SENSITIVITAS UKURAN AMATAN
MODEL AUTOREGRESI FUZZY
SUCI ANGGRAYANI
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Sensitivitas Ukuran Amatan Model Autoregresi Fuzzy adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2014
Suci Anggrayani
ABSTRAK
SUCI ANGGRAYANI. Sensitivitas Ukuran Amatan Model Autoregresi Fuzzy. Dibimbing oleh ITASIA DINA SULVIANTI dan YENNI ANGRAINI.
Metode pemodelan yang umum digunakan dalam analisis deret waktu adalah Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). Metode ARIMA lebih efektif diterapkan pada data dengan ukuran amatan besar, sekurang-kurangnya 50. Tseng pada tahun 2001 memperkenalkan metode ARIMA Fuzzy untuk melakukan pemodelan data deret waktu dengan ukuran amatan terbatas. ARIMA fuzzy menggabungkan keunggulan penelitian sebelumnya, yakni logika fuzzy, ARIMA dan regresi fuzzy. Merujuk pada penelitian Tseng, penelitian ini akan menelusuri selang ukuran deret waktu yang optimal apabila dilakukan pemodelan autoregresi fuzzy pada kondisi tertentu. Hasil penelitian menunjukkan bahwa model ARIMA fuzzy pada kondisi data deret waktu AR(2) dengan µ=50 dan dugaan parameter 1=0.600 dan 2=0.300 lebih sensitif ketika ukuran amatan kurang dari 20.
Kata kunci: ARIMA Fuzzy, Logika Fuzzy, Regresi Fuzzy
ABSTRACT
SUCI ANGGRAYANI. The Sensitivity of Observation Size for Fuzzy Autoregression Model. Advised by ITASIA DINA SULVIANTI and YENNI ANGRAINI.
The conventional time series modelling method is Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). ARIMA method is more effective if it is applied in long time periode of observations that at least 50 observations. Tseng on 2001, introduced Fuzzy ARIMA method to deal time series modelling on short time periode of observations. Fuzzy ARIMA combines the advantages of fuzzy logic, ARIMA and fuzzy regression. Considering Tseng’s study the aim of this study is tracing the optimal observation range size when fuzzy ARIMA method is applied at the curent condition. The result of this study indicated that fuzzy ARIMA when the condition of time series data AR(2) with µ=50 and parameter estimation 1=0.600 and 2=0.300 was more sensitive when the observation size less than 20.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika
pada
Departemen Statistika
SENSITIVITAS UKURAN AMATAN
MODEL AUTOREGRESI FUZZY
SUCI ANGGRAYANI
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2014
Judul Skripsi : Sensitivitas Ukuran Amatan Model Autoregresi Fuzzy Nama : Suci Anggrayani
NIM : G14090019
Disetujui oleh
Dra Itasia Dina Sulvianti, MSi Pembimbing I
Yenni Angraini, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Ir Hari Wijayanto, MSi Ketua Departemen
PRAKATA
Tiada kata yang pantas diucapkan selain puja dan puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan karunia yang luar biasa kepada penulis. Shalawat beserta salam semoga selalu tercurahlimpahkan kepada baginda Rasulullah SAW beserta keluarga, sahabat dan pengikutnya.
Merupakan kebahagiaan yang tidak terkira akhirnya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini sebagai salah satu syarat kelulusan studi di Departemen Statistika FMIPA IPB. Walaupun tidak dapat dituliskan satu persatu, namun penulis menghaturkan banyak terima kasih kepada:
1. Ibu Dra Itasia Dina Sulvianti, MSi beserta Ibu Yenni Angraini, MSi selaku komisi pembimbing yang dengan penuh kesabaran membimbing serta memberikan saran dan dorongan kepada penulis untuk menyelesaikan tugas akhir ini.
2. Ibu Dian Kusumaningrum, MSi selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan dan arahan.
3. Abah, Mama, Yuga Nugraha dan Moch. Irsyad Gunawan yang tak bosan-bosannya memberikan doa dan dukungan agar dapat secepatnya menyelesaikan tugas akhir ini.
4. Rekan-rekan Statistika 2009 atas kebersamaan dalam suka maupun duka. Akhir kata, semoga tugas akhir ini bermanfaat sehingga menjadi suatu amalan yang tidak terputus bagi penulis dan semua pihak yang telah turut membantu. Aamiin.
Bogor, Januari 2014
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL viii
DAFTAR GAMBAR viii
DAFTAR LAMPIRAN viii
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Penelitian 1
TINJAUAN PUSTAKA 2
Konsep Himpunan Fuzzy 2
Regresi Fuzzy 3
ARIMA Fuzzy 4
METODOLOGI 5
Bahan 5
Metode 5
HASIL DAN PEMBAHASAN 6
Pemeriksaan Program 6
Autoregresi Fuzzy 10
Simulasi Sensitivitas Ukuran Amatan Optimum 13
SIMPULAN DAN SARAN 16
Simpulan 16
Saran 16
DAFTAR PUSTAKA 16
DAFTAR TABEL
1 Ilustrasi data deret waktu hasil bangkitan 7
2 Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(1) untuk data ilustrasi 9 3 Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(2) untuk data ilustrasi 9 4 Deskripsi nilai dugaan parameter model AR untuk berbagai ukuran
amatan 10
5 Hasil keluaran fungsi peminimuman model autoregresi fuzzy 11 6 Ukuran kebaikan model RMSE untuk data ilustrasi 13
DAFTAR GAMBAR
1 Fungsi keanggotaan segitiga 3
2 Plot data bangkitan terhadap deret waktu (a) t=10; (b) t=45 7 3 Plot ACF data bangkitan (a) t=10; (b) t=45 8 4 Plot PACF data bangkitan (a) t=10; (b) t=45 8 5 Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t=10 12 6 Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t=45 12
7 Plot Rataan RMSE prediksi model AR dan ARF 14
8 Plot peluang nilai RMSE model ARF<AR 14
9 Plot rataan RMSE ramalan model AR dan ARF 15
10 Plot peluang nilai RMSE prediksi model ARF<AR 15
DAFTAR LAMPIRAN
1 Keluaran fungsi peminimuman model autoregresi fuzzy 17
2 Nilai RMSE prediksi 25
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Model ARIMA yang diperkenalkan oleh Box dan Jenkins pada tahun 1976 telah banyak diterapkan dalam kegiatan peramalan. Model ARIMA memiliki asumsi bahwa nilai di masa yang akan datang memiliki hubungan fungsional dengan nilai di masa sekarang dan nilai di masa lampau serta galat bersifat white noise, yang berarti bahwa galat bersifat bebas dengan rataan dan ragam konstan (Wei 1989). Keunggulan model ARIMA adalah memiliki akurasi peramalan yang baik untuk periode waktu pendek, akan tetapi model ARIMA juga memiliki keterbatasan yakni dalam hal ukuran amatan. Tidak ada aturan yang mengikat terkait ukuran amatan minimum yang diperlukan dalam pemodelan ARIMA. Beberapa penulis mengatakan ukuran amatan minimal adalah 30, beberapa mengatakan 50 dan yang lainnya mengatakan 60 (Yaffee 1999). Tseng et al. pada tahun 2001 mengatakan setidaknya ukuran amatan yang dibutuhkan adalah 50 dan akan lebih baik apabila di atas 100. Model ARIMA menggunakan konsep
measurement error atau kesalahan pengukuran yang diperoleh dari perbedaan antara data prediksi dengan data aktual. Kenyataannya, data aktual yang diperoleh merupakan nilai yang tepat dan tidak termasuk dalam kesalahan pengukuran (Tseng et al. 2001).
Model regresi fuzzy dikembangkan oleh Tanaka dan Watada (Tseng et al. 2001). Model ini digunakan untuk menangani masalah regresi untuk jumlah amatan yang terbatas. Konsep dasar dari model ini adalah penyimpangan antara data aktual dan nilai prediksi diasumsikan sebagai akibat dari ketidakjelasan sistem atau kekaburan dari dugaan parameter regresi, bukan kesalahan pengukuran. Hasil prediksi dari model regresi fuzzy adalah berupa selang. Kelemahan dari model ini adalah apabila terdapat pencilan maka dugaan yang berupa selang tersebut akan semakin lebar.
