SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2009
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2010
Prestasi itu diraih bukan didapat !!!
SOLUSI SOAL
BAGIAN PERTAMA
BAGIAN PERTAMA
1. Banyaknya macam adal ah (1, 1, 6), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 3) besert a permut asi yang bert urut -t urut ada sebanyak 3, 6, 6, 3 dan 3.
∴ Banyaknya macam hasil lemparan = 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21.
2. x4− 2x3 + 5x2− 176x + 2009 = 0 (x2− x)2 + (2x − 44)2 + 73 = 0
Karena bil angan kuadrat t idak mungkin negat if maka t idak ada x real yang memenuhi.
∴ Banyaknya bilangan real x yang memenuhi adal ah 0.
3.
+
+
=
3
a
c
c
b
b
a
Karena a, b dan c posit if maka dengan ket aksamaan AM-GM didapat
3
3
⋅
3⋅
⋅
=
≥
+
+
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
Tanda kesamaan t erj adi j ika a = b = c. Karena
+
+
=
3
a
c
c
b
b
a
maka haruslah a = b = c yang kont radiksi dengan a < b < c.
∴ Banyaknya bilangan posit if a yang memenuhi adalah 0.
4.
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∈
+
+
∈
=
N
n
n
N
n
S
1
2
2009N
n
n
n
n
n
∈
+
+
+
+
=
+
+
1
1
1
1
1
2
20092009
Karena n + 1⏐n2009 + 1 maka harusl ah n + 1⏐1
Jadi n + 1 ≤ 1, t et api n ∈ N sehingga t idak ada n ∈ N yang memenuhi. Semua himpunan bagian dari S adalah { }.
∴ Banyaknya himpunan bagian dari S adalah 1.
(
)
Dengan AM-GM didapat( )
12
Tanda kesamaan t erj adi j ika
x
Misalkan j uga 6, 10 dan t adalah garis t inggi-garis t inggi yang bert urut -t urut sepadan dengan sisi-sisi a, b dan c.
Dengan rumus luas segit iga ABC didapat hubungan 6a = 10b = t c
a > b + c
Dengan ket aksamaan segit iga didapat
12.Alt ernat if 1 :
Akan ada dua kasus
1) Ada t epat sepasang sepat u yang berpasangan dan dua lainnya dipilih dari 3 pasang sepat u t ersisa sehinga keduanya t idak berpasangan.
Sepasang sepat u dipil ih dari kemungkinan 4 pasangan. Banyaknya cara memilih ada 4. Banyaknya cara memilih dua sepat u dari t iga pasang sepat u sehingga keduanya t idak berpasangan adal ah 3C2⋅ 2 ⋅ 2 = 12.
Banyaknya cara memilih sehingga t epat sepasang sepat u yang berpasangan dan 2 l ainnya dipilih dari 3 pasang sepat u t ersisa sehinga keduanya t idak berpasangan = 4 ⋅ 12 = 48. 2) Ada t epat dua pasang sepat u berpasangan yang dipilih dari kemungkinan empat pasang
sepat u.
Banyaknya cara memilih adalah 4C2 = 6.
∴ Peluang kej adian =
4 8
6
48
C
+
=
35
27
Alt ernat if 2 :
Komplemen dari kej adian dimaksud adal ah t idak ada sepasang sepat u dari keempat sepat u t ersebut yang berpasangan, sehingga masing sat u buah sepat u dipil ih dari masing-masing empat pasang sepat u t ersebut . Banyaknya cara adal ah 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16.
Peluang kej adian =
4 8
16
1
C
−
∴ Peluang kej adian =
35
27
.
13.
6
1
4
=
+
n
m
m
k
dengan k, m dan n adalah t iga bilangan bul at posit if .
3m2 = 2n(m − 6k)
Karena ruas kiri posit if maka harusl ah m > 6k > 6. Ruas kanan past i genap sehingga m harus genap. Karena m genap dan m > 6 maka m ≥ 8.
Jika m = 8 maka 48 = 4n − 3kn 48 = n(4 − 3k)
n = 48 dan k = 1 adalah salah sat u pasangan (n, k) yang memenuhi.
∴ Bilangan m t erkecil yang memenuhi adalah 8.
14.(2p − 1)3 + (3p)2 = 6p unt uk suat u bil angan prima p.
Jika p = 2 maka 33 + 62≠ 62 sehingga p = 2 t idak memenuhi. Jika p = 3 maka 53 + 92≠ 63 sehingga p = 3 t idak memenuhi.
Karena p ≠ 2, 3 dan p prima maka p dapat dinyat akan p = 6k + 1 at au 6k + 5 dengan k bul at t aknegat if .
• Jika p = 6k + 1
Persamaan semula akan ekivalen dengan (12k + 1)3 + 9(6k + 1)2 = 66k+1
(12k)3 + 3(12k)2 + 3(12k)2 + 1 + 9(6k + 1)2 = 66k+1
Maka t idak ada nilai k asli yang memenuhi.
• Jika p = 6k + 5
Persamaan semula akan ekivalen dengan (12k + 9)3 + 9(6k + 5)2 = 66k-1
33(4k + 3)3 + 324k2− 540k + 180 = 66k+5
Karena 180 ≡ 9 (mod 27) maka ruas kiri dibagi 27 bersisa 9 sedangkan 27 membagi ruas kanan. Maka t idak ada nilai k asli yang memenuhi.
Jadi, t idak ada bil angan prima p yang memenuhi.
17.Tanpa mengurangi keumuman misal kan sisi-sisi segit iga adalah a, b dan 10 dengan a ≤ b ≤ 10. Ket aksamaan segit iga, a + b > 10
Karena segit iga t umpul maka a2 + b2 < 102
Pasangan (a, b) bilangan asli yang memenuhi kedua ket aksamaan t ersebut adal ah (2, 9), (3, 8), (3, 9), (4, 7), (4, 8), (4, 9), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (6, 6), (6, 7) dan (7, 7).
