UNI VERSI TAS I NDONESI A
Analisis Penggunaan Kernel Density Estimation pada M etode
Loss Distribution Approach untuk Risiko Operasional
TESI S
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar M agister Sains
ERWAN SETI AWAN 1206179454
FAKULTAS M ATEM ATI KA DAN I LM U PENGETAHUAN ALAM PROGRAM M AGI STER M ATEM ATI KA
DEPOK JANUARI 2014
Bismillahirrahmanirrohim
$OKDPGXOLOODKLUDEELO¶alamin, puji syukur penulis panjatkan kepada Allah 6XEKDQDKX:D7D¶DOD yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis diberikan kemampuan untuk menyelesaikan tesis ini. Penulisan tesis ini dilakukan untuk memenuhi salah satu persyaratan mendapatkan gelar Magister Sains, Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Indonesia.
Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak, dari masa perkuliahan sampai pada penyusunan tesis ini, sangatlah sulit bagi penulis untuk menyelesaikan tesis ini. Oleh karena itu, penulis ingin
mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Dr.rer.nat. Hendri Murfi, M.Kom selaku dosen pembimbing dan Dr. Yudi Satria, M.T. selaku pembimbing akademik dan dosen pembimbing, yang telah menyediakan waktu, tenaga, pikiran dan memberikan bimbingan dengan penuh kesabaran sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini.
2. Dr. Dian Lestari, DEA, selaku Ketua Departemen Matematika FMIPA UI yang telah memberikan bimbingan selama masa perkuliahan.
3. Prof. Dr. Djati Kerami, selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA UI yang telah memberikan bimbingan dan inspirasi kepada penulis. 4. Seluruh staf pengajar di Program Studi Magister Matematika FMIPA UI, atas
arahan, bimbingan, dan ilmu pengetahuan yang telah diberikan selama perkuliahan.
5. Karyawan/karyawati Departemen Matematika FMIPA UI, yang selalu siap membantu saat penulis butuhkan.
6. Bapak dan Ibu penulis, Sriyono dan Wartini, yang telah banyak memberikan dukungan moril dan materil, serta adik-adik cantikku Erna, Endah, dan Elsa yang penulis sayangi.
7. Istri dan jagoan kecil penulis, Yani dan Daffa, yang penulis sayangi dan selalu memberikan semangat bagi penulis.
v Universitas Indonesia
hidup penulis selama masa perkuliahan.
Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi yang membacanya, terutama untuk pengembangan ilmu pengetahuan.
vii Universitas Indonesia
Nama : Erwan Setiawan Program Studi : Magister Matematika
Judul : Analisis Penggunaan Kernel Density Estimation pada Metode Loss Distribution Approach untuk Risiko Operasional
Risiko operasional merupakan salah satu jenis risiko pada perbankan yang wajib dikelola dengan baik karena sifatnya yang melekat pada setiap aktifitas fungsional bank. Dalam pengelolaan risiko operasional, bank dipersyaratkan untuk
memperhitungkan kerugian yang diperkirakan dan kerugian yang tidak
diperkirakan dalam kebutuhan modal bagi risiko operasional. Kebutuhan modal bagi risiko operasional ini dikenal sebagai Economic Capital (EC). Komite Basel dalam aturan Basel II, memberikan tiga pendekatan dalam perhitungan EC salah satunya pendekatan Advanced Measurement Approach (AMA). Metode AMA yang banyak digunakan adalah metode Loss Distribution Approach (LDA). Dalam metode LDA, bank harus mengestimasi loss severity distribution (distribusi severitas) dan loss frequency distribution (distribusi frekuensi)
kemudian membentuk aggregate loss distribution dari gabungan kedua distribusi tersebut. Nilai EC dengan metode LDA didapat dari Value at Risk (VaR) pada aggregate loss distribution dengan tingkat kepercayaan 99,9%. Permasalahan dari metode LDA saat ini adalah dalam mengestimasi distribusi severitas masih
berbasis pada suatu model distribusi tertentu, padahal banyak kasus dimana data tidak dapat digambarkan dengan baik oleh suatu model distribusi yang sudah ada. Oleh karena itu, dalam tulisan ini akan dijelaskan solusi dari permasalahan tersebut, yaitu dengan mengestimasi distribusi severitas berbasis pada data. Metode yang digunakan adalah Kernel Density Estimation (KDE). KDE
merupakan suatu pendekatan statistika non-parametrik untuk mengestimasi fungsi distribusi probabilitas dari suatu variabel acak jika diasumsikan bentuk atau model distribusi dari variabel acak tersebut tidak diketahui. Hasil dari penelitian adalah estimasi distribusi severitas oleh KDE lebih baik dalam menggambarkan data dibandingkan dengan menggunakan model distribusi tertentu. Nilai EC yang dihasilkan oleh metode LDA yang menggunakan KDE lebih kecil 1,6 ± 3,2% dibandingkan nilai EC yang dihasilkan oleh metode LDA yang menggunakan model distribusi tertentu.
Kata kunci : risiko operasional, metode monte carlo, loss distribution approach, kernel density estimation
Name : Erwan Setiawan
Program Study : Magister of Mathematics
Title : Analysis the Use of Kernel Density Estimation on The Loss Distribution Approach Method for Operational Risk
Operational risk is one kind of risk on banking which must be managed well because of its character is inherent in every fungtional activity in Bank. In the management of operasional risk, Bank must be able to calculate a predictable loss and an unpredictable loss in capital requisite for operasional risk. The capital requisite in operasional risk is known as Economic Capital (EC). In the regulation of Basel II, Committee Basel gives three approaches of calculation in EC. One of that is Advanced Measurement Approach (AMA). In AMA method that is the most used in approach is Loss Distribution Approach (LDA) method. In LDA method, Bank must be able to estimate loss severity distribution (severity distribution) and loss frequency distribution (frequency distribution) and
aggregate loss distribution is formed from both of them. Through LDA method, the value at EC can be gotten from Value at Risk (VaR) in aggregate loss
distribution with the level of confidence reaches 99,9%. The problem from LDA method recently is in estimation a severity distribution which is still refers to a model on particular distribution whereas there are many cases which can not describe a data well through a distribution model that has been there. Therefore, in this paper, it will be explained how to face or the good solution from that
problem. The good solution to face it is through estimation severity distribution that is refers to the data with using Kernel Density Estimation (KDE) method. KDE is a statistic approach non- parametric to estimate the function of
distribution from disordered variabel that has not known. The result on this research is estimation of severity distribution through KDE is better than another in describing the data. LDA method using KDE is smaller the value at EC 1,6 % - 3,2 % than the value at EC using another distribution model in LDA method.
Keywords : operational risk, monte carlo, loss distribution approach, kernel density estimation.
