Metode Simpleks (Simplex Method) Materi Bahasan

(1)

TI2231 Penelitian Operasional I 1

Metode Simpleks

(Simplex Method)

Kuliah 03

Materi Bahasan

① Rumusan Pemrograman linier dalam bentuk

baku

② Pemecahan sistem persamaan linier

③ Prinsip-prinsip metode simpleks

(2)

① Rumusan Pemrograman Linier

dalam Bentuk Baku

Rumusan Pemrograman Linier dalam

Bentuk Baku

Z = c₁x₁+ c₂x₂+ … + c_nx_n a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ … + a_1nx_n= b₁ a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ … + a_2nx_n= b₂ . . . a_m1x₁+ a_m2x₂+ … + a_mnx_n = b_m dengan pembatas Memaksimumkan (Meminimumkan)

(3)

Karakteristik Rumusan Bentuk Baku

• Fungsi tujuan adalah memaksimumkan atau

meminimumkan

• Semua pembatas dinyatakan dalam persamaan

• Semua variabel keputusan dibatasi sebagai tak

negatif

• Konstanta ruas kanan untuk tiap pembatas

adalah tak negatif

Notasi Matriks-Vektor (1)

Z = cx Maks (Min) Ax = b x ≥ 0 b ≥ 0 dg pembatas A : matriks (m x n) x : vektor kolom (n x 1) b : vektor kolom (m x 1) c : vektor baris (1 x n)

(4)

Notasi Matriks-Vektor (2)

             mn m m n n a a a a a a a a a      2 1 2 22 21 1 12 11 A              n x x x  2 1 x              m b b b  2 1 b c



c1 c2  cn



Reduksi ke Bentuk Baku

• Metode simpleks untuk memecahkan masalah

PL memerlukan bahwa masalah dinyatakan

dalam bentuk baku.

• Tidak semua masalah PL dalam bentuk baku

– Pembatas pertidaksamaan (inequality constraint). – Variabel yang tak dibatasi tanda (unrestricted in

(5)

Pembatas Pertidaksamaan (1)

• Karena bentuk baku memerlukan semua

pembatas harus dinyatakan dengan dalam

persamaan, pembatas pertidaksamaan harus

diubah ke persamaan.

• Ini dilakukan dengan penambahan variabel

baru untuk menunjukkan slack antara ruas kiri

dan kanan pada tiap pertidaksamaan.

• Variabel baru tersebut disebut slack variable

Pembatas Pertidaksamaan (2)

2x₁+ 5x₂≥ 18 ⇒ 2x₁+ 5x₂– x₄= 18

x₄≥ 0

x₁+ 4x₂10 ⇒ x₁+ 4x₂+ x₃= 10

(6)

Variabel yang Tak Dibatasi Tanda (1)

• Dalam PL, adakalanya terdapat nilai variabel

yang tak dibatasi tanda (positif atau negatif)

• Karena bentuk baku PL memerlukan semua

variabel adalah tak negatif, maka variabel yang

tak dibatasi tanda diganti dengan selisih dua

variabel tak negatif

Variabel yang Tak Dibatasi Tanda (2)

x₁ + x₅= 50

x₁ ≥ 0

x₅ tak dibatasi tanda



x₅ = x₆– x₇

(7)

Definisi Dasar (1)

• Suatu solusi layak (feasible solution) adalah

suatu vektor tak negatif x yang memenuhi

persamaan Ax = b.

• Daerah layak (feasible region), dinyatakan

dengan S, adalah himpunan dari semua solusi

layak yang mungkin. Secara matematis,

S = {x | Ax = b, x ≥ 0}

Jika himpunan layak S adalah kosong maka

masalah PL dikatakan tak layak (infeasible)

Definisi Dasar (2)

• Suatu solusi optimal (optimal solution) adalah suatu

vektor x*_{yang layak dan nilai fungsi tujuannya (cx}*₎

lebih besar dari semua solusi layak yang lain. Secara matematis,

x* _{adalah optimal}_x* _{S dan cx}* ≥ cx, _x_S • Nilai optimal (optimal value) dari masalah PL adalah

nilai fungsi tujuan yang berkaitan dengan solusi

(8)

Definisi Dasar (3)

• Jika suatu PL mempunyai lebih dari satu solusi optimal maka PL disebut mempunyai solusi optimal alternatif (alternate optimal solution).

