PEMODELA
PEMODELA
N MA
N MA
TEMA
TEMA
TIKA DALAM
TIKA DALAM PENENTUA
PENENTUA
N
N
SIKLUS
SIKLUS
W
W
AKTU
AKTU TRAFFIC
TRAFFIC LIGHT P
LIGHT P
ADA
ADA
PERSIMP
PERSIMP
ANGAN
ANGAN JALAN
JALAN
05
05
JAN
JAN
Chairul Imron, Hariyanto, dan Wahyu Imas
Chairul Imron, Hariyanto, dan Wahyu Imas YuniastariYuniastariJurusan Matematika FMIPA-ITSJurusan Matematika FMIPA-ITS
Abstrak
Abstrak
Salah satu penyebab kemacetan lalu-lintas adalah
Salah satu penyebab kemacetan lalu-lintas adalah tidak proporsionalnya waktu-nyalatidak proporsionalnya waktu-nyalatraffic light traffic light didi
persimpangan jalan. Lama waktu-nyala lampu lalu-lintas dipengaruhi oleh banyaknya
persimpangan jalan. Lama waktu-nyala lampu lalu-lintas dipengaruhi oleh banyaknya kendaraan yangkendaraan yang
datang dan banyaknya kendaraan yang mampu keluar. Jika kendaraan
datang dan banyaknya kendaraan yang mampu keluar. Jika kendaraan yang datang lebih banyakyang datang lebih banyak
daripada yang keluar, maka
daripada yang keluar, maka dipastikan terjadi penundaan. Pemodelan Matematika merupakan suatudipastikan terjadi penundaan. Pemodelan Matematika merupakan suatu
pendekatan dengan asumsi-asumsi yang dikembangkan
pendekatan dengan asumsi-asumsi yang dikembangkan untuk mendekati realitas. Studi kasus yanguntuk mendekati realitas. Studi kasus yang
dikembangkan adalah pemodelan banyaknya kendaraan yang masuk ke dalam sistem tunggu dan
dikembangkan adalah pemodelan banyaknya kendaraan yang masuk ke dalam sistem tunggu dan
banyaknya kendaraan yang keluar dari sistem layanan lampu
banyaknya kendaraan yang keluar dari sistem layanan lamputraffic light traffic light . Hasil akhir dari model . Hasil akhir dari model tersebuttersebut
diharapkan dapat digunakan untuk
diharapkan dapat digunakan untuk menentukan siklus minimummenentukan siklus minimumtraffic light traffic light yang dibutuhkan agar tidakyang dibutuhkan agar tidak
terjadi penundaan.
terjadi penundaan.
Kata Kunci
Kata Kunci: pemodelan matematika dan: pemodelan matematika dan traffic light traffic light
Abstract Abstract
One of traffic problems jam is caused by determining of
One of traffic problems jam is caused by determining of traffic light traffic light . A cycle that is not proportional at. A cycle that is not proportional at
cross road / intersection. The cycle of
cross road / intersection. The cycle of traffic light traffic light influenced by the number of incoming vehicles andinfluenced by the number of incoming vehicles and
leaving vehicles at the cross road. When the number of incoming vehicles are more than
leaving vehicles at the cross road. When the number of incoming vehicles are more than leaving vehicles,leaving vehicles,
there must be postpon
there must be postponement. ement. The problem can be sThe problem can be solve using Mathematiolve using Mathematics Model. cs Model. The parameter is The parameter is thethe
model of the number of vehicles and the number of
model of the number of vehicles and the number of leaving vehicles in theleaving vehicles in thetraffic light traffic light system. The resultsystem. The result
is expected to determine the
is expected to determine the minimumminimumtraffic light traffic light cycle required in order to avoid the postponementcycle required in order to avoid the postponement
Keywords
Keywords: mathematics model and: mathematics model and traffic light traffic light
1.
PENDAHULUAN
1.
