkan komplemen dari suatu himpunan sangat tergantung erat dengan himpunan semestanya. Coba anda perhatikan contoh berikut. Contoh 11.
Misalkan A = {b, c, d}.
Jika himpunan semestanya adalah S1= {b, c, d} maka A’ = .
Jika himpunan semestanya adalah S2= {a, b, c, d} maka A’ = {a}
Jika himpunan semestanya adalah S3={a, b, c, d, e} maka A’ = {a, e}
Jika himpunan semestanya adalah S4= {a, b, c, d, e, f} maka A’={a, e, f}
Dari contoh di atas, jelas bahwa komplemen dari suatu himpunan tidaklah tunggal, karena komplemen dari suatu himpunan dipengaruhi oleh himpunan semestanya.
4. Selisih
Selisih dari A dan B, A – B, adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari himpunan A tetapi bukan merupakan anggota dari himpunan B.
A – B = {x/x A dan x B} Gb. 1.6 Gambar 2.13 g S B A
Buku Ajar 26
Contoh 12.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {a, e, g} maka A - B = {b, c, d, f}. Diagram venn-nya adalah sebagai berikut. g S B A g a e b c d f Gambar 2.14 Daerah yang diarsir menyatakan A - B. Contoh 13.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { g, h, i, j} maka A – B = {a, b, c, d, e, f} = A.
Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.
g S B A h a e b c d f g i j Gambar 2.15
Daerah yang diarsir menyatakan A – B = A. Contoh 14.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { a, c, e, f} maka A - B = {b, d}. Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.
Buku Ajar 27 a S A B c a e f b d Gambar 2.16 Daerah yang diarsir menyatakan A - B. Contoh 15.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { a, c, e, f, b, d} maka didapatkan A - B = . Diagram venn-nya adalah sebagai berikut. S A = B a e b c d f Gambar 2.17
Tidak ada daerah yang diarsir, karena A - B = .
5. Beda Setangkup
Beda setangkup dari himpunan A dan B, A B, adalah suatu himpunan yang anggotanya ada pada himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya.
Buku Ajar 28 S B A Gb. 1.7 Gambar 2.18 Contoh 16.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {a, e, g} maka
A B = {b, c, d, f, g}. Diagram venn-nya adalah sebagai
berikut.
S
B
A
a
e
g
b
c
d
f
Gambar 2.19 Daerah yang diarsir menyatakan A B.Contoh 17.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { g, h, i, j} maka A B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}
Buku Ajar 29
g
S
B
A
h
a
e
b
c
d
f
g
i
j
Gambar 2.20 Daerah yang diarsir menyatakan A B.Contoh 18.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { a, c, e, f} maka A B = {b, d,}.
a
S
A
B
c
a
e
f
b
d
Gambar 2.21 Daerah yang diarsir menyatakan A B.Contoh 19.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { a, c, e, f, b, d} maka didapatkan A B = . Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.
Buku Ajar 30
S
A = B
a
e
b
c
d
f
Gambar 2.22Tidak ada daerah yang diarsir, karena A B = .
6. Produk Cartesius
Sebelum membahas produk cartesius, marilah terlebih dahulu kita pahami tentang pasangan berurut. Pasangan berurutan berisi dua objek dengan urutan tetap. Notasi pasangan terurut adalah (a, b). Dua pasangan terurut dikatakan sama jika memenuhi persyaratan berikut. ( a,b) = (c,d) jika dan hanya jika (a = c) dan (b = d).
Misalkan A dan B dua buah himpunan. Produk cartesius (perkalian himpunan) A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas semua pasangan terurut (a, b) dengan a A dan b B. Secara formal produk cartesius dari A dan B dapat dituliskan sebagai berikut :
A B = { (a, b) | a A dan b B }
Arti dari pasangan terurut adalah pasangan itu tidak sama jika ia diurutkan tempatnya. Unsur pertama dari pasangan terurut itu adalah anggota dari himpunan pertama, sedangkan unsur keduanya adalah anggota himpunan kedua.
Contoh 20.
Misalkan A = {x, y, z} dan B = {1, 2}, diperoleh : A x B = {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1), (z, 2)} B x A = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)} Berdasarkan contoh di atas, jika anda cermati, ternyata A x B ≠ B x A, hal ini dikarenakan (a, b) ≠ (b, a).
Buku Ajar 31
5.7 Sifat-sifar Operasi pada himpunan
1. Sifat 1Misalkan A = {a, b, c, d, e} dan B = {a, c, e, f}, apakah hasil dari A B dan B A? Tentunya kita dapatkan bahawa A B ={a, b, c, d, e, f}dan B A = {a, c, e, f, b, d}.
