Metode Simpleks dalam Bentuk Tabel (Simplex Method in Tabular Form) Materi Bahasan

(1)

TI2231 Penelitian Operasional I 1

Metode Simpleks dalam Bentuk Tabel (Simplex Method in Tabular Form)

Kuliah 04

Materi Bahasan

① Metode simpleks dalam bentuk tabel

② Pemecahan untuk masalah minimisasi

③ Masalah-masalah komputasi dalam metode simpleks

④ Penentuan basis layak

(2)

① Metode simpleks dalam Bentuk Tabel

Contoh Rumusan Masalah PL

Memaksimumkan Z = 3x₁+ 2x₂ dengan pembatas-pembatas:

x₁+ 2x₂6 2x₁+ x₂ 8 – x₁+ x₂1 x₂2 x₁≥ 0, x₂≥ 0

(3)

Bentuk Kanonik

x₁ + 2x₂+ x₃ = 6 2x₁+ x₂ + x₄ = 8 – x₁+ x2 + x₅ = 1 x₂ + x₆= 2

x₁ ≥ 0, x₂≥ 0, x₃≥ 0, x₄ ≥ 0, x₅≥ 0, x₆ ≥ 0,

Representasi Tabel

untuk Solusi Basis Layak Awal

c_B

3 2 0 0 0 0

Konstanta x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

0 x₃ 1 2 1 0 0 0 6

0 x₄ 2 1 0 1 0 0 8

0 x₅ -1 1 0 0 1 0 1

Basis c_j

(4)

Nilai Fungsi Tujuan

konstanta dan

vektor dari

product

inner c

_B

Z 

 

0

2 1 8 6 0 , 0 , 0 ,

0 















 Z 

Pemeriksaan Optimalitas



 





 berkaitan dengan dalamsistemkanonik yang kolom dan

dari

j B j

j x

c uct

inner prod c

c

Nilai fungsi tujuan relatif (profit relatif /ongkos relatif ) untuk variabel non basis:

Kondisi optimal terjadi apabila semua nilai koefisien fungsi tujuan relatif untuk variabel non basis adalah tak positif [untuk masalah maksimisasi]

(5)

Nilai Fungsi Tujuan Relatif untuk Variabel Non Basis

 

3

0 1 2 1 0 , 0 , 0 , 0

1 3 

















  c 

 

2

1 1 1 2 0 , 0 , 0 , 0

2 2 



















 c

Tabel 1 (awal)

c_B

3 2 0 0 0 0

0 x₃ 1 2 1 0 0 0 6

0 x₄ 2 1 0 1 0 0 8

0 x₅ -1 1 0 0 1 0 1

Basis c_j

(6)

Penentuan variabel yang masuk (entering variable)

• Variabel non basis yang dipilih untuk masuk ke basis (entering variable)  variabel yang memberikan peningkatan per unit pada Z yang terbesar., yaitu variabel non basis yang

mempunyai nilai fungsi tujuan relatif terbesar (paling positif untuk masalah maksimasi).

Penentuan variabel yang masuk (entering variable)

c_B

3 2 0 0 0 0

0 x₃ 1 2 1 0 0 0 6

0 x₄ 2 1 0 1 0 0 8

0 x₅ -1 1 0 0 1 0 1

0 x₆ 0 1 0 0 0 1 2

3 2 0 0 0 0 Z = 0

Basis c_j

c Baris

(7)

Penentuan variabel yang keluar (leaving variable)

• Untuk menentukan variabel basis yang akan diganti (leaving variable), aturan rasio

minimum (minimum ratio rule) digunakan untuk menentukan limit bagi tiap pembatas.

