BAB 1
Rantai Markov
1.1
ILUSTRASI
(Ilustrasi 1) Akhir-akhir ini, hujan dan panas (baca: tidak hujan) datang silih berganti tanpa bisa diduga. Kalau hari ini hujan, besok mungkin hu-jan mungkin juga panas. Tentu saja peluang besok huhu-jan akan lebih besar dibanding peluang besok akan panas. Begitu pula jika hari ini panas. Besok akan lebih mungkin panas dibandingkan hujan. Jika hari Senin hujan, berapa peluang bahwa hari Selasa akan hujan? Berapa peluang bahwa hari Kamis akan hujan?
(Ilustrasi 2) Pada 23 Juni lalu sekitar pukul 21.30 mobil yang dikemudikan suami saya terperosok masuk lubang di jalan tol lingkar luar Jakarta, kira-kira 2 kilometer dari Pintu Tol Pondok Ranji arah Jakarta. Ban dan gadi-gading roda rusak. Esoknya saya mengajukan klaim asuransi Sinar Mas kepada SiMas Bekasi. Pada 1 Juli saya mendapat jawaban bahwa klaim asuransi ditolak den-gan alasan: bagian yang rusak hanya ban dan gading-gading roda. Tak menge-nai badan mobil. Padahal, tercantum jelas di dalam pasal-pasal polis asuransi
lewati (Dalam praktiknya, Swari harus bertelanjang kaki jika ternyata sandal crocs yang harus dipakai. Tak lain alasannya karena sang ayah tidak suka apabila Swari memakai sandal crocs). Ketika pulang, Swari akan masuk lewat pintu depan atau belakang dan meletakkan sepatunya dengan peluang sama. Diketahui bahwa Swari memiliki 4 pasang sepatu olah raga. Berapa peluang bahwa Swari akan sering berolah raga dengan bertelanjang kaki?
1.2
DEFINISI
Proses stokastik {Xn} adalah Rantai Markov:
• n = 0, 1, 2, . . .
• nilai yang mungkin adalah hingga atau terhitung •
P(Xn+1= j|Xn= i, Xn−1 = in−1, . . . , X1 = i1, X0 = i0
) = Pij
• distribusi bersyarat Xn+1, diberikan keadaan lampau (past states) X0, X1, . . . , Xn−1 dan keadaan sekarang (present state) Xn, hanya bergantung pada keadaan
sekarang
• keadaan (state): i0, i1, . . . , in−1, i, j
Pij peluang bahwa proses akan berada di keadaan j dari keadaan i;
Pij ≥ 0, i, j ≥ 0; ∞ ∑
j=0
Pij = 1, i = 0, 1, . . .
Matriks peluang transisi Pij adalah sbb:
P = P00 P01 P02 · · · P10 P11 P12 · · · .. . ... ... Pi0 Pi0 Pi0 · · · .. . ... ...
3. Tiga item produk A dan tiga item produk B didistribusikan dalam dua buah paket/kotak sedemikian hinga setiap paket terdiri atas tiga item produk. Dikatakan bahwa sistem berada dalam keadaan i, i = 0, 1, 2, 3 jika dalam paket pertama terdapat i produk A. Setiap saat (langkah), kita pindahkan satu item produk dari setiap paket dan meletakkan item produk tersebut dari paket 1 ke paket 2 dan sebaliknya. Misalkan Xn menggambarkan keadaan dari sistem setelah langkah ke-n. Matriks pelu-ang transisinya adalah...
4. Menurut Kemeny, Snell dan Thompson, Tanah Australia diberkahi den-gan banyak hal kecuali cuaca yang baik. Mereka tidak pernah memiliki dua hari bercuaca baik secara berturut-turut. Jika mereka mendapatkan hari bercuaca baik maka esok hari akan bersalju atau hujan dengan pelu-ang sama. Jika hari ini mereka mengalami salju atau hujan maka be-sok akan bercuaca sama dengan peluang separuhnya. Jika terdapat pe-rubahan cuaca dari salju atau hujan, hanya separuh dari waktu besok akan menjadi hari bercuaca baik. Tentukan matriks peluang transisi dari Rantai Markov yang dibentuk dari keadaan-keadaan diatas.
5. Sebagai calon atlet, setiap pagi Swari meninggalkan rumahnya untuk berlari pagi. Swari akan pergi lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah, Swari memakai sepatu olah raga atau sandal jenis crocs jika sepatu tidak tersedia di depan pintu yang dia lewati (Dalam praktiknya, Swari harus bertelanjang kaki jika ternyata sandal crocs yang harus dipakai. Tak lain alasannya karena sang ayah tidak suka apabila Swari memakai sandal crocs). Ketika pulang, Swari akan masuk lewat pintu depan atau belakang dan meletakkan sep-atunya dengan peluang sama. Diketahui bahwa Swari memiliki 4 pasang sepatu olah raga. Bentuklah suatu Rantai Markov dari proses diatas.
1.3
PELUANG N -LANGKAH
Persamaan Chapman-Kolmogorov Misalkan Pn
ij menyatakan peluang transisi n-langkah suatu proses di keadaan
i akan berada di keadaan j,
Pijn= P (Yk+n= j|Yk = i), n≥ 0, i, j ≥ 0.
Persamaan Chapman-Kolmogorov adalah alat untuk menghitung peluang tran-sisi n + m-langkah: Pijn+m= ∞ ∑ k=0 PiknPkjm,
untuk semua n, m ≥ 0 dan semua i, j. PiknPkjm menyatakan peluang suatu proses dalam keadaan i akan berada di keadaan j dalam n+m transisi, melalui keadaan k dalam n transisi/langkah.
