ANALISIS PETA KENDALI MENGGUNAKAN PENDEKATAN BAYESIAN
SKRIPSI
RAHMAT HIDAYAT 120803045
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
ANALISIS PETA KENDALI p MENGGUNAKAN PENDEKATAN BAYESIAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
RAHMAT HIDAYAT 120803045
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
i
PERSETUJUAN
Judul : ANALISIS PETA KENDALI
MENGGUNAKAN PENDEKATAN BAYESIAN
Kategori : SKRIPSI
Nama : RAHMAT HIDAYAT
Nomor Induk Mahasiswa : 120803045
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Disetujui di Medan, Mei 2016
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2, Pembimbing 1,
Drs. Gim Tarigan, M.Si Dr. Open Darnius, M.Sc
NIP. 19550202 198601 1 001 NIP. 19641014 199103 1 004
Diketahui/Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
ii
PERNYATAAN
ANALISIS PETA KENDALI MENGGUNAKAN PENDEKATAN BAYESIAN
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Mei 2016
RAHMAT HIDAYAT 120803045
iii
PENGHARGAAN
Puji syukur penulis ucapkan kepada Tuhan yang Maha Esa yang telah melimpahkan karunia-Nya sehingga penulis berhasil menyelesaikan skripsi yang berjudul Analisis Peta Kendali Menggunakan Pendekatan Bayesian ini dalam waktu yang telah disampaikan.
Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini, ucapan terima kasih saya sampaikan kepada :
1. Bapak Dr. Open Darnius, M.Sc selaku pembimbing I dan Bapak Drs. Gim Tarigan, M. Si selaku pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan kepada saya sehingga skripsi ini dapat saya selesaikan.
2. Bapak Dr. Pasukat Sembiring, M.Si dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si selaku dosen penguji saya.
3. Dekan, Bapak Dr. Sutarman, M.Sc dan Wakil Dekan I, Ibu Marponghatun, M.Sc Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
4. Semua Dosen di Departemen Matematika FMIPA USU beserta straff pegawai di FMIPA USU.
5. Buat teman sekaligus sahabat saya yang sangat luar biasa Muhammad Fahmi Nasution, Muhammad Budiman Khanafi M, Wanda Surianto, Viki Trinanda, Nurul Hanani Lubis, Ade Affany, Via Annisa, Novia Erika, Alfina Laily dalam memberikan motivasi dan dorongan semangat didalam mengerjakan skripsi.
6. Tim Presedium IM KUBIK Periode 2014-2015, Muhammad Budiman Khanafi M, Wanda Maya Sari, Nurul Hanani Lubis, Cici Hayani, Muhammad Fahmi, Ade Affany, Viki Trinanda, Tri Hardianti, Wanda Surianto dan Nurul Maulida yang telah menjadi keluarga baru saya dikampus sebagai sumber motivasi dan semangat untuk terus melakukan yang terbaik untuk diri kita dan umat.
7. Buat seluruh keluarga besar Rumah Kepemimpina PPSDMS Regional 6 Medan, khususnya di kamar 1, tempat berbagi ilmu dan motivasi sehingga menjadi motivasi saya didalam mengasah kemampuan dan meningkatkan potensi diri.
iv
8. Buat seluruh kelurga besar UKMI AL-FALAK FMIPA USU yang telah memberikan wadah kepada saya untuk terus memperbaiki diri dan menimbah ilmu agama. Dan untuk teman-teman di lingkaran Li’qo Al-Fatih semoga kita semua manjadi manusia-manusia yang dapat memberikan banyak manfaat kepada banyak orang.
9. Buat seluruh rekan-rekan kerja saya yang telah membantu dan memberikan semangat kepada saya untuk menyelesaikan skripsi ini, semoga kita dapa menjadi pekerja yang professional dan amanah.
10. Buat seluruh teman-teman di jurusan Matematika, khususnya Matematika Angkatan 2012 dan kepada seluruh adik di jurusan Matematika angkatan 2013, 2014, dan 2015 yang memberikan semangat kepada saya dalam menyelesaikan skripsi ini.
11. Buat adik-adik kandungku, Nanda Andriani dan Desy Lestari dan kakak kandungku Afriani berserta suami Ferri Effendi dan 2 keponakkanku Queenzah dan Qareen yang menyemangati dan memberikan dorongan semangat kepada saya untuk menyelesaikan skripsi saya. Semoga kita menjadi keluarga yang satu dan dapat berkumpul lagi di Surga-Nya Allah SWT.
12. Dan yang paing istimewa adalah buat ibundaku NURAINI dan bapak ARIFIN yang telah merawat dan membesarkan ku, terima kasih atas kebaikan dan jasa kalian yang tidak nilai dan ukurannya. Sumber dari segala sumber semangat dan motivasiku untuk meraih cita-cita dan untuk membahagia mereka berdua.
Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Allah SWT. Akhir kata, penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dami penyempurnaan skripsi ini dan berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi para pembaca.
Medan, Mei 2016 Penulis,
Rahmat Hidayat
v
ANALISIS PETA KENDALI MENGGUNAKAN PENDEKATAN BAYESIAN
ABSTRAK
Kualitas suatu produk menjadi faktor utama yang dipertimbangkan oleh para konsumen untuk memilih dan membeli produk. Produk yang berkualitas didapatkan dari suatu proses produksi yang terkendali. Proses produksi yang terkendali merupakan proses produksi yang menghasilkan karakteristik suatu produk sesuai dengan yang diharapkan dalam batasan karakteristik produk yang telah ditetapkan. Salah satu alat statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui proses produksi suatu produk dalam keadaan terkendali atau tidak terkendali adalah peta kendali. Pada tulisan ini, peta kendali dianalisis dengan menggunakan pendekatan Bayesian. Analisis ini bertujuan untuk mendapatkan peta kendali hasil pendekatan Bayesian sebagai alternatif untuk peta kendali dalam mendeteksi sampel yang berada dalam keadaan out of control. Dengan asumsi sampel dari peta kendali berdistribusi Binomial yang akan digunakan untuk membangun fungsi likelihood sedangkan dalam statistik Bayesian, distribusi Beta dapat dilihat sebagai probabilitas parameter proporsi pada distribusi Binomial didasarkan pada fungsi bentuk likelihoodnya, Distribusi Beta adalah distribusi konjugat dari distribusi Binomial. Distribusi posterior yang diperoleh dari menggabungkan fungsi likelihood dan distribusi prior yang didasarkan pada pendekatan Bayesian yang akan digunakan untuk mencari batas- batas pengendali peta kendali pendekatan Bayesian. Berdasarkan data dari Journal A Moving Average Control Chart for Monitoring the fraction Non- conforming yang akan digunakan sebagai perbandingan kinerja peta kendali dan peta kendali pendekatan Bayesian dalam hal mendeteksi sampel yang berada dalam keadaan out of control, diketahui bahwa peta kendali pendekatan Bayesian mendeteksi sampel yang berada dalam keadaan out of control adalah sampel 6, 7, 8, 10, 22, dan 29, sedangkan pada peta kendali tidak mendeteksi sampel yang dalam keadaan keadaan out of control.