Penentuan variabel yang keluar (leaving variable)

Nomor baris Variabel basis Batas atas bagi x₁

1 x₃ 6/1 = 6

2 x₄ 8/2 = 4 (minimum)

3 x₅ 

(8)

Penentuan variabel yang keluar (leaving variable)

c_B

3 2 0 0 0 0

0 x₃ 1 2 1 0 0 0 6

0 x₄ 2 1 0 1 0 0 8

0 x₅ -1 1 0 0 1 0 1

0 x₆ 0 1 0 0 0 1 2

3 2 0 0 0 0 Z = 0

Basis c_j

c Baris

Tabel 2

c_B

3 2 0 0 0 0

0 x₃ 0 3/2 1 -1/2 0 0 2

3 x₁ 1 1/2 0 1/2 0 0 4

0 x₅ 0 3/2 0 1/2 1 0 5

0 x₆ 0 1 0 0 0 1 2

0 1/2 0 -3/2 0 0 Z = 12

Basis c_j

c Baris

(9)

Penentuan variabel yang masuk (entering variable)

c_B

3 2 0 0 0 0

0 x₃ 0 3/2 1 -1/2 0 0 2

3 x₁ 1 1/2 0 1/2 0 0 4

0 x₅ 0 3/2 0 1/2 1 0 5

0 x₆ 0 1 0 0 0 1 2

0 1/2 0 -3/2 0 0 Z = 12

Basis c_j

c Baris

Penentuan variabel yang masuk (entering variable)

c_B

3 2 0 0 0 0

0 x₃ 0 3/2 1 -1/2 0 0 2

3 x₁ 1 1/2 0 1/2 0 0 4

0 x₅ 0 3/2 0 1/2 1 0 5

Basis c_j

(10)

Tabel 3 (Optimal)

c_B

3 2 0 0 0 0

2 x₂ 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3

3 x₁ 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3

0 x₅ 0 0 -1 1 1 0 3

0 x₆ 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3

0 0 -1/3 -4/3 0 0 Z = 12²/₃

Basis c_j

c Baris

Output Tabel Simpleks dengan Software

(WinQSB) (1)

(11)

Output Tabel Simpleks dengan Software (WinQSB) (2)

② Pemecahan untuk masalah minimisasi

(12)

Masalah minimisasi (Minimization problem)

• Koefisien fungsi tujuan relatif memberikan informasi perubahan dalam nilai Z per satu unit peningkatan variabel non basis.

• Nilai yang negatif pada koefisien fungsi tujuan relatif untuk suatu variabel non basis

mengindikasikan bahwa jika variabel non basis dinaikkan justru akan menyebabkan penurunan pada nilai Z.

Masalah minimisasi (Minimization problem))

• Oleh karena itu, untuk masalah minimasi, hanya variabel non basis yang mempunyai koefisien fungsi tujuan relatif yang negatif saja yang memenuhi syarat sebagai calon variabel yang masuk basis (entering variable).

• Variabel yang masuk basis (entering variable) adalah variabel yang mempunyai koefisien fungsi tujuan relatif paling negatif.

• Sehingga kondisi optimalitas pada masalah minimasi terjadi apabila semua nilai koefisien fungsi tujuan relatif variabel non basis adalah tak negatif.

(13)

Masalah minimisasi (Minimization problem)

• Alternatif lain untuk memecahkan masalah minimasi adalah dengan mengkonversikannya menjadi masalah maksimasi dengan

memecahkan dengan metoda simpleks untuk masalah maksimasi..

• Konversi dilakukan dengan mengalikan fungsi tujuan untuk masalah minimasi dengan minus satu.

Masalah minimisasi (Minimization problem)

Meminimumkan Z = 4x₁+ x₂ dengan pembatas-pembatas:

3x₁+ x₂= 3 4x₁+ 3x₂≥ 6 x₁+ 2x₂4 x₁≥ 0, x₂≥ 0

(14)

Masalah minimisasi (Minimization problem)

Memaksimumkan Z’ = -4x₁- x₂ dengan pembatas-pembatas:

3x₁+ x₂= 3 4x₁+ 3x₂≥ 6 x₁+ 2x₂4 x₁≥ 0, x₂≥ 0

Masalah Minimisasi (Minimization problem)

Solusi optimal kedua permasalahan akan sama, tetapi nilai optimalnya berbeda dalam hal tanda.

