BAB Solusi Persamaan Fungsi Polinomial

BAB 1

Konsep Dasar

BAB 2

Solusi Persamaan Fungsi

Polinomial

BAB 3

Interpolasi dan Aproksimasi

Polinomial

3.1 Norm

De
nisi 3.1.1

(

Norm vektor

) Norm vektor adalah pemetaan dari suatu fungsi terhadap setiapx2

IR

N yang disimbolkan dengan

jjxjjsedemikian hingga memenuhi

sifat-sifat dibawah ini

1. jjxjj>0 untukx= 06 , atau jjxjj= 0, untuk x= 0

2. jjxjj=jjxjj

3. jjx+yjjjjxjj+jjyjj

Contoh

jjxjj 1 = n X i=1 jx i j jjxjj 2 =
n X i=1 jx i j 2 1 2  (Norm Euclid) jjxjj p =
n X i=1 jx i j p  1 p jjxjj 1 = max 1in jx i j

De
nisi 3.1.2

(

Norm matrik

) Norm matrik adalah pemetaan dari suatu fungsi terhadap setiap x 2

IR

NN yang disimbolkan dengan

jjAjj sedemikian hingga

memenuhi sifat-sifat dibawah ini

1. jjAjj>0 untuk A= 06 , atau jjAjj= 0, untuk A= 0

2. jjAjj=jjAjj 3. jjA+BjjjjAjj+jjBjj 4. jjABjjjjAjjjjBjj

Contoh

jjAjj F =
n X i=1 n X j=1 ja ij j 2  1 2 (Norm Frobenius) jjAjj v = max x6=0 jjAxj v jjxjj v

De
nisi 3.1.3

(

Ruang Linier (RL)

) HimpunanF dikatakan suatu ruang lini-er bila oplini-erasi penjumlahan dan plini-erkalian tlini-erdenisi didalamnya sehingga fg 2

De
nisi 3.1.4

(

Ruang Linier Norm (RLN)

) F dikatakan ruang linier norm bila F adalah merupakan RL dan terdapat fungsi norm sehingga

1. jjfjj>0 untuk f = 06 , atau jjfjj = 0, untuk f = 0

2. jjfjj=jjfjj

3. jjf+gjjjjfjj+jjgjj

untuk semua fg 2F

3.2 Konsep Masalah dalam Aproksimasi

Misalf 2F dan f =2P maka masalah dalam aproksimasi sebenarnya adalah

menentukan p

2P sedemikian hingga jjf;p



jjjjf;pjj 8p2P

kemudian p dikatakan suatu aproksimasi terbaik terhadap f. Hal ini dapat

digambarkan dalam diagram Venn berikut ini

p p*

P

F f

Gambar 3.1: Diagram aproksimasi

Beberapa fungsi aproksimasip(x) untuk menghampiri fungsif(x) dalamF =

 P =fp:p(x) =a 1+a2x+ +a nx n;1 g  P =fp:p(x) = P n r=1a rr ar 2<  r 2Cab]g  P =fp:p(x) = P n 0 a r x r P n 0 b r x r g  P =fp:p(x) = P n r=1 re
rx g:

Sedangkan dalamF =

IR

N adalahP =

fp:p(x) = P n r=1a rr ar 2

IR

N  r

IR

N g

Teorema 3.2.1

(

Teorema Weirstrass

) Misal f terdenisi dan terdifrensialkan pada interval ab] maka terdapat polinomial p(x) yang juga terdenisi dan ter-difrensialkan pada interval tersebut sedemikian hingga untuk nilai  >0 berlaku

jjf(x);p(x)jj< 

dan 8x2ab]

Contoh

F =Cab] dan f 2F, tunjukkan bahwa berikut dibawah ini merupakan RLN jjfjj p =
Z b a jf(x)j pdx  1 p  1p1 jjfjj 1 = max axb jf(x)j

3.3 Solusi Iteratif Untuk Sistem Linier A

x = b

Suatu sistem linier dapat digambarkan sebagai

a11x1+a12x2+ +a 1nxn = b1 a21x1+a22x2+ +a 2nxn = b2 a31x1+a32x2+ +a 3nxn = b3 (3.1) ... annx1+an2x2+ +a nnxn = bn:

Bila

A

merupakan matrik yang memuat koesien variabel x1x2:::xn maka

sistem linier itu dapat direduksi sistem

A

x=b. Ada banyak metoda yang dapat digunakan dalam menyelesaikan sistem ini. Diantaranya metoda langsung dan metoda iteratif. Namun demikian sesuai dengan perkembangan hardware dan software komputer solusi dengan metoda iteratif ini menjadi sangat populer dan terus dikembangkan.

Metoda langsung memanfaakan konsep invers dalam matrik sehingga sistem

A

x=b dapat diselesaikan melalui

A

;1

A

x =

A

;1b

x =

A

;1b

Teknik ini dipandang tidak esien dan efektif, bahkan dimungkinkan suatu sistem tidak dapat diselesaikan karena proses kalkulasi panjang yang harus dikerjakan, yaitu berkenaan dengan penghitungan invers matrik

A

.

Metoda iteratif menguraikan matrik

A

ini kedalam unsur matrik yang lebih sederhana dan mudah dihitung oleh komputer. Misal

A=D-L-U

, dimana

D

adalah matrik diagonal,

L

adalah negatif matrik segitiga bawah satu tahap dibawah diagonal utama dan

U

adalah negatif matrik segiatiga atas satu tahap diatas di-agonal utama maka sistem diatas dapat dinyatakan sebagai berikut

(

D

;

L

;

U

)x = b (3.2)

D

x;(

L

+

U

)x = b

D

x = (

L

+

U

)x+b

x =

D

;1(

L

+

U

)x+

D

;1b

x =

D

;1(

L

+

U

)x+

D

;1b:

Misal

J

=

D

;1(

L

+

U

) maka secara iteratif dapat diformulasikan sebagai

xj+1 =

J

xj +

D

;1b:

(3.3) Metoda ini disebut metoda

Jacobi

.