ix Universitas Indonesia
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS ... ii
LEMBAR PENGESAHAN ... iii
KATA PENGANTAR ... iv
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ... vi
ABSTRAK ... vii
ABSTRACT ... viii
DAFTAR ISI ... ix
DAFTAR TABEL ... xi
DAFTAR GAMBAR ... xii
DAFTAR LAMPIRAN ... xiii
1. PENDAHULUAN ... 1 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Rumusan Masalah ... 4 1.3 Batasan Penelitian ... 5 1.4 Tujuan Penelitian ... 5 1.5 Metodologi Penelitian ... 5 2. LANDASAN TEORI ... 6 2.1 Risiko Perbankan ... 6 2.1.1 Pengertian Risiko ... 6
2.1.2 Jenis ± jenis Risiko... 6
2.1.3 Manajemen Risiko ... 8
2.2 Risiko Operasional ... 8
2.2.1 Tipe Kejadian pada Risiko Operasional ... 9
2.2.2 Economic Capital untuk Risiko Operasional ... 10
2.3 Value at Risk ... 13 2.4 Distribusi Probabilitas ... 13 2.4.1 Distribusi Binomial ... 13 2.4.2 Distribusi Poisson ... 14 2.4.3 Distribusi Normal/Gaussian ... 14 2.4.4 Distribusi Log-Normal ... 15 2.4.5 Distribusi Majemuk ... 15
2.5 Loss Distribution Approach ... 15
2.6 Algoritma Monte Carlo pada metode Loss Distribution Approach ... 16
3. KERNEL DENSI TY ESTI MATI ON ... 18
3.1 Konsep Dasar ... 18
3.2 Fungsi Kernel ... 20
3.3 Pemilihan Lebar Pita (Bandwidth) ... 22
4. SI M ULASI DAN PEM BAHASAN ... 24
4.1 Data Penelitian ... 24
4.3.2 Estimasi Distribusi Severitas Menggunakan Suatu Model Distribusi
... 31
4.3.3 Perbandingan Distribusi Severitas yang Menggunakan KDE dengan yang Menggunakan Suatu Model Distribusi... 32
4.4 Perbandingan Nilai EC antara yang Menggunakan KDE dengan yang Menggunakan Suatu Model Distribusi ... 34
4.5 Nilai EC untuk Beberapa Nilai h pada KDE ... 39
5. KESI M PULAN DAN SARAN ... 41
DAFTAR REFERENSI ... 42
xi Universitas Indonesia
Tabel 2.1 -HQLVOLQLELVQLVGDQEHVDUDQ%HWDIDNWRU ȕ ... 12 Tabel 4.1 Statistik data penelitian 3 tahun, 5 tahun, dan 10 tahun ... 24 Tabel 4.2 Perbandingan nilai EC untuk data 3 tahun, 5 tahun, dan 10 tahun 37 Tabel 4.3 Perbandingan nilai EC untuk beberapa nilai h pada KDE untuk data 3 tahun, 5 tahun, dan 10 tahun ... 39
Gambar 3.1 Fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) dengan beberapa fungsi kernel
... 21
Gambar 3.2 Fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) dengan beberapa nilai h.... 22
Gambar 4.1 Histogram data penelitian ... 26
Gambar 4.2 Distribusi frekuensi ... 27
Gambar 4.3 Distribusi severitas menggunakan KDE dengan nilai h berdasarkan metode silverman... 28
Gambar 4.4 Distribusi severitas menggunakan KDE dengan beberapa nilai h30 Gambar 4.5 Distribusi severitas menggunakan model distribusi log-normal . 32 Gambar 4.6 Perbandingan distribusi severitas yang menggunakan KDE dan yang menggunakan log-normal ... 33
Gambar 4.7 Konvergensi nilai EC untuk data 3 tahun ... 35
Gambar 4.8 Konvergensi nilai EC untuk data 5 tahun ... 36
Gambar 4.9 Konvergensi nilai EC untuk data 10 tahun ... 37
Gambar 4.10 Perbandingan tail dari KDE dan log-normal untuk data 3 tahun, 5 tahun, dan 10 tahun... 38
xiii Universitas Indonesia
Lampiran 1 Algoritma program ... 44 Lampiran 2 Data penelitian ... 47 Lampiran 3 Hasil simulasi konvergensi nilai EC ... 53
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dewasa ini, bank memegang peranan yang sangat penting dalam membangun perekonomian masyarakat. Bank merupakan badan usaha yang menghimpun dana dari masyarakat dalam bentuk simpanan dan menyalurkannya kepada masyarakat dalam bentuk kredit dan atau bentuk lainnya, guna
meningkatkan taraf hidup rakyat banyak. Sebagaimana layaknya badan usaha lain, bank memerlukan modal yang merupakan sarana untuk menyerap kerugian dan kekuatan untuk melakukan ekspansi, artinya setiap ada kerugian bisnis maka akan mempengaruhi permodalan bank. Dengan modal yang besar, kesadaran risiko bank cenderung akan berkurang karena mengandalkan semuanya pada kecukupan modal. Tetapi dengan modal yang kecil bank cenderung tidak bisa melihat jauh ke depan (ekspansi) dan hanya berkutat pada operasional sehari-hari. Oleh karena itu, bank harus memiliki keseimbangan pola pikir dalam mengelola risiko dan
permodalan.
Risiko dalam konteks perbankan merupakan suatu kejadian potensial yang berdampak negatif terhadap pendapatan dan permodalan bank. Saat ini, situasi lingkungan eksternal dan internal perbankan mengalami perkembangan pesat yang diikuti dengan semakin kompleksnya risiko kegiatan usaha perbankan sehingga meningkatkan kebutuhan praktek tata kelola bank yang sehat (good corporate governance) dan penerapan manajemen risiko. Esensi dari penerapan manajemen risiko adalah kecukupan prosedur dan metodologi pengelolaan risiko sehingga kegiatan usaha bank tetap dapat terkendali pada batas/limit yang dapat diterima serta menguntungkan bank. Penerapan manajemen risiko meliputi pengawasan aktif pengurus bank, kebijakan, prosedur dan penetapan limit risiko, proses identifikasi, pengukuran, pemantauan, sistem informasi, dan pengendalian risiko, serta sistem pengendalian intern.
Untuk dapat menerapkan proses manajemen risiko, maka tahap awal bank harus dapat mengidentifikasi risiko dengan cara mengenal dan memahami seluruh risiko yang ada. Setelah dilakukan identifikasi, langkah berikutnya secara
Universitas Indonesia
berturut-turut bank perlu melakukan pengukuran, pemantauan, dan pengendalian risiko. Pengukuran risiko tersebut dimaksudkan agar bank mampu mengkalkulasi eksposur risiko yang melekat pada kegiatan usahanya sehingga bank dapat memperkirakan dampaknya terhadap permodalan yang seharusnya dipelihara dalam rangka mendukung kegiatan usaha bank. Sementara itu, dalam rangka melaksanakan pemantauan risiko, bank harus melakukan evaluasi terhadap eksposur risiko, terutama yang bersifat material dan atau yang berdampak pada permodalan bank. Hasil pemantauan yang mencakup evaluasi terhadap eksposur risiko tersebut dilaporkan secara tepat waktu, akurat dan informatif yang akan digunakan oleh pihak pengambilan keputusan, termasuk tindak lanjut yang diperlukan. Selanjutnya berdasarkan hasil pemantauan tersebut, bank melakukan pengendalian risiko antara lain dengan cara penambahan modal, melindungi aset, dan teknik mitigasi risiko lainnya.
Risiko yang melekat (inherent) pada setiap aktifitas fungsional bank adalah risiko operasional. Komite Basel untuk Pengawasan Perbankan, suatu lembaga yang dibentuk oleh bank sentral dari negara-negara Group of Ten (G10) pada tahun 1974, mendefinisikan risiko operasional sebagai risiko kerugian yang disebabkan oleh ketidakcukupan atau kegagalan proses internal, manusia dan sistem atau dari kejadian eksternal. Risiko operasional dapat menimbulkan
kerugian keuangan secara langsung maupun tidak langsung dan kerugian potensial atas hilangnya kesempatan memperoleh keuntungan. Salah satu kasus yang
menggambarkan pentingnya manajemen risiko operasional adalah kasus Barings Bank di London pada tahun 2004. Kasus Barings Bank terjadi karena seorang treader di kantor cabang Singapura melakukan kegiatan treading diluar kewenangannya. Peristiwa ini mengakibatkan Baring Brothers and Co Ltd mengalami kerugian tidak kurang dari GBP 827 juta yang menyebabkan bank tersebut tidak dapat memenuhi kewajibannya (kecukupan modal) sehingga menjadi bank gagal.
Dalam manajemen risiko operasional, bank dipersyaratkan untuk
memperhitungkan kerugian yang diperkirakan (expected loss) dan kerugian yang tidak diperkirakan (un-expected loss) dalam kebutuhan modal bagi risiko
Capital (EC). Economic capital adalah ukuran kecukupan modal yang diperlukan untuk menyerap kerugian ekstrem yang tidak diperkirakan dalam periode dan tingkat keyakinan tertentu. Komite Basel dalam aturan Basel II memberikan tiga pendekatan dalam perhitungan modal ekonomis, yaitu: Basic Indicator Approach (BIA), Standardized Approach (SA), dan Advanced Measurement Approach (AMA). Untuk pendekatan BIA dan SA formulasinya sudah ditetapkan dalam aturan Basel II, sedangkan dalam pendekatan AMA pihak bank diberikan
keleluasaan untuk mengembangkan metode perhitungan EC secara internal yang berbasis data internal bank, dengan mendapatkan persetujuan dari regulator lokal.
Metode AMA yang banyak digunakan adalah metode Loss Distribution Approach (LDA). Dalam metode LDA, bank harus mengestimasi loss severity distribution (distribusi severitas) dari besarnya kerugian pada satu kejadian dalam suatu periode dan loss frequency distribution (distribusi frekuensi) dari banyaknya kejadian rugi dalam suatu periode, kemudian membentuk aggregate loss
distribution dari gabungan kedua distribusi tersebut. Nilai EC dengan
menggunakan metode LDA didapat dari Value at Risk (VaR) pada aggregate loss distribution dengan tingkat kepercayaan 99,9% (Frachot,Georges, dan
Roncalli,2001).
Karena aggregate loss distribution dibentuk oleh gabungan dari dua distribusi maka disebut juga sebagai distribusi majemuk. Pada umumnya, tidak terdapat ekspresi analitik untuk distribusi majemuk sehingga perlu dilakukan pendekatan secara numerik untuk mendapatkan aproksimasi dari distribusi majemuk. Metode numerik yang banyak digunakan adalah metode monte carlo karena mudah untuk diimplementasikan (Shevchenko, 2010). Langkah pertama untuk mendapatkan aproksimasi dari distribusi majemuk adalah mengestimasi distribusi frekuensi dan distribusi severitas. Langkah kedua, dari distribusi frekuensi diambil satu nilai secara acak, misal N, kemudian dilakukan
pengambilan nilai secara acak dari distribusi severitas sebanyak N, sebut X(1), X(2), «X(N). Langkah terakhir menjumlahkan semua nilai X(i) untuk mendapatkan sebuah nilai yang merupakan sampel dari distribusi majemuk. Estimasi nilai EC didapatkan dari persentil ke 99,9% dari sampel-sampel yang diambil secara acak dari distribusi majemuk.
Universitas Indonesia
Permasalahan dari metode ini adalah dalam mengestimasi distribusi
severitas saat ini masih berbasis model distribusi tertentu. Padahal sering kali data sebenarnya tidak dapat digambarkan dengan baik oleh model distribusi yang sudah ada. Hal ini tentunya akan berpengaruh pada akurasi dari estimasi nilai EC. Oleh karena itu, dalam tulisan ini akan dijelaskan solusi dari permasalahan tersebut, yaitu dengan mengestimasi distribusi severitas berbasis pada data. Metode yang digunakan adalah Kernel Density Estimation (KDE). KDE
merupakan suatu pendekatan statistika non-parametrik untuk mengestimasi fungsi distribusi probabilitas dari suatu variabel acak jika diasumsikan bentuk atau model distribusi dari variabel acak tersebut tidak diketahui.