• Solusi optimal dari masalah PL dikatakan unik

(unique optimum) jika hanya terdapat tepat satu solusi optimal.

• Jika suatu masalah PL tidak mempunyai optimum

tertentu (finite optimum), yaitu maks. Z  +, maka

PL dikatakan mempunyai solusi yang tak terbatas (unbounded solution)

(9)

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (1)

• Permasalahan matematis utama dalam

pemrograman linier adalah mendapatkan solusi

dari suatu sistem persamaaan linier yang

memaksimumkan atau meminimumkan suatu

fungsi tujuan linier.

• Sistem persamaan linier dapat diselesaikan

dengan menggunakan prosedur klasik

Gauss-Jordan elimination.

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (2)

x₁– 2x₂+ x₃ – 4x₄+ 2x₅= 2

x₁– x₂ – x₃ – 3x₄ – x₅= 4 Sistem dengan dua persamaan dengan lima variabel yang tak diketahui

•Karena terdapat lebih banyak jumlah variabel yang tak diketahui daripada persamaan, maka sistem mempunyai lebih dari satu solusi.

•Himpunan dari semua solusi yang mungkin dari sistem disebut himpunan solusi (solution set)

(10)

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (3)

• Sistem ekivalen (equivalent system)

– Dua sistem persamaan dikatakan ekivalen jika kedua sistem mempunyai himpunan solusi yang sama.

• Metode untuk memecahkan suatu sistem

persamaan adalah mendapatkan suatu sistem

ekivalen yang mudah untuk dipecahkan.

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (4)

• Terdapat dua tipe operasi baris elementer

untuk mendapatkan sistem ekivalen

– Mengalikan sebarang persamaan dalam sistem dengan suatu bilangan positif atau negatif. – Menambahkan ke sebarang persamaan dengan

suatu konstanta pengali (positif, negatif atau nol) ke sebarang persamaan yang lain.

(11)

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (5)

x₁– 2x₂+ x₃ – 4x₄+ 2x₅= 2 x₂ – 2x₃ + x₄– 3x₅ = 2 x₁– x₃– 2x₄– 4x₅= 6 x₂ – 2x₃+ x₄– 3x₅= 2 (S₂) (S₃) x₁– 2x₂+ x₃ – 4x₄+ 2x₅= 2 x₁– x₂ – x₃ – 3x₄ – x₅= 4 (S₁)

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (6)

• Sistem S

₁

, S

₂

dan S

₃

adalah ekivalen, yaitu

solusi bagi satu sistem secara otomatis

memberikan solusi bagi sistem yang lain.

• Untuk sistem S

₃

, x

₄

= x

₅

= x

₆

= 0 akan

memberikan x

₁

= 6, x

₂

= 2.

• Sistem S

₃

disebut sistem kanonik (canonical

system).

• Variabel x

₁

dan x

₂

dari sistem kanonik disebut

variabel basis (basic variable).

(12)

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (7)

• Variabel basis (basic variable)

– Variabel x_idikatakan sebagai variabel basis jika dalam suatu persamaan ia muncul dengan koefisien satu pada persamaan tersebut, dan nol pada persamaan yang lain.

• Variabel non basis (nonbasic variable)

– Variabel yang bukan variabel basis.

• Operasi pivot (pivot operation)

– Suatu urutan operasi elementer yang mereduksi suatu sistem persamaan ke suatu sistem ekivalen untuk menghasilkan variabel basis.

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (8)

• Solusi basis (basic solution)

– Solusi yang diperoleh dari suatu sistem kanonik dengan menetapkan nilai variabel non basis sama dengan nol dan memecahkan variabel basis.

