Kalkulus Integral : Tugas Tahap 1

Kalkulus Integral : Tugas Tahap 1

Kelompok 4 :

Ahmad Sabiq Al-Hikam (K1321003)

Aisyah Pramudita (K1321005)

Alifta Nurillah Kosasih (K1321009) Apriliza Vina Hasanah (K1321015) Arfi’ah Nur Rachmawati (K1321017) Bagus Aqil Saputra (K1321025)

Rachma Lutfiana (K1321063)

Wulan Ramadhany (K1321079)

1. Diberikan grafik 𝑓′ seperti gambar di atas dan diketahui bahwa 𝑓(0) = 4. Buatlah sketsa grafik 𝑓!

(0, 2.8)

(3.5, 0) (-0.7, 0)

(6.2, 0) (1, 4)

(5, -2)

Jawab :

Informasi yang langsung kita dapatkan dari grafik 𝑓′ antara lain :

• 𝑓^′(𝑥) = 0 saat 𝑥 = −0.7, 𝑥 = 3.5, 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 6.2

• 𝑓 tidak memiliki titik singular karena 𝑓 terdefinisi dimana-mana.

• Karena 𝑓^′(𝑥) < 0 saat interval (−∞, −0.7) dan (3.5, 6.2) maka 𝑓 turun pada (−∞, −0.7) dan (3.5, 6.2).

• Karena 𝑓^′(𝑥) > 0 pada interval (−0.7, 3.5) dan (6.2, ∞) maka 𝑓 naik pada (−0.7, 3.5) dan (6.2, ∞).

• Karena 𝑓^′(𝑥) < 0 saat 𝑥 ∈ (−∞, −0.7) dan 𝑓^′(𝑥) > 0 saat 𝑥 ∈ (−0.7, 3.5) maka (−0.7, 𝑓(−0.7)) adalah titik minimum lokal 𝑓 di (−∞, 3.5).

• Karena 𝑓^′(𝑥) > 0 saat 𝑥 ∈ (−0.7, 3.5) dan 𝑓^′(𝑥) < 0 saat 𝑥 ∈ (3.5, 6.2) maka (3.5, 𝑓(3.5)) adalah titik maksimum lokal 𝑓 di (−0.7, 6.2).

• Karena 𝑓^′(𝑥) < 0 saat 𝑥 ∈ (3.5, 6.2) dan 𝑓^′(𝑥) > 0 saat 𝑥 ∈ (6.2, ∞) maka (6.2, 𝑓(6.2)) adalah titik minimum lokal 𝑓 di (3.5, ∞).

• Perhatikan bahwa 𝑓′ naik pada (−∞, 1), berarti pada interval tersebut 𝑓^′′ > 0. Karena 𝑓^′′(𝑥) > 0 pada (−∞, 1) maka 𝑓 cekung ke atas pada interval tersebut.

• Perhatikan bahwa 𝑓′ turun pada (1, 5), berarti pada interval tersebut 𝑓^′′ < 0. Karena 𝑓^′′(𝑥) < 0 pada (1, 5) maka 𝑓 cekung ke bawah pada interval tersebut.

• Perhatikan bahwa 𝑓′ naik pada (5, ∞), berarti pada interval tersebut 𝑓^′′ > 0. Karena 𝑓^′′(𝑥) > 0 pada (5, ∞) maka 𝑓 cekung ke atas pada interval tersebut.

• Karena 𝑓 cekung ke atas pada (−∞, 1) dan cekung ke bawah pada (1, 5) maka (1, 𝑓(1)) merupakan titik belok 𝑓.

• Karena 𝑓 cekung ke bawah pada (1, 5) dan cekung ke atas pada (5, ∞) maka (5, 𝑓(5)) merupakan titik belok 𝑓.

Kemudian untuk mencari informasi tambahan kita akan mencari 𝑓^′(𝑥) dan 𝑓(𝑥).

Kita ketahui bahwa 𝑓′ pada grafik merupakan bentuk dasar dari fungsi polinom berderajat 3.