Berdasarkan hasil operasi yang diperoleh, sekarang anda perhatikan apakah {a, b, c, d, e, f}={a,c,e,f, b, d}? Jelas, ternyata bahwa {a, b, c, d, e, f}= {a, c, e, f, b, d}. Keterangan ini menuntun kepada kebenaran umum bahwa A B = A B. Juga bisa diperlihatkan bahwa A B = B A. Sifat-sifat ini secara umum mengarahkan kepada sifat komutatif. Ilustrasinya dapat dilihat pada gambar berikut.
A B B A
A B B A
Secara formal sifat komutatif untuk dua himpunan bisa dituliskan sebagai berikut. Untuk setiap himpuanan A dan B berlaku :
Buku Ajar 32
1. A B = A B (sifat komutatif pada gabungan) 2. A B = B A (sifat komutatif pada irisan)
Sifat komutatif ini pun berlaku juga untuk lebih dari dua himpunan. Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, anda bisa perhatikan bahwa :
(A B) C = A (B C). Silahkan anda coba buat ilustrasi dia-gram venn untuk mempermudah memahami sifat komutatif untuk tiga buah himpunan.
2. Sifat 2
Untuk setiap A, B, dan C berlaku : 1. A (B C) = (A B) C
(sifat assosiatif pada gabungan) 2. A (B C) = (A B) C
(sifat assosiatif pada irisan)
3. Sifat 3
Untuk setiap A, B, dan C berlaku :
1. A (B C) = (A B) (A C) (gabungan distributif terhadap irisan) 2. A (B C) = (A B) (A C)
(irisan distributif terhadap gabungan) Berikut adalah sifat-sifat operasi pada himpunan :
1. Sifat identitas A = A Dualnya A S = A 2. Sifat dominasi A = Dualnya A S = S 3. Sifat komplemen
A A’ = S Dualnya A A’ =
4. Sifat idempoten A A = A
Dualnya A A = A
Buku Ajar 33 5. Sifat penyerapan A (A B) = A Dualnya A (A B) = A 6. Sifat komutatif A B = B A Dualnya A B = B A 7. Sifat assosiatif A (B C) = (A B) C Dualnya A (B C) = (A B) C 8. Sifat distributif A (B C) = = (A B) (A C) Dualnya A (B C) = = (A B) (A C) 9. Sifat De-Morgan
(A B)’ = A’ B’ Dualnya (A B)’ = A’ B’ 10.Sifat komplemen ke-2
’ = S
Dualnya S’ =
Sifat-sifat operasi himpunan dalam pemakaian 1. n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)
2. n(A B) = n(S) – n[(A B)’]
3. n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) + – n(A C) – n(B C)+ n(A B C) 4. n(A B C) = n(S) n[(A B C)’]
Contoh 21.
Dari 100 orang mahasiswa, 40 mahasiswa mengikuti kuliah Bahasa Inggris, 25 mahasiswa mengikuti kuliah Bahasa Inggris dan Matematika Dasar, dan setiap mahasiswa mengikuti kuliah Bahasa Inggris atau Matematika Dasar. Berapa banyak mahasiswa yang mengikuti kuliah Matematika Dasar?
Jawab :
Misalkan A menyatakan mahasiswa yang mengikuti kuliah Bahasa Inggris, dan B menyatakan mahasiswa yang kuliah Matematika Dasar, maka didapatkan :
Buku Ajar 34
n(A) = 40 n(A∩B) = 25 n(A B) = 100
Gunakan sifat operasi himpunan sebagai berikut.
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)
100 = 40 + n(B) – 25
n(B) = 85
Jadi mahasiswa yang mengikuti kuliah Matematika Dasar adalah sebanyak 85 orang.
6.
Latihan
1. Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 3}, dan B = {2, 3, 4}. Gunakan metode tabulasi untuk menyelesaikan pertanyaan berikut : a. A B b. (A B)’ c. A’ d. B’ e. A’ B’ f. A’ B’ g. Apakah (A B)’ = A’ B’ ? h. Apakah (A B)’ = A’ B’ ?