Kata Kunci : Bayesian, Out of Control, Peta Kendali , Likelihood, Distribusi Prior, Distribusi Posterior, Distribusi Densitas
vi
CONTROL CHART ANALYSIS USING BAYESIAN APPROACH
ABSTRACT
The quality of a product becomes a major factor considered by consumers to select and purchase products. A quality product is obtained from a production process is controlled. The production process is controlled a production process that produces a product characteristics as expected in the defining characteristics of a product that has been set. One of the statistical tools that can be used to determine the production process of a product in a state controlled or uncontrolled is a control chart. In this paper, a construction control chart were analyzed by using Bayesian approach. This analysis to get control chart results Bayesian approach as an alternative to control chart in detecting samples that are in out of control. Assuming samples from control chart is Binomial distribution that will be used to establish the likelihood function while in Bayesian statistics, can be seen as a Beta distribution probability proportion parameter on the Binomial distribution is based on the shape likelihoodnya function, Beta Distribution is a conjugate prior distribution of the Binomial distribution. Posterior distribution obtained from combine the likelihood function and the prior distribution based on a Bayesian approach that will be used to find the limits of control chart of Bayesian approach. Based on the data of Journal A Moving Average Control Chart for Monitoring the Fraction Non-conforming used as comparison performance control chart and control chart of Bayesian approach in terms of detecting samples that are in out of control, know that control chart of Bayesian approach to detect the sample that is in a state out of control that the samples to 6, 7, 8, 10, 22, and 29, while on the control chart does not detect the sample which is in a state out of control.
Keywords : Bayesian, Out of Control, Control Chart, Likelihood, Prior Distribution, Posterior Distribution
vii DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN i
PERNYATAAN ii
PENGHARGAAN iii
ABSTRAK v
ABSTRACT vi
DAFTAR ISI vii
DAFTAR TABEL xi
DAFTAR GAMBAR x
BAB 1. Pendahuluan
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Rumusan Masalah 2
1.3 Batasan Masalah 3
1.4 Tujuan Penelitian 3
1.5 Kontribusi Penelitian 3
1.6 Metodologi Penelitian 3
BAB 2. Landasan Teori
2.1 Pengendalian Kualitas Statistik 6
2.2 Pengendalian Proses Statistik 7
2.3 Variabel Acak 8
2.4 Fungsi Distribusi Peluang 8
2.5 Ekspektasi dan Variansi 8
2.6 Fungsi Distribusi Peluang Marginal 11
2.7 Fungsi Densitas Peluang Bersama 11
2.8 Distribusi Bersyarat 12
2.9 Distribusi Binomial 12
2.10 Selang Kepercayaan Pada Distribusi Binomial 16
2.11 Peta Kendali 17
2.12 Peta Kendali 18
2.13 Fungsi Gamma 20
2.14 Distribusi Beta 24
2.15 Fungsi Likelihood 26
2.16 Teorema Bayes 27
2.17 Distribusi Prior 29
2.18 Distribusi Posterior 30
viii BAB 3. Hasil dan Pembahasan
3.1 Analisis Peta Kendali Pendekatan Bayesian 32 3.1.1 Menentukan Fungsi Likelihood Peta Kendali 32 3.1.2 Menentukan Distribusi Prior Peta Kendali 32 3.1.3 Menentukan Distribusi Posterior Peta Kendali 36 3.1.4 Menentukan Batas-Batas Pengendali Peta
Peta Kendali Pendekatan Bayesian 39
3.2 Studi Kasus 41
BAB 4. Kesimpulan dan Saran
4.1 Kesimpulan 47
4.3 Saran 48
DAFTAR PUSTAKA 49
ix
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman Tabel
2.1 Data A Moving Average Control Chart for Monitoring
the Fraction Non-conforming 42
x
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman Gambar
1.1 Diagram Alir 5
2.1 Peta Kendali 20
2.2 Diagram Venn 27
2.3 Teorema Bayes 28
3.1 Grafik Peta Kendali 43
3.2 Grafik Peta Kendali Pendektan Bayesian 46
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kualitas suatu produk menjadi faktor utama yang dipertimbangkan oleh para konsumen untuk memilih dan membeli produk. Produk yang berkualitas didapatkan dari suatu proses produksi yang terkendali. Proses produksi yang terkendali merupakan proses produksi yang menghasilkan karakteristik suatu produk sesuai dengan yang diharapkan dalam batasan karakteristik produk yang telah ditetapkan. Salah satu alat statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui proses produksi suatu produk dalam keadaan terkendali atau tidak terkendali adalah peta kendali (control chart). Peta kendali merupakan suatu tampilan grafik (graphic display) dengan sumbu vertikal sebagai karakteristik kualitas dari sampel dan sumbu horizontal sebagai nomor sampel atau waktu pengambilan sampel.
Pada dasarnya, peta kendali digolongkan menjadi dua, yaitu peta kendali variabel dan peta kendali atribut. Peta kendali variabel digunakan untuk mengendalikan suatu proses produksi dengan karakteristik kualitas produk diukur dan dinyatakan dengan bilangan atau kuantitatif, misalnya diameter, berat, volume dan panjang dari produk, sedangkan peta kendali atribut digunakan untuk mengendalikan proses produksi dengan karakteristik kualitas produk diukur dengan skala kualitatif, misalnya adanya goresan, kesalahan warna, bentuk tidak sesuai, dan terdapat bagian yang hilang.