PENDAHULUAN
1
1
Transportasi merupakan bagian integral dari suatu fungsi masyarakat,
Transportasi merupakan bagian integral dari suatu fungsi masyarakat, karena transportasi mempunyaikarena transportasi mempunyai
hubungan yang sangat erat dengan gaya
Mengingat peranan transportasi yang sangat besar, maka sangat disayangkan jika terjadi gangguan pada transportasi, terutama gangguan kemacetan lalu-lintas, sehingga transportasi yang semula diharapkan dapat mempercepat proses pencapaian tujuan, kadang-kadang dapat menimbulkan dampak yang kurang baik yang dapat menghambat proses pencapaian tujuan tersebut. (Imron, 2000-1)
Kemacetan yang terjadi di kota-kota besar merupakan hal yang biasa, kemacetan merupakan pemandangan yang tak mungkin terhindari pada setiap hari kerja. Disamping kemacetan yang
menjemukan, polusi udara yang menyesakkan dan panasnya udara yang melelahkan, tak terhindarkan pula habisnya bahan bakar yang sia-sia. Salah satu penyebab kemacetan lalu-lintas adalah
persimpangan jalan, disamping penyebab-penyebab lain seperti tidak tertibnya pemakai jalan dan lain sebagainya. (Imron, 2000-2)
Perencanaan transportasi adalah suatu proses yang bertujuan mengembangkan suatu sistem transportasi agar perjalanan kendaraan, penumpang maupun barang akan aman dan ekonomis.
Perjalanan atau pergerakan dengan jarak panjang maupun pendek dari pengguna jalan membutuhkan suatu sistem jaringan transportasi yang baik untuk menampung kebutuhan akan pergerakan tersebut. Dengan kata lain kapasitas jaringan transportasi harus dapat menampung pergerakan. (Imron, 1998-2) Persimpangan jalan merupakan wilayah pertemuan antara berbagai pergerakan membutuhkan suatu sistem perencanaan jaringan transportasi yang baik dalam usaha meminimalkan waktu penundaan atau kemacetan. Langkah yang yang baik yang harus ditempuh adalah mempertimbangkan penentuan waktu-nyala traffic light . (Imron, 1998-1)
Dengan menentukan waktu-nyala traffic light yang baik akan mengurangi waktu tunda atau macet. Untuk menentukan waktu-nyala traffic light perlu asumsi sebagai berikut :
1. Pengguna jalan raya dan persimpangan adalah kendaraan roda empat atau lebih karena roda dua dianggap lebih lincah (lebih mudah bergerak) dalam mengatasi kemacetan, pejalan kaki dan penyebrang jalan diabaikan.
2. Tidak adanya parkiran di sepanjang ruas jalan, sehingga kemacetan hanya disebabkan oleh kepadatan kendaraan dan lebar jalan.
3. Waktu pengambilan data akan dibagi menjadi tiga bagian, yaitu:
1. Pukul 06.30 – 08.00 BBWI dengan asumsi banyaknya pengguna akibat keberangkatan pekerja dan keberangkatan pelajar.
2. Pukul 12.00 – 13.00 BBWI dengan asumsi banyaknya aktivitas yang terjadi pada pukul tersebut.
3. Pukul 16.00 – 17.00 BBWI dengan asumsi banyaknya pekerja dan pelajar yang pulang. Sedangkan batasan masalahnya adalah persimpangan yang hanya mengandalkan traffic light sebagai penentu waktu tunggu, tidak terjadi kemacetan pada jalur tujuan, pada clearence interval kendaraan menggunakan kecepatan minimum sebesar 20 kilometer/jam, pengguna jalan mematuhi peraturan lalu lintas dan pengendara yang pindah ke marka jalur yang lain setelah masuk ke sistem layanan diabaikan.
2.
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pemodelan Matematika
Berdasarkan rumusan Fisika diketahui bahwa :
Dimana : v = kecepatan; S = jarak; t = waktu
secara matematis dapat juga dikatakan bahwa v adalah turunan pertama S atau yang biasanya disebut X terhadap t , yaitu :
Untuk tiap kendaraan memiliki kecepatan yang berbeda-beda antara satu kendaraan dengan kendaraan lain dapat berupa fungsi tertentu.
