4/16/2009. H 0 ditolak. H 0 tidak ditolak. ditolak. P(menolak H 0 H 0 benar) keputusan benar. = galat lttipe II = β. P(tidak menolak H 0 H 0 salah)

Uji

Uji Hipotesis Hipotesis Uji

Uji Hipotesis Hipotesis

MA 2081

MA 2081 StatistikaStatistika DasarDasar

K i

K i 1616 F bF b ii 20092009 Kamis

Kamis, 16 , 16 FebruariFebruari 20092009

Dosen

Dosen : : UdjiannaUdjianna S. S. PasaribuPasaribu Utriweni

Utriweni MukhaiyarMukhaiyar

© 2008 by UM

© 2008 by UM

Pengertian Pengertian

ƒƒ Hipotesis Hipotesis adalah pp adalah suatu suatu anggapan anggapan yang gg p gg p yang y g y g mungkin

mungkin benar benar atau atau tidak tidak mengenai mengenai satu satu populasi

populasi atau atau lebih lebih yang yang perlu perlu diuji diuji kebenarannya

kebenarannya

ƒƒ Dalam Dalam statistika statistika, , hipotesis hipotesis yang yang akan akan diuji diuji dibedakan

dibedakan menjadi menjadi::

1.

1. Hipotesis nol (HHipotesis nol (H₀₀) ; pernyataan yang mengandung ) ; pernyataan yang mengandung tanda kesamaan (=, ≤ , atau ≥)

tanda kesamaan (=, ≤ , atau ≥) 2.

2. Hipotesis tandingan (HHipotesis tandingan (H₁₁) ; tandingan hipotesis H) ; tandingan hipotesis H₀₀, , mengandung tanda

mengandung tanda ≠≠ , , >, atau <.>, atau <.

© 2008 by UM 22

© 2008 by UM

Galat

Galat ((error error))

H

₀₀

benar be a H

₀₀

salah sa a

H₀ditolak P(menolak H₀| H₀benar)

= galat tipe I = α keputusan benar

H₀tidak

ditolak keputusan benar P(tidak menolak H0| H0

salah) l t ti II β

ditolak = galat tipe II = β

yang dimanfaatkan dalam pokok

bahasan ini

© 2008 by UM 33

© 2008 by UM

Skema

Skema Umum Umum Uji Uji Hipotesis Hipotesis

H₀

•Hipotesis yang ingin diuji

•Memuat suatu kesamaan (=, ≤ atau ≥)

•Dapat berupa

- hasil penelitian sebelumnya informasi dari buku atau

Hipotesis Statistik

H₁

- informasi dari buku atau - hasil percobaan orang lain

•Hipotesis yang ingin dibuktikan

•Disebut juga hipotesis alternatif

•Memuat suatu perbedaan (≠, > atau <)

Keputusan Kesalahan

???

mungkin terjadi

H0ditolak H0tidak ditolak

H1benar

Kesimpulan Kesimpulan

Tidak cukup bukti untuk menolak H0

Tipe I Menolak H0padahal

H0benar P(tipe I) = α

= tingkat signifikansi

Tipe II Menerima H0padahal

H0salah P(tipe I) = β

© 2008 by UM 44

© 2008 by UM

Statistik

Statistik Uji Uji dan dan Titik Titik Kritis Kritis

ƒƒ StatistikStatistik ujiuji digunakandigunakan untukuntuk mengujimenguji hipotesishipotesis statistikstatistik yang

yang telahtelah dirumuskandirumuskan NotasinyaNotasinya berpadananberpadanan dengandengan yang

yang telahtelah dirumuskandirumuskan. . NotasinyaNotasinya berpadananberpadanan dengandengan jenis

jenis distribusidistribusi yang yang digunakandigunakan. .

ƒƒ TitikTitik kritiskritis membatasimembatasi daerahdaerah penolakanpenolakan dandan penerimaanpenerimaan H

H₀₀. . DiperolehDiperoleh daridari tabeltabel statistikstatistik yang yang bersangkutanbersangkutan..