• Solusi basis layak (basic feasible solution)

– Solusi basis dimana nilai variabel basisnya adalah tak negatif.

(13)

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (9)

• Dengan m pembatas dan n variabel, jumlah

maksimum dari solusi basis bagi PL dalam

bentuk baku adalah terbatas dan diberikan oleh





! ! ! m n m n m n        

• Per definisi, setiap solusi basis layak adalah

solusi basis, maka jumlah maksimum solusi

basis layak adalah juga terbatas dengan

hubungan ini.

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (10)

• Dari kesimpulan dengan metode grafis:

– Jika terdapat suatu solusi optimal dari model PL, salah satu titik pojok (corner point) dari daerah layak adalah solusi optimal.

• Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa setiap titik pojok dari daerah layak berkaitan dengan suatu solusi basis layak dari persamaan pembatas.

• Ini berarti bahwa suatu solusi optimal dari model PL dapat diperoleh hanya dengan memeriksa solusi basis layaknya.

(14)

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (11)

• Pendekatan naif (naïve approach) untuk memecahkan masalah PL (yang mempunyai solusi optimal)

dilakukan dengan membangkitkan semua solusi basis layak yang mungkin dengan sistem kanonik dan menentukan solusi basis layak mana yang

memberikan nilai fungsi tujuan terbaik. • Dengan metode simpleks (simplex method),

pemecahan lebih efisien karena hanya memeriksa sebagian solusi basis layak.

(15)

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (1)

• Metode simpleks (simplex method), yang

dikembangkan oleh G.B. Dantzig, merupakan

prosedur iteratif untuk memecahkan masalah

PL dengan mengekspresikannya dalam bentuk

baku.

• Metode simpleks memerlukan bahwa semua

pembatas dinyatakan dalam bentuk sistem

kanonik dimana suatu solusi basis layak dapat

langsung diperoleh.

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (2)

• Langkah umum:

– Mulai dengan suatu solusi layak basis.

– Perbaiki solusi awal jika mungkin dengan mencari solusi layak basis yang mempunyai nilai fungsi tujuan yang lebih baik.

– Lanjutkan untuk mencari solusi-solusi layak basis yang dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan. Jika suatu solusi layak basis tidak dapat diperbaiki lagi, maka solusi layak basis tersebut menjadi solusi optimal dan metode simpleks berhenti.

(16)

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (3)

Memaksimumkan Z = 3x₁+ 2x₂ dengan pembatas-pembatas: x₁+ 2x₂6 2x₁+ x₂ 8 – x₁+ x₂1 x₂2 x₁≥ 0, x₂≥ 0

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (4)

Memaksimumkan Z = 3x₁+ 2x₂+ 0x₃+ 0x₄+ 0x₅+ 0x₆ dengan pembatas-pembatas: x₁ + 2x₂+ x₃ = 6 2x₁+ x₂ + x₄ = 8 – x₁+ x₂+ x₅ = 1 x₂ + x₆= 2 x₁ ≥ 0, x₂≥ 0, x₃≥ 0, x₄ ≥ 0, x₅≥ 0, x₆ ≥ 0,

(17)

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (5)

Variabel basis : x₃, x₄, x₅, x₆

Dengan menetapkan x₁= x₂= 0, maka diperoleh

solusi basis :

x₃= 6, x₄= 8, x₅= 1, x₆= 2

Nilai fungsi tujuan Z = 3(0)+2(0)+0(6)+0(8)+0(1)+0(2)= 0

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (6)

Memperbaiki solusi basis layak

• Dengan diberikan solusi basis layak, yaitu x₁ = x₂= 0,

x₃= 6, x₄= 8, x₅= 1, x₆= 2 dengan Z= 0, metode simpleks mengecek apakah mungkin untuk mendapatkan solusi basis layak yang lebih baik dengan nilai Z yang lebih besar.

• Ini dilakukan dengan pertama-tama memeriksa apakah solusi saat ini adalah optimal.