Pembahasan mengenai KDE dalam tesis ini meliputi konsep dasar metode LDA dan KDE, simulasi perbandingan nilai EC yang dihasilkan oleh metode LDA yang estimasi distribusi severitasnya menggunakan KDE dengan yang menggunakan model distribusi tertentu, analisis pengaruh pemilihan nilai parameter lebar pita (bandwidth) pada KDE terhadap nilai EC yang dihasilkan, dan kesimpulan penelitian.
1.2 Rumusan M asalah
Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah
1. Bagaimana analisis penggunaan KDE pada metode LDA untuk risiko operasional.
2. Bagaimana perbandingan nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang estimasi distribusi severitasnya menggunakan KDE dengan yang menggunakan model distribusi tertentu.
1.3 Batasan Penelitian
Batasan yang digunakan dalam penelitian ini adalah 1. Fungsi kernel yang digunakan adalah fungsi kernel Gaussian
2. Dalam LDA yang berbasis model, estimasi distribusi severitas menggunakan satu model distribusi standar yang relatif baik menggambarkan data penelitian.
3. Analisis penggunaan KDE pada metode LDA untuk risiko operasional hanya meliputi: analisis pemilihan lebar pita (bandwidth), analisis pengaruh nilai lebar pita terhadap nilai EC yang dihasilkan
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dalam penelitian ini adalah
1. Menganalisis penggunaan KDE pada metode LDA untuk risiko operasional. 2. Membandingkan nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang estimasi distribusi severitasnya menggunakan KDE dengan yang menggunakan model distribusi tertentu
1.5 M etodologi Penelitian
Metodologi penelitian yang dilakukan sebagai berikut:
1. Studi literatur mengenai topik penelitian, seperti risiko pada perbankan, konsep dan penerapan metode LDA untuk risiko operasional, konsep KDE, konsep metode Monte Carlo pada LDA, konsep Value at Risk dan bahasa
pemrograman Python.
2. Melakukan simulasi komputasi dengan menggunakan bahasa pemrograman Python, dengan alur sebagai berikut:
a. Membentuk data penelitian secara acak menggunakan Python. b. Melakukan estimasi distribusi frekuensi dari data penelitian.
c. Melakukan estimasi distribusi severitas dengan menggunakan metode KDE dan metode berbasis model distribusi standar yang ada saat ini.
d. Melakukan aproksimasi distribusi majemuk, yang merupakan gabungan dari distribusi frekuensi dan severitas, menggunakan metode monte carlo.
e. Menentukan nilai EC yang didapat dari persentil ke 99,9% dari sampel-sampel yang diambil secara acak dari distribusi majemuk.
f. Melakukan analisis terhadap hasil yang diperoleh dari simulasi komputasi. g. Menarik kesimpulan dari hasil penelitian yang dilakukan.
6 Universitas Indonesia
BAB I I
LANDASAN TEORI
Dalam bab 2, akan dijelaskan mengenai teori ± teori dasar yang terkait dengan penelitian dalam tesis ini, diantaranya risiko perbankan, risiko
operasional, value at risk, distribusi probabilitas, loss distribution approach, dan algoritma monte carlo pada metode loss distribution approach.
2.1 Risiko Perbankan
Bank merupakan badan usaha yang menghimpun dana dari masyarakat dalam bentuk simpanan dan menyalurkannya kepada masyarakat dalam bentuk kredit dan atau bentuk lainnya, guna meningkatkan taraf hidup rakyat banyak. Dalam menjalankan kegiatan usahanya, bank selalu bersinggungan dengan risiko. Sejatinya risiko tersebut tidak bisa dihindari akan tetapi sangat mungkin dilakukan pengelolaan risiko agar kegiatan usaha perbankan tidak terganggu dan dapat memberikan keuntungan bagi bank.
2.1.1 Pengertian Risiko
Menurut kamus besar Bahasa Indonesia, risiko secara umum adalah akibat yang kurang menyenangkan (merugikan, membahayakan) dari suatu perbuatan atau tindakan. Sedangkan kaitannya dengan perbankan, Bank Indonesia
mendefinisikan risiko sebagai tingkat kemungkinan terjadinya kerugian yang harus ditanggung dalam pemberian kredit, penanaman investasi, atau transaksi lain yang dapat berbentuk harta, kehilangan keuntungan, atau kemampuan ekonomis.
2.1.2 Jenis-jenis Risiko
Bank Indonesia dalam PBI 5/8/2003 membagi risiko perbankan ke dalam 8 jenis risiko. Hal ini dilakukan untuk mempermudah dalam proses manajemen atau pengelolaan risiko. Jenis-jenis risiko perbankan tersebut antara lain:
a) Risiko Kredit
Risiko kredit didefinisikan sebagai risiko ketidakmampuan debitur atau counterparty melakukan pembayaran kembali kepada bank.
b) Risiko Pasar
Risiko pasar adalah kerugian pada posisi neraca dan rekening administratif termasuk transaksi derivatif akibat perubahan keseluruhan pada kondisi pasar. c) Risiko Operasional
Risiko operasional adalah risiko akibat ketidakcukupan dan/atau tidak berfungsinya proses internal, kesalahan manusia, kegagalan sistem, dan/atau adanya kejadian eksternal yang mempengaruhi operasional bank.
d) Risiko Likuiditas
Risiko likuiditas adalah risiko akibat ketidakmampuan bank untuk memenuhi kewajiban yang jatuh tempo dari sumber pendanaan arus kas dan/atau dari aset likuid berkualitas tinggi yang dapat diagunkan, tanpa menganggu aktivitas dan kondisi keuangan bank.
e) Risiko Hukum
Risiko hukum adalah risiko yang timbul akibat tuntutan hukum dan/atau kelemahan aspek yuridis.
f) Risiko Reputasi
Risiko reputasi adalah risiko akibat menurunnya tingkat kepercayaan stakeholder yang bersumber dari persepsi negatif terhadap bank. g) Risiko Strategik
Risiko strategik adalah risiko akibat ketidaktepatan bank dalam mengambil keputusan dan/atau pelaksanaan suatu keputusan stratejik serta kegagalan dalam mengantisipasi perubahan lingkungan bisnis.
h) Risiko Kepatuhan
Risiko kepatuhan adalah risiko yang timbul akibat bank tidak mematuhi dan/atau tidak melaksanakan peraturan perundang-undangan dan ketentuan yang berlaku.
Universitas Indonesia
2.1.3 M anajemen Risiko
Menurut peraturan Bank Indonesia No. 5/8/PBI/2003 manajemen risiko didefinisikan sebagai serangkaian proses dan metodologi yang digunakan untuk mengidentifikasi, mengukur, memantau, dan mengendalikan risiko yang timbul dari kegiatan usaha bank. Penerapan manajemen risiko akan memberikan manfaat, baik kepada bank maupun otoritas pengawasan perbankan, diantaranya
a. Bagi bank
Penerapan manajemen risiko dapat meningkatkan shareholder value, memberikan gambaran kepada pengelola bank mengenai kemungkinan kerugian bank di masa datang, meningkatkan metode dan proses pengambilan keputusan yang sistematis yang didasarkan atas ketersediaan informasi, digunakan sebagai dasar pengukuran yang lebih akurat mengenai kinerja bank, digunakan untuk menilai risiko yang melekat pada instrumen atau kegiatan usaha bank yang relatif kompleks serta menciptakan infrastruktur manajemen risiko yang kokoh dalam rangka meningkatkan daya saing Bank.
b. Bagi otoritas pengawasan perbankan
Penerapan manajemen risiko akan mempermudah penilaian terhadap kemungkinan kerugian yang dihadapi bank yang dapat mempengaruhi permodalan bank dan sebagai salah satu dasar penilaian dalam menetapkan strategi dan fokus pengawasan bank.
2.2 Risiko Operasional
Jenis risiko yang selalu melekat dalam setiap aktifitas fungsional bank adalah risiko operasional. Risiko operasional didefinisikan sebagai risiko kerugian yang disebabkan dari ketidakcukupan atau kegagalan proses internal, manusia dan sistem atau dari kejadian eksternal (Basel Committee on Banking Supervision, 2006). Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa penyebab risiko
operasional dibagi menjadi empat yaitu proses internal, manusia, sistem, dan kejadian eksternal.
a. Proses internal contohnya dokumentasi yang tidak lengkap, pengendalian yang lemah, kelalaian pemasaran, kesalahan penjualan produk, pencucian uang, laporan yang tidak lengkap atau tidak benar, kesalahan transaksi.
b. Manusia contohnya permasalahan keselamatan dan kesehatan kerja, perputaran karyawan yang tinggi, penipuan internal, sengketa pekerja, praktik manajemen yang buruk, pelatihan karyawan yang tidak memadai.
c. Sistem contohnya kesalahan program, gangguan pelayanan, masalah yang terkait dengan keamanan sistem misalnya virus atau hacking, penggunaan teknologi yang belum diuji coba.
d. Kejadian eksternal contohnya pencurian dan penipuan dari luar, kebakaran, bencana alam, kerusuhan dan unjuk rasa, penerapan ketentuan baru.