Dengan kata lain:

Nilai minimum dari Z = - (Nilai maksimum dari Z’)

(15)

③ Masalah-masalah komputasi dalam metode simpleks

Masalah-masalah komputasi

• Nilai yang sama pada koefisien fungsi tujuan relatif yang terbesar  Pilih variabel non basis yang akan masuk (entering variable) secara sebarang.

• Nilai yang sama pada rasio minimum untuk dua atau lebih pembatas 

– Pilih variabel yang akan keluar (leaving variable) secara sebarang.

(16)

Masalah-masalah komputasi

• Solusi optimal alternatif (alternate optimal

solution)

• Solusi yang tak terbatas (unbounded solution)

Solusi optimum alternatif (Alternate optimum solution)

x₁+ 2x₂5 x₁+ x₂4 x₁≥ 0, x₂≥ 0

(17)

Bentuk kanonik

x₁+ 2x₂+ x₃ = 5 x₁+ x₂ + x₄= 4 x₁≥ 0, x₂≥ 0, x₃ ≥ 0, x₄≥ 0

Tabel 1

c_B

2 4 0 0

Konstanta

x₁ x₂ x₃ x₄

0 x₃ 1 2 1 0 5

0 x₄ 1 1 0 1 4

Basis c_j

(18)

Tabel 2 (Optimal)

c_B

2 4 0 0

Konstanta

x₁ x₂ x₃ x₄

4 x₂ 1/2 1 1/2 0 5/2

0 x₄ 1/2 0 -1/2 1 3/2

0 0 -2 0 Z = 10

Basis c_j

c Baris

Tabel 3 (Optimal alternatif)

c_B

2 4 0 0

Konstanta

x₁ x₂ x₃ x₄

4 x₂ 0 1 1 -1 1

2 x₁ 1 0 -1 2 3

0 0 -2 0 Z = 10

Basis c_j

c Baris

(19)

Solusi secara grafis

x₁ x₂

Catatan

• Solusi optimal alternatif dalam tabel simpleks dapat diidentifikasi dengan melihat apakah terdapat koefisien fungsi tujuan relatif yang nol untuk variabel non basis pada tabel optimal.

• Dalam praktek, pengetahuan tentang optima alternatif adalah berguna karena ini

memberikan manajemen untuk memilih solusi

yang terbaik yang cocok dengan situasi tanpa

(20)

Solusi tak terbatas (Unbounded solution)

x₁– x₂2 -3x₁+ x₂3 x₁≥ 0, x₂≥ 0

Bentuk kanonik

x₁– x₂+ x₃ = 2 -3x₁+ x₂ + x₄= 3

x₁≥ 0, x₂≥ 0, x₃ ≥ 0, x₄≥ 0

(21)

Tabel 1

c_B

2 3 0 0

Konstanta

x₁ x₂ x₃ x₄

0 x₃ 1 -1 1 0 2

0 x₄ -3 1 0 1 3

2 3 0 0 Z = 0

Basis c_j

c Baris

Tabel 2

c_B

2 3 0 0

Konstanta

x₁ x₂ x₃ x₄

0 x₃ -2 0 1 1 5

3 x₂ -3 1 0 1 3

Basis c_j

(22)

Catatan

• Tabel 2 belum optimal

• Variabel non basis x

₁

dapat menjadi basis (entering variable) untuk menaikkan Z.

• Tetapi, aturan rasio minimum gagal karena tidak ada elemen positif pada kolom x

₁

.

• Dengan kata lain, jika x

₁

meningkat maka kedua variabel basis x

₃

dan x

₂

juga meningkat sehingga tidak akan pernah mencapai nol sebagai batas peningkatan x

₁

.

Catatan

• Ini berarti bahwa x₁dapat dinaikkan secara tak terbatas.

• Karena tiap peningkatan satu unit x1 akan

meningkatkan Z sebesar 11 unit, maka fungsi tujuan dapat dinaikkan tak terbatas.