2.1.2 Kepadatan (Densitas)
Kepadatan atau densitas yaitu jumlah kendaraan persatuan panjang jalan atau kepadatan berbanding terbalik dengan jarak antar kendaraan (Habermann, 1997). Dengan kata lain, semakin banyak kendaraan yang melintasi suatu jalan maka jarak antar kendaraan semakin dekat, begitu juga sebaliknya semakin sedikit/jarang kendaraan yang melintasi jalan maka jarak antar kendaraan juga semakin jauh.
Secara matematis dapat dikatakan , bahwa kepadatan :
Dimana : ρ = kepadatan.
L = panjang kendaraan ( karena hanya be rdasar pada roda 4 maka dikatakan konstan). d = jarak antar kendaraan.
Sehingga perlu diketahui bahwa jarak antar kendaraan adalah :
Dimana :
v = kecepatan rata-rata kendaraan t = waktu kedatangan antar kendaraan
Aliran lalu lintas adalah merupakan suatu besaran yang dapat ditentukan oleh banyaknya kendaraan yang melewati tempat tertentu (Habermann, 1997).
Jika pada suatu jalan kendaraan berjalan dengan kecepatan v odengan densitas konstan ρodan jarak
antar kendaraan juga sama, maka pada waktu t setiap kendaraan telah berjalan sejauh u ot . Sehingga
jumlah kendaraan yang lewat pada waktu t adalah jumlah kendaraan sepanjang jarak u ot . Dan
jika ρoadalah jumlah kendaraan persatuan jalan, maka ρou ot adalah jumlah kendaraan per satuan
waktu t . Besaran ini adalah aliran lalu lintas dan dinotasikan dengan q, yaitu : q = ρou o
Yang secara umum dapat dituliskan sebagai berikut : q( x,t ) = ρ( x,t ) u ( x,t )
2.1.4 Pendekatan Model
Jika N menyatakan banyaknya kendaraan pada panjang jalan antara jalur asal = a dan jalur tujuan = b dimana:
Untuk keadaan yang berubah-ubah maka rata-rata perubahan jumlah kendaraan
Dengan t adalah waktu pada saat kendaraan masuk ke sistem antrian sedangkan (t + Δt ) adalah waktu pada saat kendaraan keluar dari sistem antrian tersebut. Sehingga untuk Δt yang kecil pendekatan yang terjadi banyaknya kendaraan sesaat yaitu q( x,t ) Δt , atau bisa dituliskan :
Untuk limit Δt à 0 maka untuk waktu antara t = t 0 dan t = t 1di b memiliki jumlah kendaraan yang melintasi
sebesar,
Sehingga :
Atau dengan kata lain :
2.2 Teori Transportasi
Waktu yang dibutuhkan oleh kendaraan pada masing-masing lajur agar terbebas dari antrian merupakan lama nyala lampu hijau minimum ditambahkan dengan lamanya waktu interval untuk membersihkan jalan atauclearance interval (biasanya dilakukan dengan penggunaan lampu kuning) dari sisa kendaraan dari jalur lain. Hal ini berguna untuk tidak menimbulkan antrian jalan baru pada pusat persimpangan.
Persamaan clearance interval : (Habermann, 1997)
Dengan:
t = Waktu perception – reaction per detik . v = Kecepatan pada saat clearance interval a = Percepatan di clearance interval
w = Panjang lajur perempatan l = Panjang kendaraan
n = Banyaknya kendaraan kendaraan yang antri
Rumusan ini dapat berubah seiring dengan kebutuhan dan hambatan-hambatan yang berkembang di perempatan Indonesia.
Sedangkan hijau minimum yang dibutuhkan kendaraan adalah sebesar :
Dan nyala lampu merah pada persimpangan merupakan lamanya waktu tunggu n kendaraan, atau dengan kata lain :
Sehingga siklus waktu sekali putaran pada persimpangan adalah :
3.
METODOLOGI PENELITIAN
Secara umum, metodologi yang digunakan pada penelitian ini meliputi 4 tahap utama, yaitu : 3.1 Tahap pertama
Pada tahap pertama (formulasi masalah), kegiatan penelitian dilakukan dengan mengidentifikasi masalah populasi kendara-an, tentang kinerja dari sistem dan menentu-kan tujuan dari analisa dan pemodelan secara menyeluruh sebagai proses pengambilan keputusan.