2.2.1 Tipe Kejadian pada Risiko Operasional
Penyebab risiko operasional (proses internal, manusia, sistem, dan kejadian eksternal) dapat timbul karena beberapa faktor, antara lain:
x Inadequate segretation of duties ± tidak memadainya pemisahan tugas sehingga fungsi dual control tidak berjalan.
x Insufficient training ± tidak memadainya pelatihan yang diberikan kepada petugas/pejabat bank.
x Lack of management supervision ± kelemahan supervisi dari manajemen bank Beberapa kelemahan tersebut yang akhirnya memicu terjadinya risiko operasional berdasarkan tipe kejadian Basel II, yaitu:
a) Kecurangan secara internal (internal fraud), yaitu tindakan-tindakan yang jenisnya menjurus kepada pencurian, penipuan, penyalahgunaan hak dan milik perusahaan, menghindari regulasi, ketentuan hukum atau kebijakan
perusahaan, yang melibatkan sekurang-kurangnya satu orang dalam
b) Kejahatan eksternal (external fraud), yaitu tindakan-tindakan yang jenisnya menjurus kepada pencurian, penipuan, penyalahgunaan hak dan milik
perusahaan, menghindari regulasi, ketentuan hukum atau kebijakan perusahaan yang dilakukan oleh pihak ketiga.
c) Praktek ketenagakerjaan dan keselamatan tempat kerja (employment practices and workplace safety), yaitu tindakan-tindakan yang tidak konsisten dengan ketentuan ketenagakerjaan, ketentuan mengenai keselamatan kerja, atau tindakan yang dapat mengakibatkan timbulnya tuntutan karena adanya kecelakaan, atau tuntutan karena adanya diskriminasi terhadap pegawai
Universitas Indonesia
d) Klien, produk, dan praktek bisnis (client, products, and business practices), yaitu kegagalan memenuhi kewajiban kepada nasabah, baik karena lalai ataupun tidak sengaja, atau memenuhi sifat dan rancangan produk.
e) Kerusakan aset fisik (damage to physical assets), yaitu hilangnya atau rusaknya aset bank secara fisik.
f) Gangguan bisnis dan kegagalan sistem (business disruption and system failures), yaitu gangguan terhadap kegiatan usaha atau kegagalan sistem. g) Eksekusi, pengiriman, dan manajemen proses (execution, delivery, process
management), yaitu proses transaksi atau manajemen yang gagal termasuk hubungan dagang dengan counterparty.
2.2.2 Economic Capital untuk Risiko Operasional
Dalam manajemen risiko operasional, bank dipersyaratkan untuk memperhitungkan kerugian yang diperkirakan dan kerugian yang tidak diperkirakan dalam kebutuhan modal bagi risiko operasional. Kerugian yang diperkirakan didefinisikan sebagai kerugian yang timbul akibat pelaksanaan kegiatan usaha secara normal. Sedangkan kerugian yang tidak diperkirakan didefinisikan sebagai kerugian yang timbul dari kejadian luar biasa yang potensi kejadiannya sangat kecil dan besarnya kerugian yang ditimbulkan jauh berada di atas nilai wajar yang dapat dikategorikan sebagai kerugian yang diperkirakan.
Modal bagi risiko operasional dikenal sebagai Economic Capital (EC). Economic Capital didefinisikan sebagai ukuran kecukupan modal yang diperlukan untuk menyerap kerugian ekstrem yang tidak diperkirakan dalam periode dan tingkat keyakinan tertentu. Komite Basel dalam aturan Basel II memberikan tiga pendekatan untuk menghitung besarnya EC, yaitu:
1. The Basic Indicator Approach (BIA)
Pendekatan BIA merupakan pendekatan yang paling sedrhana. Dalam pendekatan BIA, total pendapatan kotor (gross income) digunakan sebagai indikator eksposur. Perhitungan EC dengan pendekatan BIA ditentukan dengan mengalikan pendapatan kotor positif selama tiga tahun sebelumnya dengan suatu persentase tetap (D = 15%) kemudian diambil rata-ratanya.
ܧܥூ ൌ ͳ ݊ ߙ ൈ ܩܫ ୀଵ ሺʹǤͳሻ dimana :
ECBIA = Economic Capital dengan pendekatan BIA
GIj = Gross Income/pendapatan kotor positif tahunan selama 3 tahun
sebelumnya
D = Persentase tetap yang ditetapkan oleh komite sebesar 15%
n = Banyaknya tahun dari tiga tahun sebelumnya yang pendapatan kotornya positif
Pendapatan kotor didefinisikan sebagai pendapatan bunga bersih
(pendapatan bunga dikurangi biaya bunga) ditambah pendapatan bersih non bunga (pendapatan di luar bunga dikurangi biaya di luar bunga). Pendapatan kotor yang negatif selama jangka waktu tiga tahun dikeluarkan dari perhitungan.
2. The Standardised Approach (SA)
Tidak seperti dalam pendekatan BIA, pada pendekatan SA perhitungan EC menggunakan pendapatan kotor pada tiap lini bisnis bank. Terdapat 8 lini bisnis pada bank yaitu keuangan perusahaan (corporate finance), penjualan dan perdagangan (trading and sales), perbankan ritel (retail banking), perbankan komersial (commercial banking), pembayaran dan penyelesaian (payment and settlement), jasa agensi (agency services), perantara ritel (retail brokerage), manajemen aset (asset management). Perhitungan EC dengan pendekatan SA ditentukan dengan mengalikan pendapatan kotor pada setiap lini bisnisnya, dengan suatu persentase tetap E (Beta Factor).
ܧܥௌ ൌ ͳ ͵ ݉ܽݔ ߚൈ ܩܫ ଼ ୀଵ ǡ Ͳ൩ ଷ ୀଵ ሺʹǤʹሻ dimana :
ECSA = Economic Capital dengan pendekatan SA
GIi = Pendapatan kotor untuk lini bisnis ke-i.
Ei = Persentase tetap untuk lini bisnis ke-i yang besarannya ditetapkan oleh
Universitas Indonesia
Tabel 2.1 Jenis lini bisnis dan besaran beta faktor (ȕ)
Nilai beta dari tiap lini bisnis merupakan faktor bobot risiko. Semakin tinggi nilai beta maka semakin besar potensi kerugian risiko operasional pada lini bisnis tersebut. Dalam SA pendapatan kotor yang negatif pada tahun tertentu tetap dimasukkan ke dalam perhitungan dengan cara diganti dengan nol.
3. The Advanced Measurement Approaches (AMA)
Pendekatan yang terakhir adalah AMA. Pendekatan ini memberikan ruang kepada bank untuk mengembangkan model perhitungan EC secara internal yang berbasis pada data internal bank, dengan persetujuan dari regulator lokal. Menurut Basel II, untuk layak menggunakan AMA, suatu bank harus memenuhi
persyaratan minimum berikut:
x Dewan direksi dan manajemen senior, jika diperlukan, terlibat aktif dalam pemantauan pelaksanaan kerangka manajemen risiko operasional.
x Memiliki konsep sistem manajemen risiko operasional yang baik dan diimplementasikan dengan integritas.
x Memiliki sumber daya yang cukup untuk penggunaan pendekatan tersebut pada lini bisnis utamanya, serta pada wilayah-wilayah pengendalian dan audit
Terdapat tiga metode dalam pendekatan AMA, yaitu internal measurement approach, loss distribution approach, dan risk drivers and control approach. Metode yang banyak digunaka adalah metode Loss Distribution Approach (LDA).
Lini Bisnis Beta Faktor
.HXDQJDQSHUXVDKDDQ ȕ1) 18% 3HQMXDODQGDQSHUGDJDQJDQ ȕ2) 18% 3HUEDQNDQULWHO ȕ3) 12% 3HUEDQNDQNRPHUVLDO ȕ4) 15% 3HPED\DUDQGDQSHQ\HOHVDLDQ ȕ5) 18% -DVDDJHQVL ȕ6) 15% 3HUDQWDUDULWHO ȕ7) 12% 0DQDMHPHQDVHW ȕ8) 12%
2.3 Value at Risk
Misal diberikan tingkat kepercayaan Į ࣅ (0,1), maka Value at Risk (VaR) pada tingkat kepercayaan Į didefinisikan sebagai nilai terkecil l sedemikian sehingga probabilitas kerugian L lebih besar l adalah tidak lebih besar dari (1 ± Į Secara matematis, VaR diberikan oleh persamaan berikut
ఈൌ ݂݅݊ሼ݈ א ܴȁܲሺܮ ݈ሻ ͳ െ ߙሽሺʹǤ͵ሻ (McNeil, Frey, dan Embrechts 2005)
Dalam ekonomi dan keuangan, VaR adalah kerugian maksimum yang tidak akan dilewati untuk suatu probabilitas yang didefinisikan sebagai tingkat
kepercayaan. VaR diterapkan secara luas dalam keuangan untuk manajemen risiko secara kuantitatif.