ƒƒ HH₀₀ditolakditolak jikajika nilainilai statistikstatistik ujiuji jatuhjatuh didi daerahdaerah kritiskritis. .

1 -α

daerah kritis = α/2

titik kritis

daerah penerimaan H0

titik kritis

0

titik kritis 1 -α daerah penerimaan H₀

daerah kritis daerah

kritis = α/2

diperoleh dari tabel statistik

© 2008 by UM 55

© 2008 by UM

Uji

Uji Rataan Rataan Satu Satu Populasi Populasi

uji dua arah

1.

1. H H _{0 0} : : µµ _{= =} µµ

₀₀

_{vs H vs H 1 1 : : µµ ≠≠} µµ

_{0 0}

2. H

2. H _{0 0} : : µµ = = µµ

₀₀

vs H vs H _{1 1} : : µµ > > µµ

_{0 0}

3. H

3. H _{0 0} : : µµ = = µµ

₀₀

vs H vs H _{1 1} : : µµ < < µµ

_{0 0}

uji satu arah

µ

₀

adalah suatu konstanta yang diketahui

uji satu arah

© 2008 by UM 66

© 2008 by UM

Statistik

Statistik Uji Uji untuk untuk Rataan Rataan Satu

Satu Populasi Populasi

11 Kasus Kasus σ σ

²²

diketahui diketahui

0

/

= X − Z

n µ σ 1.

1. Kasus Kasus σ σ diketahui diketahui

22 Kasus Kasus σ σ

²²

tidak tidak diketahui diketahui

~ N(0,1)

^{Tabel Z} (normal baku)

0

/

= X − T

s n µ

2.

2. Kasus Kasus σ σ tidak tidak diketahui diketahui

~ t

_(n-1) Tabel t

© 2008 by UM 77

© 2008 by UM

Daerah

Daerah Kritis Kritis Uji Uji Rataan Rataan Satu

Satu Populasi Populasi

σ²diketahui σ²tidak diketahui Statistik uji :

Statistik uji : ZZ TT

H0 : µ= µ₀vs H1 : µ ≠µ₀ Z < - Z_α/2 atau Z > Z_α/2 T < - T_α/2 atau T > T_α/2 H₀ : µ= µ₀vs H₁ : µ >µ₀ Z > Z_α T > T_α H₀ : µ= µ₀vs H₁ : µ <µ₀ Z < - Z_α T < - T_α

titik kritis dengan derajat kebebasan n - 1

© 2008 by UM 88

© 2008 by UM

Uji

Uji Rataan Rataan Dua Dua Populasi Populasi

uji dua arah

1.

1. H H

_{0 0}

: : µµ

₁₁

-- µµ

_{2 2}

= = µµ

₀₀

vs H vs H

_{1 1}

: : µµ

₁₁

-- µµ

₂₂

≠≠ µµ

_{0 0}

2. H

2. H

_{0 0}

: : µµ

₁₁

-- µµ

_{2 2}

= = µµ

₀₀

vs H vs H

_{1 1}

: : µµ

₁₁

-- µµ

₂₂

> > µµ

_{0 0}

3. H

3. H

_{0 0}

: : µµ

₁₁

-- µµ

_{2 2}

= = µµ

_{0 0}

vs H vs H

_{1 1}

: : µµ

₁₁

-- µµ

₂₂

< < µµ

_{0 0}

uji satu arah

µ

₀

adalah suatu konstanta yang diketahui

uji satu arah

© 2008 by UM 99

© 2008 by UM

Statistik

Statistik Uji Uji untuk untuk Rataan Rataan Dua

Dua Populasi Populasi

1.

1. KasusKasus σσ₁₁²²dandan σσ₂₂²²diketahuidiketahui

(

^{X −X}

)

^−µ

2.