Pada umumnya, peta kendali atribut dikembangkan berdasarkan dua macam distribusi, yaitu distribusi Poisson dan distribusi Binomial. Peta kendali yang dikembangkan berdasarkan distribusi poisson digunakan untuk bagian ketidaksesuaian dalam setiap unit. Sementara, peta kendali yang dikembangkan
2
berdasarkan distribusi Binomial digunakan untuk proporsi (jumlah) ketidaksesuaian dalam sampel. Batas pengendali atas dan batas pengendali bawah pada peta kendali atribut dilakukan dengan pendekatan distribusi Normal terhadap distribusi Binomial. Sementara itu, titik-titik yang diplot adalah data karakteristik kualitas dari setiap sampel, yaitu banyaknya ketidaksesuaian atau proporsi ketidaksesuian pada setiap sampel sehingga setiap sampel yang diplot tidak tergantung dengan sampel sebelumnya. Peta kendali atribut yang telah dikembangkan berdasarkan distribusi Binomial adalah peta kendali (proporsi ketidaksesuain) dan peta kendali (banyak proporsi ketidaksesuain).
Pada penelitian ini, suatu rancangan peta kendali dianalisis menggunakan pendekatan Bayesian. Analisis ini dilakukan untuk mendapatkan batas-batas pengendali pada peta kendali hasil pendekatan Bayesian dan membandingkan kinerja peta kendali dengan peta kendali pendekatan Bayesian didalam mendeteksi keadaan out of control pada sampel. Dari uraian latar belakang diatas, penelitian ini diberi judul, “Analisis Peta Kendali Menggunakan Pendekatan Bayesian”.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian dari latar belakang penelitian ini, maka rumusan masalah pada penelitian ini adalah bagaimana mendapatkan batas-batas pengendali pada peta kendali dengan pendekatan Bayesian dan membandingkan kinerja peta kendali dan peta kendali pendekatan Bayesian didalam mendeteksi keadaan out of control pada sampel.
1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1. Karakteristik kualitas dari peta kendali diasumsikan mengikuti distribusi Binomial.
2. Peta Kendali p dan peta kendali p dengan pendekatan Bayesian
menggunakan sampel yang tetap (konstan) dan pengambilan sampel bersifat indepent.
1.4 Tujuan Penelitian
Mendapatkan batas-batas pengendali pada peta kendali dengan pendekatan Bayesian dan membandingkan kinerja peta kendali pendekatan Bayesian dengan peta kendali didalam mendeteksi keadaan out of control pada sampel.
1.5 Kontribusi Penelitian
1. Memberikan informasi tentang batas-batas pengendali pada peta kendali hasil pendekatan Bayesian dan perbandigan kinerja peta kendali pendekatan Bayesian dengan peta kendali .
2. Bahan acuan tambahan untuk penelitian sejenis di masa yang akan datang.
1.6 Metodologi Penelitan
Metodologi yang digunakan pada penelitian ini adalah studi literatur. Berikut tahapan-tahapan studi literatur yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan didalam penelitian ini.
4
1. Studi literatur.
Pada tahap ini dilakukan studi literatur tentang peta kendali dengan pendekatan Bayesian dengan teori pendukung seperti teorema Bayes, peta kendali , distribusi Binomial, distribusi Beta dan teori-teori pendukung lainnya.
2. Analisis peta kendali p menggunakan pendekatan Bayesian.
Pada tahap ini dilakukan analisis peta kendali atribut menggunakan pendekatan Bayesian sehingga diperoleh batas pengendali atas dan batas pengendali bawah menggunakan studi literatur yang berkaitan. Adapun langkah-langkah dalam menganalisis rancangan peta kendali dengan menggunakan pendekatan Bayesian adalah sebagai berikut :
a. Menentukan fungsi likelihood dan distribusi prior berdasarkan distribusi Binomial yang merupakan distribusi sampel pada peta kendali atribut .
b. Mendefinisikan distribusi posterior dengan menggunakan aturan pendekatan Bayesian.
c. Menentukan batas pengendali atas dan batas pengendali bawah dari peta kendali berdasarkan distribusi posterior yang didapat dengan menggunakan aturan pendekatan Bayesian.
3. Menerapkan dan Membandingkan peta kendali dan peta kendali pendekatan Bayesian.
Pada tahap ini dilakukan perbandingan peta kendali dengan peta kendali menggunakan pendekatan Bayesian berdasarkan banyaknya sampel yang out of control pada suatu contoh kasus data. Adapun langkah-langkah untuk melakukan perbandingan adalah sebagai berikut :
a. Menggunaka data yang diambil dari jurnal A Moving Average Control Chart for Monitoring the fraction Non-conforming dan menentukan batas pengendalinya untuk peta kendali dan peta kendali menggunakan pendekatan Bayesian.
b. Menentukan banyaknya sampel yang out of control pada peta kendali dan peta kendali menggunakan pendekatan Bayesian berdasarkan yang diambil dari jurnal A Moving Average Control Chart for Monitoring the fraction Non-conforming.
4. Analisa dan Kesimpulan.
Pada tahap ini dilakukan analisa dari penerapan peta kendali menggunakan pendekatan Bayesian bila dibandingkan dengan peta kendali , Selanjutnya dapat mengambil suatu kesimpulan.
5. Diagram Alir
Gambar 1.1 Diagra
Gambar 1.1 Diagram Alir Studi literatur
Menentukan fungsi likelihood dan distribusi prior berdasarkan distribusi
Binomial
Mendefinisikan distribusi posterior dengan menggunakan aturan pendekatan Bayesian
Menentukan batas pengendali atas dan batas pengendali bawah
Membandingkan berdasarkan banyaknya sampel yang out of control
Kesimpulan dan Saran
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Pengendalian Kualitas Statistik
Pengendalian kualitas statistik merupakan teknik penyelesaian masalah yang digunakan sebagai memonitor, mengendalikan, menganalisis, mengelola, dan memperbaiki proses menggunakan metode-metode statistik. Menurut Montgomery dalam Zanzawi (1990:120), tujuan pokok pengendalian kualitas statistik adalah menyidik dengan cepat terjadinya sebab-sebab terduga atau pergeseran proses sedemikian hingga penyelidikan terhadap proses dan tindakan pembetulan dapat dilakukan sebelum terlalu banyak unit yang tak sesuai diproduksi. Sasaran pengendalian kualitas statistik terutama adalah mengadakan pengurangan terhadap variasi atau kesalahan-kesalahan proses. Selain itu, tujuan utama dalam pengendalian kualitas statistik adalah mendeteksi adanya penyebab khusus dalam variasi atau kesalahan proses melalui analisis data dari masa lalu maupun masa mendatang.