Banyaknya pasangan (a, b) bilangan asli yang memenuhi ada 12.
Karena n > ⎣(q − 1)⎣qn⎦⎦≥ n − 1 maka
⎣(q − 1)⎣qn⎦⎦ = n − 1
⎣q⎣qn⎦⎦ = ⎣(q − 1)⎣qn⎦⎦ + ⎣qn⎦
⎣q⎣qn⎦⎦ = n − 1 + ⎣qn⎦ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3) Kurangkan persamaan (3) dengan persamaan (1)
⎣q⎣qn⎦⎦−⎣q2n⎦ = (n − 1 + ⎣qn⎦) − (⎣qn⎦ + n)
⎣q⎣qn⎦⎦−⎣q2n⎦ = −1
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2009
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2010
Prestasi itu diraih bukan didapat !!!
SOLUSI SOAL
BAGIAN KEDUA
BAGIAN KEDUA
1. Jelas bahwa semut harus melangkah ke depan lebih dari 3 kali.
Jika semut melangkah ke depan lebih dari 5 kali maka semut t ersebut harus mundur sekurang-kurangnya 8 langkah sehingga t ot al l angkah lebih dari 20. Jadi, hanya ada 2 kasus :
- Semut t ersebut maj u 3 x 4 langkah dan mundur 2 langkah, t ot al langkah 14. Banyaknya cara sama saj a dengan banyaknya susunan 333311
Banyaknya cara =
!
Cara lainnya sama dengan menempat kan 4 angka t iga ke 4 dari 6 t empat . Banyaknya cara =
6C4 = 15 cara.
- Semut t ersebut maj u 3 x 5 langkah dan mundur 5 langkah, t ot al langkah 20. Banyaknya cara sama saj a dengan banyaknya susunan 3333311111
Banyaknya cara =
!
Cara lainnya sama dengan menempat kan 5 angka t iga ke 5 dari 10 t empat . Banyaknya cara =
10C5 = 252 cara.
∴ Banyaknya cara semut t ersebut mel angkah agar mencapai makanan adalah 15 + 252 = 267
2.
x
=
6
+
2009
n
dari suat u bilangan rasional.
2
Karena n bil angan asli maka harusl ah m = 1 sehingga n merupakan kuadrat dari suat u bilangan asli.
Misalkan [ ABC] menyat akan luas ∆ABC, maka [ ABC] = [ ABD] + [ BCD]
(
AB
BC
AC
)
r
(
AB
BD
AD
)
r
(
BC
BD
DC
)
r
+
+
=
1+
+
+
2+
+
2
1
2
1
2
1
Pada ∆ABD dan ∆BCD bert urut -t urut berlaku BD < AD + AB dan BD < BC + DC sehingga
r(AB + BC + AC) = r1(AB + BD + AD) + r2(BC + BD + DC) < r1(AB + BC + DC + AD) + r2(BC + AD + AB + DC)
Karena AD + DC = AC maka
r(AB + BC + AC) < r1(AB + BC + AC) + r2(BC + AC + AB)
r < r1 + r2
∴ Terbukti bahwa r1 + r2 > r
4. 7p = 8x2− 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) p2 = 2y2− 1
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(2)Jika (x, y) = (x1, y1) memenuhi persamaan maka (−x1, −y1) past i memenuhi sehingga t anpa
mengurangi keumuman dapat dimisalkan x, y ≥ 0. p2− y2 = y2− 1.
Karena y = 0 dan y = 1 t idak memenuhi persamaan maka y2 > 1 sehingga p > y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3) Jika p = 2 maka 15 = 8x2 yang t idak akan t erpenuhi unt uk x bilangan bul at .
Jika p = 3 maka 22 = 8x2 yang t idak akan t erpenuhi unt uk x bilangan bul at . Jika p = 5 maka 36 = 8x2 yang t idak akan t erpenuhi unt uk x bilangan bul at . Jika p = 7 maka 50 = 8x2 yang t idak akan t erpenuhi unt uk x bilangan bul at . Jadi, p > 7.
Kurangkan persamaan (2) dengan (1) didapat p(p − 7) = 2(y + 2x)(y − 2x)
Karena p > 7 maka y > 2x sehingga p > y > 2x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (4) Karena p ≠ 2 maka p⏐(y + 2x)(y − 2x)
Karena p > y ≥ y − 2x dan p bilangan prima maka p⏐y + 2x
Karena p ≤ y + 2x < p + p = 2p maka hanya t erpenuhi j ika p = y + 2x Maka p2 = 2(p − 2x)2− 1 sehingga p2− 8xp + 8x2− 1 = 0
Subt it usikan persamaan (1) sehingga p2− 8xp + 7p = 0 Karena p ≠ 0 maka p = 8x − 7 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (5) Subt it usikan persamaan (5) ke persamaan (1) 7(8x − 7) = 8x2− 1
(x − 6)(x − 1) = 0
* Jika x = 1 dan sesuai persamaan (5) maka p = 1 (t idak memenuhi bahwa p bil angan prima) * Jika x = 6 maka p = 41 dan y = 29 yang memenuhi bahwa p bilangan prima dan y bulat
5. Misalkan A ⊂ H dan B ⊂ H yang memenuhi A ∩ B = { } sert a A dan B keduanya bukan himpunan kosong.
H = {0, 1, 2, 4, 8} merupakan count er exampl e dari soal.
Bagaimana pun disusun A ⊂ H dan B ⊂ H sert a A ∩ B = { } t idak akan didapat j ika semua anggot a A dij uml ahkan hasilnya akan sama dengan j umlah semua anggot a B.