2. Kasus Kasus σ₁²dan σ₂²tidak diketahui dan σ₁²≠ σ₂²

(

1 2

)

0

H 2 2

1 2

1 2

X X µ

Z = σ σ

n +n

(

^{1 2}

)

⁰

H 2 2

1 2

X X µ

T = S S

− −

+



1 2

1 2

n +n 3.

3. Kasus Kasus σ₁²dan σ₂²tidak diketahui dan σ₁²= σ₂²

(

1 2

)

0

H p

1 2

X X µ

T = S 1 1

n n

− −

+

dengan

2 2

2 1 1 2 2

p

1 2

(n 1)S (n 1)S

S = n n 2

− + −

+ −

10

© 2008 by UM 10

© 2008 by UM

Daerah

Daerah Kritis Kritis Uji Uji Rataan Rataan Dua

Dua Populasi Populasi

σ₁², σ₂² σ² σ22tidak diketahui diketahui σ1, σ2 tidak diketahui Statistik uji :

Statistik uji : ZZ TT

σ₁²= σ₂² σ₁²≠ σ₂² Derajat

Derajat Kebebasan

Kebebasan nn₁₁+ + nn₂₂-- 22

H₀ : µ₁- µ₂ = µ₀vs Z < - Z_α/2 atau T < - T_α/2 atau T < - T_α/2 atau

2 2 2

1 2

1 2

2 2

2 2

1 2

1 1 2 2

S S

n n v =

S S

1 1

(n 1) n (n 1) n

⎛ ⎞

⎜ + ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟+ ⎜ ⎟

− ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠

0 µ₁ µ₂ µ₀

H₁ : µ₁- µ₂≠µ₀ Z > Z^α/2 _α/2 T > T^α/2 _α/2 T > T^α/2 _α/2 H₀ : µ₁- µ₂ = µ₀vs

H₁ : µ₁- µ₂> µ₀ Z > Z_α T > T_α T > T_α H₀ : µ₁- µ₂ = µ₀ vs

H₁ : µ₁- µ₂< µ₀ Z < - Z_α T < - T_α T < - T_α

11

© 2008 by UM 11

© 2008 by UM

Uji

Uji untuk untuk Rataan Rataan Berpasangan Berpasangan 1.

1. H H

_{0 0}

: : µµ

_dd

= = µµ

₀₀

vs H vs H

_{1 1}

: : µµ

_dd

≠≠ µµ

_{0 0}

ƒƒ Statistik Statistik uji uji menyerupai menyerupai statistik statistik untuk untuk

kk l i l i d d i i i i

0

0

µµ

_dd

µµ

_{00 1 1}

µµ

_dd

µµ

_{0 0}

2. H

2. H

_{0 0}

: : µµ

_dd

= = µµ

₀₀

_{vs H vs H}

_{1 1}

_{: : µµ}

_dd

_{> >} µµ

_{0 0}

3. H

3. H

_{0 0}

: : µµ

_dd

= = µµ

₀₀

vs H vs H

_{1 1}

: : µµ

_dd

< < µµ

_{0 0}

kasus

kasus satu satu populasi populasi dengan dengan variansi variansi tidak

tidak diketahui diketahui..

0;

d/ D µ T =S n

−

12

© 2008 by UM 12

© 2008 by UM

Contoh 1 Contoh 1

Berdasarkan 100 laporan kematian di AS yang Berdasarkan 100 laporan kematian di AS yang p p y g y g diambil secara acak, diperoleh bahwa rata diambil secara acak, diperoleh bahwa rata--rata rata usia saat meninggal adalah 71.8 tahun dengan usia saat meninggal adalah 71.8 tahun dengan simpangan baku 8.9 tahun.

simpangan baku 8.9 tahun. Hal ini memberikan Hal ini memberikan dugaan bahwa rata

dugaan bahwa rata--rata usia meninggal di AS rata usia meninggal di AS lebih dari 70 tahun.

lebih dari 70 tahun.

N t k d t b t d l t

N t k d t b t d l t

a.

a. Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan hipotesis statistik

hipotesis statistik

b. Untuk tingkat signifikansi 5% , benarkah b. Untuk tingkat signifikansi 5% , benarkah

dugaan tersebut?

dugaan tersebut?