3.2 Tahap kedua
Pada tahap analisa meliputi pengumpulan data serta analisa data yang diperoleh pada studi lapangan dapat dijelaskan sebagai berikut :
3.2.1 Pengumpulan data
Pengumpulan data yang berupa data kedatangan antar kendaraan yang masuk ke dalam wilayah sistem tunggu serta data banyaknya kendaraan yang keluar dari wilayah sistem tunggu tersebut dilaksanakan pada tanggal 23 April 2001 sampai dengan 28 April 2001 pada pukul 06.30 – 08.00 BBWI, pukul 12.00-13.00 BBWI dan pukul 16.00-17.00 BBWI (hal ini dikarenakan pada pukul tersebut keadaan lalu lintas berada pada kepadatan yang tinggi karenanya dengan mengetahui waktu yang dibutuhkantraffic light pada waktu-waktu padat maka antrian pada waktu-waktu yang lain dapat dihindarkan) yang mengambil tempat di persimpangan Kertajaya, Surabaya.
3.2.2 Analisa Data
Pada tahap ini data yang sudah terkumpul akan ditentukan distribusinya dan akan dicari parameternya yang kemudian dengan uji kelayakan dapat diketahui kevalidan dari data tersebut. Dalam hal analisa data ini digunakannya analisa statistik.
3.3 Tahap Ketiga
Pada tahap penyusunan model yang meliputi pendefinisian model serta validasi model tersebut perlu dilakukan untuk mengetahui apakah variabel-variabel, asumsi dan logika yang digunakan dalam model sudah mengakomodasi kondisi yang sebenarnya.
3.4 Tahap Keempat
Pada tahap keempat ini dasar pemikiran merupakan ilmu perencanaan transportasi yang mungkin dapat ataupun tidak dapat diterapkan pada kondisi di Surabaya, sehingga pengembangan pemikiran sangat diperlukan dengan tetap mengacu pada peminimalan antrian kendaraan.
4.1 Pengumpulan Data
Pada penelitian ini dilakukan pengumpulan data secara langsung (data primer) agar hasil yang terjadi diharapkan akan sesuai dengan kondisi real. Pengumpulan data tentang waktu antar kendaraan dan banyaknya jumlah kendaraan yang keluar dari sistem tunggu dilakukan di persimpangan Kertajaya selama satu minggu dengan mengobservasi enam jalur jalan secara serempak dengan pemilihan waktu yang dianggap memiliki tingkat kepadatan yang paling tinggi, sehingga diharapkan dapat dihasilkan suatu waktu pelayanan yang dapat meminimalkan antrian.
4.2 Pemodelan a. Asumsi
Pemodelan merupakan suatu pendekatan yang sesuai dengan kenyataan. Pada pemodelan ini
diharapkan terbentuknya suatu tatanan yang dapat digunakan pada berbagai keadaan dengan ciri yang sama. Dalam pendekatannya untuk memodelkan banyak-nya mobil yang masuk dan keluar dari sistem antrian diperlukan beberapa asumsi sebagai berikut :
• § Pertambahan jumlah mobil yang keluar dari sistem sebanding dengan banyaknya jumlah mobil
yang masuk ke dalam sistem ditambah dengan jumlah kendaraan tambahan (sisa antrian atau mobil yang pada saat lampu kuning justru mempercepat laju kendaraannnya).
• § Pertambahan jumlah mobil yang masuk ke dalam sistem sebanding dengan pertambahan
waktu.
Asumsi tersebut secara matematis dapat ditulis sebagai berikut :
Dengan y adalah banyaknya mobil yang keluar dan x adalah banyaknya mobil yang masuk ke dalam system serta k ,l dan m adalah konstanta.