Untuk meningkatkan kecepatan tingkat konvergensi dari metoda Jacobi, dite-tapkanlah suatu koesien redaman ! 2 < sebagai faktor akselerasi terhadap

metoda ini sedemikian hingga dapat disajikan dengan bentuk dibawah ini

xj+1 =  (1;!)

I

+!

J

 xj +!

D

;1b: (3.4)

Metoda ini disebut metoda

Jacobi teredam (damped Jacobi)

. Bentuk lain dari penyederhanaan (3.2) adalah sebagai berikut

(

D

;

L

)x;

U

x = b (

D

;

L

)x =

U

x+b x = (

D

;

L

) ;1

U

x+ (

D

;

L

) ;1b Misal

G

= (

D

;

L

)

;1

U

maka secara iteratif dapat diformulasikan sebagai

xj+1 =

G

xj+ (

D

;

L

)

;1

Metoda ini disebut metoda

Gauss-Seidel

.

Metoda-metoda iteratif ini dihitung berdasarkan suatu nilai awal yang dalam hal inix0, kemudian dengan rumusan itu dilanjutkan perhitungan untukx1x2:::

sehingga diperoleh deret fx i

g n

i=0. Deret ini akan konvergen terhadap nilai eksak

x. Dapat dilihat disini bahwa proses penghitungan secara berulang terjadi se-hingga dinamakan model solusi iteratif. Untuk menghentikan proses pengulangan ini, hasilnya harus dikonrmasikan dengan toleransi  yang dalam hal ini dapat ditentukan dari nilai dibawah ini

 = jjb;Axjj 1  = jjb;Axjj 2  = jjb;Axjj 1

3.4 Fungsi-Fungsi Aproksimasi

3.4.1 Interpolasi dan Polinomial Lagrange

Polinomial Taylor yang sementara ini sudah cukup baik melakukan interpo-lasi terhadap suatu fungsi masih memiliki kelemahan diantaranya kekurangaku-ratan melakukan suatu aproksimasi. Hal ini disebabkan polinomial ini melakukan aproksimasi hanya berdasarkan satu titik tertentu. Dengan demikian interpolasi yang paling akurat hanya terjadi disekitar titik itu. Oleh karena itu diperlukan eksplorasi terhadap polinomial lainnya, polinomial Lagrange misalnya.

Polinomial ini mengembangkan interpolasi terhadap suatu fungsi dibeberapa titik terhubung, sehingga interpolasinya berdasarkan titik-titik yang telah diten-tukan terlebih dahulu pada fungsi itu. Semakin dekat jarak penentuan titik yang

satu dengan titik yang lainnya semakin akurat aproksimasinya. Dengan kata lain tingkat akurasinya ditentukan oleh kedekatan antara titik-titik (grid) pada fungsi tadi.

Teorema 3.4.1

(

Polinomial Langrange ke-n

) Jika x0x1x2::: adalah

bi-langan berbeda dan f adalah suatu fungsi yang terdenisi pada titik-titik ini, maka ada dengan tungggal suatu polinomial p(x) berderajad paling besar n yang memenuhi sifat-sifat berikut

f(x) =p(x) dimana pk(x) =f(x0)Ln0(x) + +f(x n)Lnn(x) = n X k=0 f(xk)Lnk(x) dan Lnk(x) = n Y i=0 i6=k (x;x i) (xk ;x i) untuk k=0,1,2, :::, n

Dalam hal ini Lnk(x) dapat ditulis dngan Lk(x) bila dianggap rancu dengan

pengertian derajad n. Polinomial Lagrange ini memenuhi sifat sebagai berikut:

Lnk(xi) = 8 > < > : 0 jika i6=k 1 jika i=k

Contoh 1

Gunakan titik-titik x0 = 2x1 = 2:5 dan x2 = 4 untuk menentukan

Solusi 1

L0(x) = ( x;2:5)(x;4) (2;2:5)(2;4) = ( x;6:5)x+ 10 L1(x) = ( x;2)(x;4) (2:5;2)(2:5;4) = (;4x+ 24)x;32 3 L2(x) = ( x;2)(x;2:5) (4;2)(4;2:5) = (x;4:5)x+ 5 3

jika f(x0) = f(2) = 0:5f(x1) =f(2:5) = 0:4f(x2) =f(4) = 0:25, maka didapat

p2(x) = 2 X k=0 f(xk)Lk(x) = 0:5((x;6:5)x+ 10) + 0:4( ;4x+ 24)x;32 3 + 0:25(x ;4:5)x+ 5 3 = (0:05x;0:425)x+ 1:15

Interpolasi oleh p2(x) terhadap f(x) dapat digambarkan dibawah ini

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 f(x) p2(x)

Gambar 3.2: Interpolasi polinomial Lagrange p2(x) terhadap f(x)

3.4.2 Difrensi Terpisah

Difrensi terpisah menyempurnakan interpolasi polinomial Lagrange dengan mengekspresikan bentuk pn(x) dalam

pn(x) = a0+a1(x ;x 0) +a2(x ;x 0)(x ;x 1) +::: +an(x ;x 0)(x ;x 1):::(x ;x n;1) (3.6)

dimanaa0a1:::an adalah konstanta.