• Jika solusi solusi belum optimal, metode simpleks mencari suatu solusi basis layak tetangga (adjacent

basic feasible solution) dengan nilai Z yang lebih

(18)

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (7)

• Suatu solusi basis layak tetangga (adjacent

basic feasible solution) berbeda dengan solusi

basis layak (basic feasible solution) saat ini

hanya tepat satu variabel basis.

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (8)

• Untuk mendapatkan solusi basis layak

tetangga, metoda simpleks

– Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis

– Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

• Permasalahannya adalah memilih solusi basis

dan solusi non basis yang pertukarannya

(19)

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (9)

• Dalam solusi basis layak

– Variabel basis dapat mempunyai nilai yang positif – Varibel non basis selalu mempunyai nilai nol

• Membuat variabel non basis menjadi variabel basis adalah ekivalen dengan menaikkan nilainya dari nol ke positif.

• Tentu saja, pilihan yang harus dibuat adalah menentukan variabel non basis mana yang dapat memberikan perbaikan pada nilai Z

• Ini dilakukan dengan menaikkan nilai variabel non basis menjadi satu unit dan memeriksa perubahannya pada nilai fungsi tujuan Z.

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (10)

Misalkan variabel non basis x₁dinaikkan 1 unit

x₁ + x₃ = 6

2x₁ + x₄ = 8

– x₁ + x₅ = 1

0x₁ + x₆= 2

x₁= 1, x₂= 0, x₃= 5, x₄ = 6, x₅= 2, x₆= 2

Nilai fungsi tujuan

Z = 3(1)+2(0)+0(5)+0(6)+0(2)+0(2)= 3

Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x₁

(20)

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (11)

Misalkan variabel non basis x₂dinaikkan 1 unit

2x₂+ x₃ = 6

x₂ + x₄ = 8

x₂ + x₅ = 1

x₂ + x₆ = 2

x₁= 0, x₂= 1, x₃= 4, x₄ = 7, x₅= 0, x₆= 1

Nilai fungsi tujuan

Z = 3(0)+2(1)+0(4)+0(7)+0(0)+0(1)= 2

Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x₂

Z = 2 – 0 = 2

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (12)

• Karena



Z positif untuk x

₁

dan x

₂

 nilai

fungsi tujuan dapat dinaikkan.

• Karena



Z untuk x

₁

>



Z untuk x

₂

maka

menaikkan x

₁

lebih baik.

• Sampai seberapa jauh x

₁

dapat dinaikkan?

• Jika x

₁

dinaikkan maka nilai variabel basis :

(21)

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (13)

Batas peningkatan x₁:

x₁+ x₃ = 6  x₁= 6

2x₁ + x₄ = 8  x₁= 4

– x₁ + x₅ = 1  x₁= 

0x₁ + x₆= 2  x₁= 

Maksimum peningkatan x₁= minimum (6, 4, , ) = 4

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (14)

x₁dinaikkan ke 4, maka x₄menjadi variabel non basis

(22)

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (15)

x₁+ 2x₂+ x₃ = 6 2x₁+ x₂ + x₄ = 8 – x₁+ x₂+ x₅ = 1 x₂ + x₆= 2 3_/ 2x2+ x3 –1/2 x4 = 2 x₁+ 1_/ 2x2 +1/2x4 = 4 3_/ 2x2 + 1/2x4+ x5 = 5 x₂ + x₆ = 2 Variabel basis : x₁, x₃, x₅, x₆;

Variabel non basis: x₂, x₄

(5) (2) (4) x₂ D E

(23)

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (17)