Model ARIMA dapat diterapkan pada data dengan ukuran amatan terbatas dengan upaya menggabungkanya dengan konsep regresi fuzzy. Konsep ini dikenal dengan ARIMA fuzzy yang dicetuskan oleh Tseng et al. pada tahun 2001. Model ARIMA fuzzy digunakan Tseng et al. untuk melakukan peramalan kurs mata uang Dollar Taiwan terhadap Dollar Amerika. Hasil penelitian tersebut menyatakan bahwa ARIMA fuzzy dengan model spesifik autoregresi fuzzy (ARF), terbukti memiliki hasil prediksi yang lebih baik daripada model autoregresi (AR) untuk data dengan ukuran amatan terbatas. Melalui perbandingan kebaikan model antara model AR dan ARF, maka akan diperoleh ukuran amatan maksimum apabila dilakukan pemodelan ARF. Ukuran amatan tersebut dapat pula diartikan sebagai ukuran amatan minimum yang masih baik apabila dilakukan pemodelan AR untuk kondisi data tertentu.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan batasan ukuran pengamatan yang mulai sensitif apabila dilakukan pemodelan data deret waktu dengan metode autoregresi fuzzy.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Konsep Himpunan Fuzzy
Konsep himpunan fuzzy atau himpunan kabur diperkenalkan oleh Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965. Konsep ini merupakan tahap pengembangan dari konsep bilangan crisp atau tegas. Himpunan tegas hanya dapat merepresentasikan pengertian benar atau salah, sedangkan himpunan fuzzy mampu merepresentasikan pengertian nilai antara benar dan salah. Ilustrasinya adalah jika terdapat peubah suhu ruangan maka himpunan tegas hanya dapat menjelaskan panas atau dingin, sedangkan himpunan fuzzy dapat menjelaskan panas, sedang dan dingin. Konsep fuzzy sering digunakan untuk mengekspresikan suatu nilai yang diterjemahkan ke dalam bahasa atau linguistik.
Jika X merupakan suatu himpunan dengan angota-anggotanya dilambangkan dengan x, nilai keanggotaan x dalam suatu himpunan A yang diperoleh dari fungsi
didefinisikan dengan:
Nilai keanggotaan bilangan tegas merupakan bilangan diskret yang hanya memiliki dua kemungkinan, yakni yang berarti benar atau x merupakan anggota dari himpunan A serta yang berarti salah atau x tidak menjadi anggota himpunan A. Nilai keanggotaan bilangan fuzzy merupakan bilangan kontinu antara 0 hingga 1 yang berarti suatu nilai dapat tergabung dalam benar dan salah secara bersamaan. Nilai dari himpunan fuzzy tersebut ditentukan oleh fungsi keanggotaan.
Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu fungsi yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaan bilangan fuzzy. Terdapat beberapa fungsi yang dapat digunakan melalui pendekatan fungsi untuk mendapatkan nilai keanggotaan seperti linier, triangular, trapezoidal, Gaussian, dan Generalized Bell (Kusumadewi 2010). Fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy yang digunakan pada penelitian ini adalah fungsi keanggotaan segitiga dengan persamaan fungsi keanggotaan sebagai berikut:
{
ainnya
dengan A(xi) merupakan nilai keanggotaan nilai non-fuzzy xi pada himpunan fuzzy A, i merupakan nilai tengah bilangan fuzzy dan ci merupakan sebaran dari bilangan fuzzy. Grafik keanggotaan segitiga dapat dilihat pada Gambar 1.
3
Gambar 1 Fungsi keanggotaan segitiga Regresi Fuzzy
Regresi fuzzy dikembangkan oleh Tanaka pada tahun 1982. Regresi fuzzy digunakan untuk menangani masalah regresi dengan jumlah ukuran amatan terbatas. Konsep dasar dari regresi fuzzy adalah bahwa penyimpangan antara nilai penduga dengan nilai aktual tidak diperoleh dari kesalahan nilai pengukuran
(measurement error), akan tetapi diperoleh dari ketidakjelasan sistem atau kekaburan dari koefisien regresi. Hal ini menandakan bahwa nilai residual diakibatkan oleh ketidakpastian parameter dalam model. Model umum regresi fuzzy adalah sebagai berikut:
̃ ̃ ̃ ̃ ̃
dengan ̃ adalah nilai respon fuzzy, Xi adalah peubah bebas, ̃ untuk i=0,1,2,...n adalah koefisien regresi fuzzy peubah bebas ke-i (Saphiro 2005). Koefisien fuzzy merupakan suatu fungsi yang memiliki dua parameter yakni yang merupakan nilai tengah (middle value) dan c yang merupakan sebaran (spread). Koefisien fuzzy ̃ dapat ditulis dalam bentuk ̃ 〈 〉 sehingga persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
̃ 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉
Koefisien fuzzy diperoleh melalui penyelesaian permasalahan program linier dengan cara meminimumkan tingkat kekaburan S (vagueness) yang didefinisikan sebagai penjumlahan dari penyebaran masing-masing parameter fuzzy dalam model. Nilai objektif dari model regresi pada data non-fuzzy digunakan untuk memperoleh parameter ̃ sehingga setiap observasi yang mengandung nilai yj didekatkan dengan nilai keanggotaan yang lebih besar dari h, dengan sesuai dengan persamaan berikut:
untu
dengan h menunjukkan tingkat kekaburan dari parameter fuzzy yang ada dalam model dan ditentukan secara subjektif dengan nilai antara 0 hingga 1. Indeks
4
j=0,1,2,...k menunjukkan ukuran amatan yang digunakan untuk membangun model regresi fuzzy, sedangkan untuk menentukan parameter dari regresi fuzzy telah dirumuskan oleh Tanaka (dalam Tseng et al. 2001) dengan mengkonversi persamaan tersebut ke dalam permasalahan pemrograman linier berikut:
minimumkan : ∑
kendala : ∑ ( - ) ∑
∑ -( - ) ∑
ARIMA Fuzzy
Peramalan dengan menggunakan model ARIMA memiliki keuntungan berupa keakuratan ramalan untuk jangka waktu yang cukup singkat, namun memiliki keterbatasan dalam hal ketersediaan data. Jumlah amatan minimal yang digunakan adalah 50 dan akan lebih baik lagi apabila jumlah amatan yang digunakan lebih dari 100 (Tseng et al. 2001). Regresi fuzzy digunakan untuk menangani masalah regresi dengan jumlah amatan terbatas.
Penggabungan keuntungan antara model ARIMA dan model regresi fuzzy untuk membangun model ARIMA fuzzy diharapkan mampu memodelkan data deret waktu dengan jumlah amatan terbatas sehingga diperoleh hasil peramalan yang lebih baik. Mengadaptasi dari metode yang dikembangkan oleh Ishibuchi dan Tanaka (dalam Tseng et al. 2001) maka formulasi model ARIMA fuzzy adalah sebagai berikut:
̃ ̃
Jika ( - ) serta terdapat konstanta , maka persamaan di atas dapat diuraikan menjadi:
̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃
dengan Yt adalah observasi ke-t, ̃ ̃ dan ̃ ̃ ̃ merupakan koefisien fuzzy. Persamaan di atas dimodifikasi menjadi:
̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃
atau
̃ 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉
Sama halnya dengan regresi fuzzy, nilai dugaan parameter diperoleh dengan peminimuman nilai kekaburan (S) melalui solusi permasalahan pemrograman linier. Perbedaan formulasi antara regresi fuzzy dengan ARIMA fuzzy terletak pada fungsi objektif. Fungsi objektif ARIMA fuzzy dilakukan pembobotan nilai PACF untuk model AR dan nilai ACF untuk model MA yang nyata pada setiap lagnya. Nilai dugaan parameter fuzzy dapat diperoleh melalui persamaan berikut:
5 Minimumkan: ∑ ∑ | || - | ∑ ∑ | - | | - | Kendala: ∑ - - ∑ - ( - ) (∑ | - | ∑ | - |) ∑ - -∑ - -( - ) (∑ | - | ∑ | - |)
untu se ua (Tseng et al. 2001).
METODOLOGI
Bahan
Data yang digunakan dalam penelitian ini diperoleh dari hasil pembangkitan data deret waktu dengan model AR(2) t dan =50, dengan parameter bangkitan ϕ1=0.600 dan ϕ2=0.300 Ukuran amatan yang digunakan dalam pemodelan dibagi ke dalam delapan kategori dengan masing-masing kategori berukuran 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, dan 45. Ukuran amatan yang digunakan dalam validasi atau peramalan untuk setiap ketegori adalah 5 periode. Nilai keanggotaan fuzzy (h) yang digunakan adalah h=0.
Metode
Penelitian ini dilakukan melalui proses simulasi. Data dibangkitkan dengan bantuan piranti lunak R 3.0.1. Tahapan-tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini terangkum dalam algoritma berikut:
1. Membangkitkan data model AR(2) untuk t=10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, dan 45 dengan parameter bangkitan ϕ . dan ϕ . yang diulang sebanyak 30 kali.