Kemudian 𝑓′ memotong sumbu y di (0, 2.8). Kemudian kita ketahui akar-akar dari polinom tersebut yaitu 𝑥 = −0.7, 𝑥 = 3.5, 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 6.2

Misal

𝑓^′(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 0.7)(𝑥 − 3.5)(𝑥 − 6.2)

𝑓^′(𝑥) = 𝑎(𝑥³− 9𝑥²+ 14.91𝑥 + 15.19)

Kita akan mencari 𝑎 dengan mensubtitusikan (0, 2.8) pada 𝑓′ sehingga kita peroleh 2.8 = 𝑎(15.19)

𝑎 = ^2.8

15.19

Sehingga kita peroleh 𝑓^′(𝑥) =_15.19^2.8 (𝑥³− 9𝑥²+ 14.91𝑥 + 15.19). Kemudian akan dicari 𝑓.

Telah kita peroleh bahwa,

𝑑(𝑓(𝑥))

𝑑𝑥 = ^2.8

15.19(𝑥³− 9𝑥² + 14.91𝑥 + 15.19) 𝑑(𝑓(𝑥)) = ^2.8

15.19(𝑥³− 9𝑥² + 14.91𝑥 + 15.19)𝑑𝑥

∫ 𝑑(𝑓(𝑥)) = ∫_15.19^2.8 (𝑥³− 9𝑥²+ 14.91𝑥 + 15.19)𝑑𝑥 𝑓(𝑥) + 𝐶₁ = ^2.8

15.19∫(𝑥³− 9𝑥²+ 14.91𝑥 + 15.19)𝑑𝑥 𝑓(𝑥) + 𝐶₁ = ^2.8

15.19(^𝑥4

4 − 3𝑥³+^14.91

2 𝑥²+ 15.19𝑥 + 𝐶₂) 𝑓(𝑥) + 𝐶₁ = ^2.8

15.19(^𝑥4

4 − 3𝑥³+^14.91

2 𝑥²+ 15.19𝑥) + ^2.8

15.19𝐶₂ 𝑓(𝑥) + 𝐶₁ = ^2.8

15.19(^𝑥4

4 − 3𝑥³+^14.91

2 𝑥²+ 15.19𝑥) + 𝐶₃ 𝑓(𝑥) = ^2.8

15.19(^𝑥4

4 − 3𝑥³+^14.91

2 𝑥²+ 15.19𝑥) + 𝐶₃− 𝐶₁ 𝑓(𝑥) = ^2.8

15.19(^𝑥4

4 − 3𝑥³+^14.91

2 𝑥²+ 15.19𝑥) + 𝐶

Kemudian kita akan mencari nilai C dengan mensubtitusikan (0, 4).

𝑓(0) = 𝐶 berarti 𝐶 = 4. Sehingga diperoleh

𝑓(𝑥) = 2.8 15.19(𝑥⁴

4 − 3𝑥³+14.91

2 𝑥²+ 15.19𝑥) + 4

• Kemudian 𝑓 akan digunakan untuk mencari letak titik maksimum dan minimum lokal dari 𝑓.

Seperti yang telah kita dapatkan sebelumnya titik maksimum lokal 𝑓 di (−0.7, 6.2) adalah (3.5, 𝑓(3.5)).

𝑓(3.5) = 2.8

15.19((3.5)⁴

4 − 3(3.5)³+14.91

2 (3.5)²+ 15.19(3.5)) + 4 ≈ 13.8 Jadi titik maksimum lokal 𝑓 di (−0.7, 6.2) adalah (3.5, 13.8).

Kemudian titik minimum lokal 𝑓 di (−∞, 3.5) adalah (−0.7, 𝑓(−0.7))

𝑓(−0.7) = 2.8

15.19(−0.7⁴

4 − 3(−0.7)³+14.91

2 (−0.7)²+ 15.19(−0.7)) + 4 ≈ 2.9 Jadi titik minimum lokal 𝑓 di (−∞, 3.5) adalah (−0.7, 2.9).

Kemudian titik minimum lokal 𝑓 di (3.5, ∞) adalah (6.2, 𝑓(6.2))

𝑓(6.2) = 2.8

15.19((6.2)⁴

4 − 3(6.2)³+14.91

2 (6.2)²+ 15.19(6.2)) + 4 ≈ 10.5 Jadi titik minimum lokal 𝑓 di (3.5, ∞) adalah (6.2, 10.5).

