PERTEMUAN
PERTEMUAN ke-14 s.d ke-15ke-14 s.d ke-15
Indikator
Indikator : : 1. 1. Mengenal Mengenal arti arti sistem sistem pertidaksamaan pertidaksamaan linear linear dua dua variabelvariabel 2.
2. Menentukan Menentukan penyelesaian sistem penyelesaian sistem pertidaksamaan linear pertidaksamaan linear dua dua variabelvariabel
A. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL A. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
Peridaksamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk : Peridaksamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk :
ax
ax + + by by > > c c tanda tanda bisa bisa dengan dengan <,<, ≤≤, atau, atau≥≥
Dengan x, y variabel dan a, b, c konstanta Dengan x, y variabel dan a, b, c konstanta Contoh
Contoh : : 3x 3x + + yy≥≥ 5 5
Gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linear disebut sistem pertidaksamaan linear. Gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linear disebut sistem pertidaksamaan linear.
B. MENENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN SPL B. MENENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN SPL
Langkah-langkah : Langkah-langkah :
1.
1. Gambarlah garis ax + by = cGambarlah garis ax + by = c 2.
2. Ambil sembarang titik A( xAmbil sembarang titik A( x11, y, y11) yang berada diluar garis ax + by = c) yang berada diluar garis ax + by = c 3.
3. Subtitusikan koordinat titik A kedalam pertidaksamaan.Subtitusikan koordinat titik A kedalam pertidaksamaan. 4.
4. Apabila pertidaksamaan benar, maka daerah yang memuat koordinat titik AApabila pertidaksamaan benar, maka daerah yang memuat koordinat titik A adalah himpunan penyelesaiannya. Jika salah, maka daerah lain yang tidak adalah himpunan penyelesaiannya. Jika salah, maka daerah lain yang tidak memuat titik A adalah himpunan penyelesaiannya.
memuat titik A adalah himpunan penyelesaiannya.
BAB 2. Program
BAB 2. Program
linear
linear
Kompetensi dasar :
Kompetensi dasar :
2.12.1 Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel.Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. 2.2
2.2 Merancang model Merancang model matematika dari matematika dari masalah program masalah program linearlinear 2.3
2.3 Menyelesaikan model Menyelesaikan model matematika dari matematika dari masalah programmasalah program linear dan penafsirannya.
linear dan penafsirannya.
S
Semua pedagang pasti menghendaki keuntungan yang sebanyak-banyaknyaemua pedagang pasti menghendaki keuntungan yang sebanyak-banyaknya
dengan menekan biaya yang sekecil-kecilnya. Dengan menyederhanakan dengan menekan biaya yang sekecil-kecilnya. Dengan menyederhanakan
beberapa faktor dapat dibuat bentuk model matematika dan diselesaikan dalam beberapa faktor dapat dibuat bentuk model matematika dan diselesaikan dalam
ro
( 0,2 )
Contoh :
1. Gambarlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear berikut pada bidang Cartrsius : a. 2x + 3y ≥ 6 dengan x, y ∈ R
b. x + 2y < 4 dengan x, y ∈ R Penyelesaian :
a. Batas daerah penyelesaian garis 2x + 3y = 6
Titik potong sumbu X maka y = 0 → 2x + 3(0) = 6
2x = 6
x = 3 → ( 3, 0 )
Titik potong sumbu Y maka x = 0 → 2(0) + 3y = 6
3y = 6
y = 2→ ( 0, 2 )
Grafik 2x + 3y = 6 menghubungkan kedua titik tersebut
b. Batas daerah penyelesaian garis x + 2y = 4
Titik potong sumbu X maka y = 0 → x + 2(0) = 4
x = 4 → ( 4, 0 )
Titik potong sumbu Y maka x = 0 → (0) + 2y = 4
2y = 4
y = 2→ ( 0, 2 )
Grafik x + 2y = 4 menghubungkan kedua titik tersebut
Catatan : Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah daerah yang tidak diarsir
Y ( 0,2 ) 2x + 3y = 6 ( 3,0 ) 0 X Ambil titik ( 4, 0 ) 2(4) + 3(0) ≥ 6 8 ≥ 6 → Benar
Maka daerah tidak diarsir merupakan himpunan penyelesaiannya. Y (0,2) x + 2y < 4 0 ( 4,0 ) X Ambil titik ( 0, 3 ) (0) + 2(3) < 4 6 < 4 → Salah
Maka daerah tidak diarsir merupakan himpunan penyelesaiannya.
LATIHAN 1
1. Gambarlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear berikut kedalam bidang cartesius : a. 4x – 6y > 24
b. 3x + 5y < 15 c. 6x + 5y≤ 30
d. 8x – 6y≥ 48
2. Gambarlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear berikut kedalam bidang
cartesius : a.
≥ ≥ ≤ + ≤ + 0 , 0 60 4 4 60 8 2 y x y x y x b.