2. Memeriksa data bangkitan AR melalui tahapan analisis ARIMA Box-Jenkins. Model AR (p) adalah sebagai berikut:
ϕ ϕ ϕ
dengan t adalah banyaknya periode atau ukuran amatan data deret waktu, Yt adalah data deret waktu pada periode ke-t, ϕi untuk i=1,2,...,p adalah parameter autoregresi orde pertama hingga ke-p, adalah konstanta yang diperoleh dari -∑ ϕ serta et adalah galat pada periode ke-t.
Tahapan analisis ARIMA adalah sebagai berikut:
a. Melakukan eksplorasi data untuk mengetahui pola data dan kestasioneran secara visual data deret waktu.
b. Mengidentifikasi model melalui plot fungsi autokorelasi (ACF) dan autokorelasi parsial (PACF) guna menentukan model-model tentatif.
6
c. Menduga parameter dengan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) atau MLE. Metode ini dilakukan dengan cara memaksimumkan fungsi kemungkinan berdasarkan fungsi sebaran galat ( ).
d. Mendiagnosa model.
e. Melakukan overfitting, yakni memeriksa model terdekat yang memiliki galat lebih minimum.
f. Melakukan peramalan (Wei 2005).
3. Menentukan model autoregresi fuzzy (ARF) yang meliputi tahapan berikut ini. a. Melakukan fuzzifikasi dugaan parameter yang diperoleh dari model AR ke
dalam fungsi keanggotaan segitiga.
Persamaan AR(p) fuzzy adalah sebagai berikut:
̃ ̃ ̃ ̃ ̃p
atau
̃ 〈 〉 〈 〉 〈 〉
b. Menduga parameter dan dari solusi dari pemrograman linier peminimuman nilai kekaburan (S).
∑ ∑ | || - |
dengan kendala: ∑ | - | ( - )(∑ | - |) , ∑ | - | - ( - )(∑ | - |)
4. Melakukan peramalan.
5. Membandingkan kedua metode berdasarkan ukuran kebaikan model RMSE prediksi dan ramalan.
6. Melakukan tahapan 1-5 untuk ukuran amatan data deret waktu berbeda. 7. Menentukan ukuran amatan ketika model ARF lebih baik dari model AR.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemeriksaan Program
Pemeriksaan program dilakukan untuk mengetahui program yang dibuat telah berjalan dengan baik serta memberikan hasil yang tepat. Tahapan program yang dibuat adalah sebagai berikut.
Program Pembangkitan Data
Program pembangkitan data yang baik akan menghasilkan keluaran sesuai dengan kondisi yang diinginkan. Hal ini perlu dilakukan karena akan berpengaruh
7 terhadap pembuktian metode yang diuji yang nantinya akan berpengaruh pula terhadap kesimpulan yang diperoleh. Ilustrasi dilakukan dengan mengambil masing-masing satu set data deret waktu hasil bangkitan dengan perintah arima.sim untuk ukuran amatan 10 dan 45 yang terangkum dalam Tabel 1.
Tabel 1 Ilustrasi data deret waktu hasil bangkitan
t Yt t Yt t Yt t Yt t Yt t=10 1 52.273 3 51.517 5 50.403 7 50.263 9 49.724 2 52.147 4 51.543 6 50.815 8 50.799 10 49.669 t=45 1 45.529 10 50.786 19 47.713 28 51.525 37 42.221 2 48.663 11 50.341 20 48.070 29 51.536 38 44.009 3 46.750 12 49.909 21 49.055 30 52.110 39 43.876 4 48.443 13 50.052 22 48.080 31 48.875 40 45.720 5 48.068 14 50.795 23 47.815 32 50.394 41 44.265 6 48.895 15 47.857 24 49.731 33 48.642 42 44.650 7 47.630 16 48.353 25 50.009 34 46.693 43 44.490 8 49.894 17 48.621 26 51.108 35 45.445 44 44.084 9 51.092 18 48.533 27 50.738 36 44.906 45 44.852
Program pendugaan parameter AR
Tahapan berikutnya yakni memeriksa kesesuaian nilai dugaan parameter data deret waktu yang dibangkitkan dengan parameter yang diharapkan. Tahapan ini dilakukan dengan mengidentifikasi model melalui plot data terhadap waktu serta korelogram (plot ACF dan PACF), menduga parameter dan mendiagnosa model.
Plot data terhadap waktu digunakan untuk melihat kestasioneran data baik dalam rataan maupun ragam. Berdasarkan Gambar 2, plot data terlihat memiliki pola naik, seolah data tidak stasioner terhadap rataan maupun ragam. Hal ini dikarenakan ukuran amatan yang digunakan dalam pemodelan terbatas sehingga berpengaruh pada skala grafik sehingga kerenggangan antar amatan terlihat jelas akan tetapi, jika ukuran amatan besar plot data akan terlihat lebih stasioner.
8
Plot ACF pada Gambar 3 memperlihatkan bahwa nilai autokorelasi untuk kedua ukuran amatan turun secara perlahan. Plot PACF pada Gambar 4 memperlihatkan bahwa nilai autokorelasi parsial nyata pada lag pertama lebih signifikan daripada lag lainnya untuk kedua ukuran amatan. Hal tersebut mengindikasikan bahwa model dugaan deret waktu untuk kedua ukuran amatan adalah AR(1). Berdasarkan plot ACF dan PACF, tidak diperoleh model dugaan yang sesuai dengan model bangkitan AR(2). Hal ini dikarenakan ukuran amatan data deret waktu kecil yang berakibat pada nilai galat baku autokorelasi (Srk) menjadi besar. Nilai ⁄√ digunakan untuk pengujian hipotesis nilai autokorelasi dan autokorelasi parsial. Hipotesis untuk pengujian korelasi adalah sebagai berikut:
H0: H1: H0 ditolak jika |rk|>Srk atau |rk|>2/√ . (Cryer,2008)
Gambar 3 Plot ACF data bangkitan (a) t=10; (b) t=45
9 Setelah diperoleh model dugaan awal, tahap berikutnya adalah menduga parameter AR(1). Berdasarkan Tabel 2, diperoleh ϕ̂ . untuk model dengan ukuran amatan 10 sedangkan untuk ukuran amatan 45 diperoleh nilai ϕ̂ . . Untuk mengetahui keberadaan model lain yang lebih baik dari model dugaan awal maka tahapan berikutnya adalah melakukan overfitting, yakni menduga model terdekat yang lebih baik dari model dugaan awal. Model terdekat dari model AR(1) adalah AR(2). Hasil dugaan model AR(2) untuk kedua ukuran amatan terangkum dalam Tabel 3. Berdasarkan Tabel 3 diperoleh nilai ϕ̂ . dan ϕ̂ . untuk ukuran amatan 10 sedangkan untuk ukuran amatan 45 diperoleh nilai ϕ̂ . dan ϕ̂ .305. Keragaman model AR(2) lebih kecil dari model
AR(1). Hal ini mengindikasikan bahwa model AR(2) lebih baik dari AR(1). Selain itu nilai dugaan parameter AR(2) lebih mendekati nilai parameter data bangkitan.
Tabel 2 Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(1) untuk data ilustrasi
t Nilai
dugaan Koefisien Galat baku s
2 Log likelihood AIC 10 AR1 0.792 0.211 0.377 -9.810 25.620 Konstanta 50.940 0.703 45 AR1 0.821 0.097 0.908 -62.230 130.460 Konstanta 51.175 0.768
Tabel 3 Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(2) untuk data ilustrasi
t Nilai
dugaan Koefisien Galat baku s
2 Log likelihood AIC 10 AR1 0.583 0.282 0.332 -9.388 26.760 AR2 0.307 0.308 Konstanta 50.948 0.927 45 AR1 0.597 0.144 0.829 -60.380 128.760 AR2 0.305 0.152 Konstanta 50.734 1.242
Berdasarkan hasil pemeriksaan pada kedua set data tersebut, maka model yang sesuai adalah model AR(2) dengan dugaan parameter mendekati parameter bangkitan yakni 1=0.600 dan 2=0.300. Deskripsi nilai dugaan parameter model AR untuk setiap ukuran amatan dapat dilihat pada Tabel 4. Berdasarkan hasil yang diperoleh, rataan dugaan parameter 1 berada di sekitar nilai 0.600 dengan simpangan baku maksimum sebesar 0.012, sedangkan untuk nilai rataan dugaan parameter 2 berada di sekitar nilai 0.300 dengan simpangan baku maksimum
10
0.024. Hal tersebut mengindikasikan bahwa program pembangkitan yang telah dibuat sudah berjalan dengan baik dan memenuhi kriteria yang diinginkan.