Dalam banyak proses produksi bagaimanapun baiknya suatu rancangan atau pemeliharaan akan selalu ada variabilitas dasar. Variabilitas dasar atau gangguan dasar ini merupakan pengaruh kumulatif dari banyak sebab-sebab kecil yang pada dasarnya tidak terkendali. Variabilitas yang dimaksud adalah variabilitas antar sampel dan variabilitas dalam sampel. Apabila sampel diambil dari populasi yang sama, variansi statistik akan terjadi dari sampel ke sampel dan variasi range dapat dihitung. Bentuk ini merupakan dasar yang dihitung pada peta kendali, dimana tujuan akhir pengendalian kualitas statistik adalah menyingkirkan atau mengurangi variabilitas dalam proses.
Dalam pengendalian kualitas ini produk sampel diperiksa menurut standar dan semua penyimpangan dari standar dicatat dan dianalisis serta digunakan
sebagai umpan balik untuk para pelaksana sehingga mereka dapat melakukan tindakan–tindakan perbaikan untuk proses produksi pada masa yang akan datang. Pengendalian kualitas statistik secara garis besar digolongkan menjadi dua, yaitu pengendalian proses statistik dan perencanaan menerima sampel produk. Berdasarkan jenis data yang digunakan dalam pengendalian kualitas statistik dapat dibagi atas dua golongan, yaitu pengendalian kualitas untuk data variabel dan pengendalian kualitas untuk data atribut.
2.2 Pengendalian Proses Statistik
Pengendalian proses statistika adalah penerapan metode statistik untuk pemantauan dan pengendalian proses untuk memastikan bahwa suatu proses dapat berjalan dengan baik untuk menghasilkan produk conforming. Pengendalian proses statistika merupakan alat utama yang digunakan dalam membuat produk dengan benar sejak awal. Pengendalian proses menggunakan pemeriksaan produk atau jasa ketika barang tersebut masih dalam produksi. Sampel diambil dari out put proses produksi. Dengan memantau proses produksi tersebut melalui pengambilan sampel secara acak maka pengendalian yang konstan dapat dipertahankan. Pengendalian proses didasarkan atas dua asumsi penting yaitu :
1. Variabilitas
Mendasar untuk setiap proses produksi. Tidak peduli bagaimana sempurnanya rancangan proses, pasti terdapat variabilitas dalam karakteristik mutu dari tiap unik. Variasi selama proses produksi tidak sepenuhnya dapat dihindari dan bahkan tidak pernah dapat dihilangkan sama sekali. Namun sebagian dari variasi tersebut dapat dicari penyebab serta diperbaiki.
2. Proses
8
Proses produksi tidak selalu berada dalam keadaan terkendali, karena lemahnya prosedur, operator yang tidak terlatih, pemeliharaan mesin yang tidak cocok dan sebagainya, maka variasi produksi biasanya bisa jauh lebih besar dari yang semestinya.
2.3 Variabel Acak
Suatu variabel random (peubah acak) dapat didefinisikan sebagai suatu fungsi yang memetahkan unsure-unsur dalam ruang sampel suatu percobaan terhadap suatu gugus bilangan riil sebagai suatu wilayah fungsi. Variabel random dapat dilambangkan dengan huruf besar, misalnya sedangkan huruf kecil dinotasikan sebagai nilai padanannya.
2.4 Fungsi Distribusi Peluang
Jika adalah variabel random diskrit dengan hasil yang mungkin , maka fungsi peluangnya adalah suatu fungsi yang memenuhi kondisi :
1.
2.
3.
Jika adalah variabel random kontinu dengan hasil yang mungkin , maka fungsi peluangnya adalah suatu fungsi yang memenuhi kondisi :
1.
2.
3.
2.5 Ekspektasi dan Variansi
Misalkan adalah suatu peubah acak dengan distribusi peluang , maka nilai ekspektasi adalah
bila diskrit (2.1)
bila kontinu (2.2)
Misalkan adalah suatu peubah acak dengan a dan b merupakan suatu tetapan, maka
Bukti :
Karena dan , maka diperoleh
Jika adalah suatu variabel random diskrit dengan distribusi peluang maka variansi dari yang dinotasikan dengan atau , adalah
10
Standar deviasi adalah
Jika adalah suatu variabel random kontinu dengan distribusi peluang maka variansi dari yang dinotasikan dengan adalah
Standar deviasi adalah
Jika adalah suatu variabel random dengan fungsi densitas peluang , maka variansi dari yang dinotasikan dengan adalah
Dimana
Bukti
Misalkan adalah variabel random dan a dan b adalah konstanta, maka
Bukti
2.6 Fungsi Densitas Peluang Marginal
Jika pasangan adalah variabel random diskrit yang mempunyai fungsi densitas peluang bersama , maka fungsi densitas peluang marginal untuk
dan adalah
Jika pasangan adalah variabel random kontinu yang mempunyai fungsi densitas peluang bersama , maka fungsi densitas peluang marginal untuk
dan adalah
12
2.7 Fungsi Densitas Peluang Bersama
Fungsi densitas pelunag bersama dari k-dimensi variabel random diskrit didefinisikan
Untuk semua nilai dari .
Sebuah k-dimensi nilai vektor variabel random kontinu dengan fungsi densitas bersama maka fungsi densitas komulatifnya dapat tulis :
Untuk semua .