• Oleh karena itu, solusi bagi masalah LP adalah solusi tak terbatas (unbounded solution).

• Dengan demikian, kegagalan dalam aturan rasio minimum mengindikasikan bahwa masalah LP mempunyai solusi yang tak terbatas.

(23)

Solusi secara grafis

x₁ x₂

Degenerasi (Degeneracy)

• Jika terjadi nilai yang sama pada rasio minimum, maka pemilihan variabel yang

keluar basis (leaving variable) dapat dilakukan sebarang.

• Akibatnya, satu atau lebih variabel basis akan mempunyai nilai nol pada iterasi berikutnya.

• Dalam kasus ini, masalah LP dikatakan

(24)

Degenerasi (Degeneracy)

x₁+ 4x₂8 x₁+ 2x₂4 x₁≥ 0, x₂≥ 0

Bentuk kanonik

x₁+ 4x₂+ x₃= 8 x₁+ 2x₂ + x₄= 4 x₁≥ 0, x₂≥ 0, x₃ ≥ 0, x₄≥ 0

(25)

Tabel 1

c_B

3 9 0 0

Konstanta

x₁ x₂ x₃ x₄

0 x₃ 1 4 1 0 8

0 x₄ 1 2 0 1 4

3 9 0 0 Z= 0

Basis c_j

c Baris

Tabel 2

c_B

3 9 0 0

Konstanta

x₁ x₂ x₃ x₄

9 x₂ 1/4 1 1/4 0 2

0 x₄ 1/2 0 -1/2 1 0

Basis c_j

(26)

Tabel 3 (Optimal)

c_B

3 9 0 0

Konstanta

x₁ x₂ x₃ X₄

9 x₂ 0 1 ½ -1/2 2

0 x₁ 1 0 -1 2 0

0 0 -3/2 -3/2 Z = 18

Basis c_j

c Baris

Catatan

• Implikasi praktek dari degenerasi?

– Terdapat pembatas yang redundan.

(27)

Solusi secara grafis

x₁ x₂

Catatan

• Dari sudut pandang teoritis, degenerasi mempunyai implikasi:

– Fenomena cycling atau circling  prosedur simpleks mengulangi iterasi yang sama tanpa memperbaiki nilai fungsi tujuan dan tanpa pernah berhenti.

(28)

④ Penentuan Basis Layak

Pendekatan untuk mendapatkan solusi basis layak awal

• Trial-and-Error

– Variabel basis dipilih sebarang untuk tiap pembatas

– Tidak efisien

• Penggunaan variabel semu (artificial variable)

(29)

Contoh masalah LP

3x₁+ x₂= 3 4x₁+ 3x₂≥ 6 x₁+ 2x₂4 x₁≥ 0, x₂≥ 0

Bentuk standar

3x₁+ x₂ = 3 4x₁+ 3x₂– x₃ = 6 x₁+ 2x2 + x₄= 4 x₁≥ 0, x₂≥ 0, x₃ ≥ 0, x₄≥ 0

(30)

Penambahan variabel semu

3x₁+ x₂ + x₅ = 3 4x₁+ 3x₂– x₃ +x₆ = 6

x₁+ 2x2 + x4 = 4 x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆≥ 0

Variabel semu : x₅, x₆

Ide penggunaan variabel semu

• Variabel semu merupakan variabel tak negatif yang ditambahkan pada ruas kiri untuk tiap persamaan yang tidak mempunyai solusi basis awal.

• Variabel semu ini berperan sebagai variabel sisipan (slack variable) untuk memberikan solusi basis awal.

• Variabel semu tidak mempunyai arti fisik pada

permasalahan awal.

(31)

Ide penggunaan variabel semu

• Prosedur memaksa variabel semu untuk bernilai nol jika kondisi optimal tercapai.

• Cara yang logis adalah memberikan penalti pada variabel semu dalam fungsi tujuan.