≥ ≤ + − ≥ − ≥ + 0 , 15 3 5 1 2 y x y x y x y xPERTEMUAN ke-16 s.d ke-18
Indikator : 1. Mengenal masalah yang merupakan program linear
2. Menentukan fungsi objektif dan kendala dari program linear 3. Merumuskan model matematika dari masalah program linear
C. PROGRAM LINEAR DAN MODEL MATEMATIKA
Program linear adalah metode atau program untuk memecahkan masalah optimasi yang mengandung kendala atau batasan yang dapat diterjemahkan dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear.
Model matematika adalah rumusan matematika berupa pertidaksamaan yang diperoleh dari penafsiran suatu masalah program linear kedalam bahasa matematika.
Contoh :
Luas lapangan parkir adalah 400 m2. Luas rata-rata satu mobil dan satu bus masing-masing 8 m2 dan 24 m2. Lapangan parkir tersebut hanya memuat paling banyak 20 kendaraan. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut dengan memisalkan mobil sebanyak x dan bus sebanyak y.
Penyelesaian :
Langkah 1 : Buat tabel
Jenis kendaraan variabel Luas parkir
Mobil x 8
Bus y 24
Langkah 2 : Tentukan model matematika
≥ ≤ + ≤ + 0 , 400 24 8 20 y x y x y xLATIHAN 2
1. Seorang anak membeli 8 buku dan 5 pensil harus membayar Rp 18.500,-. Anak lain membeli 4 buku dan 6 pensil harus membayar Rp 11.000,-. Jika harga satu buku dan satu pensil masing-masing x dan y, buatlah model matematika dari permasalahan tersebut.
2. Harga karcis dalam suatu gedung pertunjukan dibedakan menjadi dua kelompok umur, yaitu anak-anak dan dewasa yang masing-masing seharga Rp 2.500,- dan Rp 5.000,-. Jika karcis terjual habis uang yang terkumpul tidak lebih dari
Rp 1.250.000,- sedangkan daya tampung gedung paling banyak 1000 orang. Apabila x dan y adalah banyak anak-anak dan dewasa, buatlah model matematika dari permasalahan tersebut.
3. Diketahui jumlah dua bilangan non negatif x dan y tidak lebih dari 25. sedangkan empat kali bilangan x ditambah dua kali bilangan y tidak lebih dari 75. Buatlah model matematikanya.
4. Seorang ahli pertanian ingin mencampur dua jenis pupuk dengan memberikan 15 g kalium karbonat, 20 g nitrat, dan 24 g fosfat seminimal mungkin pada suatu
takaran.Satu takaran pupuk merk I seharga Rp 75.000,- per kemasan memerlukan 3 g kalium karbonat, 1 g nitrat, 1 g fosfat. Pupuk merk II memerlukan 1 g kalium karbonat, 5 g nitrat, 2 g fosfat. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut agar pengeluarannya sekecil mungkin.
PERTEMUAN ke-19 s.d ke-21
Indikator : 1. Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif 2. Menafsirkan solusi dari masalah program linear
D. NILAI OPTIMUM SUATU FUNGSI OBJEKTIF
Fungsi Objektif
Adalah fungsi Z = ax + by untuk menentukan nilai optimum ( baik maksimum maupun minimumnya).
Ada dua cara untuk menentukan nilai optimum, yaitu : a. metode uji titik sudut
b. Metode garis selidik
Contoh :
1. Penyelesaian dengan uji titik sudut
Tentukan nilai optimum model matematika berikut ini : 2x + y ≤ 30,
2x + 3y ≤ 50,
x,y ≥ 0 dengan x,y ∈ C
Denggan fungsi objektifnya Z = x + y
CATATAN :
Untuk memaksimumkan tanda “ ≤ ”
Y
Penyelesaian :
Langkah 1 Menggambar grafik dari kedua persamaan garis Pers 2x + y ≤ 30 x 0 15 y 30 0 Pers 2x + 3y ≤ 50 x 0 25 y 16 2/3 0
Titik Potong kedua garis → 2x + y = 30
2x + 3y = 50 (0,30) – 2y = – 20 maka y = 10 dan x = 10 C 2x + y = 30 (0,162/3) B (10,10) 2x + 3y = 50 A(15,0 ) (25,0) O X
Dari yabel tersebut nilai maksimum fungsi objektif Z = x + y adalah 20 pada x = 10 dan y = 10
2. Selesaikan soal nomor 1 dengan garis selidik Penyelesaian : (0,30) C 2x + y = 30 (0,162/3) B (10,10) 2x + 3y = 50 A(15,0 ) (25,0) O
LATIHAN 2
1. Dengan metode uji titik sudut, tentukan nilai optimum fungsi objektif dari program linear berikut :
a. 2x + 5y≤40 b. 2x + 3y≥ 40
4x + y ≤ 20 2x + 2y≥ 28
10x + 5y ≤ 60 8x + 2y≥ 32
x,y ≥ 0 dan x,y ∈ R x,y≥ 0 dan x,y ∈ R
Z = 24x + 8 y Z = 3x + 4y
Langkah 2
Selidiki setiap titik sudut dengan Z = x + y
Titik O A B C x y 0 0 15 0 10 10 0 162/3 Z = x +y 0 15 20 16 2/3 Buat garis x + y = k, k ∈ R
Jika k = 0,maka garis melalui titik O,
kemudian buat garis sejajar dgn garis tersebut yang melalui titik A,B,dan C
Nilai maksimum diperoleh pada garis terjauh dari titik O yaitu yang melalui titik B(10,10). Maka Z = 10 + 10 = 20
2. Dengan menggunakan metode garis selidik, tentukan nilai optimum fungsi objektif dari program linear berikut :
a. 2x + 6y≤36 b. 3x + y≥ 15
5x + 3y ≤ 30 x + 5y≥ 20
8x + 2y ≤ 60 3x + 2y≥ 24
x,y ≥ 0 dan x,y ∈ R x,y≥ 0 dan x,y ∈ R
Z = 40x + 50y Z = 4x + 6y
RANGKUMAN
RANGKUMANRANGKUMAN
RANGKUMAN
1. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem ( gabungan dua atau lebih ) pertidaksamaan linear yang memuat dua variabel