2.8 Distribusi Bersyarat
Jika dan merupakan variabel random diskrit atau kontinu dengan fungsi densitas peluang bersama , maka fungsi densitas peluang bersyarat dari
, jika diketahui didefinisikan dengan :
Untuk nilai sedemikian hingga , dan nol untuk lainnya. Sedangkan fungsi densitas peluang bersyarat dari , jika diketahui didefinisikan dengan :
Untuk nilai sedemikian hingga , dan nol untuk lainnya.
2.9 Distribusi Binomial
Suatu percobaan yang hanya menghasilkan dua peristiwa, seperti peristiwa sukses dan peristiwa gagal . Peluang terjadinya peristiwa , , sebesar dan peluang terjadinya peristiwa , , sebesar . Kemudian eksperimen itu diulang sampai kali secara bebas. Dari kali pengulangan itu, peristiwa terjadi sebanyak kali dan sisanya kali terjadinya peristiwa . Kita akan menghitung besar peluang bahwa banyaknya peristiwa sukses dalam eksperimen itu sebanyak kali.
Dalam, hal ini, salah satu susunan dari pengulangan eksperimen sampai kali itu adalah
Karena setiap pengulangan bersifat bebas, dan bernilai tetap untuk setiap pengulangan percobaan, maka besar peluang dari peristiwa susunan diatas adalah :
Karena banyaknya susunan keseluruhan peristiwa terjadi ada cara, maka peluang bahwa peristiwa terjadi dalam kali adalah :
14
Dengan :
: Munculnya sukses yang ingin dihitung
: Jumlah eksperimen
: Probabilitas sukses dalam tiap eksperimen : Probabilitas gagal dalam tiap eksperimen : Jumlah gagal dalam eksperimen
Sebuah eksperimen dikatakan mengikuti distribusi Binomial, jika eksperimen itu memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
4. Eksperimen terdiri atas dua peristiwa, seperti sukses dan gagal.
5. Eksperimen diulang beberapa kali dan ditentukan banyak pengulangannya.
6. Peluang terjadinya peristiwa sukses dan gagal pada setiap pengulangan eksperimen bersifat tetap.
7. Setiap pengulangan eksperimen bersifat bebas.
Distribusi binomial mempunyai nilai rata-rata (Mean) dan simpangan baku sebagai berikut :
dan
Bukti :
Rata-rata distribusi binomial
(Terbukti)
Bukti :
Simpangan baku distribusi binomial
Maka,
16
Jadi,
(Terbukti)
2.10 Selang Kepercayaan Pada Distribusi Binomial
Selang kepercayaan untuk parameter distribusi Binomial adalah selang kepercayaan parameter Parameter berkaitan dengan proporsi ketidaksesuian suatu kumpulan benda atau produk. Selain parameter , terdapat juga parameter pengamatan telah diambil dan pengamatan yang tidak sesuai telah didapat, maka penaksir tak bias untuk adalah .
Pembentukan selang kepercayaan untuk parameter dengan yang cukup besar dapat dilakukan dengan pendekatan normal dengan mean dan variansi sebagai berikut :
Dengan demikian dapat dituliskan
adalah distribusi normal standard dan adalah peluang kesalahan tipe I.
2.11 Peta Kendali
Peta kendali pertama kali ditemukan oleh Dr. Walter A. Shewhart ketika sedang bekerja untuk perusahaan Western Electrik. Peta kendali adalah informasi yang menunjukkan proses produksi ada dalam batas kendali atau tidak dalam batas kendali yang berbentuk grafik. Peta kendali menunjukan adanya perubahan data dari waktu ke waktu, tetapi tidak menunjukan penyebab penyimpangan meskipun penyimpangan itu akan terlihat pada peta kendali. Peta kendali dapat menunjukan batas-batas yang dihasilkan oleh suatu prores dengan tingkat kepercayaan tertentu.
Peta kendalai dapat diklasifikasikan ke dalam dua tipe umum yaitu peta kendali variabel dan peta kendali atribut. Apabila karakteristik kualitas dapat diukur dan dapat dinyatakan dengan bilangan maka peta kendali ini disebut peta kendali variabel. Sedangkan apabila karakteristik kualitas diukur dengan skala kuantitatif dan hanya dapat dinilai sebagai keadaan sesuai dan tidak sesuai maka peta kendali ini disebut sebagai peta kendali atribut.
Bentuk dasar dari peta kendali secara umum memuat tiga garis yaitu garis tengah (central line), garis batas pengendali atas (upper central line), dan garis batas pengendali bawah (lower central line).
Teori umum mengenai peta kendali yang dikembangkan oleh Dr. Walter A.
Shewhart mempunyai model umum yang ditunjukan oleh persamaan berikut :
Garis Tengah (Central Line) = Batas Pengendali Atas (Upper Central Limits) =
18
Batas Pengendali Bawah (Lower Central Limits) = Dengan,
: Statistik sampel yang mengukur unsure karakteristik kualitas : Mean dari
: Deviasi Standar dari
: Jara batas-batas pengendali dari garis tengah yang dinyatakan sebagai unit deviasi standar
2.12 Peta Kendali
Proporsi ketidaksesuian didefenisikan sebagai perbandingan banyak produk yang tidak sesuai dalam suatu subgrub dengan banyak semua produk keseluruhan dalam subgrub dengan ukuran sampel yang sama . Pada dasarnya peta kendali dikembangkan berdasarkan peta kendali shewhart sehingga diperlukan mean dan standar deviasi dari untuk membentuknya.
Pandang ), jika adalah penaksir untuk parameter dengan , maka langkah pertama untuk membuat peta kendali dicari terlebih dahulu mean dari yaitu dan deviasi standar dari yaitu .
Pada peta kendali titik yang diplot adalah setiap proporsi ketidaksesuaian yang diamati yaitu dengan adalah nomor dari sampel maka untuk mengestimasi nilai digunakan rata-rata dari keseluruhan proporsi yaitu pada ukuran sampel dengan banyaknya pengamatan dinyatakan oleh :
Sehingga dengan mensubtitusi persamaan (2.18) pada persamaan (2.17) diperoleh mean dan deviasi standar keseluruhan pengamatan yaitu :
Selanjutnya dengan mengikuti model peta kendali shewhart pada persamaan (2.14), persamaan (2.15), dan persamaan (2.16) maka didapatkan batas garis pengendali sebagai berikut :
Central Line = Upper Central Limits =
Lower Central Limits =
Dalam kelipatan deviasi standar, biasanya dipilih sehingga dikenal dengan batas pengendali 3-sigma dengan dasar bahwa batas-batas itu memberikan hasil yang baik dalam prakteknya dilapangan.