1. b. Pemodelan matematika
Dari kedua persamaan pada asumsi di atas diperoleh model :
dimana a = l/k dan b=m/k , untuk menentukan titik stasioner, syarat yang harus dipenuhi adalah y’=0 . Jika fungsi diatas digambarkan, maka gambar yang mungkin dengan a<0 adalah sebagai berikut:
Gambar 1. Grafik fungsi kuadrat dengan a<0.
yang merupakan model dari hubungan antara jumlah kendaran yang masuk dan yang keluar dari sistem. Apabila jumlah kendaraan yang keluar dengan waktu-nyala lampu hijau yang tetap, maka jumlah
kendaraan yang keluar akan tetap, padahal pada jam sibuk jumlah kendaraan yang akan masuk ke system akan semakin banyak, sehingga waktu tunggu akan semakin lama. Gambaran tersebut dapat digambarkan pada kurva di bawah ini:
Gambar 2. Grafik jumlah kendaraan yang keluar pada saat hijau. c. Analisis
Model matematika hubungan antara jumlah kendaraan yang masuk dan yang keluar dari sistem adalah :
Dengan :
Sehingga dapat diketahui adanya antrian maksimal yang ada dalam sistem tunggu. Dengan bentuk kurva sebagai berikut :
m
kepadatan
Gambar 3. Grafik kepadatan.
Karateristik kurva dapat dilihat sebagai berikut :
• § Pada x = 0, maka y = b , fenomena ini rasional karena ada kemungkinan pada saat lampu
menyala kuning ada kendaraan yang justru semakin mempercepat laju kendaraannya.
• § Pada x à ~ , maka yà ~ , fenomena ini irasional pada sistem tunggu. Oleh karena itu model
tersebut hanya realistik pada domain 0 < x < m , dengan m adalah densitas terpadat pada sistem
1. 5. PENENTUAN SIKLUS WAKTU TRAFFIC LIGHT
Dari hasil perhitungan, waktu-nyala yang diperbolehkan bagi kendaraan untuk dapat berjalan dapat diasumsikan sebagai lamanya waktu-nyala hijau minimum ditambah dengan waktu pada clearence interval dan waktu tenggat antar kendaraan, sehingga dapat diketahui:
Jalur
Lebar jalur
(meter)
Waktu yang dibutuhkan (detik)
Darmawangsa – Pucang
Pucang – Dharmawangsa
Kt. Timur – Kt. Barat
Kt. Barat – Kt. Timur
Kt.Timur – Dharmawangsa
Kt. Barat – Pucang
22
22
13
13
15.65
17.5
40.0625
37.6319
32.2598
40.6111
14.2104
35.5938
Dengan diketahuinya lamanya waktu yang dibutuhkan pada tiap jalurnya maka dapat diketahui siklus waktutraffic light minimum sebesar: 107.916 detik.
6.
KESIMPULAN
Dari pemodelan matematika yang diperoleh dapat diketahui antrian maksimal yang berada pada sistem tunggu layanan di suatu jalur sehingga dapat diketahui pula lamanya waktu yang dibutuhkan untuk menghabiskan antrian pada sistem tunggu jalur tersebut. Dengan demikian diperolehlah waktu siklus minimum di persimpangan kertajaya yaitu sebesar 107.916 detik.
DAFTAR PUSTAKA
Imron, Chairul (1998-1), Kajian Tentang Kemacetan Lalu-Lintas yang Di-sebabkan oleh
Persimpangan Jalan, Makalah di Seminar Regional Matematika Tk Jawa Timur di UnBraw, Malang. Imron, Chairul (1998-2), Alternatif Penyelesaian Permasalahan Kema-cetan Lalu-Lintas di
Persimpangan Jalan Darmo, Dr. Sutomo, Polisi Istimewa dan Sekitarnya , Laporan Penelitian Muda. Imron, Chairul (2000-1), Algoritma Pe-ngaturan Waktu-Nyala Lampu Lalu-Lintas , Seminar Nasional Matematika di Universitas Negeri Semarang, Semarang.
Imron, Chairul (2000-2), Studi Akibat Persimpangan Jalan, Simposium III FSTPT, Seminar dan Prosiding, di Universitas Gadjah Mada (UGM), Yogyakarta.
Habermann, Richard (1977), Mathematical Models, Mechanical Vibrations, Population Dynamics and Traffic Flow, Pretice Hall Incorporation, Engelwood Clifts, New Jersey 07632.
Special Report 209 Transportation Research Board National Research (1985), Highway Capacity Manual, Wasingthon D.C.