13

© 2008 by UM 13

© 2008 by UM

Solusi Solusi

Diketahui Diketahui Dit

Dit Ditanya:

Ditanya:

a. Hipotesis statistik a. Hipotesis statistik

b. Kesimpulan uji hipotesis b. Kesimpulan uji hipotesis Jawab:

Jawab:

Parameter yang akan diuji : Parameter yang akan diuji : µµ

X 71.8,= s 8.9,=

0 70,

µ = _{α =0, 05}

y g j

y g j µµ

a. Rumusan hipotesis:

a. Rumusan hipotesis:

H

H

₀₀

: : µµ = 70 = 70 H

H

₁₁

: : µµ > 70 > 70

14

© 2008 by UM 14

© 2008 by UM

b. α = 5%=0.05, maka titik kritis t_0.05,(99)= 1.66 x 0 71,8 70

t 2, 02

s 8,9

n 100

− µ −

= = =

Karena t > t_0.05,(99), maka t berada pada daerah penolakan sehingga keputusannya H₀ditolak.

Jadi dugaan tersebut benar bahwa rata-rata

J g

usia meninggal di AS lebih dari 70 tahun.

15

© 2008 by UM 15

© 2008 by UM

Contoh 2 Contoh 2

Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan karena Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan karena

k d i d b h dil i i D b l t b h 1

k d i d b h dil i i D b l t b h 1

gosokan dari dua bahan yang dilapisi. Dua belas potong bahan 1 gosokan dari dua bahan yang dilapisi. Dua belas potong bahan 1 diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya keausan. Sampel bahan 1 sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya keausan. Sampel bahan 1 memberikan rata

memberikan rata--rata keausan (sesudah disandi) sebanyak 85 rata keausan (sesudah disandi) sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata

2 memberikan rata--rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5. Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian baku sampel 5. Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian baku sampel 5. Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian baku sampel 5. Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa rata

5%, bahwa rata--rata keausan bahan 1 melampaui ratarata keausan bahan 1 melampaui rata--rata keausan rata keausan bahan 2 lebih dari dua satuan? Anggaplah kedua populasi

bahan 2 lebih dari dua satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.

berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.

16

© 2008 by UM 16

© 2008 by UM

Solusi Solusi

Misalkan

Misalkan µ µ

₁₁₁₁

dan dan µ µ

₂₂₂₂

masing masing--masing menyatakan gg masing menyatakan g g y y rata

rata--rata populasi bahan 1 dan populasi bahan 2. rata populasi bahan 1 dan populasi bahan 2.

Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, yang diketahui adalah variansi sampel.

yang diketahui adalah variansi sampel.

Diasumsikan variansi populasi kedua bahan Diasumsikan variansi populasi kedua bahan adalah sama. Rumusan hipotesis yang diuji adalah sama. Rumusan hipotesis yang diuji

d l h d l h adalah:

adalah:

H

H

_{0 0}

: : µ µ

_{1 1}

-- µ µ

_{2 2}

= = 22 H

H

₁₁

: : µ µ

_{1 1}

-- µ µ

_{2 2}

> > 22

17

© 2008 by UM 17

© 2008 by UM

Tingkat keberartian, Tingkat keberartian, αα = 0.05= 0.05

1 1 1

2 2 2

x 85, s 4, n = 12 x =81, s =5, n =10

= =

Kita gunakan statistik uji untuk variansi kedua populasi tak diketahui tapi dianggap sama, yaitu

( 1 2) 0

H p

1 2

x x µ

t = S 1 1

n n

− −

+

dengan p ^{1 12 2 22}

(n 1)S (n 1)S (11)(16) (9)(25)

S = 4.478

n n 2 12 10 2

− + − = + =

+ +

1 2

n +n −2 12 10 2+ − Maka diperoleh

( 1 2) 0

H p

1 2

x x µ (85 81) 2

t = 1.04

1 1 4.478 (1/12) (1/10)

S n n

− − = − − =

+ +

18

© 2008 by UM 18

© 2008 by UM

Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajat kebebasan n

₁

+n

₂

-2 = 12 +10 - 2= 20, sehingga titik kritisnya adalah t

_0.05,20

= 1.725.