Kemudian akan diperiksa keberadaan asimtot dari 𝑓.

Asimtot Tegak

𝑥→∞lim

2.8 15.19(^𝑥4

4 − 3𝑥³+^14.91

2 𝑥²+ 15.19𝑥) + 4 = ∞ dan

𝑥→∞lim

2.8 15.19(^𝑥4

4 − 3𝑥³+^14.91

2 𝑥²+ 15.19𝑥) + 4 = ∞ maka 𝑓 tidak memiliki asimtot tegak.

Asimtot Datar Karena ∀𝑐, 𝑐 ∈ ℝ lim𝑥→𝑐

2.8 15.19(^𝑥4

4 − 3𝑥³+^14.91

2 𝑥² + 15.19𝑥) + 4 = ^2.8

15.19(^𝑐4

4 − 3𝑐³+^14.91

2 𝑐²+ 15.19𝑐) + 4 maka 𝑓 tidak memiliki asimtot datar.

2. Hitung integral tak tentu berikut : a. ∫ √3𝑥 + 2𝑑𝑥

Misal 𝑢 = 3𝑥 + 2 maka 𝑑𝑢 = 3𝑑𝑥 atau 𝑑𝑥 =¹

3𝑑𝑢 sehingga

∫ √3𝑥 + 2𝑑𝑥 = ∫ √𝑢 .¹₃𝑑𝑢

=¹

3∫ 𝑢

1 2𝑑𝑢

=¹

3.²

3𝑢³²+ 𝐶

=²

9(3𝑥 + 2)³²+ 𝐶 b. ∫ √2𝑥 − 4³ 𝑑𝑥

Misal 𝑢 = 2𝑥 − 4 maka 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 atau 𝑑𝑥 =¹

2𝑑𝑢 sehingga

∫ √2𝑥 − 4³ 𝑑𝑥 = ∫ √𝑢³ .¹

2𝑑𝑢

=¹

2∫ 𝑢

1 3𝑑𝑢

=¹

2.³

4𝑢

4 3+ 𝐶

=³

8(2𝑥 − 4)⁴³+ 𝐶 c. ∫ cos(3𝑥 + 2) 𝑑𝑥

Misal 𝑢 = 3𝑥 + 2 maka 𝑑𝑢 = 3𝑑𝑥 atau 𝑑𝑥 =¹

3𝑑𝑢 sehingga

∫ cos(3𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑢 .¹₃𝑑𝑢

=¹

3∫ cos 𝑢 𝑑𝑢

=¹

3sin 𝑢 + 𝐶

=¹

3sin(3𝑥 + 2) + 𝐶

d. ∫ 𝑥√𝑥²+ 4𝑑𝑥

Misal 𝑢 = 𝑥²+ 4 maka 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 atau 𝑑𝑥 = ¹

2𝑥𝑑𝑢 sehingga

∫ 𝑥√𝑥²+ 4𝑑𝑥 = ∫ 𝑥√𝑢. ¹

2𝑥𝑑𝑢

= ∫ 𝑢¹².¹

2𝑑𝑢

=¹

2∫ 𝑢

1 2𝑑𝑢

=¹

2.²

3𝑢³²+ 𝐶

=¹

3(𝑥²+ 4)³²+ 𝐶 e. ∫ 𝑥²(5 + 2𝑥³)⁸𝑑𝑥

Misal 𝑢 = 5 + 2𝑥³ maka 𝑑𝑢 = 6𝑥²𝑑𝑥 atau 𝑑𝑥 = ¹

6𝑥²𝑑𝑢 sehingga

∫ 𝑥²(5 + 2𝑥³)⁸𝑑𝑥 = ∫ 𝑥²(𝑢)⁸. ¹

6𝑥²𝑑𝑢

= ∫(𝑢)⁸.¹

6𝑑𝑢

=¹

6∫(𝑢)⁸𝑑𝑢

=¹

6.¹

9𝑢⁹+ 𝐶

= ¹

54(5 + 2𝑥³)⁹+ 𝐶 f. ∫ 𝑥 sin(𝑥² + 4)𝑑𝑥

Misal 𝑢 = 𝑥²+ 4 maka 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 atau 𝑑𝑥 = ¹