Selanjutnya bila kita tentukan x=x0 maka persamaan (3.6) menjadi

pn(x0) =a0 =f(x0) fx 0] (3.7) dan x=x1 maka pn(x1) =a0 +a1(x1 ;x 0) = f(x1) pn(x1) = f(x0) +a1(x1 ;x 0) =f(x1) sehingga a1 = f(x1) ;f(x 0) x1 ;x 0 fx 0x1] (3.8)

dengan demikian dapat dikatakan

fxixi+1] = fxi+1] ;fx i] xi+1 ;x i (3.9) dan fxixi+1xi+2] = fxi+1xi+2] ;fx ixi+1] xi+2 ;x i (3.10) sehingga difrensi terpisah ke k

fxixi+1:::xi+k] =

fxi+1xi+2:::xi+k] ;fx ixi+1:::xi+(k;1)] xi+k ;x i : (3.11) Dan terakhir persamaan (3.6) menjadi

pn(x) = fx0] +fx0x1](x ;x 0) +fx0x1x2](x ;x 0)(x ;x 1) +::: +fx0x1:::xn](x ;x 0)(x ;x 1):::(x ;x n;1) (3.12)

Selanjuntya untuk x = x0+sh x = xi+ (s ;i)h atau h= x;x i s;i  i = 012:::n maka pn(x) = pn(x0 +sh) = fx0] +shfx0x1] +s(s ;1)h 2fx 0x1x2] + +s(s;1)::: (s;(n;1))h nfx 0x1:::xn] (3.13) = n X k=0 s(s;1):::(s;k+ 1)h kfx 0x1:::xk] (3.14)

Bukti

Pada suku kedua dari persamaan (3.13) h dapat diganti dengan h= x;x 0

s , pada

suku ketiga h2 dapat diganti dengan h h =
x;x 0 s 
x;x 1 s;1 

begitu juga suku keempat, kelima dan seterusnya.

Sekarang kita nyatakan (3.14) dalam ekspresi

pn(x) =pn(x0+sh) = n X k=0 0 B @ s k 1 C Ak!h kfx 0x1:::xk] dimana 0 B @ s k 1 C A= s(s;1):::(s;k+ 1) k!

Dan diperkenalkan difrensi langkah maju sebagai berikut 4f(x n) = f(xn+1) ;f(x n) fx0x1] = f(x1) ;f(x n) x1 ;x 0 = 1_h 4f(x 0) fx0x1x2] = fx1x2] ;fx 0x1] x2 ;x 0 = 12h 1_h 4f(x 2) ; 1 h4f(x 0)] = 1_2h2 4f(x 0) sehingga fx0:::xk] = 1 k!hk 4 kf(x 0) (3.15)

Substitusikan ini kedalam persamaan

pn(x) =pn(x0+sh) = n X k=0 0 B @ s k 1 C Ak!h kfx 0x1:::xk]

maka diperoleh bentuk

pn(x) =pn(x0+sh) = P n k=0 0 B @ s k 1 C A 4 kf(x 0):

Formulasi ini disebut Difrensi Terpisah Langkah Maju Newton (NFDD). Untuk mempermudah dapat disusun suatu tabel difrensi terpisah langkah maju seba-gaimana tabel 3.1.

Selanjutnya bila urutan itu dibalik yaitu xnxn;1xn;2:::x0, maka pn(x)

dapat dinyatakan dalam

pn(x) = a0+a1(x ;x n) +a2(x ;x n)(x ;x n;1) +::: +an(x ;x n)(x ;x n;1):::(x ;x 1) (3.16)

x f(x) D. T. I D. T. II D. T. III x0 fx0] fx0x1] x1 fx1] fx0x1x2] = f x1x2];f x0x1] x 2 ;x 0 fx1x2] fx0x1x2x3] = f x 1 x 2 x 3 ];f x 0 x 1 x 2 ] x3;x0 x2 fx2] fx1x2x3] = f x 2 x 3 ];f x 1 x 2 ] x 3 ;x 1 fx2x3] fx1x2x3x4] = f x2x3x4];f x1x2x3] x 4 ;x 1 x3 fx3] fx2x3x4] = f x 3 x 4 ];f x 2 x 3 ] x4;x2 fx3x4] fx2x3x4x5] = f x 3 x 4 x 5 ];f x 2 x 3 x 4 ] x 5 ;x 2 x4 fx4] fx3x4x5] = f x4x5];f x3x4] x 5 ;x 3 fx4x5] x5 fx5]

Tabel 3.1: Difrensi terpisah langkah maju. Misal kita tentukan x=xn maka persamaan (3.16) menjadi

pn(xn) = a0 =f(xn) fx

n] (3.17)

dan untuk x=xn;1 maka

pn(xn;1) = a0+a1(xn;1 ;x n) =f(xn;1) pn(xn;1) =f(xn) +a1(xn;1 ;x n) = f(xn;1) sehingga a1 = f(xn;1) ;f(x n) xn;1 ;x n = f(xn) ;f(x n;1) xn ;x n;1 fx nxn;1]: (3.18)

Dengan demikian persamaan (3.16) menjadi

pn(x) = fxn] +fxnxn;1](x ;x n) +fxnxn;1xn;2](x ;x n)(x ;x n;1) +::: +fxnxn;1:::x0](x ;x n)(x ;x n;1):::(x ;x 1) (3.19)

Selanjutnya untuk x = xn+sh x = xn;i+ (s+i)h atau h= x;x n;i s+i  i= 012:::n;1 maka pn(x) = pn(xn+sh) = fxn] +shfxnxn;1] +s(s+ 1)h 2fx nxn;1xn;2] + +s(s+ 1)::: (s+ (n;1))h nfx nxn;1:::x0] (3.20) = n X k=0 s(s+ 1):::(s+k;1)h kfx nxn;1:::x0]

Bukti

Pada suku kedua dari persamaan (3.16) h dapat diganti dengan h = xn;xn;1 s ,

pada suku ketiga h2 dapat diganti dengan h h =
xn;xn;1 s 
x;xn;2 s+1  begitu juga suku keempat, kelima dan seterusnya.