Tabel 4 Deskripsi nilai dugaan parameter model AR untuk berbagai ukuran amatan
Ukuran
amatan Parameter Rataan
Simpangan baku Nilai minimum Nilai maksimum 10 ϕ1 0.595 0.012 0.582 0.619 ϕ2 0.294 0.010 0.281 0.315 15 ϕ1 0.601 0.007 0.592 0.610 ϕ2 0.298 0.006 0.291 0.309 20 ϕ1 0.600 0.006 0.592 0.610 ϕ2 0.302 0.006 0.291 0.310 25 ϕ1 0.510 0.006 0.590 0.609 ϕ2 0.299 0.005 0.290 0.309 30 ϕ1 0.603 0.009 0.586 0.619 ϕ2 0.295 0.024 0.180 0.319 35 ϕ1 0.597 0.012 0.581 0.619 ϕ2 0.297 0.011 0.283 0.319 40 ϕ1 0.602 0.007 0.592 0.618 ϕ2 0.298 0.008 0.282 0.310 45 ϕ1 0.599 0.006 0.590 0.610 ϕ2 0.301 0.006 0.292 0.310 Autoregresi Fuzzy
Model autoregresi fuzzy (ARF) merupakan analisis lanjutan dari model Autoregresi Box-Jenkins (AR). Setelah diperoleh nilai dugaan parameter AR, maka selanjutnya dilakukan proses optimasi berupa peminimuman fungsi kekaburan (S). Ilutrasi dilakukan dengan menduga model autoregresi fuzzy pada set data series yang berukuran 10 dan 45 yang diperoleh dari tahapan sebelumnya. Berdasarkan proses pendugaan model Box-Jenkins, maka untuk kedua set data tersebut diperoleh persamaan AR(2) secara berturut-turut sebagai berikut:
. . . . . .
Nilai PACF yang nyata pada kedua lag untuk data ilustrasi dengan ukuran amatan 10 yakni . dan . , sedangkan untuk ukuran amatan 45 diperoleh nilai . dan . . Model AR(p) yang diperoleh merupakan dasar dari penentuan jumlah parameter fuzzy yang akan diduga. Jika diperoleh model AR(2) yang memiliki konstanta, maka jumlah parameter fuzzy yang diduga sebanyak tiga yang masing-masing parameter terdiri dari ci dan i.
11 Tahapan berikutnya adalah menentukan nilai dugaan parameter fuzzy, yaitu
yang berupa mean atau nilai tengah dari Wt serta yang berupa spread atau sebaran dari Wt. Ilustrasi pendugaan parameter model ARF diterapkan pada data dengan ukuran amatan 10. Adapun nilai-nilai yang telah diperoleh pada pendugaan parameter model AR disubstitusikan ke dalam persamaan berikut: Minimunkan : S ∑ - . ∑ - - . ∑ - - . . Kendala: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sebelum memperoleh nilai dan , maka terlebih dahulu menentukan nilai
h (nilai keanggotaan) yang nilainya terletak antara 0 hingga 1 dengan cara trial and error ke dalam fungsi peminimuman. Pemilihan nilai h berpengaruh terhadap lebar selang dugaan. Semakin besar h mengakibatkan semakin lebar selang kepercayaan dugaan (Razak 2012). Proses peminimuman fungsi dilakukan melalui sistem pemrograman linier menggunakan metode simpleks. Hal yang sama juga dilakukan untuk ukuran amatan 45. Hasil keluaran proses tersebut dapat dilihat pada Tabel 5, sedangkan untuk keluaran proses optimasi data secara keseluruhan terlampir pada Lampiran 1.
Tabel 5 Hasil keluaran fungsi peminimuman model autoregresi fuzzy
t Nilai
optimasi 0 1 2 c0 c1 c2
10 0.610 9.875 0.000 0.817 0.000 0.000 0.011 45 27.041 0.000 0.818 0.172 0.000 0.000 0.051
Persamaan model autoregresi fuzzy untuk ukuran data 10 dan 45 berturut-turut adalah sebagai berikut:
12
〈 . . 〉 〈 . . 〉 〈 . . 〉 〈 . . 〉
Berdasarkan persamaan tersebut maka diperoleh model ARF batas bawah yang dihasilkan melalui pengurangan nilai tengah ( i) oleh nilai sebaran (ci)serta model ARF batas atas yang diperoleh dengan penjumlahan i dengan ci. Plot data dugaan yang berupa selang juga dapat dilihat pada Gambar 5 dan Gambar 6.
Gambar 5 Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t=10
Gambar 6 Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t=45
48.0000 48.5000 49.0000 49.5000 50.0000 50.5000 51.0000 51.5000 52.0000 52.5000 53.0000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 D ata Periode Aktual AR FAR
Batas Bawah AR Batas Atas AR Batas Bawah ARF Batas Atas ARF
Ramalan Dugaan 32.0000 37.0000 42.0000 47.0000 52.0000 57.0000 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 D ata Periode Aktual AR ARF
Batas Bawah AR Batas Atas AR Batas Bawah ARF Batas Atas ARF
Ramalan Dugaan
13 Hasil ukuran kebaikan nilai dugaan dan ramalan terangkum dalam Tabel 6. Ukuran kebaikan yang digunakan adalah Root Mean Square Error (RMSE). Nilai RMSE yang kecil mengindikasikan perbedaan nilai dugaan dengan nilai aktual kecil yang artinya semakin kecil nilai RMSE maka model akan semakin baik. Adapun nilai RMSE prediksi untuk model AR dan ARF untuk ukuran amatan 10 berturut-turut adalah 1.046 dan 0.386. Nilai RMSE model ARF lebih kecil dari ARF yang berarti bahwa untuk pendugaan pada ukuran amatan 10 model ARF lebih baik daripada AR. Nilai RMSE prediksi untuk model AR dan ARF untuk ukuran amatan 45 berturut-turut adalah 1.214 dan 1.292. Nilai RMSE model AR lebih kecil daripada ARF yang berarti bahwa untuk kondisi ukuran amatan 45 pada set data tersebut model AR masih lebih baik daripada ARF. Nilai RMSE ramalan model AR dan ARF berturut-turut adalah 0.550 dan 0.574, sedangkan untuk nilai RMSE ramalan model AR dan ARF berturut-turut adalah 1.293 dan 2.311. Nilai RMSE ramalan ARF untuk kedua ukuran amatan di atas lebih kecil daripada nilai RMSE ramalan model AR yang berarti bhwa untuk peramalan lima periode ke depan lebih baik menggunakan model AR.
Tabel 6 Ukuran kebaikan model RMSE untuk data ilustrasi
RMSE AR ARF
t=10 dugaan 1.046 0.386
ramalan 0.550 0.574
t=45 dugaan 1.214 1.292
ramalan 1.293 2.311
Simulasi Sensitivitas Ukuran Amatan Optimum
Simulasi dilakukan dengan membangkitkan data dari setiap kategori ukuran amatan. Selanjutnya dilakukan penyeleksian dari data bangkitan tersebut yang memiliki nilai dugaan parameter mendekati nilai parameter bangkitan dengan jumlah ulangan untuk setiap kategori sejumlah 30. Setiap ulangan tersebut dilakukan pendugaan AR dan ARF sehingga diperoleh ukuran kebaikan model RMSE prediksi dan ramalan lima periode ke depan pada Gambar 7 dan Gambar 8. Nilai RMSE data secara keseluruhan untuk dugaan terlampir pada Lampiran 2 sedangkan untuk peramalan terlampir pada Lampiran 3.
Berdasarkan ukuran kebaikan pendugaan RMSE, semakin kecil nilai RMSE maka semakin baik model tersebut. Plot RMSE pada Gambar 7 menunjukkan bahwa nilai RMSE AR lebih kecil ketika ukuran amatan 20, 25, 30, 35, dan 45. Nilai RMSE model AR lebih kecil dari RMSE model AR ketika ukuran amatan 15 dan 10. Titik potong garis rataan RMSE berada pada ukuran amatan 15 sampai 20. Hal ini menunjukan bahwa metode ARF lebih sensitif yang berarti memberikan hasil dugaan yang lebih baik apabila diterapkan pada data yang memiliki ukuran amatan antara kurang dari 20.
14
Gambar 7 Plot Rataan RMSE prediksi model AR dan ARF
Selain menggunakan rataan RMSE, untuk mengetahui sensitivitas model ARF digunakan juga ukuran perbandingan menggunakan nilai peluang. Peluang yang digunakan adalah peluang nilai RMSE model ARF yang lebih kecil dari model AR. Hasil yang diperoleh terangkum dalam Gambar 8. Berdasarkan Gambar 8 peluang model ARF lebih baik dari AR. Nilai peluang tersebut semakin kecil seiring dengan peningkatan ukuran amatan. Adapun nilai peluang mencapai 50% ketika ukuran amatan kurang dari 20 sehingga pada selang ukuran amatan tersebut dapat dikataan bahwa hasil pendugaan model ARF lebih baik daripada model AR.
