Spesifikasi Model. a. ACF

(1)

Spesifikasi Model

Ada tiga tahapan iterasi dalam pemodelan data deret waktu, yaitu:

1. Penentuan model tentatif (spesifikasi model) berdasarkan data contoh untuk mengidentifikasi nilai p, d, dan q.

2. Pendugaan parameter model ARIMA(p, d, q) yang diidentifikasi, yaitu penduga nilai , , dan σ_𝑒².

3. Analisis diagnostik untuk melihat kelayakan model.

 Prosedur iterasi ini sering disebut ”Metode Box- Jenkins”.

 Untuk model ARIMA(p, d, q), spesifikasi dilakukan untuk menentukan nilai p, d, dan q.

 Alat yang digunakan pada tahap identifikasi ini adalah fungsi autokorelasi.

 Fungsi autokorelasi ini diduga dari data contoh atau disebut fungsi autokorelasi contoh (sample of autocorrelation function atau SACF atau ACF saja).

 Disamping itu ada pula fungsi autokorelasi parsial (sample of partial autocorrelation function atau SPACF atau PACF saja)

a. ACF

 , 1,2,....

) (

) )(

(

1

2

1 











 

k Y

Y

Y Y Y Y

r _n

t t k n

t

k t t

k

 n Y Y

n

t



t

 ¹

 r_k merupakan penduga bagi _k

(2)

b. PACF

 PACF : _kk = Corr(Y_t, Y_t-k| Y_t-1, Y_t-2, …, Y_t-k+1)

 Berdasarkan persamaan Yule-Walker:

j = k1j-1 + k2j-2 + ... + kkj-k

j = 1, 2, ..., k; Catatan: j = -j dan 0 = 1

k  ACF; kk  PACF

ˆ  penduga bagi _kk kk

Contoh:

Misal diketahui data : 4, 2, 5, 1. Tentukan ACF (r1, r2) dan PACF (𝜙 ₁₁, 𝜙 ₂₂)

Melalui persamaan , 1,2,....

) (

) )(

(

1

2

1 











 

k Y

Y

Y Y Y Y

r _n

t t k n

t

k t t

k

Dapat diperoleh penduga ACF : r₁ = -0.7 dan r₂ = 0.4

Berdasarkan persamaan Yule-Walker dapat diperoleh penduga PACF kk:

j = k1j-1 + k2j-2 + ... + kkj-k

Untuk k =1  j = 1

1 = 110  1 = 11(1)  r₁ = 𝜙 ₁₁ = -0.7

Untuk k = 2  j = 1, 2

1 = 210 + 221  1 = 21 + 221

2 = 211 + 220  2 = 211 + 22

(1)² = 211 + 22(1)² ... Pers(1)  =   + 

(3)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1 2 3 4 5

ACF

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1 2 3 4 5 6

Sample of ACF

k

rk

k k

Berdasarkan Pers(1) dan Pers(2) diperoleh:

(1)² - 2 = 22(1)² - 22

22 = {(1)² - 2}/{(1)² - 1}

𝜙 ₂₂= {(r1)² - r2}/{(r1)² - 1} = 0.09/(-0.51) = -0.176

Pengidentifikasian Model

Model MA: Misal MA(1) : Y_t = e_t - et-1

ACF :













 





1

; 0

1 1 ²;

k k

k





(4)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1 2 3 4 5 6

ACF

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1 2 3 4 5 6

Sample of ACF

MA(2) : Y_t = e_t - 1e_t-1- 2e_t-2

ACF :













 





 







2

; 0

2

; 1

1

; 1

2 2 2 1

2 2 2 2 1

2 1 1

k k k

k  





 Karena r_k berasal dari data contoh maka diperlukan galat baku bagi r_k yaitu S_rk.

 Sebagai nilai pendekatan : Srk = 1/ n, dimana n adalah banyaknya data.

 Sehingga hipotesis H0 : k = 0 ditolak jika | rk | > 2Srk

atau | rk | > 2/ n.

 Misalnya, jika | r1 | > 2/ n dan | rk | <2/ n untuk k = 2, 3, …, maka model tentatifnya adalah MA(1).

Model AR : Misalkan AR(1) : Yt = Yt-1 + et

 ACF : k = ^k ; k = 1, 2, …

 Untuk model AR, ACF merupakan fungsi eksponensial sehingga ACF tidak dapat digunakan untuk menentukan nilai p dalam AR(p).

 PACF : untuk k = 1  1 = 11

untuk k = 2  1 = 21 + 221 .... (1)

(5)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1 2 3 4 5

PACF

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1 2 3 4 5 6

Sample of PACF

kk

^ˆkk

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sample of ACF

off tails

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sample of ACF

q lag after off cuts

Berdasarkan persamaan (1) dan (2)  22 = 0.

Demikian juga 33 = 44 = ... = 0.

Sehingga PACF AR(1):











1

; 0

1

; ₁

k k

kk





 Dengan demikian PACF dapat digunakan sebagai penentu nilai p dalam model AR(p).

 Hipotesis H0 : kk = 0 ditolak jika |ˆ_kk |2/ n.

Pengidentifikasian nilai p dan q

(6)

Identifikasi p dan q melalui nilai ACF dan PACF

ACF PACF Model Tentatif

Cuts off after lag q Tails off MA(q) Tails off Cuts off after lag p AR(p)

Cuts off after lag q Cuts off after lag p MA(q) atau AR(p), pilih model terbaik

Tails off Tails off ARMA(p, q)

Cek pada berbagai kombinasi p dan q.