Sehingga kita memiliki ekspresi

pn(x) = pn(x0+sh) = n X k=0 (;1) k 0 B @ ;s k 1 C Ak!h kfx nxn;1:::x0] dimana 0 B @ s k 1 C A= ( ;1) ks(s ;1):::(s;k+ 1) k! Diperkenalkan juga bentuk difrensi langkah mundur

5f(x n) = f(xn) ;f(x n;1) n 1 5 kf(x n) = 5(5 k;1f(x n)) k 2

maka fxnxn;1] = f(xn) ;f(x n;1) xn ;x n;1 = 1_h 5f(x n) fxnxn;1xn;2] = fxnxn;1] ;fx n;1xn;2] xn ;x n;2 = 1_2h2 5 2f(x n) dan akhirnya fxnxn;1:::x0] = 1 k!hk 5 kf(x n) (3.21)

Substitusikan ini kedalam persamaan

pn(x) = pn(x0+sh) = n X k=0 (;1) k 0 B @ ;s k 1 C Ak!h kfx nxn;1:::x0]

maka diperoleh bentuk

pn(x) =pn(x0+sh) = P n k=0( ;1) k 0 B @ ;s k 1 C A 5 kf(x n):

Formulasi ini disebut Difrensi Terpisah Langkah Mundur Newton(NBDD). Dalam hal ini dapat pula disusun suatu tabel difrensi terpisah langkah mudur sebagai berikut:

x f(x) D. T. I D. T. II D. T. III x0 fx0] fx1x0] x1 fx1] fx2x1x0] = f x1x0];f x2x1] x 0 ;x 2 fx2x1] fx3x2x1x0] = f x 2 x 1 x 0 ];f x 3 x 2 x 1 ] x0;x3 x2 fx2] fx3x2x1] = f x 2 x 1 ];f x 3 x 2 ] x 1 ;x 3 fx3x2] fx4x3x2x1] = f x3x2x1];f x4x3x2] x 1 ;x 4 x3 fx3] fx4x3x2] = f x 3 x 2 ];f x 4 x 3 ] x2;x4 fx4x3] fx5x4x3x2] = f x 4 x 3 x 2 ];f x 5 x 4 x 3 ] x 2 ;x 5 x4 fx4] fx5x4x3] = f x4x3];f x5x4] x 3 ;x 5 fx5x4] x5 fx5]

Tabel 3.2: Difrensi terpisah langkah mundur.

Contoh 2

Suatu data diberikan dalam tabel berikut ini Tentukan interpolasi difrensi

x f(x) 1.0 0.7651977 1.3 0.6200860 1.6 0.4554022 1.9 0.2818186 2.2 0.1103623

terpisal langkah maju p4 terhadap data tersebut dan tentukan nilai aproksimasi

Solusi 2

Dengan menggunakan difrensi terpisah langkah maju didapatkan tabel berikut ini i xi fxi] FDD I FDD II FDD III FDD IV 0 1.0 0.7651977 -0.4837057 1 1.3 0.6200860 -0.1087339 -0.5489460 0.0658784 2 1.6 0.4554022 -0.0494433 0.0018251 -0.5786120 0.0680685 3 1.9 0.2818186 0.0118183 -0.5715210 4 2.2 0.1103623

Sehingga formulasi dari NFDD adalah sebagai berikut

p4(x) = 0:7651977

;0:4837057(x;1:0);0:1087339(x;1:0)(x;1:3) + 0:0658784

:(x;1:0)(x;1:3)(x;1:6) + 0:0018251(x;1:0)(x;1:3)(x;1:6)(x;1:9)

Selanjutnya dapat ditentukan

f(1:5)p

4(1:5) = 0:5118200

Gambar dibawah ini menunjukkan bagaimana p4(x) menginterpolasi data f(x)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 p4(x) Gambar 3.3: Approksimasi NFDD p4(x)

3.4.3 Interpolasi Splin Kubik

De
nisi 3.4.1

Fungsi f terdenisi pada interval ab] dan diberikan himpunan titik x0x1:::xn dimana a = x0 < x1 <

 < x

n = b, maka interpolasi splin

kubik S untuk f adalah suatu fungsi yang memenuhi beberapa sarat berikut ini 1. S(x) adalah fungsi polinomial kubik, dinotasikan dengan Sj(x), yang

ter-denisi pada subinterval xjxj+1] untuk masing-masingj = 01:::n ;1 2. S(xj) = f(xj) untuk setiap j = 01:::n 3. Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) untuk setiap j = 01:::n ;2 4. S0 j+1(x j+1) = S 0 j(x j+1) untuk setiap j = 01:::n ;2 5. S00 j+1(x j+1) = S 00 j(x j+1) untuk setiap j = 01:::n ;2

6. dan satu diantara sarat batas berikut terpenuhi (a) S00(x

0) =S 00(x

n) = 0 (sarat batas bebas atau alami)

(b) S0(x 0) =f 0(x 0) dan S 0(x n) = f 0(x

n) (sarat batas terikat)

Selanjutnya jika sarat batas bebas yang terjadi maka splin ini dinamakan Splin Alami, dan sebaliknya bila sarat batas terikat yang terjadi maka disebut Splin Terikat.

Splin Kubik Alami

Untuk membangun splin kubik ini pertama kali kita tulis interpolasi plonomial kubik Sj(x) = aj+bj(x ;x j) +cj(x ;x j) 2+d j(x ;x j) 3 j = 01:::n ;1(3.22)

Untuk x=xj, maka

Sj(xj) = aj =f(xj) (3.23)

dan untuk x=xj+1 maka

aj+1 =Sj+1(xj+1) =Sj(xj+1) = aj +bj(xj+1 ;x j) +cj(xj+1 ;x j) 2+d j(xj+1 ;x j) 3 j = 01:::n;2. Bila h j =xj+1 ;x j aj+1 =aj +bjhj +cjh 2 j +d jh 3 j j = 01:::n ;1 (3.24) Sekarang didenisikan bn =S 0

n(x) dan turunan pertama (3.22) adalah

S0 j(x) = b j + 2cj(x ;x j) + 3dj(x ;x j) 2 sehingga bj+1 = S 0 j+1(x j+1) =S 0 j(x

j+1) (lihat poin5:pada denisi)

= bj+ 2cjhj + 3djh 2 j j = 01:::n ;1: (3.25) Sekarang permisalkan c= S 0 0 n (x)

2 , dan turunan kedua dari (3.22) adalah

S00 j(x) = 2c j+ 6dj(x ;x j) sehingga cj+1 = cj + 3djhj dj = ( cj+1 ;c j) 3hj (3.26) Substitusikan persamaan ini ke (3.24)dan (3.25) didapat

aj+1 = aj+bjhj +cjh 2 j + ( cj+1 ;c j)h 3 j 3hj  = aj+bjhj + h2 j 3 (2cj +cj+1) (3.27)

dan bj+1 = bj+ 2cjhj+ 3( cj+1 ;c j)h 2 j 3hj  = bj+hj(cj+cj+1) (3.28)

