Kalkulus Integral : Tugas Tahap 1

Kalkulus Integral : Tugas Tahap 1

Kelompok 4 :

Ahmad Sabiq Al-Hikam (K1321003)

Aisyah Pramudita (K1321005)

Alifta Nurillah Kosasih (K1321009) Apriliza Vina Hasanah (K1321015) Arfi’ah Nur Rachmawati (K1321017) Bagus Aqil Saputra (K1321025)

Rachma Lutfiana (K1321063)

Wulan Ramadhany (K1321079)

1. Diberikan grafik 𝑓′ seperti gambar di atas dan diketahui bahwa 𝑓(0) = 4. Buatlah sketsa grafik 𝑓!

(𝒙_𝟐, 0) (𝒙_𝟏, 0)

(𝒙_𝟑, 0) (𝒙_𝟒, 𝒇′(𝒙_𝟒))

(𝒙_𝟓, 𝒇′(𝒙_𝟓))

Jawab :

Informasi yang langsung kita dapatkan dari grafik 𝑓′ antara lain :

• 𝑓^′(𝑥) = 0 saat 𝑥 = 𝑥₁, 𝑥 = 𝑥₂, 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 𝑥₃

• 𝑓′ terdefinisi di (−∞, ∞), sehingga 𝑓 juga terdefinisi di (−∞, ∞), maka 𝑓 tidak memiliki titik ujung selang.

• 𝑓 tidak memiliki titik singular karena 𝑓 terdefinisi dimana-mana.

• Karena 𝑓^′(𝑥) < 0 saat interval (−∞, 𝑥₁) dan (𝑥₂, 𝑥₃) maka 𝑓 turun pada (−∞, 𝑥₁) dan (𝑥₂, 𝑥₃).

• Karena 𝑓^′(𝑥) > 0 pada interval (𝑥₁, 𝑥₂) dan (𝑥₃, ∞) maka 𝑓 naik pada (𝑥₁, 𝑥₂) dan (𝑥₃, ∞).

• Karena 𝑓^′(𝑥) < 0 saat 𝑥 ∈ (−∞, 𝑥₁) dan 𝑓^′(𝑥) > 0 saat 𝑥 ∈ (𝑥₁, 𝑥₂) maka (𝑥₁, 𝑓(𝑥₁)) adalah titik minimum lokal 𝑓 di (−∞, 𝑥₂).

• Karena 𝑓^′(𝑥) > 0 saat 𝑥 ∈ (𝑥₁, 𝑥₂) dan 𝑓^′(𝑥) < 0 saat 𝑥 ∈ (𝑥₂, 𝑥₃) maka (𝑥₂, 𝑓(𝑥₂)) adalah titik maksimum lokal 𝑓 di (𝑥₁, 𝑥₃).

• Karena 𝑓^′(𝑥) < 0 saat 𝑥 ∈ (𝑥₂, 𝑥₃) dan 𝑓^′(𝑥) > 0 saat 𝑥 ∈ (𝑥₃, ∞) maka (𝑥₃, 𝑓(𝑥₃)) adalah titik minimum lokal 𝑓 di (𝑥₂, ∞).

• Perhatikan bahwa 𝑓′ naik pada (−∞, 𝑥₄), berarti pada interval tersebut 𝑓^′′ > 0.

Karena 𝑓^′′(𝑥) > 0 pada (−∞, 𝑥₄) maka 𝑓 cekung ke atas pada interval tersebut.

• Perhatikan bahwa 𝑓′ turun pada (𝑥₄, 𝑥₅), berarti pada interval tersebut 𝑓^′′ < 0.

Karena 𝑓^′′(𝑥) < 0 pada (𝑥₄, 𝑥₅) maka 𝑓 cekung ke bawah pada interval tersebut.

• Perhatikan bahwa 𝑓′ naik pada (𝑥₅, ∞), berarti pada interval tersebut 𝑓^′′> 0. Karena 𝑓^′′(𝑥) > 0 pada (𝑥₅, ∞) maka 𝑓 cekung ke atas pada interval tersebut.