2𝑥𝑑𝑢 sehingga

∫ 𝑥 sin(𝑥²+ 4)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 sin(𝑢) ._2𝑥¹ 𝑑𝑢

=¹

2∫ sin(𝑢)𝑑𝑢

=¹

2(− cos 𝑢) + 𝐶

= −¹

2cos(𝑥²+ 4) + 𝐶

g. ∫^{𝑥 sin √𝑥}_√𝑥2 ²⁺⁴

+4 𝑑𝑥

Misal 𝑢 = (𝑥²+ 4)¹² maka 𝑑𝑢 = ¹

2(𝑥²+4) 1 2

. 2𝑥𝑑𝑥 =^𝑥

𝑢𝑑𝑥 atau 𝑑𝑥 =^𝑢

𝑥𝑑𝑢 sehingga

∫^{𝑥 sin √𝑥}_√𝑥2+4²⁺⁴𝑑𝑥 = ∫^{𝑥 sin 𝑢}_𝑢 .^𝑢

𝑥𝑑𝑢

= ∫ sin 𝑢 𝑑𝑢

= − cos 𝑢 + 𝐶

= − cos √𝑥²+ 4 + 𝐶 h. ∫ 𝑥 cos(𝑥²+ 4) √sin(𝑥²+ 4) 𝑑𝑥

Misal 𝑢 = sin(𝑥²+ 4) maka 𝑑𝑢 = cos(𝑥²+ 4) . 2𝑥𝑑𝑥 atau 𝑑𝑥 = ¹

2𝑥 cos(𝑥²+4)𝑑𝑢 sehingga ∫ 𝑥 cos(𝑥² + 4) √sin(𝑥²+ 4) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 cos(𝑥² + 4) √𝑢 ._{2𝑥 cos(𝑥}¹ ₂₊₄₎𝑑𝑢

= ∫ √𝑢.¹₂𝑑𝑢

=¹

2∫ 𝑢

1 2𝑑𝑢

=¹

2.²

3𝑢

3 2+ 𝐶

=¹

3(sin(𝑥²+ 4))³²+ 𝐶 i. ∫^(√𝑡+4)

3

√𝑡 𝑑𝑡

Misal 𝑢 = √𝑡 + 4 maka 𝑑𝑢 = ¹

2√𝑡𝑑𝑡 atau 𝑑𝑡 = 2√𝑡𝑑𝑢 sehingga

∫^(√𝑡+4)

3

√𝑡 𝑑𝑡 = ∫^(𝑢)3

√𝑡 . 2√𝑡 𝑑𝑢

= 2 ∫ 𝑢³𝑑𝑢

= 2.¹

4𝑢⁴+ 𝐶

=¹

2(√𝑡 + 4)⁴+ 𝐶

j. ∫ (1 +¹_𝑡)⁻²(¹

𝑡²) 𝑑𝑡 Misal 𝑢 = 1 +¹

𝑡 maka 𝑑𝑢 = − ¹

𝑡²𝑑𝑡 atau 𝑑𝑡 = −𝑡²𝑑𝑢 sehingga

∫ (1 +¹_𝑡)⁻²(¹

𝑡²) 𝑑𝑡 = ∫(𝑢)⁻²(¹

𝑡²) (−𝑡²)𝑑𝑢

= − ∫ 𝑢⁻²𝑑𝑢

= −(−1. 𝑢⁻¹) + 𝐶

= (1 +¹

𝑡)⁻¹+ 𝐶 j. ∫ (1 +¹_𝑡)⁻²(¹

𝑡²) 𝑑𝑡 = ∫ ¹

(1+¹ 𝑡)². ¹

𝑡²𝑑𝑡

= ∫ ¹

((1+¹ 𝑡)(𝑡))

2𝑑𝑡

= ∫_(𝑡+1)¹ ₂𝑑𝑡 Misal 𝑡 + 1 = 𝑢 maka 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢 sehingga

∫ ¹

(𝑡+1)²𝑑𝑡 = ∫_𝑢¹₂𝑑𝑢

= ∫ 𝑢⁻²𝑑𝑢

= −𝑢⁻¹+ 𝐶

= − ¹

𝑡+1+ 𝐶 k. ∫ 𝑥⁵(𝑥³+ 1)