20
Gambar 2.1 Peta kendali
2.13 Fungsi Gamma
Fungsi Gamma didefinisikan oleh
Untuk , pecahan negatif bukan bilangan bulat negative.
Sifat-sifat dari fungsi Gamma antara lain :
8. atau
pecahan negatif dan bukan bilangan bulat negatif
9.
10.
Central Line Upper Central Limits
Lower Central Limits Daerah Out of Control /
Daerah tidak terkendali Daerah Out of Control / Daerah tidak terkendali
Daerah in Control / Daerah terkendali Daerah in Control / Daerah terkendali
1. Bukti persamaan (2.23)
Berdasarkan persamaan (2.23) jika dilakukan integral parsial dari fungsi Gamma dengan dan ,
maka diperoleh
Sehingga
pecahan negatif dan bukan bilangan bulat negatif.
2. Bukti persamaan (2.24)
Berdasarkan persamaan (a), dapat diperoleh
Dengan cara yang sama akan dihasilkan
22
Dimana
Sehingga diperoleh
3. Bukti persamaan (2.25)
Substitusi :
Batas integralnya :
Terbukti bahwa , sehingga persamaan (2.25) dapat dibuktikan sebagai berikut :
Substitusi :
Batas integralnya :
24
2.14 Distribusi Beta
Suatu peubah acak dikatakan memiliki distribusi Beta dengan parameter dan , jika fungsi kepadatannya adalah
Dimana merupakan fungsi Beta yang didefinisikan sebagai
Fungsi Beta dihubungkan dengan fungsi gamma oleh
Sehingga distribusi beta juga dapat didefinisikan oleh fungsi kepadatan
Mean dan variansi dari distribusi beta dengan parameter dann masing-masing adalah
dan
Bukti : Mean dari distribusi Beta
Menghitung momen dari distribusi beta bisa dilakukan dengan metode berikut
Penyelesaian integral diatas dilakukan menggunakan bantuan fungsi beta yaitu :
Sehingga diperoleh
Bukti : Variansi dari distribusi Beta
Dengan
26
Sehingga
2.15 Fungsi Likelihood
Fungsi likelihood adalah fungsi densitas bersama dari variabel random dan dinyatakan dalam bentuk . Jika ditetapkan, maka fungsi likelihood adalah fungsi parameter dan dinotasikan dengan . Jika menyatakan suatu sampel random dari , maka
2.16 Teorema Bayes
Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang pada S dan berlaku maka A dan B dikatakan dua kejadian yang saling lepas. Dua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan seperti pada gambar dibawah ini :
Gambar 2.2 Diagram Venn
Dengan demikian probabilitas adalah :
Peritstiwa A dapat ditulis sebagai gabungan dua buah kejadian yang saling lepas adalah : dan maka dan dapat dibuat dalam bentuk gambar dibawah ini :
S
A B
28
Gambar 2.3 Teorema Bayes Dengan menggunakan probabilitas bersyarat maka :
Peristiwa merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel dengan untuk maka setiap peristiwa anggota berlaku :
Digunakan bila ingin diketahui probabilitas dengan rumus sebagai berikut :
disebut peluang Prior dan disebut peluang posterior.
Metode Bayes adalah metode yang dapat digunakan untuk menaksir parameter distribusi normal. Metode Bayes memperkenalkan suatu metode dimana kita perlu mengetahui bentuk distribusi awal (prior) dari populasi.
Sebelum menarik sampel dari suatu populasi terkadang memperoleh informasi mengenai parameter yang akan diestimasi. Informasi ini kemudian digabungkan
dengan informasi dari sampel yang digunakan dalam mengestimasi parameter populasi dan parameter populasi berasal dari suatu distribusi, sehingga nilainya tidaklah tunggal dan merupakan variabel random.
2.17 Distribusi Prior
Dalam inferensi bayes, data parameter dari distribusi sampel diperlakukan sebagai variabel, maka akan mempunyai nilai dalam sebuah domain dengan densitas , dan densitas inilah yang akan dinamakan sebagai distribusi prior dari , dengan adanya informasi prior ini maka akan dikombinasikan dengan data sampel yangdigunakan dalam membentuk distribusi posterior.
Permasalahan utama dalam metode bayes adalah bagaimana memilih distribusi prior , dimana prior menunjukan ketidakpastian tentang parameter yang tidak diketahui.
Distribusi prior dikelompokan menjadi dua kelompok berdasarkan fungsi likelihoodnya, yaitu sebagai berikut :
Berkaitan dengan bentuk hasil identifikasi pola datanya.
1. Distribusi prior konjugat, mengacu pada acuan analisis model terutama dalam pembentukan fungsi likelihoodnya sehingga dalam penentuan prior konjugat selalu dipikirkan mengenai penentuan pola distribusi prior yang mempunyai bentuk konjugat dengan fungsi densitas peluang yang pembangun fungsi likelihoodnya.
2. Distribusi prior tidak kinjugat, apabila pemberian prior pada suatu model tidak mengindahkan pola pembentuk fungsi likelihoodnya.
30
Berkaitan dengan penentuan masing-masing parameter pada pola distribusi prior
1. Distribusi prior informatif mengacu pada pemberian parameter dari distribusi prior yang telah dipilih baik distribusi prior konjugat atau tidak, pemberian parameter pada distribusi prior ini akan sangat mempengaruhi bentuk dari distribusi posterior yang akan didapatkan pada informasi data yang diperoleh.
2. Distribusi prior non informatif, pemilihannya tidak didasarkan pada data yang ada atau distribusi prior yang tidak mengandung informasi tentang parameter .