2.4 Distribusi Probabilitas
Sering kali, untuk mengetahui peluang dari semua variabel acak pada suatu percobaan acak lebih mudah menggunakan suatu rumus. Rumus tersebut
merupakan fungsi dari nilai-nilai variabel acak, jadi f(x) = P(X = x) dimana X adalah variabel acak. Himpunan semua pasangan berurutan (x,f(x)) disebut distribusi probabilitas untuk variabel acak X.
Distribusi probabilitas dibagi menjadi dua yaitu distribusi probabilitas diskrit dan distribusi probabilitas kontinu. Distribusi probabilitas diskrit adalah sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu variabel acak diskrit berikut peluangnya. Sedangkan, untuk distribusi probabilitas kontinu sering disebut sebagai fungsi densitas probabilitas karena nilai-nilai dari variabel acaknya berupa daerah interval (Walpole,1972).
2.4.1 Distribusi Binomial
Misalkan terdapat N percobaan yang saling bebas dan tiap percobaan menghasilkan sebuah peluang sukses p dan peluang gagal 1 ± p. Maka distribusi probabilitas untuk variabel acak M, yaitu banyaknya kejadian sukses dalam N percobaan yang saling bebas adalah
Universitas Indonesia
Variabel acak M dalam kasus ini disebut variabel binomal dan distribusi probabilitas untuk variabel acak M disebut distribusi binomal (Walpole, 1972).
2.4.2 Distribusi Poisson
Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi sebuah variabel acak X, yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu, sering disebut percobaan poisson. Percobaan poisson
memiliki ciri-ciri sebagai berikut:
a) Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.
b) Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut.
c) Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut, dapat diabaikan.
Variabel X yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan poisson disebut variabel acak poisson dan distribusi probabilitasnya disebut distribusi poisson. Distribusi probabilitas untuk X adalah
࣪ሺݔȁߤሻ ൌ݁ିఓߤ௫
ݔǨ ǡݑ݊ݐݑ݇ݔ ൌ Ͳǡ ͳǡ ʹǡ Ǥ ǤǤሺʹǤͷሻ ൌ Ͳǡݑ݊ݐݑ݈݇݊݅ܽ݅ݔ݈ܽ݅݊݊ݕܽ
dimana µ adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakaQGDQH « :DOSROH 2).
2.4.3 Distribusi Normal/Gaussian
Distribusi probabilitas kontinu yang paling penting dalam bidang statistika adalah distribusi normal. Distribusi normal sering disebut distribusi Gaussian, untuk menghormati Gauss (1777 ± 1855) yang berhasil mendapatkan
persamaannya dari studi mengenai galat dalam pengukuran yang berulang-ulang terhadap benda yang sama. Suatu variabel acak kontinu X yang memiliki
Bila X DGDODKVXDWXYDULDEHODFDNQRUPDOGHQJDQPHDQGDQYDULDQVLı2, maka persamaan kurva normalnya adalah
ࣨሺݔȁߤǡ ߪሻ ൌ ͳ ሺʹߨߪଶሻଵȀଶ ቆെ ሺݔ െ ߤሻଶ ʹߪଶ ቇሺʹǤሻ GDODPKDOLQLʌ «GDQH 2,« :DOSROH 2). 2.4.4 Distribusi Log-Normal
Distribusi log-normal adalah suatu distribusi probabilitas dari variabel acak kontinu yang logaritma dari variabel acaknya berdistribusi normal. Jika X
berdistribusi log-normal maka Y = log(X) berdistribusi normal. Variabel acak yang berdistribusi log-normal hanya bernilai positif.
Bila X adalah variabel acak yang berdistribusi log-normal dengan mean µ GDQYDULDQVLı2, maka persamaan kurvanya adalah
ࣦሺݔȁߤǡ ߪሻ ൌ ͳ
ݔሺʹߨߪଶሻଵȀଶ ቆെ
ሺݔ െ ߤሻଶ
ʹߪଶ ቇ ݑ݊ݐݑ݇ݔ ͲሺʹǤሻ ൌ Ͳǡݑ݊ݐݑ݈݇݊݅ܽ݅ݔ݈ܽ݅݊݊ݕܽ dalam hal ini ln(.) adalah logaritma dengan bDVLVH «.
2.4.5 Distribusi M ajemuk
Misalkan S adalah suatu variabel acak yang dibentuk dari beberapa variabel acak X yang identically independent distribution (iid), dimana banyaknya variabel acak X itu sendiri berupa variabel acak N dan X saling bebas terhadap N. Secara matematis S didefinisikan sebagai berikut:
ܵ ൌ ܺଵ ܺଶ ڮ ܺேൌ ܺ ே
ୀଵ
ሺʹǤͺሻ
dalam hal ini S akan membentuk suatu distribusi probabilitas yang disebut distribusi majemuk.
2.5 Loss Distribution Approach
Loss Distribution Approach (LDA) adalah suatu pendekatan statistik yang sangat populer dalam akturia sains untuk menghitung distribusi kerugian (loss distribution). Dalam kaitannya dengan risiko operasional, LDA dipertimbangkan
Universitas Indonesia
sebagai kerangka dasar untuk pengalokasian economic capital. Konsep dasarnya adalah bank harus mengestimasi, untuk setiap lini bisnis/tipe kejadian, fungsi distribusi probabilitas dari dampak kejadian tunggal dan frekuensi kejadian untuk satu tahun ke depan dengan menggunakan data internal bank tersebut, dan
menentukan distribusi probabilitas dari kerugian operasional kumulatif (Frachot, Georges, dan Roncalli,2001).
Secara matematis, besarnya kerugian tahunan diberikan oleh persamaan berikut: ܼ ൌ ܺሺሻ ே ୀଵ ሺʹǤͻሻ dimana,
Z = besarnya kerugian per tahun
N = banyaknya kejadian kerugian yang terjadi selama 1 tahun X(i) = besarnya kerugian pada kejadian ke- i
Karena Z adalah variabel acak yang dibentuk dari variabel acak X(i) untuk i = 1, « N, yang identically independent distribution (iid), kemudian N juga merupakan variabel acak yang saling bebas terhadap X(i) maka Z akan membentuk suatu distribusi majemuk. Dalam kasus ini, distribusi probabilitas dari variabel acak X(i) disebut distribusi severitas, dan distribusi probabilitas dari variabel acak N disebut distribusi frekuensi.
Secara umum, tidak terdapat ekspresi secara analitik untuk distribusi majemuk sehingga perlu dilakukan suatu pendekatan secara numerik untuk mendapatkan aproksimasi dari distribusi majemuk. Beberapa metode numerik yang terkenal adalah metode Monte Carlo, Fast Fourier Transform dan Panjer Recursion. Metode monte carlo adalah metode yang paling mudah untuk diimplementasikan (Shevchenko, 2009).
2.6 Algoritma M onte Carlo pada M etode Loss Distribution Approach
Metode monte carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika dan matematika. Algoritma monte carlo merupakan metode monte carlo numerik yang digunakan untuk menemukan solusi problem matematis yang sulit dipecahkan secara analitik.
Algortima monte carlo pada metode LDA adalah sebagai berikut: 1. Melakukan estimasi distribusi frekuensi
2. Melakukan estimasi distribusi severitas 3. Untuk k = 1
a) Melakukan pengambilan bilangan secara acak dari distribusi frekuensi, misal bilangan yang terambil N.
b) Melakukan pengambilan secara acak sebanyak N dari distribusi severitas, misal X(1), X(2)«X(N) dengan X(1), X(2)«X(N) saling bebas.
c) Hitung ܼሺሻൌ σே ܺሺሻ ୀଵ
4. Ulangi langkah no.1 untuk k = 2 sampai dengan k = K
Pada akhirnya akan diperoleh Z(1)« Z(K) yang merupakan sampel dari distribusi majemuk. Untuk mendapatkan estimasi modal risiko di tahun berikutnya maka Z(1)«Z(K) diurutkan sebagai berikut ܼ෨ሺଵሻ ڮ ܼ෨ሺሻ, kemudian ditentukan persentil ke 99,9 % (Shevchenko, 2009).
18 Universitas Indonesia
BAB I I I
KERNEL DENSI TY ESTI MATI ON
Dalam bab 3 ini, akan dibahas mengenai konsep dasar dari metode kernel density estimation, fungsi kernel, dan pemilihan lebar pita (bandwidth).