• Pendekatan

– Metoda big M – Metoda dua fasa

Metode Big M

• Variabel semu diberikan suatu penalti dengan suatu bilangan yang besar sekali pada fungsi tujuan.

• Metode simplex mencoba untuk memperbaiki fungsi tujuan dengan cara membuat variabel semu tidak ekonomis lagi untuk dipertahankan sebagai variabel basis dengan nilai yang positif.

• Untuk masalah

– Minimiasi : M – Maksimasi: -M

(32)

Metode big M

Meminimumkan Z = 4x₁+ x₂+ Mx₅+ Mx₆ dengan pembatas-pembatas:

3x₁+ x₂ + x₅ = 3 4x₁+ 3x₂– x₃ +x₆ = 6 x₁+ 2x2 + x4 = 4 x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆≥ 0

c_B

4 1 0 0 M M

M x₅ 3 1 0 0 1 0 3

M x₆ 4 3 -1 0 0 1 6

0 x₄ 1 2 0 1 0 0 4

Basis c_j

C Baris

(33)

Nilai fungsi tujuan

konstanta dan

vektor dari

product

inner c

_B

Z 



M M



M

Z 9

4 6 3 0 ,

, 



















Pemeriksaan optimalitas



 





 berkaitan dengan dalamsistemkanonik yang kolom dan

dari

j B j

j x

c uct

inner prod c

c

Nilai fungsi tujuan relatif (profit relatif /ongkos relatif ) untuk variabel non basis:

Kondisi optimal terjadi apabila semua nilai koefisien fungsi tujuan relatif untuk variabel basis adalah tak

(34)

Nilai fungsi tujuan relatif untuk variabel non basis



M M



M

c 4 7

1 4 3 0 , ,

1 4  























M M



M

c 1 4

2 3 1 0 , ,

2 1  























M M



M

c 





















0 1 0 0 , ,

3 0

Tabel 1

c_B

4 1 0 0 M M

Konstanta

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

M x₅ 3 1 0 0 1 0 3

M x₆ 4 3 -1 0 0 1 6

0 x₄ 1 2 0 1 0 0 4

4 – 7M 1 – 4M M 0 0 0 Z = 9M

Basis c_j

c Baris

(35)

Tabel 2

c_B

4 1 0 0 M M

Konstanta

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

4 x₁ 1 1/3 0 0 1/3 0 1

M x₆ 0 5/3 -1 0 -4/3 1 2

0 x₄ 0 5/3 0 1 -1/3 0 3

0 -1/3

-5/3M M 0 -4/3

+7/3M 0 Z =

4 + 2M

Basis c_j

c Baris

Tabel 3

c_B

4 1 0 0 M M

Konstanta

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

4 x₁ 1 0 1/5 0 3/5 -1/5 3/5

1 x₂ 0 1 -3/5 0 -4/5 3/5 6/5

0 x 0 0 1 1 1 -1 1

Basis c_j

(36)

Tabel 4 (Optimal)

c_B

4 1 0 0 M M

Konstanta

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

4 x₁ 1 0 0 -1/5 2/5 0 2/5

1 x₂ 0 1 0 3/5 -1/5 0 9/5

0 x₃ 0 0 1 1 1 -1 1

0 0 0 1/5 -7/5

+ M M Z = 17/5

Basis c_j

c Baris

Output Tabel Simpleks dengan Software

(WinQSB) (1)

(37)

Output Tabel Simpleks dengan Software (WinQSB) (2)

Metoda dua-fase (1)

• Fase I

– Mendapatkan solusi basis layak awal pada masalah original.

– Penghilangan variabel semu.

– Fungsi tujuan semu merupakan jumlah dari variabel semu yang diminimasi.

– Jika nilai fungsi tujuan sama dengan nol, maka semua variabel semu bernilai nol dan solusi basis layak diperoleh bagi masalah original.

– Jika nilai minimum fungsi tujuan adalah positif, maka

(38)

Metoda dua-fase (2)

• Fase II

– Solusi basis layak yang diperoleh pada Fase I dioptimasi terhadap fungsi tujuan origina.