• Karena 𝑓 cekung ke atas pada (−∞, 𝑥₄) dan cekung ke bawah pada (𝑥₄, 𝑥₅) maka (𝑥₄, 𝑓(𝑥₄)) merupakan titik belok 𝑓.

• Karena 𝑓 cekung ke bawah pada (𝑥₄, 𝑥₅) dan cekung ke atas pada (𝑥₅, ∞) maka (𝑥₅, 𝑓(𝑥₅)) merupakan titik belok 𝑓.

(𝒙𝟏, 𝒇(𝒙_𝟏))

(𝒙𝟐, 𝒇(𝒙_𝟐))

(𝒙𝟑, 𝒇(𝒙_𝟑))

2. Hitung integral tak tentu berikut : a. ∫ √3𝑥 + 2𝑑𝑥

Misal 𝑢 = 3𝑥 + 2 maka 𝑑𝑢 = 3𝑑𝑥 atau 𝑑𝑥 =¹

3𝑑𝑢 sehingga

∫ √3𝑥 + 2𝑑𝑥 = ∫ √𝑢 .¹₃𝑑𝑢

=¹

3∫ 𝑢

1 2𝑑𝑢

=¹

3.²

3𝑢³²+ 𝐶

=²

9(3𝑥 + 2)³²+ 𝐶 b. ∫ √2𝑥 − 4³ 𝑑𝑥

Misal 𝑢 = 2𝑥 − 4 maka 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 atau 𝑑𝑥 =¹

2𝑑𝑢 sehingga

∫ √2𝑥 − 4³ 𝑑𝑥 = ∫ √𝑢³ .¹

2𝑑𝑢

=¹

2∫ 𝑢

1 3𝑑𝑢

=¹

2.³

4𝑢

4 3+ 𝐶

=³

8(2𝑥 − 4)⁴³+ 𝐶 c. ∫ cos(3𝑥 + 2) 𝑑𝑥

Misal 𝑢 = 3𝑥 + 2 maka 𝑑𝑢 = 3𝑑𝑥 atau 𝑑𝑥 =¹

3𝑑𝑢 sehingga

∫ cos(3𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑢 .¹₃𝑑𝑢

=¹

3∫ cos 𝑢 𝑑𝑢

=¹

3sin 𝑢 + 𝐶

=¹

3sin(3𝑥 + 2) + 𝐶

d. ∫ 𝑥√𝑥²+ 4𝑑𝑥 = ∫ √𝑥² + 4. 𝑥𝑑𝑥

Misal 𝑢 = 𝑥²+ 4 maka 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 atau 𝑥𝑑𝑥 =¹

2𝑑𝑢 sehingga

∫ √𝑥²+ 4. 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑢¹².¹

2𝑑𝑢

=¹

2∫ 𝑢

1 2𝑑𝑢

=¹

2.²

3𝑢³²+ 𝐶

=¹

3(𝑥²+ 4)

3 2+ 𝐶 e. ∫ 𝑥²(5 + 2𝑥³)⁸𝑑𝑥 = ∫(5 + 2𝑥³)⁸𝑥²𝑑𝑥

Misal 𝑢 = 5 + 2𝑥³ maka 𝑑𝑢 = 6𝑥²𝑑𝑥 atau 𝑥²𝑑𝑥 =¹

6𝑑𝑢 sehingga

∫(5 + 2𝑥³)⁸𝑥²𝑑𝑥 = ∫(𝑢)⁸.¹

6𝑑𝑢

=¹

6∫(𝑢)⁸𝑑𝑢

=¹

6.¹

9𝑢⁹+ 𝐶

= ¹

54(5 + 2𝑥³)⁹+ 𝐶 f. ∫ 𝑥 sin(𝑥² + 4)𝑑𝑥 = ∫ sin(𝑥²+ 4)𝑥𝑑𝑥 Misal 𝑢 = 𝑥²+ 4 maka 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 atau 𝑥𝑑𝑥 =¹