2.18 Distribusi Posterior
Distribusi posterior adalah fungsi densitas bersyarat jika diketahui nilai observasi . Distribusi posterior dapat dituliskan sebagai berikut :
Apabila kontinu, distribusi prior dan distribusi posterior dapat disajikan dengan fungsi densitas. Fungsi densitas bersyarat satu variabel random jika diketahui nilai variabel random kedua hanyalah fungsi kepadatan bersama dua variabel random itu dibagi dengan fungsi densitas marginal variabel random kedua. Tetapi fungsi densitas bersama dan fungsi densitas marginal pada umumnya tidak diketahui, hanya distribusi prior dan fungsi likelihood yang biasanya dinyatakan.
Fungsi densitas bersama yang diperlukan dapat ditulis dalam bentuk distribusi prior dan fungsi likelihood sebagai berikut :
Dimana merupakan fungsi likelihood dan merupakan fungsi densitas distribusi prior. Selanjutnya fungsi densitas marginal dapat dinyatakan sebagai berikut :
sehingga dari persamaan (2.38), (2.39), dan (2.40), fungsi densitas posterior untuk variabel random kontinu dapat ditulis sebagai berikut :
BAB 3
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1. Analisis Peta kendali Pendekatan Bayesian
3.1.1. Menentukan Fungsi Likelihood Peta Kendali
Jika sampel dari peta kendali diketahui sampel random yang berdistribusi Binomial, dengan Binomial (1, ) dimana = (0.1), maka fungsi probabilitasnya adalah
Dengan sehingga fungsi likelihood sebagai berikut
Dimana Binomial (n, ).
3.1.2. Menentukan Distribusi Prior Peta Kendali
Dalam teori probabilitas dan statistik, distribusi Beta adalah distribusi probabilitas kontinu dalam interval (0,1) dengan dua parameter yang positif dan biasanya dinotasikan dan . Dalam hal ini distribusi Beta digunakan untuk menjelaskan distribusi dari sebuah nilai probabilitas yang tidak diketahui sebagai prior pada sebuah parameter probabilitas sukses dalam distribusi Binomial (Bolstad, 2007).
Dalam hal ini dianggap bahwa probabilitas sukses dapat menjalani setiap nilai real 0 dan 1, sehingga distribusi prior tidak diskrit melainkan kontinu. Karena dalam banyak hal distribusi prior untuk Binomial dengan anggapan diskrit tidak realistis. Dalam statistik Bayes, distribusi Beta dapat dilihat sebagai probabilitas parameter proporsi pada distribusi Binomial setelah di observasi sukses (dengan probabilitas sebagai probabilitas sukses) dan gagal (dengan probabilitas gagal) (Bolstad, 2007). Distribusi Beta sebagai prior memiliki fungsi densitas
Dalam distribusi Beta, kuantitas yang tidak diketahui adalah dimana merupakan probabilitas sukses dalam distribusi Binomial, sehingga yang membatasi nilai probabilitas ini haruslah dari 0 sampai dengan 1. Maka cukup beralasan untuk menganggap bahwa dapat menjalani banyak tak hingga nilai-nilai real dari 0 sampai dengan 1 dan menggunakan distribusi kontinu (seperti distribusi Beta) sebagai distribusi prior.
Distribusi Beta adalah prior konjugat untuk distribusi Binomial , dimana distribusi memiliki beberapa bentuk berdasarkan parameter dan yang dipilih, sehingga parameter prior yang dipilih seharusnya mempresentasikan dengan penilaian subjektif peneliti itu sendiri. Salah satu metodenya digunakan adalah dengan memilih Beta yang cocok dengan keyakinan prior berdasarkan mean dan standard deviasi. Jika merupakan proporsi Binomial, maka mean dari proporsi Binomial adalah , dengan mean Beta adalah . Dengan menyamakan persamaan mean Beta sebagai mean proporsi Binomial diperoleh :
34
Sehingga
Diketahui standard deviasi distribusi Beta adalah , dimana dengan persamaan (3.3) dapat diperoleh persamaan dan , jika merupakan standard deviasi dari proporsi Binomial, dengan menyamakan standard deviasi Beta sebagai standard deviasi dari proporsi Binomial. Maka juga dapat dinyatakan sebagai berikut :
Sehingga variansi dari proporsi Binomial juga bisa dinyatakan sebagai berikut :
Dengan persamaan (3.3) diperoleh
Karena diketahui bahwa merupakan proporsi Binomial dimana , maka persamaan (3.7) menjadi
dan dengan persamaan (3.6) diperoleh
Karena variansi proporsi Binomial adalah , maka persamaan (3.9) adalah
Jika ruas kana dan ruas kiri pada persamaan (3.10) dikalikan dengan , maka
Sehingga jika diketahui dan , maka dengan metode eliminasi persamaan (3.8) dan persamaan (3.11) dapat diselesaikan berdasarkan dan , maka
a
Persamaan (3.12b) dikalikan dengan , maka
36
Persamaan (3.12c) dikurangi dengan (3.12d), maka diperoleh
Dengan mensubstitusikan persamaan (3.12) ke persamaan (3.10), maka dapat diperolehpersamaan sebagai berikut :
Sehingga dengan persamaan (3.13) dan persamaan (3.14) diperoleh parameter Beta yang akan digunakan sebagai prior.
3.1.3. Menentukan Distribusi Posterior Peta Kendali
Jika Binomial dan fungsi densitas prior Beta , maka fungsi densitas posterior dapat dinyatakan sebagai fungsi bersyarat dari dengan diketahui, sehingga berdasarkan persamaan (2.38) dapat ditulis dengan
Karena dapat dinyatakan sebagai atau , maka
Dimana
Dengan diketahui bahwa , maka persamaan (3.16) dapat ditulis sebagai berikut
Sehingga dengan mensubsitusikan persamaan (3.16) ke persamaan (.15) maka diperoleh
Selanjutnya perhatikan , dimana merupakan fungsi densitas peluang marginal dari , sehingga berdasarkan persamaan (2.6) dapat ditulis sebagai berikut :
38
Perhatikan
Merupakan integrasi dari fungsi densitas Beta . Karena variabel random kontinu, maka fungsi densitas peluangnya akan memenuhi kondisi bahwa , sehingga
Oleh karena itu persamaan (3.19) dapat ditulis menjadi
Maka dengan persamaan (4.15), (4.16), dan (4.20) fungsi densitas posterior dapat ditulis sebagai berikut
Berdasarkan persamaan (3.21), dapat diketahui bahwa posterior berdistribusi Beta dengan merupakan variabel dan adalah nilai observasi atau sampel.