3.1 Konsep Dasar
Kernel Density Estimation (KDE) merupakan suatu pendekatan statistika non-parametrik untuk mengestimasi fungsi distribusi probabilitas dari suatu variabel acak jika diasumsikan bentuk atau model distribusi dari variabel acak tersebut tidak diketahui. Dalam ekonometrika, KDE dikenal sebagai metode Parzen-Rosenblatt window. Konsep dasar dari KDE adalah mengestimasi fungsi densitas di suatu titik x dengan menggunakan pengamatan disekitarnya. Misalkan vektor pengamatan x diambil dari suatu fungsi distribusi probabilitas p(x) yang tidak diketahui, maka probabilitas bahwa vektor x akan berada dalam suatu daerah R adalah
ܲ ൌ න ሺܠሻ݀ܠሺ͵Ǥͳሻ ோ
Misalkan N pengamatan diambil dari distribusi probabilitas p(x). Karena setiap titik data memiliki probabilitas P untuk berada dalam daerah R, maka distribusi probabilitas banyaknya k titik data yang berada dalam daerah R akan mengikuti distribusi binomial
ሺ݇ȁܰǡ ܲሻ ൌ ܰǨ
݇Ǩ ሺܰ െ ݇ሻǨܲሺͳ െ ܲሻேିሺ͵Ǥʹሻ Dari persamaan (3.2) dapat diperoleh bahwa mean k/N adalah E(k/N) = P dan variansi k/N adalah var(k/N) = P(1 ± P)/N. Untuk N yang sangat besar maka variansi dari k/N akan semakin kecil dan mengakibatkan data cenderung
berkumpul di mean, sehingga ݇
ܰ ؆ ܲሺ͵Ǥ͵ሻ Jika diasumsikan bahwa daerah R cukup kecil sehingga probabilitas p(x) konstan atas daerah R, maka persamaan (3.1) akan menjadi
dengan V adalah volume dari R. Subtitusikan persamaan (3.3) ke (3.4) maka diperoleh estimasi dari fungsi distribusi probabilitas dalam bentuk
ሺܠሻ ൌ ݇
ܸܰሺ͵Ǥͷሻ Persamaan (3.5) dapat dikembangkan dengan dua cara. Pertama, dengan menetapkan k dan kemudian menentukan nilai V dari data, hal ini yang mendasari metode k-nearest-neighbour, metode ini tidak akan dibahas lebih lanjut. Kedua, dengan menetapkan V dan kemudian menentukan k dari data, hal ini yang mendasari metode Kernel Density Estimation (KDE).
Sekarang, asumsikan bahwa daerah R adalah hypercube berdimensi D yang memiliki pusat di titik x.
Kemudian definisikan fungsi sebagai berikut: ܭሺݑሻ ൌ ቄͳǡͲǡȁݑȁݑȁ ͳȀʹ
ȁݕ݈ܽ݊݃ܽ݅݊ሺ͵Ǥሻ dengan i «D. Fungsi ini adalah contoh fungsi kernel yang disebut Parzen Windows. Dari persamaan (3.6) nilai K((x ± xn)/h) akan sama dengan 1 jika titik data xn berada dalam hypercube dengan sisi h dan pusat x, dan nol untuk
sebaliknya. Dengan demikian banyaknya data yang berada dalam hypercube ini adalah ݇ ൌ ܭ ቀܠ െ ܠܖ ݄ ቁ ே ୀଵ ሺ͵Ǥሻ
Substitusikan persamaan (3.7) ke persamaan (3.5) maka diperoleh
ாሺܠሻ ൌ ͳ ܰ ͳ ݄ܭ ቀ ܠ െ ܠܖ ݄ ቁ ே ୀଵ ሺ͵Ǥͺሻ
dimana V = hD merupakan volume dari kubus berdimensi D dengan sisi h
Universitas Indonesia
Dalam kasus univariat, persamaan (3.8) menjadi
ாሺݔሻ ൌ ͳ ݄ܰ ܭ ቀ ݔ െ ݔ ݄ ቁ ே ୀଵ ሺ͵Ǥͻሻ
(Zambom dan Dias, 2012). Contoh:
Diberikan data X = {4,5,6,6,13,14,15,15,15,17}. Dengan menggunakan fungsi kernel Parzen Windows, tentukan probabilitas p(x) di x = 3,11,15, dengan menggunakan h = 4. Solusi: ሺݔ ൌ ͵ሻ ൌ ͳ ݄ܰଵ ܭ ቀ ݔ െ ݔ ݄ ቁ ே ୀଵ ൌ ͳ ͳͲ ൈ Ͷଵܭ ൬ ͵ െ Ͷ Ͷ ൰ ܭ ൬ ͵ െ ͷ Ͷ ൰ ڮ ܭ ൬ ͵ െ ͳ Ͷ ൰൨ ൌ ͲǡͲͷ
dengan cara yang sama diperoleh, ሺݔ ൌ ͳͳሻ ൌ ͳ
ͳͲ ൈ ͶଵሾͲ Ͳ Ͳ Ͳ ͳ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳሿ ൌ ͲǡͲʹͷ ሺݔ ൌ ͳͷሻ ൌ ͳ
ͳͲ ൈ ͶଵሾͲ Ͳ Ͳ Ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳሿ ൌ Ͳǡͳͷ
3.2 Fungsi Kernel
Estimasi fungsi distribusi probabilitas dengan menggunakan KDE selalu melibatkan fungsi kernel. Suatu fungsi K(u) disebut fungsi kernel jika K fungsi kontinu, bernilai riil, simetris, terbatas, dan ܭሺݑሻ݀ݑିஶஶ ൌ ͳ.
Beberapa contoh fungsi kernel yang banyak digunakan adalah 1. Seragam
ܭሺݑሻ ൌ ൜ͳȀʹǡͲǡ ݑ݊ݐݑ݇ȁݑݑ݊ݐݑ݇ȁݑȁ ͳ
2. Segitiga ܭሺݑሻ ൌ ൜ͳ െ ȁݑȁǡͲǡ ݑ݊ݐݑ݇ȁݑݑ݊ݐݑ݇ȁݑȁ ͳ ȁݕ݈ܽ݊݃ܽ݅݊ሺ͵Ǥͳͳሻ 3. Epanechnikov ܭሺݑሻ ൌ ൜͵ȀͶሺͳ െ ݑଶሻǡ Ͳǡ ݑ݊ݐݑ݇ȁݑȁ ͳ ݑ݊ݐݑ݇ȁݑȁݕ݈ܽ݊݃ܽ݅݊ሺ͵Ǥͳʹሻ 4. Gaussian ܭሺݑሻ ൌ ͳ ξʹߨ ൬െ ͳ ʹݑଶ൰ ǡ ݑ݊ݐݑ݇ȁݑȁ ൏ λሺ͵Ǥͳ͵ሻ Dalam KDE, tingkat kemulusan dari pKDE(x) ditentukan oleh fungsi kernel K dan lebar pita h yang disebut parameter pemulus. Tetapi pengaruh kernel K tidak sedominan parameter pemulus h. Perbandingan tingkat kemulusan dari beberapa fungsi kernel K dapat dilihat pada gambar 3.1 berikut:
Gambar 3.1 Fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) dengan beberapa fungsi kernel
Dari gambar 3.1 terlihat bahwa fungsi kernel yang menghasilkan fungsi probabilitas dengan tingkat kemulusan yang baik adalah fungsi kernel gaussian.
Universitas Indonesia
3.3 Pemilihan Lebar Pita (Bandwidth)
Parameter lain dalam estimasi fungsi distribusi probabilitas menggunakan KDE adalah lebar pita h. Pemilihan lebar pita h yang terlalu kecil akan
menyebabkan pKDE(x) terlalu berduri sehingga sulit untuk diinterpretasikan, sedangkan lebar pita h yang terlalu besar akan menyebabkan pKDE(x) terlalu mulus sehingga dapat menutupi struktur data. Perbandingan beberapa nilai h pada pKDE(x) yang menggunakan fungsi kernel gaussian dapat dilihat pada gambar 3.2 berikut:
Gambar 3.2 Fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) dengan beberapa nilai h.
Dari gambar 3.2 terlihat bahwa untuk h = 0,1 akan menyebabkan fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) terlalu berduri dan pemilihan h = 2 akan
menyebabkan fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) terlalu mulus sedangkan untuk h = 0,6 fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) memiliki tingkat kemulusan yang baik karena sesuai dengan struktur data atau bisa dikatakan h = 0,6 adalah nilai h yang optimal.
Penelitian mengenai pemilihan lebar pita h yang optimal telah banyak dilakukan, namun sampai saat ini belum ada metode yang paling bagus untuk dapat digunakan dalam setiap situasi. Dalam banyak kasus, pemilihan nilai h
cukup dengan melihat fungsi distribusi probabilitas yang dihasilkan oleh nilai h dalam rentang nilai tertentu. Pertama dimulai dengan nilai h yang besar, dan terus turun sampai didapatkan nilai h yang cukup optimal, yaitu nilai h yang
menghasilkan fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) yang cukup baik
menggambarkan struktur data. Akan tetapi untuk beberapa kasus diperlukan suatu metode kuantitatif dalam mengestimasi nilai h yang optimal (Zambom dan Dias 2012).
Salah satu metode kuantitatif untuk estimasi nilai h yang banyak digunakan adalah metode silverman, yaitu
݄ ൌ ͳǡͲݏܰିଵȀହሺ͵ǤͳͶሻ dengan s adalah standar deviasi sampel dan N adalah banyaknya data sampel. Asumsi yang digunakan dalam metode ini adalah fungsi distribusi probabilitas data sebenarnya adalah gaussian dan fungsi kernel yang digunakan gaussian (Zambom dan Dias, 2012).
24 Universitas Indonesia
BAB I V
SI M ULASI DAN ANALI SI S
Dalam bab ini, dilakukan simulasi yang bertujuan untuk melihat
perbandingan nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang menggunakan KDE dalam estimasi distribusi severitasnya dengan LDA yang menggunakan model distribusi tertentu dalam estimasi distribusi severitasnya. Perangkat lunak yang digunakan adalah bahasa pemrograman Python. Algoritma inti program diunduh dari http://scikit-learn.org, http://docs.scipy.org, dan http://matplotlib.org. Alur pembahasan dalam simulasi ini meliputi data penelitian, estimasi distribusi frekuensi, estimasi distribusi severitas, perbandingan nilai EC antara KDE dan model distribusi tertentu, perbandingan nilai EC untuk beberapa nilai h pada KDE.