Karena t < 1.725, maka H

₀

tidak ditolak. Tidak dapat disimpulkan

b h t t k b h 1

bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebih dari 2 satuan.

19

© 2008 by UM 19

© 2008 by UM

Contoh 3 (data Contoh 3 (data berpasangan) berpasangan)

ƒƒ

Pada Pada tahun tahun 1976, J.A. 1976, J.A. Weson Weson memeriksa memeriksa pengaruh pengaruh bb

i l h lii l h li

h d h d k d k d d d

obat

obat succinylcholine

succinylcholine terhadap

terhadap kadar kadar peredaran peredaran hormon

hormon androgen androgen dalam dalam darah darah. . Sampel Sampel darah darah dari dari rusa

rusa liar yang liar yang hidup hidup bebas bebas diambil diambil melalui melalui urat urat nadi

nadi leher leher segera segera setelah setelah succinylcholine

succinylcholine

disuntikkan

disuntikkan pada pada otot otot rusa rusa. . Rusa Rusa kemudian kemudian diambil

diambil lagi lagi darahnya darahnya kira kira--kira kira 30 30 menit menit setelah setelah suntikan

suntikan dan dan kemudian kemudian rusa rusa tersebut tersebut dilepaskan dilepaskan. . K d d

K d d d d kt kt dit dit k k d d 30 30 Kadar androgen

Kadar androgen pada pada waktu waktu ditangkap ditangkap dan dan 30 30 menit

menit kemudian kemudian diukur diukur dalam dalam nanogram nanogram per ml per ml ((ng ng/ml) /ml) untuk untuk 15 15 rusa rusa. Data . Data terdapat terdapat pada pada tabel tabel berikut

berikut

20

© 2008 by UM 20

© 2008 by UM

N0

N0 Kadar androgen Kadar androgen (ng/ml) sesaat (ng/ml) sesaat setelah disuntik setelah disuntik

Kadar androgen Kadar androgen (ng/ml) 30 menit (ng/ml) 30 menit setelah disuntik setelah disuntik

Selisih Selisih (d (d_ii))

11 22 33

2.76 2.76 5.18 5.18 2.68 2.68

7.02 7.02 3.10 3.10 5.44 5.44

4.26 4.26 --2.082.08 2.76 2.76 33

44 55 66 77 88 99 10 10

2.68 2.68 3.05 3.05 4.10 4.10 7.05 7.05 6.60 6.60 4.79 4.79 7.39 7.39 7 30 7 30

5.44 5.44 3.99 3.99 5.21 5.21 10.26 10.26 13.91 13.91 18.53 18.53 7.91 7.91 4 85 4 85

2.76 2.76 0.94 0.94 1.11 1.11 3.21 3.21 7.31 7.31 13.74 13.74 0.52 0.52 --2 452 45 10

10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15

7.30 7.30 11.78 11.78 3.90 3.90 26.00 26.00 67.48 67.48 17.04 17.04

4.85 4.85 11.10 11.10 3.74 3.74 94.03 94.03 94.03 94.03 41.70 41.70

2.45 2.45 --0.680.68 --0.160.16 68.03 68.03 26.55 26.55 24.66 24.66

21

© 2008 by UM 21

© 2008 by UM

Anggap populasi androden sesaat setelah Anggap populasi androden sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian

suntikan dan 30 menit kemudian

berdistribusi normal. Ujilah, pada tingkat berdistribusi normal. Ujilah, pada tingkat keberartian 5%, apakah konsentrasi keberartian 5%, apakah konsentrasi androgen berubah setelah ditunggu 30 androgen berubah setelah ditunggu 30 menit.

menit.