Misal ARMA(1, 1), ARMA(1, 2), dsb.

Kemudian pilih model terbaik.

Tails off (slowly) Model tidak stasioner.

Perlu proses pembedaan

(differencing) terlebih dahulu hingga data menjadi stasioner.

(7)

Output Minitab (sample of ACF, sample of PACF)

12 7

2 1.0

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

Autocorrelation -1.0

LBQ T Corr Lag LBQ T Corr Lag

20.68 20.38 20.35 20.35 20.35

19.81 18.63 18.05 16.54 16.23 15.67 14.90

0.35 0.13 0.02 -0.02 -0.50

0.75 -0.54 0.89 -0.41 -0.56 0.67 -3.74

0.07 0.02 0.00 -0.00 -0.09

0.14 -0.10 0.16 -0.07 -0.10 0.12 -0.53

12 11 10 9 8

7 6 5 4 3 2 1

Autocorrelation Function for Profit

2 7 12

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Partial Autocorrelation

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 -0.53

-0.23 -0.22 -0.34 -0.13 -0.13 0.03

0.05 0.03 0.03 0.10 0.19 -3.74

-1.62 -1.51 -2.36 -0.88 -0.94 0.22

0.34 0.23 0.24 0.72 1.32

Lag PAC T Lag PAC T

Partial Autocorrelation Function for Profit

Kandidat Model untuk Data Profit : Berdasarkan ACF  ARIMA(0, 0, 1) Berdasarkan PACF  ARIMA(1, 0, 0)

(8)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1.0

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Autocorrelation

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 0.34

-0.38 -0.52 -0.12 0.32 0.34 0.04

-0.21 -0.13 0.06 0.15 2.33

-2.33 -2.88 -0.56 1.53 1.55 0.16

-0.91 -0.55 0.23 0.64 5.79

13.08 27.08 27.81 33.49 40.03 40.11

42.76 43.77 43.96 45.43

Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ

Autocorrelation Function for Ekspor

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 0.34

-0.56 -0.21 -0.00 0.10 0.04 0.04

0.03 0.11 -0.00 0.05 2.33

-3.82 -1.44 -0.01 0.71 0.27 0.25

0.20 0.77 -0.03 0.35

Lag PAC T Lag PAC T

Partial Autocorrelation Function for Ekspor

Kandidat Model untuk Data Ekspor : Berdasarkan ACF  ARIMA(0, 0, 3) Berdasarkan PACF  ARIMA(2, 0, 0)

(9)

2 7 12 -1.0

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Autocorrelation

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 0.86

0.70 0.54 0.38 0.25 0.14 0.04

-0.06 -0.14 -0.23 -0.28 -0.30 5.92

3.07 2.00 1.31 0.83 0.46 0.13

-0.19 -0.47 -0.73 -0.90 -0.94 37.34

62.62 77.93 85.79 89.22 90.32 90.41

90.62 91.86 95.06 100.04 105.86

Autocorrelation Function for Impor

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Autocorrelation

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 0.68

0.44 0.26 0.18 0.18 0.17 0.09

-0.05 -0.09 -0.19 -0.28 4.67

2.16 1.16 0.80 0.80 0.74 0.37

-0.20 -0.38 -0.79 -1.15 23.21

33.02 36.48 38.25 40.12 41.79 42.24

42.37 42.87 45.09 50.04

Autocorrelation Function for Impor(Lag1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 0.68

-0.05 -0.04 0.07 0.10 -0.00 -0.11

-0.14 0.05 -0.19 -0.17 4.67

-0.33 -0.29 0.46 0.68 -0.00 -0.77

-0.99 0.31 -1.30 -1.15

Lag PAC T Lag PAC T

Partial Autocorrelation Function for Impor(Lag1)

Kandidat Model untuk Data Impor (Setelah Differencing):

Berdasarkan ACF  ARIMA(0, 1, 2) Berdasarkan PACF  ARIMA(1, 1, 0)

(10)

Pustaka

1. Cryer, J.D. and Chan, K.S. 2008. Time Series Analysis with Application in R. Springer

2. Montgomery, D.C., et.al. 2008. Forecasting Time Series Analysis 2^nd. John Wiley

3. Abraham, B. and Ledolter, J. 2005. Statistical Methods for Forecasting. John Wiley

4. Pustaka lain yang relevan.

Latihan untuk Praktikum:

Bandingkan antara hasil penghitungan manual dengan output komputer:

1. Diketahui data : 3, 6, 2, 5, 4. Tentukan ACF (r₁, r₂, r₃) dan PACF (𝜙 ₁₁, 𝜙 ₂₂, 𝜙 ₃₃).

2. Diketahui data : 5, 2, 9, 7, 12, 17. Lakukan proses pembedaan ordo pertama pada data tersebut. Untuk data yang telah mengalami proses pembedaan tersebut tentukan ACF (r1, r2, r3) dan PACF (𝜙 ₁₁, 𝜙 ₂₂, 𝜙 ₃₃).

3. Dari 100 data pengamatan diketahui bahwa r1 = 0.39, r2 = -0.31, r₃ = 0.18, r₄ = -0.15, dan r₅ = 0.13. Tentukan model ARIMA tentatif yang mungkin.