4.1 Data Penelitian
Data penelitian dalam tesis ini dibangun secara acak menggunakan
microsoft excel dan python. Data penelitian terdiri dari 3 data, yaitu data 3 tahun, data 5 tahun, dan data 10 tahun dengan nilai data dalam satuan ribuan rupiah. Statistik data penelitian dapat dilihat pada tabel 4.1 berikut:
Tabel 4.1 Statistik data penelitian 3 tahun, 5 tahun dan 10 tahun
Tahun Ke- 1 2 3 Frekuensi 183 149 163 Mean 39,836.09 44,062.72 54,967.08 Standar Deviasi 18,137.52 23,814.23 22,071.61 Tahun Ke- 1 2 3 4 5 Frekuensi 55 65 70 50 60 Mean 32,256.70 28,569.98 36,447.10 54,637.52 49,342.57 Standar Deviasi 11,787.16 13,314.75 20,037.53 28,458.42 26,551.13 Tahun Ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Frekuensi 50 60 50 65 45 55 50 60 50 55 Mean 34,798.56 33,710.42 38,019.44 32,382.11 35,281.24 36,008.76 36,435.36 39,506.53 45,152.88 49,761.51 Standar Deviasi 14,201.39 13,912.41 13,612.59 13,322.23 14,370.14 13,805.79 21,059.44 22,926.98 23,127.57 24,497.91
Sedangkan untuk rincian data penelitian dapat dilihat dalam lampiran 2 dengan histogram data penelitian disajikan dalam gambar 4.1 berikut:
7 8 9 10 50 60 50 55 36,435.36 39,506.53 45,152.88 49,761.51 21,059.44 22,926.98 23,127.57 24,497.91
Universitas Indonesia
Gambar 4.1 Histogram data penelitian
4.2 Estimasi Distribusi Frekuensi
Frekuensi kerugian per tahun dalam risiko operasional menghasilkan nilai-nilai bagi variabel acak N, yaitu banyaknya frekuensi kerugian yang terjadi dalam waktu satu tahun. Banyaknya frekuensi kerugian yang terjadi dalam tahun tertentu tidak bergantung pada banyaknya frekuensi kerugian dalam tahun yang lain. Oleh karena itu, distribusi probabilitas dari variabel acak N adalah berdistribusi
poisson. Parameter dalam distribusi poisson adalah mean µ. Untuk data 3 tahun memiliki µ=165, data 5 tahun memiliki µ=60, dan data 10 tahun memiliki µ=54. Distribusi frekuensi yang terbentuk dapat dilihat pada gambar 4.2 berikut:
Gambar 4.2 Distribusi frekuensi
4.3 Estimasi Distribusi Severitas
4.3.1 Estimasi Distribusi Severitas M enggunakan KDE
Langkah pertama dalam mengestimasi distribusi severitas menggunakan KDE adalah menentukan paramater pemulus untuk distribusi severitas. Parameter pemulus pertama adalah pemilihan fungsi kernel. Dalam penelitian ini fungsi kernel yang digunakan adalah fungsi kernel gaussian karena bisa menghasilkan fungsi distribusi probabilitas dengan tingkat kemulusan yang baik. Parameter pemulus kedua adalah pemilihan nilai h. Pemilihan nilai h berdasarkan metode kuantitatif yaitu metode silverman dapat dilihat pada gambar 4.3 berikut:
Universitas Indonesia
Gambar 4.3 Distribusi severitas menggunakan KDE dengan nilai h berdasarkan metode silverman
Dari gambar 4.3 dapat dilihat bahwa pemilihan nilai h menggunakan metode silverman masih kurang optimal menggambarkan data yang sebenarnya karena distribusi severitas yang dihasilkan masih terlalu besar mengestimasi daerah yang lebih kecil dari nilai minimum data. Oleh karena itu, pemilihan nilai h akan dilanjutkan dengan cara yang umum digunakan yaitu berdasarkan distribusi severitas yang dihasilkan oleh beberapa nilai h kemudian secara visual akan ditentukan nilai h yang optimal, yaitu nilai h yang bisa menghasilkan distribusi severitas yang cukup baik menggambarkan data penelitian. Hasil dari beberapa nilai h dapat dilihat pada gambar 4.4 berikut:
Universitas Indonesia
Gambar 4.4 Distribusi severitas menggunakan KDE dengan beberapa nilai h
Dari gambar 4.4 dapat diambil beberapa kesimpulan yaitu untuk data 3 tahun dipilih nilai h yang optimal adalah h = 5000 karena cukup baik
menggambarkan data secara keseluruhan, untuk data 5 tahun dipilih nilai h yang optimal adalah h = 3000 karena tidak terlalu besar mengestimasi daerah yang nilainya lebih kecil dari nilai minimum data, dan untuk data 10 tahun dipilih nilai h yang optimal adalah h = 3000 karena bisa menggambarkan data dengan baik termasuk tidak berlebihan dalam estimasi untuk data-data yang bernilai besar. Kemudian untuk nilai h = 500 distribusi severitas yang dihasilkan akan terlalu berduri dan untuk nilai h = 10000 distribusi severitas yang dihasilkan akan terlalu mulus.
4.3.2 Estimasi Distribusi Severitas M enggunakan Suatu M odel Distribusi
Dari histogram data penelitian dalam gambar 4.1 terlihat bahwa data cenderung berkumpul di daerah yang nilai datanya relatif kecil (menceng kiri), dan data seluruhnya bernilai positif. Oleh karena itu, untuk ketiga data penelitian dipilih model distribusi yang relatif cocok yaitu distribusi log-normal. Tampilan distribusi log-normal untuk data penelitian dapat dilihat pada gambar 4.5 berikut:
Universitas Indonesia
Gambar 4.5 Distribusi severitas menggunakan model distribusi log-normal
4.3.3 Perbandingan Distribusi Severitas yang M enggunakan KDE dengan yang M enggunakan Suatu M odel Distribusi
Perbandingan distribusi severitas antara yang menggunakan KDE dengan yang menggunakan suatu model distribusi tertentu dilakukan untuk melihat secara visual, manakah dari dua distribusi severitas yang dihasilkan, yang mampu lebih baik dalam menggambarkan data penelitian.
Gambar 4.6 Perbandingan distribusi severitas
Universitas Indonesia
Dari gambar 4.6 terlihat bahwa untuk ketiga data yang digunakan dalam penelitian ini, distribusi severitas yang menggunakan KDE lebih baik dalam menggambarkan data penelitian karena bisa mengestimasi daerah-daerah lokal tempat berkumpulnya data, sedangkan distribusi severitas menggunakan model distribusi log-normal tidak bisa melakukannya.
4.4 Perbandingan Nilai EC antara yang M enggunakan KDE dengan yang M enggunakan Suatu Model Distribusi
Perhitungan nilai EC dilakukan secara numerik menggunakan metode monte carlo. Melalui metode monte carlo akan didapatkan variabel-variabel acak yang merupakan sampel dari distribusi majemuk. Kemudian variabel-variabel acak tersebut diurutkan dari nilai yang terkecil ke nilai yang terbesar lalu ditentukan persentil ke 99,9% yang merupakan estimasi nilai EC di tahun berikut. Simulasi dilakukan sebanyak 10 kali dan dilakukan terhadap beberapa jumlah sampel, diantaranya 1, 10, 102, 103, 104, 105, dan 106. Hasil dari simulasi disajikan dalam gambar 4.7, 4.8, dan 4.9 berikut:
Universitas Indonesia
Gambar 4.9 Konvergensi nilai EC untuk data 10 tahun
Dari gambar 4.7, 4.8, dan 4.9 dapat dilihat bahwa nilai EC akan mulai konvergen ke suatu nilai ketika banyaknya sampel adalah 105, hal ini sesuai dengan karakteristik dari metode monte carlo yang membutuhkan sampel minimal sebanyak 105 agar simulasi yang dilakukan konvergen ke suatu nilai.
Perbandingan nilai EC yang diperoleh dari hasil simulasi lebih jelasnya dapat dilihat pada tabel 4.2 berikut
Tabel 4.2 Perbandingan nilai EC untuk data 3 tahun, 5 tahun dan 10 tahun
M etode Nilai EC Banyak Sampel (10^x) Standar Deviasi 9,747,878.30 5 26,312.37 9,743,212.00 6 6,552.70 9,893,008.39 5 22,764.94 9,901,079.80 6 4,819.10 KDE Log-Normal
Universitas Indonesia
Dari tabel 4.2 dapat dilihat bahwa untuk data 3 tahun nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang menggunakan KDE lebih kecil sebesar 1,6%, untuk data 5 lebih kecil sebesar 3,2%, dan untuk data 10 tahun lebih kecil sebesar 2,8% dibandingkan nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang menggunakan log-normal. Kemudian ketika banyaknya sampel adalah 106 nilai EC semakin jelas menuju ke satu nilai hal ini dapat dilihat dari standar deviasinya yang lebih kecil
dibandingkan ketika banyaknya sampel adalah 105.