2𝑑𝑢 sehingga

∫ sin(𝑥²+ 4)𝑥𝑑𝑥 = ∫ sin(𝑢) .¹₂𝑑𝑢

=¹

2∫ sin(𝑢)𝑑𝑢

=¹

2(− cos 𝑢) + 𝐶

= −¹

2cos(𝑥²+ 4) + 𝐶 g. ∫^{𝑥 sin √𝑥}_√𝑥2+4²⁺⁴𝑑𝑥 = ∫ sin √𝑥²+ 4 . ¹

(𝑥²+4) 1 2

𝑥𝑑𝑥

Misal 𝑢 = (𝑥²+ 4)¹² maka 𝑑𝑢 = ¹

(𝑥²+4) 1 2

𝑥𝑑𝑥

∫ sin √𝑥²+ 4 . ¹

(𝑥²+4) 1 2

𝑥𝑑𝑥 = ∫ sin 𝑢 𝑑𝑢

= − cos 𝑢 + 𝐶

= − cos √𝑥²+ 4 + 𝐶 h. ∫ 𝑥 cos(𝑥²+ 4) √sin(𝑥²+ 4) 𝑑𝑥

Misal 𝑢 = sin(𝑥²+ 4) maka 𝑑𝑢 = cos(𝑥²+ 4) . 2𝑥𝑑𝑥 atau 𝑥 cos(𝑥²+ 4) 𝑑𝑥 =¹

2𝑑𝑢 sehingga

∫ √sin(𝑥²+ 4) . 𝑥 cos(𝑥² + 4) 𝑑𝑥 = ∫ √𝑢.¹₂𝑑𝑢

=¹

2∫ 𝑢

1 2𝑑𝑢

=¹

2.²

3𝑢³²+ 𝐶

=¹

3(sin(𝑥²+ 4))³²+ 𝐶 i. ∫^(√𝑡+4)

3

√𝑡 𝑑𝑡

Misal 𝑢 = √𝑡 + 4 maka 𝑑𝑢 = ¹

2√𝑡𝑑𝑡 atau ¹

√𝑡𝑑𝑡 = 2𝑑𝑢 sehingga

∫^(√𝑡+4)

3

√𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑢³. 2𝑑𝑢

= 2 ∫ 𝑢³𝑑𝑢

= 2.¹

4𝑢⁴+ 𝐶

=¹

2(√𝑡 + 4)⁴+ 𝐶 j. ∫ (1 +¹_𝑡)⁻²(¹

𝑡²) 𝑑𝑡 Misal 𝑢 = 1 +¹

𝑡 maka 𝑑𝑢 = − ¹

𝑡²𝑑𝑡 atau ¹

𝑡²𝑑𝑡 = −𝑑𝑢 sehingga

∫ (1 +¹_𝑡)⁻²(¹

𝑡²) 𝑑𝑡 = ∫(𝑢)⁻²(−𝑑𝑢)

= − ∫ 𝑢⁻²𝑑𝑢

= −(−1. 𝑢⁻¹) + 𝐶

= (1 +¹

𝑡)⁻¹+ 𝐶 j. ∫ (1 +¹_𝑡)⁻²(¹

𝑡²) 𝑑𝑡 = ∫ ¹

(1+¹_𝑡)²

. ¹

𝑡²𝑑𝑡

= ∫ ¹

((1+¹_𝑡)(𝑡)) 2𝑑𝑡

= ∫ ¹

(𝑡+1)²𝑑𝑡 Misal 𝑡 + 1 = 𝑢 maka 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢 sehingga

∫_(𝑡+1)¹ ₂𝑑𝑡 = ∫_𝑢¹₂𝑑𝑢

= ∫ 𝑢⁻²𝑑𝑢

= −𝑢⁻¹+ 𝐶

= − ¹

𝑡+1+ 𝐶

k. ∫ 𝑥⁵(𝑥³+ 1)¹³𝑑𝑥 = ∫ 𝑥³(𝑥³+ 1)¹³. 𝑥²𝑑𝑥

Misal 𝑢 = 𝑥³+ 1 maka 𝑥³ = 𝑢 − 1 dan 3𝑥²𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 atau 𝑥²𝑑𝑥 =¹

3𝑑𝑢 sehingga

∫ 𝑥³(𝑥³+ 1)¹³. 𝑥²𝑑𝑥 = ∫(𝑢 − 1) (𝑢)¹³.¹

3𝑑𝑢

=¹

3∫(𝑢 − 1)(𝑢)