Gambar 8 Plot peluang nilai RMSE model ARF<AR
Berdasarkan nilai keakuratan peramalan untuk setiap ukuran amatan, nilai RMSE model AR selalu lebih kecil daripada model ARF. Artinya model AR masih memiliki keakuratan peramalan lebih baik daripada model ARF. Nilai rataan RMSE ramalan AR paling besar berada ketika ukuran amatan 25 serta nilai rataan RMSE ramalan model AR terkecil ketika ukuran amatan 45. Nilai rataan RMSE ramalan model ARF terbesar adalah ketika ukuran amatan 15 dan terkecil ketika berada pada ukuran amatan 40. Merujuk pada Gambar 9, nilai RMSE
0.0060 0.0070 0.0080 0.0090 0.0100 0.0110 0.0120 10 15 20 25 30 35 40 45 Ra ta a n RM SE Ukuran amatan AR ARF 0 20 40 60 80 100 10 15 20 25 30 35 40 45 P elua ng (%) Ukuran amatan
15 ramalan cenderung berfluktuatif yang berarti bahwa tidak diperoleh pola penurunan atau kenaikan nilai RMSE berdasarkan perubahan ukuran amatan.
Gambar 9 Plot rataan RMSE ramalan model AR dan ARF
Sama halnya dengan plot rataan RMSE, plot peluang nilai RMSE ramalan juga tidak membentuk pola dan cenderung berfluktuatif. Nilai peluang RMSE ramalan model ARF kurang dari RMSE ramalan model AR. Nilai peluang terbesar diperoleh ketika ukuran amatan sebesar 25, sedangkan nilai peluang terkecil diperoleh ketika ukuran amatan 15. Nilai peluang yang kurang dari 50% untuk semua ukuran amatan mengindikasikan bahwa untuk peramalan lima periode ke depan model AR masih lebih baik daripada model ARF.
Gambar 10 Plot peluang nilai RMSE prediksi model ARF<AR
1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 10 15 20 25 30 35 40 45 Ra ta a n RM SE Ukuran amatan AR ARF 0.0000 10.0000 20.0000 30.0000 40.0000 50.0000 10 15 20 25 30 35 40 45 P elua ng (%) Ukuran amatan
16
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Hasil penelitian menunjukkan bahwa dugaan model autoregresi fuzzy pada kondisi data deret waktu AR(2) dengan , dugaan parameter mendekati
ϕ . dan ϕ . serta rataan 50 lebih sensitif ketika ukuran amatan kurang dari 20. Proses prediksi dengan menggunakan model autoregresi fuzzy menghasilkan selang yang lebih akurat.
Saran
Saran dari penelitian ini adalah perlu dilakukan penelitian lebih lanjut untuk nilai keanggotaan (h) serta fungsi keanggotaan yang lainnya.
DAFTAR PUSTAKA
Cryer DJ, Chan KS. 2008. Time Series Analysis with Applications in R. New York (US): John Wiley and Sons, Inc.
Kusumadewi S, Purnomo H. 2010. Aplikasi Logika Fuzzy. Yogyakarta (ID): Graha Ilmu.
Razak A. 2012. Metode Autoregressive Fuzzy Time Series untuk Peramalan [tesis]. Surabaya (ID): Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
Saphiro FA. 2005. Fuzzy Regression Models [artikel]. Pennsylvania (US): Penn State University.
Tseng FM, Tzeng GH, Yu HC, Yuan BJ . 2001. Fuzzy ARIMA Model for Forecasting The Foreign Exchange Market. Fuzzy Sets and Systems
[Internet]. [diunduh pada 2013 Mei 13]; 118: 9-19. Tersedia pada:
www.knu.edu.tw.
Wei WS. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods. Philladelphia (US): Pearson Addison Wesley.
Yafee AR, McGee M. 1999. Introduction to Time Series Analysis and Forecasting with Application of SAS and SPSS. New York (US): Academic Press Inc.
17 Lampiran 1 Keluaran fungsi peminimuman model autoregresi fuzzy
a. Ukuran amatan 10 m Nilai minimum 0 1 2 c0 c1 c2 1 0.493 10.363 0.000 0.772 0.000 0.000 0.007 2 0.610 9.875 0.000 0.817 0.000 0.000 0.011 3 0.779 0.000 0.853 0.152 0.000 0.000 0.021 4 0.960 5.175 0.009 0.871 0.000 0.000 0.012 5 1.501 18.141 0.283 0.308 0.000 0.000 0.019 6 0.827 20.766 0.463 0.122 0.000 0.000 0.017 7 1.454 14.536 0.139 0.559 0.000 0.000 0.016 8 0.096 17.295 0.248 0.405 0.000 0.000 0.010 9 1.115 9.608 0.392 0.431 0.000 0.000 0.019 10 1.101 0.000 0.541 0.449 0.000 0.000 0.023 11 0.858 0.000 0.415 0.604 0.000 0.000 0.019 12 2.109 13.787 0.401 0.343 0.000 0.000 0.021 13 2.727 5.413 0.244 0.618 0.000 0.000 0.021 14 1.501 18.141 0.283 0.308 0.000 0.000 0.019 15 0.833 0.000 0.544 0.442 0.000 0.000 0.013 16 0.833 0.000 0.544 0.442 0.000 0.000 0.013 17 1.355 3.556 0.203 0.715 0.000 0.000 0.018 18 0.834 14.303 0.346 0.352 0.000 0.000 0.013 19 0.779 0.000 0.853 0.152 0.000 0.000 0.021 20 0.960 5.175 0.009 0.871 0.000 0.000 0.012 21 0.960 5.175 0.009 0.871 0.000 0.000 0.012 22 0.096 17.295 0.248 0.405 0.000 0.000 0.010 23 1.025 0.000 0.675 0.337 0.000 0.000 0.010 24 1.432 11.917 0.119 0.659 0.000 0.000 0.024 25 0.095 17.295 0.248 0.405 0.000 0.000 0.010 26 1.115 9.608 0.392 0.431 0.000 0.000 0.019 27 1.101 0.000 0.541 0.449 0.000 0.000 0.023 28 0.858 0.000 0.415 0.604 0.000 0.000 0.019 29 2.109 13.787 0.401 0.343 0.000 0.000 0.021 30 2.727 5.413 0.244 0.618 0.000 0.000 0.030
18 Lanjutan b. Ukuran amatan 15 m Nilai minimum 0 1 2 c0 c1 c2 1 0.089 10.317 0.014 0.751 0.000 0.000 0.036 2 3.128 1.181 0.996 0.000 0.000 0.000 0.049 3 3.842 2.051 0.962 0.000 0.000 0.000 0.045 4 0.203 0.000 0.283 0.730 0.000 0.000 0.028 5 2.339 0.813 0.495 0.496 0.000 0.000 0.023 6 1.713 14.650 0.121 0.562 0.000 0.000 0.014 7 4.294 0.000 0.265 0.753 0.000 0.000 0.032 8 2.083 8.651 0.169 0.666 0.000 0.000 0.020 9 4.310 11.431 0.450 0.302 0.000 0.000 0.030 10 0.073 0.000 0.230 0.753 0.000 0.000 0.035 11 1.360 10.923 0.426 0.367 0.000 0.000 0.025 12 4.710 1.906 0.000 0.978 0.000 0.000 0.029 13 0.678 11.339 0.408 0.369 0.000 0.000 0.027 14 0.552 0.000 0.000 0.984 0.000 0.000 0.022 15 2.083 8.651 0.169 0.666 0.000 0.000 0.020 16 2.339 0.813 0.495 0.496 0.000 0.000 0.023 17 3.147 0.000 0.372 0.607 0.000 0.000 0.030 18 4.294 0.000 0.265 0.753 0.000 0.000 0.0320 19 2.375 21.270 0.062 0.532 0.000 0.000 0.019 20 1.620 0.000 0.741 0.252 0.000 0.000 0.018 21 0.752 7.712 0.312 0.5085 0.000 0.000 0.037 22 2.489 0.000 0.086 0.899 0.000 0.000 0.041 23 1.738 18.098 0.339 0.300 0.000 0.000 0.017 24 2.301 0.000 0.798 0.187 0.000 0.000 0.037 25 3.591 3.789 0.000 0.939 0.000 0.000 0.037 26 3.693 10.968 0.123 0.652 0.000 0.000 0.022 27 2.260 19.766 0.222 0.392 0.000 0.000 0.024 28 0.872 0.000 0.438 0.550 0.000 0.000 0.024 29 0.524 10.117 0.123 0.670 0.000 0.000 0.025 30 2.083 8.651 0.169 0.666 0.000 0.000 0.020