– Tabel akhir pada Fase I menjadi tabel awal pada Fase II dengan perubahan pada fungsi tujuan.

Metoda dua-fase (Fase I)

Meminimumkan W = x₅ + x₆ dengan pembatas-pembatas:

3x₁+ x₂ + x₅ = 3 4x₁+ 3x₂– x₃ +x₆ = 6 x₁+ 2x2 + x4 = 4 x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆≥ 0

(39)

Tabel 1 [Fase I]

c_B

0 0 0 0 1 1

Konstanta

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

1 x₅ 3 1 0 0 1 0 3

1 x₆ 4 3 -1 0 0 1 6

0 x₄ 1 2 0 1 0 0 4

– 7 – 4 1 0 0 0 W = 9

Basis c_j

c Baris

Tabel 2 [Fase I]

c_B

0 0 0 0 1 1

Konstanta

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

0 x₁ 1 1/3 0 0 1/3 0 1

1 x₆ 0 5/3 -1 0 -4/3 1 2

0 x 0 5/3 0 1 -1/3 0 3

Basis c_j

(40)

Tabel 3 [Fase I]

c_B

0 0 0 0 1 1

Konstanta

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

0 x₁ 1 0 1/5 0 3/5 -1/5 3/5

0 x₂ 0 1 -3/5 0 -4/5 3/5 6/5

0 x₄ 0 0 1 1 1 -1 1

0 0 0 0 1 1 W = 0

Basis c_j

c Baris

Tabel 1 [Fase II]

c_B

4 1 0 0

Konstanta

x₁ x₂ x₃ x₄

4 x₁ 1 0 1/5 0 3/5

1 x₂ 0 1 -3/5 0 6/5

0 x₄ 0 0 1 1 1

0 0 -1/5 0 Z = 18/5

Basis c_j

c Baris

(41)

Tabel 2 [Fase II] (Optimal)

c_B

4 1 0 0

Konstanta

x₁ x₂ x₃ x₄

4 x₁ 1 0 0 -1/5 2/5

1 x₂ 0 1 0 3/5 9/5

0 x₄ 0 0 1 1 1

0 0 0 1/5 Z = 17/5

Basis c_j

c Baris

Solusi tak layak (infeasible solution)

• Dengan metoda big M

– Pada tabel optimal, satu atau lebih variabel semu tetap sebagai variabel basis

• Dengan metoda dua-fase

– Pada tabel optimal pada fase I, nilai fungsi tujuannya adalah positif, dimana satu atau lebih variabel semu sebagai basis)

(42)

Contoh masalah LP

2x₁+ x₂2 3x₁+ 4x₂≥ 12

x₁≥ 0, x₂≥ 0

Bentuk standar

2x₁+ x₂ + x3 = 2 3x₁+ 4x₂ - x₄= 12

x₁, x₂, x₃, x₄≥ 0

(43)

Penambahan variabel semu

2x₁+ x₂ + x3 = 2 3x₁+ 4x₂ - x₄+ x₅= 12

x₁, x₂, x₃, x₄, x₅≥ 0

Metode big M

Memaksimumkan Z = 3x₁+ 2x₂– Mx₅ dengan pembatas-pembatas:

2x₁+ x₂ + x3 = 2 3x₁+ 4x₂ - x₄+ x₅= 12

x₁, x₂, x₃, x₄, x₅≥

(44)

Tabel 1

c_B

3 2 0 0 -M

Konstanta

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅

0 x₃ 2 1 1 0 0 2

-M x₅ 3 4 0 -1 1 12

3 + 3M 2 + 4M 0 -M 0 Z = -12M

Basis c_j

c Baris

Tabel 2

c_B

3 2 0 0 -M

Konstanta

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅

0 x₄ 2 1 1 0 0 2

-M x₅ -5 0 -4 -1 1 4

-1 -5M 0 -2 – 4M -M 0 Z =

4 – 4M

Basis c_j

c Baris