22

© 2008 by UM 22

© 2008 by UM

Solusi Solusi

Ini adalah data berpasangan karena masing

Ini adalah data berpasangan karena masing--masing unit masing unit percobaan (rusa) memperoleh dua kali pengukuran percobaan (rusa) memperoleh dua kali pengukuran Misalkan

Misalkan µµ₁₁dan dan µµ₂₂masingmasing--masing masing menyatakan rata

menyatakan rata--rata konsentrasi rata konsentrasi

androgen sesaat setelah suntikan dan 30 androgen sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian. Rumusan hipotesis yang menit kemudian. Rumusan hipotesis yang diuji adalah

diuji adalah diuji adalah diuji adalah H

H_{0 0} : : µµ_{1 1} = = µµ_{2 2} atau atau µµ_{D D} = = µµ_{1 1} -- µµ_{2 2} = 0= 0 H

H₁₁: : µµ_{1 1} ≠ ≠ µµ_{2 2} atau atau µµ_{D D} = = µµ_{1 1} -- µµ_{2 2} ≠ 0≠ 0

Tingkat signifikansi yang digunakan adalah

Tingkat signifikansi yang digunakan adalah αα = 5% = 0.05= 5% = 0.05

23

© 2008 by UM 23

© 2008 by UM

Rata-rata sampel dan variansi sampel untuk selisih ( d_i ) adalah

d 9.848 dan s= d =18.474

Statistik uji yang digunakan adalah

0 d

t = d d s / n

−

9.848 0− Dalam hal ini 9.848 0

t = 2.06

18.474 / 15=

24

© 2008 by UM 24

© 2008 by UM

Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajat kebebasan n – 1 = 15 – 1 = 14. Pada tingkat

keberartian 0 05 H ditolak jika keberartian 0.05, H₀ditolak jika

t < - t_0.025,14 = -2.145 atau t > t_0.025,14= 2.145.

Karena nilai t = 2.06, maka nilai t tidak berada pada daerah penolakan. Dengan demikian, H₀tidak ditolak. Kendati demikian, nilai t = 2.06 mendekati nilai t_{0 025 140.025,14}= 2.145. Jadi perbedaan rata-rata kadar J p peredaran androgen tidak bisa diabaikan.

25

© 2008 by UM 25

© 2008 by UM

Uji Hipotesis Tentang Uji Hipotesis Tentang Variansi Satu Populasi Variansi Satu Populasi

ƒƒ Bentuk hipotesis nol dan tandingannya Bentuk hipotesis nol dan tandingannya Bentuk hipotesis nol dan tandingannya Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk kasus variansi satu populasi untuk kasus variansi satu populasi adalah

adalah

2 2 2 2

0 0 1 0

1. H :σ =σ vs H :σ ≠σ

2 2 2 2

0 0 1 0

2.H :σ =σ vs H :σ <σ

2 2 2 2

3 H₀ ² ₀² H₁ ² ₀² 3. H :σ =σ vs H :σ >σ

Dengan menyatakan suatu konstanta mengenai variansi yang diketahui

2

σ

0

26

© 2008 by UM 26

© 2008 by UM

Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah :

2 2

2 0

(n−1)S χ =

σ

Jika H₀benar, maka statistik uji tersebut

berdistribusi chi square dengan derajat kebebasan n 1 berdistribusi chi-square dengan derajat kebebasan n-1

27

© 2008 by UM 27

© 2008 by UM

Untuk hipotesis , tolak H₀ pada tingkat keberartian α jika :

2 2 2 2

0 0 1 0

H :σ =σ vs H :σ ≠σ

2 2 2 2

1 ,( 1) ,( 1)

2 2

atau

n n

− − −

< _α > _α

χ χ χ χ

,( ) ,( )

2 2

Untuk hipotesis , tolak H₀pada tingkat keberartian α jika

2 2 2 2

0 0 1 0

H :σ =σ vs H :σ <σ

2 2

1−,(n−1)