19 Lanjutan c. Ukuran amatan 20 m Nilai minimum 0 1 2 c0 c1 c2 1 17.516 7.652 0.721 0.129 0.000 0.000 0.115 2 20.274 16.222 0.307 0.358 0.000 0.000 0.128 3 28.149 23.386 0.234 0.280 0.000 0.000 0.146 4 19.043 8.549 0.483 0.345 0.000 0.000 0.096 5 8.846 0.000 0.870 0.130 0.000 0.000 0.145 6 11.690 11.836 0.402 0.378 0.000 0.000 0.131 7 10.142 9.687 0.356 0.435 0.000 0.000 0.114 8 13.147 10.535 0.000 0.785 0.000 0.000 0.132 9 14.054 17.031 0.651 0.000 0.000 0.000 0.155 10 14.054 17.031 0.651 0.000 0.000 0.000 0.155 11 17.516 7.652 0.721 0.129 0.000 0.000 0.115 12 20.274 16.222 0.307 0.35 0.000 0.000 0.128 13 28.149 23.386 0.234 0.280 0.000 0.000 0.146 14 19.043 8.549 0.483 0.345 0.000 0.000 0.096 15 19.043 8.549 0.483 0.345 0.000 0.000 0.096 16 11.690 11.836 0.402 0.378 0.000 0.000 0.133 17 24.497 12.844 0.021 0.734 0.000 0.000 0.129 18 10.142 9.687 0.356 0.435 0.000 0.000 0.114 19 14.054 17.031 0.651 0.000 0.000 0.000 0.155 20 13.748 8.810 0.613 0.202 0.000 0.000 0.128 21 28.167 0.880 0.575 0.390 0.000 0.000 0.157 22 8.339 0.000 0.623 0.386 0.000 0.000 0.036 23 6.560 0.000 0.000 1.013 0.000 0.000 0.042 24 8.610 2.965 0.434 0.522 0.000 0.000 0.040 25 1.401 0.000 0.625 0.370 0.0000 0.0000 0.022 26 9.337 14.531 0.690 0.000 0.0000 0.0000 0.040 27 2.483 25.791 0.118 0.373 0.0000 0.0000 0.024 28 6.995 1.709 0.775 0.190 0.0000 0.0000 0.026 29 5.558 17.169 0.021 0.617 0.0000 0.0000 0.025 30 3.375 15.380 0.000 0.721 0.0000 0.0000 0.027
20 Lanjutan d. Ukuran amatan 25 m Nilai minimum 0 1 2 c0 c1 c2 1 4.777 17.010 0.403 0.253 0.000 0.000 0.035 2 4.578 19.648 0.614 0.000 0.000 0.000 0.028 3 3.718 9.332 0.753 0.059 0.000 0.000 0.038 4 6.965 16.983 0.271 0.401 0.000 0.000 0.032 5 7.725 0.000 0.818 0.192 0.000 0.000 0.039 6 8.792 7.395 0.338 0.502 0.000 0.000 0.034 7 5.546 28.316 0.332 0.084 0.000 0.000 0.029 8 8.049 0.000 0.605 0.401 0.000 0.000 0.040 9 3.589 10.549 0.057 0.715 0.000 0.000 0.035 10 7.706 24.028 0.327 0.238 0.000 0.000 0.034 11 3.558 21.330 0.246 0.308 0.000 0.000 0.032 12 5.688 11.024 0.531 0.248 0.000 0.000 0.030 13 8.642 10.975 0.489 0.279 0.000 0.000 0.049 14 5.434 28.330 0.000 0.433 0.000 0.000 0.030 15 7.642 17.482 0.649 0.000 0.000 0.000 0.036 16 4.464 4.670 0.649 0.255 0.000 0.000 0.025 17 5.409 5.922 0.881 0.000 0.000 0.000 0.030 18 2.688 16.486 0.663 0.000 0.000 0.000 0.030 19 8.101 12.376 0.522 0.230 0.000 0.000 0.034 20 4.706 0.851 0.723 0.270 0.000 0.000 0.026 21 9.978 4.075 0.355 0.554 0.000 0.000 0.041 22 6.860 12.838 0.361 0.393 0.000 0.000 0.034 23 10.080 0.000 0.177 0.833 0.000 0.000 0.043 24 3.844 4.192 0.527 0.387 0.000 0.000 0.040 25 3.991 7.096 0.697 0.152 0.000 0.000 0.028 26 9.255 9.276 0.818 0.000 0.000 0.000 0.034 27 4.012 9.312 0.666 0.159 0.000 0.000 0.033 28 15.048 0.000 0.485 0.513 0.000 0.000 0.044 29 16.176 0.000 0.513 0.492 0.000 0.000 0.053 30 12.234 0.000 0.449 0.565 0.000 0.000 0.043
21 Lanjutan e. Ukuran amatan 30 m Nilai minimum 0 1 2 c0 c1 c2 1 10.093 0.000 1.006 0.000 0.000 0.000 0.048 2 6.729 0.013 0.656 0.344 0.000 0.000 0.029 3 3.710 0.000 0.566 0.435 0.000 0.000 0.030 4 7.292 10.506 0.318 0.481 0.000 0.000 0.026 5 5.243 13.513 0.731 0.000 0.000 0.000 0.032 6 5.554 7.306 0.801 0.056 0.000 0.000 0.035 7 5.371 2.596 0.605 0.342 0.000 0.000 0.028 8 9.629 0.000 0.596 0.390 0.000 0.000 0.037 9 5.814 8.289 0.795 0.036 0.000 0.000 0.029 10 7.840 1.572 0.255 0.717 0.000 0.000 0.034 11 6.530 0.000 0.166 0.841 0.000 0.000 0.039 12 11.989 0.000 0.019 0.987 0.000 0.000 0.047 13 5.767 5.663 0.277 0.609 0.000 0.000 0.031 14 1.505 24.521 0.351 0.132 0.000 0.000 0.029 15 9.416 10.611 0.024 0.756 0.000 0.000 0.047 16 8.175 3.308 0.632 0.297 0.000 0.000 0.031 17 4.268 5.872 0.424 0.459 0.000 0.000 0.034 18 7.966 6.434 0.876 0.000 0.000 0.000 0.027 19 4.498 0.000 0.494 0.506 0.000 0.000 0.028 20 9.092 0.000 0.493 0.506 0.000 0.000 0.031 21 5.734 2.469 0.689 0.259 0.000 0.000 0.027 22 6.256 11.860 0.396 0.372 0.000 0.000 0.030 23 6.584 9.874 0.633 0.173 0.000 0.000 0.173 24 11.119 0.000 0.795 0.207 0.000 0.000 0.038 25 14.697 0.000 0.834 0.158 0.000 0.000 0.050 26 8.655 5.733 0.450 0.425 0.000 0.000 0.035 27 4.288 9.598 0.232 0.581 0.000 0.000 0.040 28 2.597 17.006 0.594 0.088 0.000 0.000 0.033 29 8.796 1.322 0.567 0.406 0.000 0.000 0.036 30 10.650 11.206 0.226 0.537 0.000 0.000 0.043
22 Lanjutan f. Ukuran amatan 35 m Nilai minimum 0 1 2 c0 c1 c2 1 12.084 3.910 0.252 0.677 0.000 0.000 0.031 2 17.860 2.876 0.638 0.302 0.000 0.000 0.033 3 14.753 6.418 0.326 0.540 0.000 0.000 0.033 4 13.604 9.747 0.511 0.290 0.000 0.000 0.036 5 7.836 0.681 0.806 0.185 0.000 0.000 0.026 6 16.488 11.380 0.771 0.000 0.000 0.000 0.043 7 11.957 27.562 0.132 0.289 0.000 0.000 0.044 8 15.817 0.000 0.444 0.560 0.000 0.000 0.050 9 9.455 12.772 0.218 0.524 0.000 0.000 0.030 10 13.130 0.000 0.575 0.424 0.000 0.000 0.032 11 12.253 3.373 0.590 0.349 0.000 0.000 0.032 12 8.276 15.310 0.171 0.511 0.000 0.000 0.032 13 9.011 12.909 0.453 0.282 0.000 0.000 0.033 14 16.613 4.201 0.914 0.000 0.000 0.000 0.036 15 3.918 3.444 0.227 0.712 0.000 0.000 0.039 16 13.900 0.000 0.964 0.047 0.000 0.000 0.383 17 15.937 0.000 0.120 0.872 0.000 0.000 0.039 18 16.918 0.000 0.201 0.795 0.000 0.000 0.038 19 16.183 12.581 0.305 0.430 0.000 0.000 0.041 20 11.654 10.164 0.276 0.509 0.000 0.000 0.032 21 12.246 0.000 0.928 0.072 0.000 0.000 0.035 22 10.854 17.171 0.371 0.283 0.000 0.000 0.036 23 11.737 4.483 0.367 0.525 0.000 0.000 0.043 24 7.531 3.803 0.293 0.644 0.000 0.000 0.031 25 12.511 4.254 0.521 0.385 0.000 0.000 0.037 26 14.546 11.714 0.387 0.392 0.000 0.000 0.031 27 13.731 16.766 0.459 0.183 0.000 0.000 0.048 28 8.262 1.529 0.470 0.504 0.000 0.000 0.036 29 13.071 2.567 0.400 0.560 0.000 0.000 0.032 30 16.554 18.579 0.615 0.030 0.000 0.000 0.042