3_/ 2x2 + x3 = 2 x₁+ 1_/ 2x2 = 4 3_/ 2x2 + x5 = 5 x₂ + x₆ = 2

Misalkan variabel non basis x₂dinaikkan 1 unit

x₁= 7_/

2, x2 = 1, x3= 1/2, x4= 0, x5= 7/2, x6= 1 Nilai fungsi tujuan

Z = 3(7_/

2)+2(1)+0(1/2)+0(0)+0(7/2)+0(1)= 121/2

Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x₂

Z = 121_/

2– 12 = 1/2

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (18)

x₃ –1_/ 2 x4 = 2 x₁ +1_/ 2x4 = 4 + 1_/ 2x4 + x5 = 5 0x₄ x₆ = 2

Misalkan variabel non basis x₄dinaikkan 1 unit

x₁= 7_/

2, x2 = 0, x3= 5/2, x4= 1, x5= 9/2, x6= 2 Nilai fungsi tujuan

Z = 3(7_/

2)+2(0)+0(5/2)+0(1)+0(9/2)+0(2)= 101/2

Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x₄

Z = 101_/

(24)

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (19)

• Karena



Z positif untuk x

₂

 nilai fungsi

tujuan dapat dinaikkan

• Karena



Z negatif untuk x

₄

 nilai fungsi

tujuan tidak dapat dinaikkan

• Sampai seberapa jauh x

₂

dapat dinaikkan?

• Jika x

₂

dinaikkan maka nilai variabel basis :

x₁, x₃, x₅, x₆akan turun dan nilainya harus tak negatif agar tetap layak.

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (20)

Batas peningkatan x₂: 3_/ 2x2 + x3 = 2  x2 = 4/3 x₁+ 1_/ 2x2 = 4  x2 = 8 3_/ 2x2 + x5 = 5  x2= 10/3 x₂ + x₆ = 2  x₂= 2

(25)

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (21)

x₂dinaikkan ke 4_/

3, maka x3menjadi variabel non basis

x₁= 10_/

3, x2 = 4/3, x3= 0, x4= 0, x5= 3, x6 = 2/3dan Z = 122/3

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (22)

3_/ 2x2+ x3 –1/2 x4 = 2 x₁+ 1_/ 2x2 +1/2x4 = 4 3_/ 2x2 + 1/2x4 + x5 = 5 x₂ + x₆= 2 x₂ + 2_/ 3x3 –1/3 x4 =4/3 x₁ –1_/ 3x3 + 2/3x4 =10/3 – x₃+ x₄+ x₅ = 3 –2_/ 3x3 + 1/3x4 + x6=2/3 Variabel basis : x₁, x₂, x₅, x₆;

(26)

TI2231 Penelitian Operasional I 51(6) (2) (4) (3) (1) x₁ x₂ A B C D E F

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (24)

x₂ + 2_/ 3x3 =4/3 x₁ –1_/ 3x3 =10/3 – x₃ + x₅ = 3 –2_/ 3x3 + x6=2/3

Misalkan variabel non basis x₃dinaikkan 1 unit

x₁= 11_/

3, x2 = 2/3, x3 = 1, x4= 0, x5= 4, x6 = 4/3 Nilai fungsi tujuan

Z = 3(11_/

(27)

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (25)

Misalkan variabel non basis x₄dinaikkan 1 unit

x₁= 8_/

3, x2 = 5/3, x3 = 0, x4= 1, x5= 2, x6 = 1/3 Nilai fungsi tujuan

Z = 3(8_/

3)+2(5/3)+0(0)+0(1)+0(2)+0(1/3)= 111/3

Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x₄

Z = 111_/ 3 – 122/3= –4/3 x₂ –1_/ 3 x4 =4/3 x₁ + 2_/ 3x4 =10/3 x₄+ x₅ = 3 1_/ 3x4 + x6=2/3

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (25)

• Karena



Z negatif untuk x

₃

dan x

₄

 nilai

fungsi tujuan tidak dapat dinaikkan

• Karena tidak ada variabel non basis yang dapat

dinaikkan yang dapat memberikan peningkatan

pada nilai fungsi tujuan Z maka solusi saat ini

adalah optimal.

(28)

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (26)

• Untuk masalah maksimisasi:

– Suatu solusi basis layak adalah optimal jika profit relatif (Z) dari variabel non basis adalah negatif