1 3𝑑𝑥

Misal 𝑢 = 𝑥³+ 1 maka 𝑥³ = 𝑢 − 1 dan 3𝑥²𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 atau 𝑑𝑥 = ¹

3𝑥²𝑑𝑢 sehingga

∫ 𝑥⁵(𝑥³+ 1)¹³𝑑𝑥 = ∫ 𝑥⁵(𝑢)¹³. ¹

3𝑥²𝑑𝑢

= ∫¹₃𝑥³(𝑢)¹³𝑑𝑢

=¹

3∫(𝑢 − 1)(𝑢)

1 3𝑑𝑢

=¹

3∫(𝑢

4

3− 𝑢¹³)𝑑𝑢

=¹

3(∫ 𝑢

4

3𝑑𝑢 − ∫ 𝑢

1 3𝑑𝑢)

=¹

3(³

7𝑢

7

3+ 𝐶₁− (³

4𝑢

4

3+ 𝐶₂))

=¹

3(³

7𝑢⁷³−³

4𝑢⁴³+ 𝐶₁− 𝐶₂)

=¹

3(³

7𝑢⁷³−³

4𝑢⁴³+ 𝐶₃)

=¹

7𝑢

7 3−¹

4𝑢

4 3+¹

3𝐶₃

=¹

7𝑢⁷³−¹

4𝑢⁴³+ 𝐶

=^(𝑥3+1)

7 3

7 −^(𝑥3+1)

4 3 4 + 𝐶 l. ∫ ^𝑥3

(𝑥²+4) 3 2

𝑑𝑥

Misal 𝑢 = 𝑥²+ 4 maka 𝑥² = 𝑢 − 4 dan 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 atau 𝑑𝑥 =^𝑑𝑢

2𝑥 sehingga

∫ ^𝑥

3 (𝑥²+4)

3 2

𝑑𝑥 = ∫^𝑥3

𝑢 3 2

. ¹

2𝑥𝑑𝑢

=¹

2∫^𝑥

2 𝑢

3 2

𝑑𝑢

=¹

2∫^𝑢−4

𝑢 3 2

𝑑𝑢

=¹

2(∫ 𝑢⁻

1

2𝑑𝑢 − 4 ∫ 𝑢⁻

3 2𝑑𝑢)

=¹

2(2𝑢

1

2+ 𝐶₁− 4 (−2𝑢⁻

1

2+ 𝐶₂))

=¹

2(2𝑢¹²+ 8𝑢⁻¹²+ 𝐶₁− 𝐶₂)

=¹

2(2𝑢¹²+ 8𝑢⁻¹²+ 𝐶₃)

= 𝑢¹²+ 4𝑢⁻¹²+¹

2𝐶₃

= 𝑢

1

2+ 4𝑢⁻

1 2+ 𝐶

= (𝑥² + 4)¹²+ 4(𝑥²+ 4)⁻¹²+ 𝐶

3. Bola dilemparkan ke atas dengan kecepatan 48 kaki/detik dari tepi jurang setinggi 432 meter.

Carilah ketinggian bola di atas tanah t detik kemudian! Kapan bola mencapai ketinggian maksimum? Kapan bola membentur tanah?

Jawab :

Diketahui,

Kecepatan awal (kecepatan saat 𝑡 = 0) adalah 48 𝑘𝑎𝑘𝑖/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 atau kurang lebih 14.6 𝑚/

𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘. Percepatan gravitasi secara umum adalah 9.8𝑚/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘². Ketinggian awal (ketinggian saat 𝑡 = 0) adalah 432 𝑚.

Ditanya,

Ketinggian bola saat t detik, berarti kita diminta untuk mecari fungsi ketinggian yang tergantung oleh waktu, misal kita namakan dengan fungsi 𝑠(𝑡).

Mencari t sehingga s maksimum.

Mencari t sehingga 𝑠(𝑡) = 0.