23 Lanjutan g. Ukuran amatan 40 m Nilai minimum 0 1 2 c0 c1 c2 1 21.077 0.000 1.002 0.000 0.000 0.000 0.047 2 17.685 1.821 0.753 0.206 0.000 0.000 0.037 3 20.807 0.000 0.796 0.198 0.000 0.000 0.044 4 17.138 2.347 0.953 0.000 0.000 0.000 0.042 5 23.128 13.785 0.292 0.419 0.000 0.000 0.048 6 13.375 7.653 0.790 0.041 0.000 0.000 0.051 7 12.471 10.444 0.060 0.738 0.000 0.000 0.040 8 23.385 7.553 0.776 0.066 0.000 0.000 0.037 9 25.419 0.000 0.512 0.490 0.000 0.000 0.048 10 8.961 5.565 0.382 0.502 0.000 0.000 0.035 11 13.427 11.862 0.720 0.046 0.000 0.000 0.045 12 16.770 10.370 0.361 0.435 0.000 0.000 0.040 13 12.978 22.083 0.263 0.294 0.000 0.000 0.032 14 23.122 0.000 1.002 0.000 0.000 0.000 0.049 15 13.860 21.427 0.525 0.021 0.000 0.000 0.048 16 24.052 5.543 0.894 0.000 0.000 0.000 0.048 17 15.311 1.908 0.672 0.281 0.000 0.000 0.036 18 9.294 1.300 0.976 0.000 0.000 0.000 0.052 19 24.928 0.000 0.558 0.440 0.000 0.000 0.042 20 12.316 0.000 0.526 0.484 0.000 0.000 0.049 21 13.938 9.464 0.691 0.115 0.000 0.000 0.036 22 13.422 1.969 0.499 0.463 0.000 0.000 0.035 23 17.623 3.727 0.031 0.892 0.000 0.000 0.048 24 23.738 7.252 0.858 0.000 0.000 0.000 0.043 25 9.649 9.893 0.396 0.396 0.000 0.000 0.041 26 15.842 6.612 0.240 0.630 0.000 0.000 0.037 27 20.179 0.000 0.493 0.512 0.000 0.000 0.053 28 12.331 9.615 0.679 0.131 0.000 0.000 0.042 29 18.205 6.450 0.312 0.556 0.000 0.000 0.032 30 14.538 3.430 0.739 0.184 0.000 0.000 0.042
24 Lanjutan h. Ukuran amatan 45 m Nilai minimum 0 1 2 c0 c1 c2 1 12.690 5.260 0.898 0.000 0.000 0.000 0.041 2 27.041 0.000 0.818 0.172 0.000 0.000 0.051 3 17.211 0.000 0.126 0.871 0.000 0.000 0.041 4 16.860 0.000 0.558 0.435 0.000 0.000 0.043 5 22.005 7.274 0.747 0.118 0.000 0.000 0.035 6 21.522 13.030 0.478 0.248 0.000 0.000 0.039 7 15.222 16.084 0.479 0.215 0.000 0.000 0.036 8 17.512 0.000 0.471 0.522 0.000 0.000 0.036 9 24.177 2.508 0.569 0.383 0.000 0.000 0.041 10 25.006 18.356 0.515 0.110 0.000 0.000 0.044 11 10.317 1.517 0.887 0.087 0.000 0.000 0.037 12 14.493 2.049 0.905 0.044 0.000 0.000 0.048 13 29.397 6.194 0.681 0.189 0.000 0.000 0.047 14 16.409 0.000 0.112 0.893 0.000 0.000 0.045 15 22.159 1.888 0.667 0.298 0.000 0.000 0.036 16 31.707 4.278 0.920 0.000 0.000 0.000 0.055 17 20.956 0.000 0.677 0.315 0.000 0.000 0.044 18 23.707 12.496 0.271 0.471 0.000 0.000 0.041 19 66.703 4.290 0.271 0.650 0.000 0.000 0.034 20 17.443 19.441 0.338 0.297 0.000 0.000 0.038 21 25.573 6.111 0.885 0.000 0.000 0.000 0.054 22 19.071 4.438 0.610 0.291 0.000 0.000 0.042 23 4.953 2.073 0.471 0.490 0.000 0.000 0.047 24 14.669 15.726 0.330 0.359 0.000 0.000 0.043 25 22.646 6.432 0.737 0.131 0.000 0.000 0.034 26 8.303 19.701 0.627 0.000 0.000 0.000 0.039 27 25.737 2.499 0.647 0.306 0.000 0.000 0.048 28 22.656 0.000 0.712 0.283 0.000 0.000 0.045 29 11.114 7.090 0.684 0.175 0.000 0.000 0.034 30 26.251 2.981 0.211 0.745 0.000 0.000 0.045
25 Lampiran 2 Nilai RMSE prediksi
a. Model autoregresi m Ukuran amatan 10 15 20 25 30 35 40 45 1 0.707 1.177 0.975 1.107 1.024 0.928 1.071 0.902 2 0.607 1.327 1.072 0.854 0.775 0.914 1.042 1.214 3 0.800 1.391 0.913 0.928 0.879 0.946 1.109 0.871 4 0.863 0.909 0.820 0.909 0.828 0.924 1.071 0.922 5 0.873 0.894 0.973 1.163 0.862 0.832 1.174 0.938 6 0.741 0.722 1.108 0.965 0.860 1.120 0.979 0.841 7 1.046 0.891 0.933 0.957 0.941 1.019 0.942 0.922 8 0.598 0.733 1.053 1.096 0.903 0.965 1.000 0.879 9 1.207 1.086 1.112 0.788 0.854 0.849 1.073 1.076 10 1.250 1.046 0.985 1.025 0.859 0.914 0.998 0.900 11 1.040 1.059 0.975 1.020 0.966 0.943 1.180 1.017 12 1.068 0.963 1.072 0.937 0.956 0.860 1.0140 1.054 13 1.223 1.058 0.913 1.304 0.933 0.915 0.888 0.938 14 0.873 0.831 0.820 0.990 0.907 0.937 1.060 0.900 15 0.854 0.733 0.973 1.061 1.071 0.952 1.237 0.095 16 0.854 0.894 1.108 0.776 0.821 1.095 1.099 0.938 17 1.048 1.084 0.839 0.881 0.937 0.823 0.976 0.900 18 0.646 0.891 0.938 0.951 0.747 0.942 1.099 1.939 19 0.800 0.724 1.112 1.024 0.858 0.926 1.038 0.869 20 0.863 0.704 0.985 0.726 0.809 0.800 1.007 0.948 21 0.863 1.272 0.849 1.063 0.780 1.035 0.998 1.086 22 0.598 1.343 1.172 1.070 0.881 1.135 0.986 0.999 23 0.611 0.678 0.953 1.003 1.045 1.117 0.924 1.064 24 1.267 1.235 1.301 1.244 1.038 0.891 1.021 0.945 25 0.598 1.261 0.775 0.872 1.179 1.027 1.004 0.890 26 1.207 0.898 1.058 1.100 0.870 0.937 0.906 1.123 27 1.250 0.860 0.903 0.982 1.134 1.044 1.234 1.002 28 1.040 0.931 0.965 1.080 1.068 1.051 0.840 1.013 29 1.068 1.075 0.734 1.246 1.068 0.872 0.934 1.030 30 1.223 0.733 1.010 1.222 0.999 1.093 1.114 0.969 Rataan 0.923 0.980 0.980 1.011 0.928 0.960 1.034 0.973
26 Lanjutan
b. Model autoregresi fuzzy