< _α χ χ

Untuk hipotesis , tolak H₀ pada tingkat keberartian α jika

2 2 2 2

0 0 1 0

H :σ =σ vs H :σ >σ

p g j

2 2

,(n−1)

> _α χ χ

merupakan nilai- nilai dari tabel distribusi chi-square dengan derajat kebebasan n - 1

2 ,( 1) 2

− ,

α n

χ ²

1 ,( 1) 2

−α n− ,

χ χ_α²_,(n−1), dan χ_α²_,(n−1)

28 28

© 2008 by UM

© 2008 by UM

Uji Hipotesis Tentang Uji Hipotesis Tentang Variansi Dua Populasi Variansi Dua Populasi

ƒƒ Bentuk hipotesis nol dan tandingannya Bentuk hipotesis nol dan tandingannya Bentuk hipotesis nol dan tandingannya Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk

untuk uji hipotesis mengenai uji hipotesis mengenai variansi variansi dua populasi adalah

dua populasi adalah

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2

1. H :σ =σ vs H :σ ≠σ

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2

2. H :σ =σ vs H : σ <σ

2 2 2 2

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2

3. H :σ =σ vs H :σ >σ

Dengan σ₁²dan σ₂²masing-masing adalah variansi populasi ke-1 dan variansi populasi ke-2

29

© 2008 by UM 29

© 2008 by UM

Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah

2 1 2 2

F S

=S

Jika H₀benar, statistik uji tersebut berdistribusi Fisher dengan derajat kebebasan v₁ = n₁– 1 dan v₂₂= n₂₂ – 2

30

© 2008 by UM 30

© 2008 by UM

Untuk hipotesis , tolak H₀ pada tingkat keberartian α jika :

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2

H :σ =σ vs H :σ ≠σ

1 2 1 2

1 ,( , ) ,( , )

2 2

atau

v v v v

F f F f

< −_α > _α

Untuk hipotesis , tolak H₀ pada tingkat keberartian α jika :

Untuk hipotesis , tolak H₀ pada tingkat keberartian α jika :

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2

H :σ =σ vs H :σ <σ

1 2 1 ,( , )v v

F<f_−α

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2

H :σ =σ vs H :σ >σ

1 2 ,( , )v v

F>f_α

1 2 1 2 1 2 1 2

,( , )_{v v} , 1₋ ,( , )_{v v} , / 2,( , )_{v v} , dan 1₋ / 2,( , )_{v v}

f_α f _α f_α f _α adalah nilai-nilai

dari tabel distribusi Fisher dengan derajat kebebasan v₁dan v₂

31

© 2008 by UM 31

© 2008 by UM

Contoh 4 Contoh 4

ƒƒ Suatu perusahaan baterai mobil Suatu perusahaan baterai mobil Suatu perusahaan baterai mobil Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya menyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0.9 tahun. Bila sampel simpangan baku 0.9 tahun. Bila sampel acak 10 baterai tersebut menghasilkan acak 10 baterai tersebut menghasilkan i b k 1 2 t h k h d i b k 1 2 t h k h d simpangan baku 1.2 tahun, apakah anda simpangan baku 1.2 tahun, apakah anda setuju bahwa

setuju bahwa σσ > 0.9 tahun? Gunakan > 0.9 tahun? Gunakan taraf kebartian 5%!

taraf kebartian 5%!

32

© 2008 by UM 32

© 2008 by UM

Solusi Solusi

H

H₀₀: : σσ²²= 0.81= 0.81 H

H₁₁: : σσ²²> 0.81> 0.81 α

α = 0.05= 0.05

Diketahui simpangan baku sampel, s = 1.2 Diketahui simpangan baku sampel, s = 1.2 Statistik uji

Statistik uji

Titik k iti d l h Titik k iti d l h

2 2 2 0

( 1) (9)(1.44) 16 0.81

= n− s = =

χ σ

2 2 16 919

Titik kritis adalah Titik kritis adalah

Karena , maka H

Karena , maka H₀₀tidak ditolak. Simpulkan tidak ditolak. Simpulkan bahwa simpangan baku umur baterai tidak melebihi bahwa simpangan baku umur baterai tidak melebihi 0.9