2. Misalkan himpunan semesta S = {a, b, c, d, e, f}, A = {a, b, c}, B = {a, c, e}, dan C = {c, d, e, f}. Dengan menggunakan metode tabulasi, tunjukan bahwa :
a. A B = B A
b. A (B C) = (A B) (A C) c. A (B C) = (A B) (A C) d. (A B)’ = A’ B’
e. (A B)’ = A’ B’
3. Dengan menggunakan diagram venn, tunjukkan bahwa : a. A (B C) = (A B) (A C)
b. A (B C) = (A B) (A C)
4. Gunakan sifat-sifat operasi himpunan atau diagram venn, untuk menunjukan bahwa :
Buku Ajar 35
a. A’ B = B A’
b. A’ (B C) = (A’ B) C
c. A (B’ C) = (A B’) (A C)
5. Dengan menggunakan sifat-sifat operasi himpunan atau diagram venn, sederhanakanlah operasi berikut ini : a. (A B) B’ b. (A B) A’ c. (A S) A’ d. (A S) A’ e. (A S) A’ f. (A )’ A’ g. (A B) (A’ B) h. [A (B’ C’)] [A (B C)]
6. Jika A dan B adalah dua himpunan yang merupakan himpuanan bagian dari himpunan semesta S dan A’ menunjukan komplemen dari A. Tentukan bentuk sederhana dari [A’ (A B)] (A B)
7. Gunakan diagram venn, untuk menunjukkan bahwa : a. (A B)’ = A’ B’
b. (A B)’ = A’ B’
8. Diberikan himpunan-himpunan sebagai berikut : A = {2, 3, 7, 8, 9, 11, 12, 15}
B = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 11} C = {2, 6, 8, 9, 10, 11, 12}
S = Himpunan Semesta = {x x 17 , x bilangan Asli}
a. Gambarkan sebuah Diagram Venn untuk himpunan-himpunan di atas dalam satu gambar. b. Tentukanlah : ( (A – B) (C B) ) (A - C) c. Tentukanlah : ( A C ) ( B – C )’
9. Dari 100 orang mahasiswa, 60 mahasiswa mengikuti kuliah Bahasa Inggris, 50 mahasiswa mengikuti kuliah Metode Statistika 1, 30 mahasiswa mengikuti kuliah Matematika Dasar, 30 mahasiswa mengikuti kuliah Bahasa Inggris dan Metode Statistika 1, 16 mahasiswa
Buku Ajar 36
mengikuti kuliah Bahasa Inggris dan Matematika Dasar, 10 mahasiswa mengikuti kuliah Metode Statistika 1 dan Matematika Dasar, dan 6 mahasiswa mengikuti kuliah ketiga-tiganya. Berapa banyak mahasiswa yang mengi-kuti kuliah Bahsa Inggris, atau Metode Statistika 1, atau Matematika Dasar?
10. Manakah dari himpunan berikut ini, yang merupakan himpunan kosong? Jelaskan!
c. {x |x nama huruf sebelum a di dalam alfabetl} d. {x |x 2 = 9 dan 2x = 4}
e. {x |x ≠ x} f. {x |x + 6 = 6}
11. Periksa, apakah himpunan-himpunan berikut merupakan himpunan terhingga., himpunan tak hingga, himpunan terbilang, himpunan tak terbilang, himpunan terbatas, himpunan tak terbatas. Jelaskan jawaban anda.
a. Himpunan nama-nama hari dalam seminggu b. {1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 500}
c. Himpunan semua orang yang hidup di kota Bandung
d. {x |x bilangan ganjil} e. {1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
12. Periksa, apakah pernyataan-pernyataan berikut ini benar atau salah. Berikan alasannya.
a. Setiap himpunan S, S S b. Setiap himpunan S, S S c. Setiap himpunan S, S d. e. 13. Misalkan A = {1, 2, 3}, B = {0, 1, 2}, C = {3, 1, 2}, D = {a, b, c},
E = {1, 2}, F = {0, 1, 2, 3}, dan G = {bilangan cacah antara 0 dan 4}.
Buku Ajar 37
a. Himpunan manakah yang sama dengan A ? b. Himpunan manakah yang ekivalen dengan A ? c. Jika H dan I adalah himpunan, sedemikian sehingga
berlaku H = I, apakah H ~ I ? Jelaskan!
d. Jika J dan K adalah himpunan, sedemikian sehingga berlaku J ~ K, apakah J = K ? Jelaskan!
14. Misalkan A = {2, {4,5}, 4}. Manakah pernyataan yang salah? Jelaskan!
a. {4, 5} A b. {4, 5} A c. {{4, 5}} A
7.
Daftar Pustaka
1. Bush, G. A. (1973). Foundations of Mathematics with Application to the Social and Management Sciences. San Francisco: McGraw-Hill Book Company.
2. Devine, D. F. and Kaufmann J. E. (1983). Elementary Mathematics for Teachers. Canada: John Wiley & Sons. 3. Suherman, E. (1991). Perkenalan dengan Teori Himpunan.
Bandung: Wijayakusumah 157.
4. Lipschutz, S. (1981). Set Theory and Related Topics. Singapore: McGraw-Hill International Book Company. 5. Lipschutz, S., Hall, G. G., dan Margha. (1988).
Matematika Hingga. Jakarta: Erlangga.
6. Ruseffendi, E. T. (1989). Dasar-dasar Matematika Modern dan Komputer untuk Guru. Bandung: Tarsito.
7. Wheeler, R. E. (1984). Modern Mathematics : An Elementary Approach. California: Wadsworth, Inc.