Ekspresikan persamaan (3.27) dalambj dan kemudian reduksi indeknya satu kali

bj = 1 hj (aj+1 ;a j) ; hj 3 (2cj +cj+1): (3.29) bj;1 = 1 hj;1 (aj ;a j;1) ; hj;1 3 (2cj;1+cj): (3.30)

Reduksi juga indek dari persamaan (3.28) satu kali

bj =bj;1+hj;1(cj;1+cj) (3.31) Substitusikan (3.29) dan (3.30) ke (3.31) 1 hj (aj+1 ;a j) ; hj 3 (2cj+cj+1) = 1 hj;1 (aj ;a j;1) ; hj;1 3 (2cj;1+cj) +hj;1 3 (2cj;1+cj):

Kelompokkan seluruh variabel ckeruas kiri

hj;1 3 (2cj;1+cj) ;h j;1(cj;1+cj) ; hj 3 (2cj+cj+1) = ; 1 hj (aj+1 ;a j) + 1_h j;1 (aj ;a j;1) ;h j;1(2cj;1+cj) + 3hj;1(cj;1+cj) +hj(2cj+cj+1) = 3 hj (aj+1 ;a j) ; 3 hj;1 (aj ;a j;1)

Dengan demikian diperoleh bentuk indek berurut dari koesien c hj;1cj;1+ 2(hj;1+hj)cj+hjcj+1 = 3 hj (aj+1 ;a j) ; 3 hj;1 (aj ;a j;1) (3.32) dimanaj = 12:::n;1.

Splin kubik alami memenuhi kondisi S00(x 0) = S

00(x

n) = 0, dengan demikian

masing-masingj dapat diformulasikan sebagai berikut

j = 0!c 0 = 0 j = 1!h 0c0+ 2(h0+h1)c1+h1c2 = 3 h1 (a2 ;a 1) ; 3 h0 (a1 ;a 0) j = 2!h 1c1+ 2(h1+h2)c2+h2c3 = 3 h2 (a3 ;a 2) ; 3 h1 (a2 ;a 1) ... j = n;1!h n;2cn;2+ 2(hn;2+hn;1)cn;1+hn;1cn = 3 hn;1 (an ;a n;1) ; 3 hn;2 (an;1 ;a n;2) j = n!c n= 0:

Persamaan ini terdiri darinpersamaan dannvariablecjyang akan dicari, dengan

kata lain menyelesaikan persamaan ini adalah sama dengan menyelesaikan suatu sistem linier

A

x=b, dimana

A

= 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 1 0 0 0 h0 2(h0+h1) h1 0 h1 2(h1+h2) h2 0 hn;2 2(hn;2+hn;1) hn;1 0 0 0 1 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

dan b= 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 3 h 1(a 2 ;a 1) ; 3 h 0(a 1 ;a 0) 3 h 2(a 3 ;a 2) ; 3 h 1(a 2 ;a 1) ... 3 h n;1(a n ;a n;1) ; 3 h n;2(a n;1 ;a n;2) 0 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5  x= 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 c0 c1 c2 ... cn;1 cn 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

Matrik

A

adalah matrik yang elemennya mendominasi diagonal sejajar dengan diagonak utama (strictly diagonally dominant), diluar itu nilainya nol. Hal ini membantu dalam melakukan kalkulasi untuk x. Dengan menggunakan metoda iteratif, sistem linier itu dapat diselesaikan dengan mudah.

Algoritma splin kubik alami

INPUT nx0x1:::xna0 =f(x0):::an =f(xn). OUTPUT ajbjcjdj untuk j = 12:::n ;1(Catatan : S j(xj) = aj+bj(x ;x j) +cj(x ;x j) 2+d j(x ;x j) 3 untuk x j xx j+1:)

Step1 for i= 01:::n;1 dan Set h

i =xi+1 ;x

i:

Step2 for i= 1:::n;1 dan Set

i = 3 hi (ai+1 ;a i) ; 3 hi;1 (ai ;a i;1)

Step3 Set l0 = 1(Langkah 3,4,5 dan sebagian dari 6 adalah algoritma

untuk menyelesaikan sistem linier tridiagonal

A

x=b)

0 = 0

z0 = 0:

setli = 2(xi+1 ;x i;1) ;h i;1i;1 i =hi=li zi = (i ;h i;1zi;1)=li: Step5 Set ln= 1 zn = 0 cn= 0: Step6 for j =n;1n;2:::0 setcj =zj ; jcj+1 bj = (aj+1 ;a j)=hj ;h j(cj+1+ 2cj)=3 dj = (cj+1 ;c j)=(3hj):

Step7 OUTPUT(ajbjcjdj untuk j = 12:::n ;1)

STOP.

Contoh 3

Tentukan interpolasi splin kubik pada data berikut ini

xj aj =f(xj)

0 0

1 1

2 3

3 2

Solusi 3

Polinomial kubik dalam hal ini adalah

Sj(xj) =aj +bj(x ;x j) +cj(x ;x j) 2 +d j(x ;x j) 3

c0 = 0 dan j = 3 !c 3 = 0 sehingga

A

= 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 1 0 0 0 h0 2(h0+h1) h1 0 0 h1 2(h1+h2) h2 0 0 0 1 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5 dan b = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 3 h 1(a 2 ;a 1) ; 3 h 0(a 1 ;a 0) 3 h 2(a 3 ;a 2) ; 3 h 1(a 2 ;a 1) 0 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5  x= 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 c0 c1 c2 c3 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5

Dengan memasukkan nilaihj danaj dapatlah diperoleh matrik dan vektor sebagai

berikut

A

= 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 1 4 1 0 0 0 1 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5 dan b= 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 3 ;9 0 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5

Dengan menyelesaikan sistem itu diperoleh vektor x sebagai berikut x= 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 c0 c1 c2 c3 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5 = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 1:40 ;2:60 0 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5

Sedang bj dan dj dapat dihitung dengan menggunakan rumus (3.29) dan (3.26).