1 3𝑑𝑢

=¹

3∫(𝑢

4 3− 𝑢

1 3)𝑑𝑢

=¹

3(∫ 𝑢

4

3𝑑𝑢 − ∫ 𝑢

1 3𝑑𝑢)

=¹

3(³

7𝑢

7

3+ 𝐶₁− (³

4𝑢

4

3+ 𝐶₂))

=¹

3(³

7𝑢⁷³−³

4𝑢⁴³+ 𝐶₁− 𝐶₂)

=¹

3(³

7𝑢⁷³−³

4𝑢⁴³+ 𝐶₃)

=¹

7𝑢⁷³−¹

4𝑢⁴³+¹

3𝐶₃

=¹

7𝑢⁷³−¹

4𝑢⁴³+ 𝐶

=^(𝑥3+1)

7 3

7 −^(𝑥3+1)

4 3 4 + 𝐶 l. ∫ ^𝑥

3 (𝑥²+4)

3 2

𝑑𝑥 = ∫ ^𝑥2

(𝑥²+4) 3 2

𝑥𝑑𝑥

Misal 𝑢 = 𝑥²+ 4 maka 𝑥² = 𝑢 − 4 dan 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 atau 𝑥𝑑𝑥 = ^𝑑𝑢

2 sehingga

∫ ^𝑥

2 (𝑥²+4)

3 2

𝑥𝑑𝑥 = ∫^𝑢−4

𝑢 3 2

𝑑𝑢 2

=¹

2∫^𝑢−4

𝑢 3 2

𝑑𝑢

=¹

2(∫ 𝑢⁻¹²𝑑𝑢 − 4 ∫ 𝑢⁻³²𝑑𝑢)

=¹

2(2𝑢¹²+ 𝐶₁− 4 (−2𝑢⁻¹²+ 𝐶₂))

=¹

2(2𝑢

1

2+ 8𝑢⁻

1

2+ 𝐶₁− 𝐶₂)

=¹

2(2𝑢

1

2+ 8𝑢⁻

1

2+ 𝐶₃)

= 𝑢¹²+ 4𝑢⁻¹²+¹

2𝐶₃

= 𝑢

1

2+ 4𝑢⁻

1 2+ 𝐶

= (𝑥² + 4)¹²+ 4(𝑥²+ 4)⁻¹²+ 𝐶

3. Bola dilemparkan ke atas dengan kecepatan 48 kaki/detik dari tepi jurang setinggi 432 meter.

Carilah ketinggian bola di atas tanah t detik kemudian! Kapan bola mencapai ketinggian maksimum? Kapan bola membentur tanah?

Jawab :

Diketahui,

Kecepatan awal (kecepatan saat 𝑡 = 0) adalah 48 𝑘𝑎𝑘𝑖/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 atau kurang lebih 14.6 𝑚/

𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘. Percepatan gravitasi secara umum adalah 9.8𝑚/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘². Ketinggian awal (ketinggian saat 𝑡 = 0) adalah 432 𝑚.

Ditanya,

Ketinggian bola saat t detik, berarti kita diminta untuk mecari fungsi ketinggian yang tergantung oleh waktu, misal kita namakan dengan fungsi 𝑠(𝑡).

Mencari t sehingga s maksimum.

Mencari t sehingga 𝑠(𝑡) = 0.

Dijawab,

Kita ketahui bahwa percepatan merupakan turunan dari fungsi kecepatan terhadap waktu, kemudian kita ketahui bahwa dalam kasus ini percepatannya konstan dan bernilai negatif (arahnya ke bawah). Sehingga kita peroleh

𝑑𝑣

𝑑𝑡 = −9.8 𝑑𝑣 = −9.8 𝑑𝑡

∫ 𝑑𝑣 = ∫(−9.8)𝑑𝑡 𝑣 + 𝐶₁ = −9.8𝑡 + 𝐶₂

432 m

𝑣 = −9.8𝑡 + (𝐶₁+ 𝐶₂) 𝑣 = −9.8𝑡 + 𝐶

Sehingga kita dapatkan fungsi v terhadap t adalah 𝑣(𝑡) = −9.8𝑡 + 𝐶. Kemudian diketahui bahwa pada saat 𝑡 = 0, 𝑣(0) = 14.6𝑚/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘. Sehingga kita peroleh

𝑣(0) = −9.8(0) + 𝐶 14.6 = 𝐶

Jadi kita peroleh 𝑣(𝑡) = −9.8𝑡 + 14.6 𝑚/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘.