Dijawab,

Kita ketahui bahwa percepatan merupakan turunan dari fungsi kecepatan terhadap waktu, kemudian kita ketahui bahwa dalam kasus ini percepatannya konstan dan bernilai negatif (arahnya ke bawah). Sehingga kita peroleh

432 m

𝑑𝑣

𝑑𝑡 = −9.8 𝑑𝑣 = −9.8 𝑑𝑡

∫ 𝑑𝑣 = ∫(−9.8)𝑑𝑡 𝑣 + 𝐶₁ = −9.8𝑡 + 𝐶₂

𝑣 = −9.8𝑡 + (𝐶₁+ 𝐶₂) 𝑣 = −9.8𝑡 + 𝐶

Sehingga kita dapatkan fungsi v terhadap t adalah 𝑣(𝑡) = −9.8𝑡 + 𝐶. Kemudian diketahui bahwa pada saat 𝑡 = 0, 𝑣(0) = 14.6𝑚/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘. Sehingga kita peroleh

𝑣(0) = −9.8(0) + 𝐶 14.6 = 𝐶

Jadi kita peroleh 𝑣(𝑡) = −9.8𝑡 + 14.6 𝑚/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘.

Kemudian kita ketahui juga bahwa fungsi kecepatan merupakan turunan dari fungsi jarak terhadap waktu. Sehingga kita dapat mencari fungsi jarak terhadap waktu dari fungsi kecepatan.

𝑣(𝑡) =𝑑𝑠 𝑑𝑡

𝑑𝑠

𝑑𝑡 = −9.8𝑡 + 14.6 𝑑𝑠 = (−9.8𝑡 + 14.6)𝑑𝑡

∫ 𝑑𝑠 = ∫(−9.8𝑡 + 14.6)𝑑𝑡 𝑠 = −4.9𝑡²+ 14.6𝑡 + 𝐶

Sehingga kita peroleh fungsi s terhadap t yaitu 𝑠(𝑡) = −4.9𝑡² + 14.6𝑡 + 𝐶. Kita ketahui bahwa saat 𝑡 = 0, 𝑠(0) = 432 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟. Sehingga kita peroleh

𝑠(0) = −4.9(0²) + 14.6(0) + 𝐶 432 = 𝐶

Sehingga kita peroleh 𝑠(𝑡) = −4.9𝑡² + 14.6𝑡 + 432 meter. Hal tersebut berarti ketinggian bola saat t detik adalah −4.9𝑡² + 14.6𝑡 + 432 meter.

Kemudian kita akan mencari t sehingga s maksimum. Suatu fungsi mencapai titik maksimum/minimumnya pada saat turunannya bernilai nol. Kita ketahui bahwa turunan dari fungsi 𝑠(𝑡) adalah 𝑣(𝑡). Jadi kita akan mencari nilai t yang menyebabkan 𝑣(𝑡) = 0.

𝑣(𝑡) = −9.8𝑡 + 14.6 0 = −9.8𝑡 + 14.6 9.8𝑡 = 14.6

𝑡 =^14.6

9.8 ≈ 1.5 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘

Kemudian akan kita tunjukan apakah benar 𝑡 = 1.5 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 menyebabkan 𝑠(𝑡) maksimum. Kita lihat nilai 𝑣(𝑡) di kiri dan kanan 𝑡 = 1.5.

Karena 𝑣(𝑡) > 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡 < 1.5 𝑑𝑎𝑛 𝑣(𝑡) < 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡 > 1.5 maka benar bahwa 𝑡 = 1.5 menyebabkan 𝑠(𝑡) maksimum. Jadi, ketinggian maksimum bola akan dicapai saat 𝑡 = 1.5 detik.

Kemudian kita akan mencari t yang menyebabkan 𝑠(𝑡) = 0.

𝑠(𝑡) = −4.9𝑡²+ 14.6𝑡 + 432 0 = −4.9𝑡²+ 14.6𝑡 + 432

𝑡_1,2 =−14.6 ± √(14.6)²− 4(−4.9)(432)

−9.8 Diperoleh

𝑡₁ ≈ 11 𝑑𝑎𝑛 𝑡₂ ≈ −8

Karena 𝑡 > 0 maka yang memenuhi adalah 𝑡 = 11 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘. Jadi bola akan menyentuh tanah kira-kira di detik ke-11 setelah dilempar.