0.9

2 2

,n₋1= 0.05,9=16.919 χ α χ

2 2

0.05,9

χ <χ

33

© 2008 by UM 33

© 2008 by UM

Contoh 5 Contoh 5

ƒƒ Dalam pengujian keausan kedua bahan Dalam pengujian keausan kedua bahan Dalam pengujian keausan kedua bahan Dalam pengujian keausan kedua bahan di contoh 2, dianggap bahwa kedua di contoh 2, dianggap bahwa kedua variansi yang tidak diketahui sama variansi yang tidak diketahui sama besarnya. Ujilah anggapan ini! Gunakan besarnya. Ujilah anggapan ini! Gunakan taraf keberartian 0.10.

taraf keberartian 0.10.

34

© 2008 by UM 34

© 2008 by UM

Solusi Solusi

ƒƒ Misalkan Misalkan σ Misalkan Misalkan σ σ σ

₁₁₁₁²²

dan dan σ dan dan σ σ σ

₂₂₂₂²²

adalah variansi adalah variansi adalah variansi adalah variansi populasi dari masing

populasi dari masing--masing keausan masing keausan bahan 1 dan bahan 2. rumusan hipotesis bahan 1 dan bahan 2. rumusan hipotesis yang akan diuji adalah

yang akan diuji adalah H

H

₀₀

: : σ σ

₁₁²²

= = σ σ

₂₂²²

H

H

₁₁

: : σ σ

₁₁²²

≠ ≠ σ σ

₂₂²²

α

α = = 0.10 0.10

35

© 2008 by UM 35

© 2008 by UM

Statistik uji f = s₁²/ s₂² = 16 / 25 = 0.64 H₀ditolak dengan tingkat keberartian α jika

< atau >

f f f f

1 2 1 2

1 ,( , ) ,( , )

2 2

atau

< − >

v v v v

f f _α f f_α

Dalam hal ini α = 0.10, v₁= n₁ – 1 = 12 – 1 = 11 , dan v₂= n₂– 1 = 10 – 1 = 9.

Maka

1 2 0.95,(11.9)

1 ( ) 0.34

− = =

v v

f _α f dan ( )= 0.05,(11.9)=3.11

v v

f_α f

1 2

1 ,( , )

2 v v ,( , )_{1 2}

2 v v

Karena , maka jangan tolak H₀. Simpulkan bahwa tidak cukup kenyataan untuk

menyatakan bahwa variansinya berbeda.

1 2 1 2

1 ,( , ) ,( , )

2 2

− < <

v v v v

f _α f f_α

36

© 2008 by UM 36

© 2008 by UM

Referensi Referensi

ƒƒ Devore, J.L. and Peck, R., Devore, J.L. and Peck, R., Statistics Statistics –– The Exploration and The Exploration and Analysis of Data

Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.yy ff , USA: Duxbury Press, 1997.,, yy ,,

ƒƒ Pasaribu, U.S., 2007, Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah BiostatistikaCatatan Kuliah Biostatistika..

ƒƒ Wild, C.J. and Wild, C.J. and SeberSeber, G.A.F., , G.A.F., Chance Encounters Chance Encounters –– A first A first Course in Data Analysis and Inference

Course in Data Analysis and Inference, USA: John , USA: John Wiley&Sons,Inc

Wiley&Sons,Inc., 2000.., 2000.

ƒƒ Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan

dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan Edisi 4 Edisi 4 Bandung: Bandung:

dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan

dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, , Edisi 4, Bandung: Bandung:

Penerbit ITB, 1995 Penerbit ITB, 1995..

ƒƒ Walpole, Ronald E. et.al., Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs Probability & Statistics for Enginerrs

& Scientists

& Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice , Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice Hall, 2007

Hall, 2007..

37

© 2008 by UM 37

© 2008 by UM