2. Program linear digunakan untuk memecahkan masalah optimasi.
3. Model matematika merupakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi yang diperoleh dari hasil penafsiran atau terjemahan suatu masalah program linear dalam bahasa matematika. 4. Untuk memecahkan permasalahan model matematika, hal yang paling utama adalah
memisalkan variabel-variabel dari permasalahannya kedalam simbol matematika. 5. Fungsi objektif adalah suatu fungsi yang hendak ditentukan nilai optimumnya pada
program linear. Nilai optimum benttuk objektif dapat ditentukan dengan cara : a. Metode uji titik sudut.
b. Metode garis selidik
EVALUASI BAB I EVALUASI BAB I EVALUASI BAB I
EVALUASI BAB IIIII
I. Pilihlah jawaban yang paling tepat !
1. Daerah yang tidak diarsir pada gambar berikut memenuhi pertidaksamaan ….
Y 6 4 O 3 8 X a. 2x + y ≤ 8,3x + 2y≤ 12,x,y ≥ 0 b. x + 2y ≥ 8,3x + 2y≤ 12,x,y ≥ 0 c. x + 2y ≤ 8,3x + 2y≤ 12,x,y ≥ 0 d. x + 2y ≥ 6,3x + 2y≥ 8,x,y≥ 0 e. 2x + y ≤ 6,x + 2y ≤ 8,x,y ≥ 0
2. Nilai maksimum fungsi Z = 400x + 300y yang memenuhi pertidaksamaan 5x + 2y 30, 2x + 4y 28,y 6,x,y 0 adalah …
a. 3.000 d. 3.300
b. 3.100 e. 3.400
c. 3.200
3. Untuk memproduksi barang A diperlukan waktu 6 jam pada mesin I dan 4 jam pada mesin II. Untuk barang B diperlukan waktu 2 jam pada mesin I dan 8 jam pada mesin II. Jika kedua mesin tersebut bekerja tidak lebih dari 18 jam, model matematika yang sesuai adalah ... a. 2x + 3y≤ 9,4x + y≤ 9,x,y≥ 0 b. 3x + 2y≤ 9,2x + 4y≤ 9,x,y≥ 0 c. 3x + y≤ 9,2x + 4y≤ 9,x,y≥ 0 d. 3x + y≤ 9,4x +2y ≤ 9,x,y≥ 0 e. 4x + 3y≤ 9,x + 2y ≤ 9,x,y≥ 0
4. Diketahui sistem pertidaksamaan x + y ≤ 6, x + y≥ 3,2 ≤ x≤ 4,y ≥ 0 . Nilai maksimum
fungsi tujuan Z = 3x + 2y adalah …
a. 10 d. 16
b. 12 e. 18
c. 14
5. Perhatikan gambar berikut Y 5 R 3 S Q P X O 2 5 6 a. P d. S b. Q e. O c. R
II. Jawablah dengan tepat !
1. Tentukan nilai optimum fungsi tujuan Z = 40x + 10y yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear 2x + y ≥ 12, x + y ≥ 10, x,y ≥ 0.
2. Untuk membuat satu paket roti A diperlukan 50 gram mentega dan 60 gram tepung, sedangkan satu paket roti B memerlukan 100 gram mentega dan 20 gram tepung. Jika tersedia 3,5 Kg mentega dan 2,2 Kg tepung tentukan Keuntungan maksimum dari
penjualan roti,jika harga satu paket roti A Rp 20.000,- dan satu paket roti B Rp 25.000,-Daerah segilima disamping merupakan himpunan penyelesaian dari suatu program linear dengan fungsi tujuan Z = x + 3y mencapai maksimum dititik ….