Hasil selengkapnya dapat dilihat dalam tabel berikut

xj aj bj cj dj

0 0 0.53333 0 0.46667 1 1 1.93333 1.40 -13.33333 2 3 0.73333 -2.60 0.86667

3 2 ; 0 ;

Grak dibawah ini menunjukkan interpolasi splin kubik terhadap suatu data '*'.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −1 0 1 2 3 4 5 S3(x)

3.5 Solusi Iteratif Integral Terbatas

Teknik numeris untuk menghitung integral tertentu yang dikenal sebagai Inte-grasi Numerisdibutuhkan untuk menyelesaikan atau menghitung nilai integral di-mana fungsi yang diintegralkan tidak mempunyai antiturunan yang eksplisit atau fungsi yang antiturunannya tidak mudah ditentukan. Suatu metoda yang cukup dasar sekali adalah metoda numeris kuadratur. Metoda ini menggunakan rumus jumlah P

n i=0a

if(xi) untuk menghitung nilai approksimasi terhadap R

b

af(x)dx.

Interpolasi fungsi approksimasi metoda ini didasarkan atas pemilihan dan pengembangan interpolasi polinomial Lagrange karena polinomial ini dianggap merupakan fungsi approksimasi yang terbaikp. Prosedur penurunannya diawali

dengan menentukan himpunan titik-titik berbeda x0:::xn dari interval ab],

selanjutnya mengintegralkan polinomial Lagrange dan suku kesalahan pemeng-galannya dalam interval ab].

Pn(x) = n X i=0 f(xi)Li(x) Z b a f(x)dx = Z b a n X i=0 f(xi)Li(x)dx+ Z b a n Y i=0 (x;x i) fn+1((x)) (n+ 1)! dx = n X i=0 aif(xi) + 1 (n+ 1)! Z b a n Y i=0 (x;x i)f n+1((x))dx

dimana(x)2ab] untuk setiapx dan

ai = Z

b a

Li(x)dx untuk setiap i= 012:::n:

Dengan demikian secara umum formula kuadratur numeris itu adalah

Z b a f(x)dx n X aif(xi)

dengan kesalahan E(f) = _{(n+ 1)!}1 Z b a n Y i=0 (x;x i)f (n+1)((x))dx:

Metoda ini dipandang terlampau sederhana dan tidak cukup akurat untuk mengatasi permasalahan yang lebih komplek. Bila kita cermati formulasi kesala-hannya maka rumusan ini digeneralisasi dari pengembangan aproksimasi deret Taylor yang belum diekpansi, sedangkan disadari bahwa akurasi deret Taylor yang belum terekspansi level akurasinya rendah dan penetapan fungsi aproksi-masinya hanya berdasarkan pada pengambilan satu titik sampel. Metoda lain yang dipandang lebih akurat adalah aturan Trapesium dan Simpson. Aturan ini dikembangkan dari perluasan interpolasi polinomial Lagrange kesatu dan kedua pada himpunan titik-titik sampel. Misal kita notasikanx0 =ax1 =bh=b

;a

dan polinomial Lagrange linier

P1(x) = ( x;x 1) (x0 ;x 1) f(x0) + ( x;x 0) (x1 ;x 0) f(x1): maka Z b a f(x)dx = Z x1 x0  (x;x 1) (x0 ;x 1) f(x0) + ( x;x 0) (x1 ;x 0) f(x1)  dx +12 Z x 1 x 0 f00((x))(x ;x 0)(x ;x 1)dx: (3.33) Jika (x;x 0)(x ;x

1) tidak berubah tanda dalam interval x0x1] maka teorema

nilai "weighted mean" untuk integral dapat diterapkan dalam suku kesalahannya sehingga diperoleh Z x 1 x0 f0 0((x))(x ;x 0)(x ;x 1)dx = f 0 0() Z x 1 x0 (x;x 0)(x ;x 1)dx = f0 0 ()  x3 3 ; (x1+x0) 2 x2 +x0x1x  x1 x0 = ; h3 6 f0 0():

Sebagai konsukwensinya (3.33) akan menjadi Z b a f(x)dx =  (x;x 1) 2 2(x0 ;x 1) f(x0) + ( x;x 0) 2 2(x1 ;x 0) f(x1)  x 1 x 0 ; h3 12f0 0() = x1 ;x 0 2 f(x0) +f(x1)] ; h3 12f0 0():

Dengan demikian untuk h=x1 ;x

0 kita mendapatkan rumus berikut ini

Aturan Trapesium

R b af(x)dx= h 2f(x 0) +f(x1)] ; h 3 12f 0 0() (3.34)

Rumus ini disebut aturan Trapesium karena jika f adalah susatu fungsi posi-tif, maka R

b

a f(x)dx dapat diapproksimasikan dengan luas dari trapesium

seba-gaimana digambarkan dalam Gambar 3.5.

f P_1

a=x_0 b=x_1

y

x

Gambar 3.5: Aturan Trapesium.

Bila kita perhatikan rumus diatas, dapatlah disimpulkan bahwa aturan Trape-sium itu akan memberikan solusi eksak terhadap sebarang fungsi yang turunan keduanya adalah sama dengan nol (sebarang polinomial berorder satu atau ku-rang), karena suku kesalahan trapesium ini meliputif0 0. Dengan kata lain aturan

Trapesium dikatakan berorder satu, dan suku kesalahan pemenggalannya adalah suatu fungsiO(h

juga tidak cukup akurat untuk menyelesaikan persoalan-persoalan yang sangat komplek memandang rendahnya order dari aturan ini sehingga tetap dibutuhkan aturan lainnya. Salah satu metoda yang cukup terkenal adalah aturan Simpson. Aturan Simpson didapat dari mengintegralkan polinomial Lagrange kedua dalam batas ab] dengan beberapa titik x0 = ax2 = b dan x1 = a+h, untuk

h= (b;a)