Perbedaan nilai EC yang dihasilkan untuk ketiga data penelitian, disebabkan oleh estimasi yang berlebih dari model distribusi log-normal pada daerah yang nilainya jauh lebih besar dari nilai maksimum data, untuk lebih jelas dapat dilihat pada gambar 4.10 berikut:
Gambar 4.10 Perbandingan tail dari KDE dan Log-Normal untuk data 3 tahun (a), 5 tahun (b), dan 10 tahun (c)
M etode Nilai EC Banyak Sampel (10^x) Standar Deviasi 3,521,863.00 5 14,715.35 3,520,330.50 6 2,217.44 3,634,601.30 5 14,731.33 3,632,659.70 6 3,483.08 KDE Log-Normal M etode Nilai EC Banyak Sampel (10^x) Standar Deviasi 3,094,578.40 5 13,752.27 3,091,952.80 6 3,152.31 3,174,356.50 5 15,369.37 3,178,200.00 6 3,336.79 KDE Log-Normal
4.5 Nilai EC untuk Beberapa Nilai h pada KDE
Simulasi ini dilakukan untuk mengetahui seberapa besar pengaruh
pemilihan nilai h terhadap nilai EC yang dihasilkan. Simulasi dilakukan dengan menggunakan sampel sebanyak 105. Hasil dari simulasi dapat dilihat pada tabel 4.3 berikut:
Tabel 4.3 Perbandingan nilai EC untuk beberapa nilai h pada KDE untuk data 3 tahun, 5 tahun, dan 10 tahun
Dari tabel 4.3 dapat diambil kesimpulan bahwa nilai h yang berbeda-beda dengan catatan tidak terlalu berduri atau terlalu mulus berpengaruh kecil terhadap
Bandwidth (h) Nilai EC Standar Deviasi 500 9,731,174.67 2000 9,734,267.03 2500 9,730,971.32 3000 9,735,190.15 4000 9,741,654.05 5000 9,747,878.30 6810 9,750,494.27 10000 9,769,592.46 7,905 Bandwidth (h) Nilai EC Standar Deviasi 500 3,513,631.70 2000 3,514,677.00 3000 3,521,863.00 4000 3,518,947.10 5000 3,522,754.50 7802 3,536,074.70 10000 3,552,739.60 8,030 Bandwidth (h) Nilai EC Standar Deviasi 500 3,086,040.10 1500 3,081,622.20 3000 3,094,578.40 4000 3,096,651.10 5000 3,095,726.80 5606 3,094,041.70 10000 3,120,605.70 6,178
Universitas Indonesia
perbedaan nilai EC. Hal ini dapat dilihat dari nilai standar deviasi yang kecil dari nilai EC yang dihasilkan oleh beberapa nilai h. Seperti untuk data 3 tahun
pemilihan nilai h antara 2000 dan 6810 memiliki standar deviasi sebesar 7905, untuk data 5 tahun pemilihan nilai h antara 2000 dan 7802 memiliki standar deviasi sebesar 8030, dan untuk data 10 tahun pemilihan nilai h antara 1500 dan 5606 memiliki standar deviasi sebesar 6178.
BAB V
KESI M PULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari simulasi yang telah dilakukan dalam penelitian ini diperoleh beberapa kesimpulan, yaitu:
1. Konvergensi tail menuju p(x) = 0 dari distribusi severitas berpengaruh pada besar kecilnya nilai EC yang dihasilkan.
2. Perbedaan nilai lebar pita h, yang merupakan parameter dalam KDE, dengan catatan tidak terlalu berduri atau terlalu mulus memberikan pengaruh yang kecil terhadap perbedaan nilai EC yang dihasilkan.
3. Nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang menggunakan KDE lebih kecil 1,6 ± 3,2% dibandingkan nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang menggunakan model distribusi log-normal.
5.2 Saran
Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan menggunakan data riil untuk bisa melihat metode manakah yang lebih baik.
DAFTAR REFERENSI
Basel Committee on Banking Supervision. (2006). International Convergence of Capital Measurement and Capital Standars: a revised framework. Basel. Bishop, C. M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer: New
York.
Frachot, A. Georges, P. dan Roncalli, T. (2001). Loss Distribution Approach for Operational Risk. Working Paper, Groupe de Recherche Operationnelle: France. Diunduh pada: 25 Mei 2013
McNeil, A. J., Frey, R., Embrechts, P. (2005). Quantitative Risk Management. Princeton University Press : United States of America.
Shevchenko, P.V. (2009). Implementing Loss Distribution Approach for
Operational Risk. Applied Stochastic Models in Business and Industry, vol. 26(3), pages 277±307.
Walpole, R.E. (1972). Introduction to Statistics. The Macmillan Company : United States of America
Zambom, A. Z. dan Dias, R. (2012). A review of Kernel Density Estimation with Applications to Econometrics. arXiv:1212.2812v1 [stat.ME]. diunduh pada: 26 Oktober 2013.
Universitas Indonesia
Lampiran 1. Algoritma Program Program Distribusi Frekuensi
Program Distribusi Severitas
Program Monte Carlo pada metode LDA yang menggunakan KDE
Universitas Indonesia
Program Monte Carlo pada metode LDA yang menggunakan Log-Normal
Lampiran 2. Data Penelitian A. Data 3 Tahun 40300.62 56812.29 72398.88 25525.84 44609.56 21804.22 26732.05 38502.46 17529.75 68633.62 38727.38 49227.23 29774.31 19490.39 37121.80 33599.01 27844.65 30250.48 48582.47 53420.81 53765.29 43860.94 28971.04 43355.53 65350.37 43586.17 27791.22 45510.56 48101.62 14022.84 38045.06 98473.56 47597.66 43574.12 35921.30 27052.69 46682.68 22147.88 58704.48 24539.99 29064.70 39312.79 38971.85 36258.00 29380.63 13148.12 39835.93 25584.17 25507.37 23758.76 48923.74 61480.68 51874.30 31589.27 35180.27 24818.06 31214.42 36071.84 35420.12 40557.92 20181.31 45728.38 29619.94 69805.32 96735.82 25294.81 94234.57 16859.71 25683.13 39508.91 36669.30 34478.04 47403.11 32851.87 74691.48 37974.50 43341.08 31776.48 39759.66 36649.60 41158.50 36553.79 38008.54 41965.98 37445.79 34754.31 39309.25 21301.35 22452.36 46586.45 28146.64 52249.26 64108.20 49573.86 41500.74 30130.86 45398.11 22789.33 31269.36 26627.92 22499.31 63702.39 45908.76 25318.09 35194.31 13357.94 34888.41 33356.43 34232.16 46361.15 21234.47 23976.42 28677.36 27386.13 41301.40 32702.65 46284.23 40155.70 57898.15 41949.40 76543.65 40899.08 52179.77 41837.41 71670.00 80150.84 38200.60 63031.37 43616.81 37296.72 25216.34 42668.00 35297.43 19196.53 37369.89 14931.65 53475.69 56045.12 30299.76 94544.75 100662.37 28328.40 12443.45 43728.37 40038.18 36998.71 13727.08 33438.58 89148.99 30909.57 29983.53 24911.18 48406.15 17743.19 37940.82 15383.49 42076.37 107098.20 45847.39 48618.17 27987.50 31735.19 43872.14 67200.81 16437.78 24735.90 29197.53 19992.32 19666.45 40831.86 35130.85 48335.27 34662.57 26986.10 35467.67 85471.74 23769.27 44253.94 32262.57 12576.15 53993.11 32357.25 18318.93 TOTAL 7290004.74 TAHUN 1 14918.23 54439.42 50621.54 42874.08 30011.22 27018.42 72900.82 89711.33 23603.45 26294.97 61554.92 24794.91 32561.31 73541.17 96046.43 87557.30 24289.59 44387.28 85762.29 61616.41 47718.98 47889.61 74746.16 35450.81 64134.62 27540.55 71676.49 13870.70 66235.63 34017.79 27049.77 21354.52 70098.57 71395.13 29033.66 44928.23 71125.72 15912.41 15034.61 15539.48 46579.95 31482.12 22654.78 51501.97 44896.30 57536.50 15825.55 31091.49 52082.91 64807.86 34300.66 52812.86 24341.17 74425.29 13167.93 72236.39 60488.91 43106.53 15747.02 79162.79 43021.12 23087.20 34543.99 19448.58 43343.73 12191.75 27527.09 25935.89 94440.38 13645.06 77273.80 56539.08 29717.26 39352.82 33219.28 30157.07 19035.39 24537.40 64582.78 66641.16 23544.22 15506.15 11943.42 56649.55 15628.00 78489.87 40011.84 45025.35 60854.44 48876.07 49994.66 22989.72 55762.50 28782.36 37073.57 51190.91 52707.30 56538.96 61195.21 69043.96 23041.51 16388.14 63235.69 46045.05 46005.04 72222.52 33813.58 37559.22 57086.88 21060.43 32201.22 25062.11 22737.89 77281.49 10626.43 64515.97 48891.15 20128.25 43095.11 39429.91 84918.20 25929.89 22656.47 71690.46 53830.05 70312.47 93409.97 11925.88 58480.04 70305.47 27276.39 40869.05 12290.61 36115.69 91891.76 32324.42 22118.77 49390.21 10347.02 33658.44 75057.69 26606.74 11294.87 43366.92 53666.58 47499.58 47077.26 56990.35 46059.39 TOTAL 6565344.63 TAHUN 2