Kemudian kita ketahui juga bahwa fungsi kecepatan merupakan turunan dari fungsi jarak terhadap waktu. Sehingga kita dapat mencari fungsi jarak terhadap waktu dari fungsi kecepatan.

𝑣(𝑡) =𝑑𝑠 𝑑𝑡

𝑑𝑠

𝑑𝑡 = −9.8𝑡 + 14.6 𝑑𝑠 = (−9.8𝑡 + 14.6)𝑑𝑡

∫ 𝑑𝑠 = ∫(−9.8𝑡 + 14.6)𝑑𝑡 𝑠 = −4.9𝑡²+ 14.6𝑡 + 𝐶

Sehingga kita peroleh fungsi s terhadap t yaitu 𝑠(𝑡) = −4.9𝑡² + 14.6𝑡 + 𝐶. Kita ketahui bahwa saat 𝑡 = 0, 𝑠(0) = 432 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟. Sehingga kita peroleh

𝑠(0) = −4.9(0²) + 14.6(0) + 𝐶 432 = 𝐶

Sehingga kita peroleh 𝑠(𝑡) = −4.9𝑡² + 14.6𝑡 + 432 meter. Hal tersebut berarti ketinggian bola saat t detik adalah −4.9𝑡² + 14.6𝑡 + 432 meter.

Kemudian kita akan mencari t yang menyebabkan 𝑠(𝑡) = 0.

𝑠(𝑡) = −4.9𝑡²+ 14.6𝑡 + 432 0 = −4.9𝑡²+ 14.6𝑡 + 432

𝑡_1,2 =−14.6 ± √(14.6)²− 4(−4.9)(432)

−9.8 Diperoleh

𝑡₁ ≈ 11 𝑑𝑎𝑛 𝑡₂ ≈ −8

Karena 𝑡 > 0 maka yang memenuhi adalah 𝑡 = 11 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘. Jadi bola akan menyentuh tanah kira-kira di detik ke-11 setelah dilempar.

Dari informasi tentang waktu bola menyentuh tanah, kita dapat mendefinisikan 𝑠 sebagai berikut :

𝑠(𝑡) = {−4.9𝑡² + 14.6𝑡 + 432 0

𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 ≤ 𝑡 ≤ 11 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡 > 11

Kemudian kita akan mencari t sehingga s maksimum. Suatu fungsi mencapai titik maksimum/minimumnya pada saat turunannya bernilai nol dan pada ujung selang definisi 𝑠(𝑡).

Kita ketahui bahwa turunan dari fungsi 𝑠(𝑡) adalah 𝑣(𝑡). Jadi kita akan mencari nilai t yang menyebabkan 𝑣(𝑡) = 0.

𝑣(𝑡) = −9.8𝑡 + 14.6 0 = −9.8𝑡 + 14.6 9.8𝑡 = 14.6

𝑡 =^14.6

9.8 ≈ 1.5 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘

Sehingga kita dapatkan tiga titik kritis, yaitu : Titik ujung selang [0,11] yaitu 𝑡 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑡 = 11 Titik stasioner yaitu 𝑡 = 1.5

Tidak memiliki titik singular karena 𝑠 merupakan fungsi polynomial yang terdefinisi disetiap daerah asalnya.

Kemudian kita akan mencari nilai s untuk setiap titik kritisnya, 𝑠(0) = 432

𝑠(11) = 0

𝑠(1.5) = 442,875

Karena saat 𝑡 = 1.5 mendapatkan nilai s paling besar di antara titik kritis lain, maka nilai maksimum s didapatkan saat 𝑡 = 15. Jadi, ketinggian maksimum bola akan dicapai saat 𝑡 = 1.5 detik.