3.1.4. Menentukan Batas-Batas Pengendali Peta Kendali Pendekatan Bayesian
Ekspektasi distribusi posterior dapat diperoleh sebagai berikut :
Variansi distribusi posterior dapat diperoleh sebagai berikut :
40
Dari persamaan (3.23) dapat diperoleh standar deviasi sebagai berikut :
Sehingga dari persamaan (3.22) dan persamaan (3.24) dapat diperoleh batas garis pengendali peta kendali dengan pendekatan Bayesian, sebagai berikut :
Garis Tengah Batas Pengendali Atas
Batas Pengendali Bawah
3.2. Contoh studi kasus
Data sebagai contoh penerapan hasil perbandingan peta kendali p dan peta kendali p pendekatan Bayesian. Data diambil dari jurnal A Moving Average Control Chart for Monitoring the Fraction Non-conforming.
42
Tabel 3.1 Data jurnal A Moving Average Control Chart for Monitoring the Fraction Non-conforming
No Sampel Banyaknya produk yang tidak Sesuai
Proporsi Sampel
1 49 0.098
2 59 0.118
3 52 0.104
4 58 0.116
5 58 0.116
6 42 0.084
7 41 0.082
8 44 0.088
9 52 0.104
10 41 0.082
11 66 0.132
12 69 0.138
13 65 0.13
14 65 0.13
15 76 0.152
16 55 0.11
17 64 0.128
18 67 0.134
19 68 0.136
20 76 0.152
21 66 0.132
22 77 0.154
23 66 0.132
24 58 0.116
25 60 0.12
26 72 0.144
27 63 0.126
28 69 0.138
29 80 0.16
30 60 0.12
Dengan ukuran sampel n = 500
Berdasarkan data pada Tabel 3.1 Data jurnal A Moving Average Control Chart for Monitoring the Fraction Non-conforming, dapat diperoleh garis batas pengendali peta kendali sebagai berikut :
Sehingga diperoleh
Central Limit Upper Central Limits
Lower Central Limits
Gambar 3.1 Grafik Peta kendali
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Proporsi Sampel
Central Line Lower Central Line Upper Central Line
44
Berdasarkan Gambar 3.1 diketahui bahwa seluruh sampel berada dalam keadaan terkendali atau seluruh sampel berada dalam batas grafik pengendali bawah dan batas pengendali atas. Batas pengendali p dengan Pendekatan Bayesian sebagai berikut :
Dengan diketahui bahwa Sehingga,
dan
Dari nilai parameter dan dapat diperoleh untuk mendapatkan mean dan standar deviasi dari distribusi posterior, sebagai berikut :
Sehingga diperoleh,
Central Limits Upper Central Limits Lower Central Limits
46
Gambar 3.2 Grafik Peta Kendali pendekatan Bayesian
Berdasarkan Gambar 3.2 diketahui bahwa sampel berada dalam keadaan tidak terkendali atau terdapat sampel yang berada diluar batas pengendali batas dan batas pengendali bawah, yaitu pada sampel ke 6, 7, 8, 10, 22, dan 29.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Proporsi Sampel
Central Line Lower Central Line Upper Central Line
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
Pada bab ini akan diperlihatkan kesimpulan yang diperoleh dari haril penelitian yang diperoleh dari hasil penelitian pada bab sebelumnya.
4.1 Kesimpulan
1. Batas-batas pengendali peta kendali yang didapatkan dengan pendekatan Bayesian sebagai berikut :
mendapatkan batas-batas pengendali pada peta kendali dengan pendekatan Bayesian dan membandingkan kinerja peta kendali dan peta kendali pendekatan Bayesian didalam mendeteksi keadaan out of control pada sampel.
Garis Tengah
Batas Pengendali Atas
Batas Pengendali Bawah
2. Berdasarkan data dari jurnal A Moving Average Control Chart for Monitoring the Fraction Non-conforming, diketahui bahwa peta kendali pendekatan Bayesian mendeteksi sampel yang berada dalam keadaan out of control yaitu pada sampel ke 6, 7, 8, 10, 22, dan 29. Sedangkan pada peta kendali tidak mendeteksi sampel yang berada dalam keadaan out of control.
48
4.2 Saran
1. Menganalisis peta kendali dengan menggunakan metode pendekatan parameter yang lain.
2. Menganalisis peta kendali atribut yang lain dengan menggunakan pendekatan Bayesian dan membandingkan dengan peta kendali sebelumnya.
3. Menganalisis peta kendali variabel dengan menggunakan pendekatan Bayesian dan membandingkan dengan peta kendali sebelumnya.
DAFTAR PUSTAKA
B.C Michael and Khoo. 2004. A Moving Average Control Chart for Monitoring the Fraction Non-conforming. International Journal of Quality and Reliabilty Engineering. Vol 20 : hal 617-635.
Bain, L.J and Engelhardt, M. 1992. Introduction to Probability and Mathematical Statistics Second Edition. California : DuxburyPress.
Berger, C. 1990. Statistical Inference. New York : Pasific Grove.
Bolstad, W.M. 2007. Introduction to Bayesian Statistics Second Edition. America : A John Wiley & Sons. Inc.
Box, G.E.P and Tiao, G.C. 1973. Bayesian Inference In Statistical Analysis.
Addision-Wesley Publishing Company, Inc : Phlilippines.
Carlin, B.P and Thomas, A.L. 1996. Bayes and Empirical Bayes Methods for Data Analysis: second Edition. London : Champman and Hall.
Herrhyanto, N dan Gantini, T. 2009. Pengantar Statistika Matematika. Bandung : Yrama Widy.
Montgomery, D.C and Runger, G.C. 2003. Applied Statistics and Probability for Engineers Third Edition. John Wiley & Sons, Inc.
Montgomery, D.C. 1990. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Alih bahasa:
Zanzawi Soejoeti. Yogyakarta : Universitas Gadjah Mada.
Walpole, R.E. 1995. Pengantar Statistika Edisi ke-3. Alih bahasa oleh Sumantri, B. Jakarta : PT. Gramedia Pustaka Utama.