Contoh/Latihan:
1. Jika hari ini hujan maka besok akan hujan dengan peluang α; jika hari ini tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang β. Matriks peluang transisi 4 langkah adalah
2. Keadaan hujan pada suatu hari bergantung pada keadaan hujan dalam dua hari terakhir. Jika dalam dua hari terakhir hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.7; Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.5; jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.4; jika dalam dua hari terakhir tidak hujan maka besok hujan dengan peluang 0.2.
Peluang transisi tak bersyarat? Misalkan
αi = P (X0 = i), i ≥ 0,
dimana ∑∞i=0 αi = 1. Peluang tak bersyarat dapat dihitung dengan men-syaratkan pada keadaan awal,
P (Xn = j) = ∞ ∑ i=0 P (Xn = j|X0 = i) P (X0 = i) = ∞ ∑ i=0 Pijnαi Contoh/Latihan:
Seorang pensiunan H menerima 2 (juta rupiah) setiap awal bulan. Banyaknya uang yang diperlukan H untuk dibelanjakan selama sebulan saling bebas den-gan banyaknya uang yang dia punya dan sama denden-gan i denden-gan peluang
Pi, i = 1, 2, 3, 4, ∑4
i=1Pi = 1. Jika H memiliki uang lebih dari 3 di akhir bulan, dia akan memberikan sejumlah uang lebih dari 3 itu kepada orang lain. Jika setelah dia menerima uang diawal bulan H memiliki uang 5, berapa pelu-ang upelu-angnya akan 1 atau kurpelu-ang setiap saat selama 4 bulan berikut?
Keadaan:
‘1’ jumlah uang sebanyak 1 yang H punya di akhir bulan ‘2’ jumlah uang sebanyak 2 yang H punya di akhir bulan ‘3’ jumlah uang sebanyak 3 yang H punya di akhir bulan
Misalkan {Yn, n ≥ 0} adalah Rantai Markov dengan peluang transisi Pij. Mis-alkan Qij adalah peluang transisi yang mentransformasikan semua keadaan dalam A ke keadaan tetap/hilang (absorbing states), maka
Qij = 1, i∈ A, j = i; 0, i∈ A, j ̸= i; Pij, yang lain.
Peluang Yn dalam keadaan awal i dan tidak berada di keadaan lain dalam A sampai waktu n, untuk i, j /∈ A adalah
P (Yn= j|Y0 = i, Yk ∈ A, k = 1, . . . , n) =/ Qn ij ∑ r /∈A Q n ir
1.4
JENIS KEADAAN
Keadaan j dikatakan dapat diakses (accessible) dari keadaan i jika Pn ij > 0 untuk suatu n ≥ 0. Akibatnya, keadaan j dapat diakses dari keadaan i jika dan hanya jika dimulai dari keadaan i proses akn masuk ke keadaan j. Jika keadaan j tidak dapat diakses dari keadaan i maka peluang masuk ke keadaan
j dari keadaan i adalah nol.
Catatan:
Dua keadaan i dan j yang saling akses satu sama lain dikatakan berkomunikasi (communicate). Notasi: i ↔ j.
Sifat-sifat:
1. Keadaan i berkomunikasi dengan keadaan i untuk semua i≥ 0
2. Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j maka keadaan j berko-munikasi dengan keadaan i
3. Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j dan keadaan j berkomu-nikasi dengan keadaan k maka keadaan i berkomuberkomu-nikasi dengan keadaan
k
Dua keadaan yang berkomunikasi dikatakan berada dalam kelas (class) yang sama. Setiap dua kelas dari keadaan-keadaan dapat ‘identik’(identical) atau ‘saling asing’ (disjoint). Rantai Markov dikatakan tidak dapat direduksi (irre-ducible) jika hanya terdapat sebuah kelas dan semua keadaan berkomunikasi satu sama lain.
Contoh/Latihan:
1. Diketahui matrik peluang transisi:
Untuk setiap keadaan i, misalkan fi peluang bahwa dimulai dari keadaan i proses akan kembali ke keadaan i. Keadaan i dikatakan recurrent jika fi = 1. Dikatakan transient jika fi < 1.
• Jika keadaan i recurrent maka proses akan terus kembali ke keadaan i • Jika keadaan i transient ?
fin−1(1− fi), n≥ 1? Misalkan In = { 1, Yn = i; 0, Yn ̸= 1.
Misalkan∑∞n=0 Inmenyatkan banyaknya periode proses berada dalam keadaan
i, dan E ( ∞ ∑ n=0 In|Y0 = i ) = ∞ ∑ n=0 Piin
maka keadaan i adalah
recurrent jika ∞ ∑ n=0 Piin=∞; transient jika ∞ ∑ n=0 Piin<∞
“Jika keadaan i recurrent dan keadaan i berkomunikasi (communicate) dengan keadaan j maka keadaan j recurrent”
Contoh/Latihan:
1. Misalkan rantai Markov dengan keadaan 0,1,2,3 memiliki matriks pelu-ang transisi: P = 0 0 0.5 0.5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
Tentukan keadaan mana yang recurrent dan keadaan mana yang
2. Bagaimana dengan rantai Markov dengan matriks peluang transisi: P = 0.5 0.5 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0.5 0.5 0 0.25 0.25 0 0 0.5 ? Misalkan P ( Yn= i, Yn−1 ̸= i, . . . , Y1 ̸= i | Y0 = i ) = Piin
adalah peluang kembali ke keadaan i yang pertama di langkah ke-n, dan ∞
∑ n=1
Piin= fii= fi
adalah peluang kembali ke keadaan i.
Definisi:
• Keadaan i adalah recurrent jika fi = 1,
• Keadaan i adalah transient jika fi < 1, Kita dapat juga mendefinisikan sbb:
1− fi = P (Ti =∞|Y0 = i)