2 , lihat Gambar 3.6. Polinomial Lagrange kedua disajikan dalam

P2(x) = ( x;x 1)(x ;x 2) (x0 ;x 1)(x0 ;x 2) f(x0) + ( x;x 0)(x ;x 2) (x1 ;x 0)(x1 ;x 2) f(x1) + (x;x 0)(x ;x 1) (x2 ;x 0)(x2 ;x 1) f(x2) Sehingga Z b a f(x)dx =  (x;x 1)(x ;x 2) (x0 ;x 1)(x0 ;x 2) f(x0) + ( x;x 0)(x ;x 2) (x1 ;x 0)(x1 ;x 2) f(x1) + (x;x 0)(x ;x 1) (x2 ;x 0)(x2 ;x 1) f(x2)  dx + Z x1 x0 (x;x 0)(x ;x 1)(x ;x 2) 6 f(3)((x))dx: f P_1 a=x_0 b=x_2 y x x_1

Gambar 3.6: Aturan Simpson.

Sebagaimana aturan Trapesium, penentuan orde aturan Simpson juga dapat dilihat dari suku kesalahannya. Suku kesalahan rumus ini hanya sampai pada suku kesalahan O(h

diturunkan dari interpolasi Lagrange hanya berorder dua. Versi yang lebih baik dari aturan Simpson order dua ini adalah aturan yang diturunkan dari ekspansi polinomial Taylor ketiga f terhadap x1. Misalkan masing-masing x

2 ab] ada

bilangan (x)2(x

0x1) maka ekspansi Taylor

f(x) = f(x1) +f 0(x 1)(x ;x 1) + f00(x 1) 2 (x;x 1) 2+f 0 00(x 1) 6 (x;x 1) 3 +f(4)((x)) 24 (x;x 1) 4 dan Z x2 x0 f(x)dx =  f(x1)(x ;x 1) + f0(x 1) 2 (x;x 1) 2 +f0 0(x 1) 6 (x;x 1) 3+f 0 00(x 1) 24 (x;x 1) 4  x 2 x 0 + 124 Z x 1 x 0 f(4)((x))(x ;x 1) 4dx (3.35) Karena (x;x 1)

4 tidak pernah bernilai negatif pada interval x

0x1], maka teori

nilai "Weighted Mean" untuk integral akan menjadi 1 24 Z x1 x0 f(4)((x))(x ;x 1) 4dx = f (4)( 1) 24 Z x2 x0 (x;x 1) 4dx = f(4)( 1) 120 (x;x 1) 5     x2 x0 untuk sebarang 1 2(x 0x2).

Sementara kita tahu bahwa h =x2 ;x 1 =x1 ;x 0, sehingga (x2 ;x 1) 2 ;(x 0 ;x 1) 2 = (x 2 ;x 1) 4 ;(x 0 ;x 1) 4 = 0 (x2 ;x 1) 3 ;(x 0 ;x 1) 3 = 2h3 dan (x 2 ;x 1) 5 ;(x 0 ;x 1) 5 = 2h5

Sebagai konsukwensinya persamaan (3.35) dapat ditulis sebagai

Z x 2 x 0 f(x)dx= 2hf(x1) + h3 3 f00(x 1) + h5 60f(4)( 1) (3.36)

Disisi lain kita memiliki ekspresi f(x0+h) = f(x0) +f 0(x 0)h+ 12f 0 0(x 0)h 2 + 16f0 00(x 0)h 3 + 124f(4)( 1)h 4 f(x0 ;h) =f(x 0) +f 0(x 0)h ; 1 2f0 0(x 0)h 2 + 16f00 0(x 0)h 3 ; 1 24f(4)( ;1)h 4 dimanax0 ;h < 

;1 < x0 < 1 < x0+h. Dan bila kita jumlahkan kedua ekspansi

Taylor ini f(x0+h) +f(x0 ;h) = 2f(x 0) +f 0 0(x 0)h 2 + 124f(4)( 1+) +f (4)( ;1+)]h 4 Sederhanakan untukf0 0(x 0) didapat f0 0(x 0) = 1 h2f(x 0 ;h);2f(x 0) +f(x0+h)] ; h2 24f(4)( 1) +f(4)( ;1+)]: (3.37)

Teorema nilai tengah mengatakan bahwa untukf(4)

2Cx 0 ;hx 0+h] maka f(4)( ) = 12f(4)( 1+) +f (4)( ;1+)]:

Dengan demikian kita dapat menulis (3.37) sebagai

f0 0(x 0) = 1 h2f(x 0 ;h);2f(x 0) +f(x0 +h)] ; h2 12f(4)() (3.38) untuk sebarang  2(x 0 ;hx

0+h). Pada akhirnya (3.36) dapat ditulis dengan

menggantif0 0(x

0) dengan persamaan (3.38) adalah Z x 2 x 0 f(x)dx = 2hf(x1) + h3 3  1 h2f(x 0) ;2f(x 1) +f(x2)] ; h2 12f(4)( 2)  + h5 60f(4)( 1) = h3 3 f(x0) + 4f(x1) +f(x2)] ; h5 12  1 3f(4)( 2) ; 1 5f(4)( 1) 

Dan ingat sekali lagi bahwa kita dapat mengganti ekspresi 1 dan 2 dengan

 2(x

0x2) sehingga aturan Simpson secara umum adalah

Aturan Simpson

R x2 x0 f(x)dx= h 3f(x 0) + 4f(x1) +f(x2)] ; h 5 90f (4)() (3.39)

Secara denitif perbincangan order itu dapat ditafsirkan sebagai barometer keakuratan suatu teknik approksimasi. Semakin tinggi order itu berarti semakin luas ekspansi suku kesalahannya, akibatnya kesalahan pemenggalan semakin ke-cil. Sebagaimana dijelaskan dalam Burden dan Faires denisi derajad keakuratan dapat dijelaskan sebagai berikut:

De
nisi 3.5.1

(

Derajad keakuratan atau presesi

) Derajad keakuratan atau presesi dari formulasi kuadratur adalah bilangan bulat positif terbesarnsedemikian hingga formula itu eksak untuk xk, dimana k = 12:::n (1997 : 89).