m Ukuran amatan 10 15 20 25 30 35 40 45 1 0.289 1.214 0.983 1.186 1.179 0.998 1.162 0.946 2 0.409 1.538 1.182 0.931 0.805 0.905 1.059 1.293 3 0.743 1.448 1.274 1.142 0.898 1.004 1.141 1.027 4 0.500 0.860 0.761 0.974 0.827 0.933 1.132 1.027 5 0.769 0.822 1.030 1.251 0.891 0.828 1.272 0.953 6 0.679 0.507 1.053 0.986 0.895 1.145 1.054 0.963 7 0.744 0.993 0.811 0.962 0.933 1.296 1.065 0.954 8 0.386 0.683 1.082 1.241 1.044 1.037 1.138 0.948 9 0.757 0.979 1.256 1.011 0.873 0.894 1.111 1.088 10 0.983 0.984 1.018 1.063 0.985 0.929 1.085 1.126 11 0.653 0.944 0.983 0.902 1.068 0.959 1.183 1.092 12 0.778 0.962 1.182 0.998 1.160 1.022 1.031 1.177 13 1.121 0.926 1.274 1.663 0.965 0.899 0.916 0.986 14 0.769 0.840 0.761 0.800 0.940 0.996 1.169 1.126 15 0.546 0.683 1.092 1.1921 1.331 1.081 1.452 0.138 16 0.546 0.822 1.053 0.791 0.809 1.244 1.171 0.986 17 0.714 1.055 1.096 0.912 0.944 1.060 0.989 1.126 18 0.519 0.993 0.811 0.882 0.787 1.109 1.176 2.046 19 0.743 0.719 1.256 1.070 0.881 1.052 1.071 0.955 20 0.500 0.664 0.963 0.764 0.821 0.862 1.125 1.033 21 0.500 1.310 0.956 1.186 0.868 1.088 1.009 1.216 22 0.386 1.340 1.111 0.968 0.927 1.240 0.995 1.032 23 0.374 0.599 1.101 1.157 1.038 1.196 1.081 1.097 24 0.864 1.172 1.310 1.296 1.069 0.990 1.088 1.026 25 0.386 1.272 0.737 0.842 1.248 1.082 1.015 0.926 26 0.757 0.829 1.153 1.114 0.841 0.932 0.984 1.122 27 0.983 0.771 0.822 0.932 1.229 1.329 1.281 1.059 28 0.653 0.848 0.966 1.104 1.066 1.077 0.987 1.069 29 0.778 0.912 0.769 1.257 1.072 0.960 0.976 1.043 30 1.121 0.683 0.953 1.277 1.189 1.232 1.204 1.256 Rataan 0.665 0.946 1.026 1.062 0.986 1.0460 1.104 1.061
27 Lampiran 3 Nilai RMSE ramalan
a. Model autoregresi m Ukuran amatan 10 15 20 25 30 35 40 45 1 3.138 2.101 1.932 0.836 1.229 0.829 0.877 0.482 2 1.333 0.921 1.601 1.357 1.320 1.136 1.521 0.792 3 1.829 1.7130 0.787 1.693 2.059 1.015 0.914 1.204 4 2.020 0.855 2.138 1.769 0.772 0.721 0.591 1.939 5 0.465 0.691 1.125 0.994 1.482 1.651 0.671 0.664 6 1.025 1.818 0.536 0.657 0.810 0.643 2.146 2.164 7 1.285 0.403 1.450 1.502 0.440 1.876 0.781 0.957 8 0.550 0.720 1.266 2.482 0.491 0.675 2.977 3.772 9 2.585 0.490 1.045 1.304 0.981 1.110 0.802 1.059 10 1.464 2.118 0.787 0.724 3.370 1.286 0.971 1.426 11 1.009 1.039 1.932 2.286 1.376 0.577 0.523 1.424 12 0.816 1.912 1.601 0.578 1.464 0.259 0.809 1.073 13 1.444 1.762 0.787 3.111 1.996 1.122 0.923 0.714 14 0.465 1.199 2.138 1.693 3.354 0.956 0.922 0.963 15 1.051 0.720 1.125 0.745 1.163 2.133 1.918 0.353 16 1.051 0.691 0.536 1.217 1.427 1.406 0.807 0.673 17 1.920 1.349 1.557 1.311 1.170 0.934 2.968 0.923 18 0.861 0.403 1.450 0.916 1.412 1.453 1.770 0.627 19 1.829 0.715 1.045 1.131 1.481 1.178 0.412 1.266 20 2.020 0.722 0.787 1.160 1.002 2.591 2.050 1.064 21 2.020 2.113 2.395 1.021 1.609 1.114 0.752 1.227 22 0.550 2.088 1.225 2.081 0.390 0.508 0.975 0.608 23 0.645 0.527 1.304 0.979 2.118 3.302 1.423 0.514 24 0.815 0.834 1.023 1.792 1.175 1.396 1.234 1.155 25 0.550 2.068 2.236 3.184 1.122 1.435 1.014 0.846 26 2.585 0.837 1.084 1.602 2.045 0.654 0.724 2.763 27 1.464 0.737 3.006 0.970 0.819 1.936 0.897 0.815 28 1.009 0.522 0.854 1.728 0.789 2.182 0.651 0.995 29 0.816 2.420 0.796 2.159 0.859 1.230 1.285 1.120 30 1.444 0.720 0.804 1.727 0.843 1.326 1.660 0.761 Rataan 1.335 1.174 1.345 1.490 1.352 1.288 1.199 1.145
28 Lanjutan
b. Model autoregresi fuzzy
m Ukuran amatan 10 15 20 25 30 35 40 45 1 3.997 0.821 1.870 0.974 1.395 1.610 0.812 0.413 2 0.534 2.683 2.232 1.774 1.371 1.545 2.298 2.311 3 3.025 0.820 0.877 1.297 1.611 0.778 2.042 0.692 4 1.110 2.842 1.851 2.593 1.043 1.063 1.018 2.197 5 0.314 1.202 0.798 2.021 2.057 1.022 1.696 0.617 6 1.394 2.558 1.549 0.756 1.242 0.649 2.897 1.127 7 1.094 2.522 1.167 1.317 0.797 3.388 0.566 0.939 8 0.574 1.064 1.397 2.503 1.931 0.807 2.199 4.745 9 1.324 1.320 2.977 0.755 1.120 1.048 0.892 1.019 10 2.305 4.362 0.818 0.889 3.797 1.807 1.084 2.946 11 2.754 1.076 1.870 2.599 0.411 0.686 0.614 1.476 12 1.423 3.230 2.232 0.544 2.710 1.037 1.291 2.000 13 4.282 1.882 0.877 1.820 1.901 1.244 1.276 1.228 14 0.314 1.265 1.851 1.357 2.767 1.052 0.977 2.553 15 2.585 1.064 1.775 1.026 1.910 1.437 2.186 0.514 16 2.585 1.202 1.549 1.325 1.973 3.526 1.124 0.878 17 1.018 3.674 2.196 1.285 1.071 1.683 4.168 2.263 18 0.837 2.522 1.167 0.632 2.021 2.033 2.296 0.642 19 3.025 0.836 2.977 0.598 0.887 1.234 0.467 1.474 20 1.120 1.043 0.847 2.612 1.526 2.802 0.901 2.013 21 1.120 0.853 4.552 1.243 2.112 1.610 0.755 1.748 22 0.574 4.218 1.261 1.314 0.439 1.509 1.092 0.769 23 2.727 0.718 2.831 2.211 0.997 4.716 0.879 1.154 24 2.013 2.275 1.898 1.720 1.528 1.064 1.860 0.937 25 0.574 3.404 1.315 3.559 2.798 0.384 1.501 0.808 26 1.324 1.251 0.595 2.067 2.605 0.717 0.781 4.516 27 2.305 0.826 2.979 1.526 0.953 1.071 1.847 1.148 28 2.754 1.402 0.789 1.214 0.968 3.155 1.511 1.012 29 1.423 1.793 0.542 1.319 1.080 0.749 1.452 1.045 30 4.282 1.064 2.361 3.988 1.166 2.829 0.705 1.871 Rataan 1.823 1.860 1.733 1.628 1.606 1.6084 1.439 1.569
29
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Cianjur pada tanggal 28 Juni 1991 dari pasangan Asep Sudjana dan Dede Muksinah. Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara.
Tahun 2009 penulis menyelesaikan pendidikannya di SMA Negeri 1 Sukaresmi serta pada tahun yang sama melanjutkan pendidikan ke Institut Pertanian Bogor dengan memilih mayor Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB.
Selama menempuh pendidikan, penulis aktif dalam beberapa organisasi yakni Badan Eksekutif Mahasiswa FMIPA sebagai staf Departemen Pengembangan Sumber Daya Manusia periode 2011 serta Himpunan Profesi Mahasiswa Statistika Gamma Sigma Beta sebagai sekretaris Departemen Sains periode 2012. Penulis melaksanakan kegiatan praktik lapang di Balai Penelitian Kacang-kacangan dan Umbi-umbian (Balitkabi), Kabupaten Malang pada tanggal 4 Februari hingga 29 Maret 2013.