Dengan denisi (3.5.1) ini ditambah kenyataan besarnya order pada masing-masing aturan, maka aturan Trapesium dan Simpson masing-masing-masing-masing mempunyai derajad presesi satu dan tiga. Maka dapatlah disimpulkan bahwa aturan Simp-son akan lebih cepat konvergen dibandingkan aturan Trapesium. Artinya aturan Simpson dimungkinkan lebih akurat pendekatannya dalam menghitung nilai in-tegral untuk jumlah iterasi yang sama dari kedua aturan tersebut.

Latihan Tutorial 3

1. Buktikan bahwajjfjj=max axb

jf(x)j merupakan norm pada Cab].

2. Jika

A

2

IR

NN

A

=

A

T dan

A

denit positif matrik, yaknixT

A

x >0

un-tuk seberang vektorx, maka buktikan bahwajjxjj

A = (x T

A

x)

1

2 merupakan

norm pada

IR

N

3. Mana diantara berikut ini merupakan norm. (a) dalam

IR

2 jjxjj= maxf3jx 1 j+ 2jx 2 j2jx 1 j+ 3jx 2 jg. (b) dalam

IR

N jjajj = max 0x1 j P n k=1a kx k;1 j.

4. Nyatakan teorema aproksimasi Weirstrass untuk f 2 Cab]. Selanjutnya

tunjukkan bahwa untuk jjgjj p = ( R b aw(x) jg(x)j pdx ) 1 p dimana 1p1,

dan diberikan  > 0, maka 9N = N() dan polinomial p

N(x) sedemikian hingga jjf ;p N jjK 1 p

untuk sebarang konstanta K >0

5. Gunakan interpolasi polinomial Lagrange derajad satu, dua dan tiga untuk menentukan nilai aproksimasi dari masing-masing dibawah ini

(a) tentukan nilai dari f(8:4) bila diketahui f(8:1) = 16:94410f(8:3) = 17:56492f(8:6) = 18:50515 danf(8:7) = 18:82091.

(b) tentukan nilai darif(0:25) bila diketahuif(0:1) =;0:62049958f(0:2) = ;0:28398668f(0:3) = 0:00660095 dan f(0:4) = 0:24842440.

(c) tentukan nilai daricos0:750 bila diketahui cos0:698 = 0:7661cos0:733 = 0:7432cos0:768 = 0:7193 dan cos0:803 = 0:6946.

6. Tentukan fungsi aproksimasi Lagrange untuk menginterpolasi fungsi berikut (a) f(x) =e2xcos3x x 0 = 0x1 = 0:3x2 = 0:6 (b) f(x) = sinlnx x0 = 2:0x1 = 2:4x2 = 2:6 (c) f(x) = cosx+ sinx x0 = 0x1 = 0:25x2 = 0:5x3 = 1:0 (d) f(x) =e2xcos3x x 0 = 0x1 = 0:3x2 = 0:6

7. Suatu data disajikan dalam tabel dibawah ini maka tentukan

x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

f(x) 1.00000 1.22140 1.49182 1.82212 2.22554 (a) nilai dari f(0:05) dengan menggunakan NFDD

(b) nilai dari f(0:65) dengan menggunakan NBDD 8. Polinomial berderajad empatp(x) memenuhi sifat 4

4p(0) = 24 4 3p(0) = 6, dan 4 2p(0) = 0 dimana 4p(x) = p(x+ 1);p(x). Hitung 4 2p(10).

9. Perbincangan aproksimasi lebih luas banyak dikaitkan dengan interpolasi terhadap suatu fungsi f dengan fungsi aproksimasip. Selanjutnya akurasi interpolasi itu diukur dari kedekatan antara f dan p, secara matematis ditulis denganjjf;pjj(dibaca : norm(f-p)).

Sebutkan de
nisi

norm ini,

baik vektor ataupun matrik. Kemudian dengan pemahaman akan norm ini

sebutkan apa sebenarnya

inti permasalahan (konsep masalah) dalam aproksimasi itu. Jika kita memilih fungsi aproksimasi ptentunya kita pilih

fungsi yang terbaik. Dalam hal ini ada beberapa fungsi aproksimasi yang dapat digunakan untuk menginterpolasi fungsi f itu,

sebutkan

nama-nama

fungsi aproksimasi tersebut. Salah satu fungsi aproksimasi yang eksibel adalah splin kubik. Dengan data dibawah ini

tentukan

fungsi aproksimasi splin kubik untuk menginterpolasi data f(xj) dimana xj =

012.

xj aj =f(xj)

0 1

1 9

2 2

10. Gunakan splin kubik untuk menginterpolasi fungsi-fungsi berikut ini (a) f(x) =xlnx dan tentukan f(8:4) dan f0(8:4)

(b) f(x) = sin(ex

;2) dan tentukanf(0:9) dan f 0(0:9)

(c) f(x) =xcosx;2x 2+ 3x

;1 dan tentukan f(0:25) danf 0(0:25)

11. Splin kubik alamiS pada interval 02] didenisikan sebagai

S(x) = 8 > < > : S0(x) = 1 + 2x ;x 3 jika 0 x <1 S1(x) = a+b(x ;1) +c(x;1) 2+d(x ;1) 3 jika 1 x <2

tentukan nilai dari abc dan d.

12. Berikut ini disajikan konstruksi automobile, gunakan splin kubik untuk menginterplosi permukaan atas automobile tersebut.

13. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan dan jarak tertentu pada saat ter-tentu t, sebagaimana digambarkan dalam tabel berikut. Selanjutnya

x_0 x_1

x_2 x_3 x_4

x_5

...

x_n

Gambar 3.7: Konstruksi automobile

Waktu (jam) 0 3 5 8 13

Jarak (km) 0 225 383 623 993 Kecepatan 75 77 80 74 72

(a) gunakan splin kubik untuk mempridiksikan jarak yang ditempuh mobil dan kecepatan pada saat mobile melaju selama 10 jam.