Tugas Tahap 6 Kalkulus Integral. Kelompok 3. Jawaban Tugas Tahap 6

Tugas Tahap 6 Kalkulus Integral Kelompok 3

Anggota kelompok :

1. Anggun Kurnia (K1321013)

2. Asma’ Hanifah (K1321019)

3. Canting Muktiningrum (K1321027) 4. Dilla Aulia Ramadhanti (K1321031) 5. Dwija Hasta Gavrila (K1321033) 6. Hervanny Chuswatun Hasanah (K1321045)

7. Luthfita Larasati (K1321051)

8. Regita Puspita Ayu (K1321069)

Jawaban Tugas Tahap 6

1.

Gunakan kurva tersebut untuk menghitung rataan fungsi 𝑣(𝑡) pada interval [1,3]

Jawab =

Dapat dilihat dari kurva, kita dapat mencari persamaan fungsi 𝑣(𝑡) pada a) Interval [0,1]

Ada dua titik yang menghubungan fungsi v(t) pada interval tersebut yaitu titik (0,0) dan (1,1) maka,

𝑣−𝑣₁ 𝑣−𝑣₁= ^𝑡−𝑡1

𝑡₂−𝑡₁ 𝑣−0

1−0=^𝑡−0

0

𝑣 = 𝑡 , 𝑡 ∈ [0,1]

b) Interval [1,2]

Fungsi v(t) bernilai 1 maka, 𝑣 = 1, 𝑡 ∈ [1,2]

c) Interval [2,3]

Ada dua titik yang menghubungan fungsi v(t) pada interval tersebut yaitu titik (2,1) dan (3,-1) maka,

𝑣−𝑣₁

𝑣−𝑣₁= ^𝑡−𝑡1

𝑡₂−𝑡₁ 𝑣−1

−1−1= ^𝑡−2

𝑣−1 3−2

−2 =^𝑡−2₁

𝑣 − 1 = −2𝑡 + 4 𝑣 = 5 − 2𝑡, 𝑡 ∈ [2,3]

Maka, dapat disimpulkan bahwa

2. Berikan ilustrasi untuk menjelaskan bahwa jika 𝑓 periodik dengan perioda 𝑝 , berlaku

∫_𝑎^𝑎+𝑝𝑓(𝑥)𝑑𝑥= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥₀^𝑝 Jawab =

Dapat dilihat bahwa luas pada bagian A = luas pada bagian B

Sketsa diatas dikatakan periodik dengan perioda p, jika pada grafik terlihat grafik yang selalu berulang setelah perioda p.

Sebagai contoh, Pada fungsi y=sin x

Fungsi y= sin x selalu berulang setelah perioda 2π. Maka fungsi y= sin x adalah fungsi periodik dengan perioda 2π.

3. Hitung integral tentu yang berikut

a. ⁵



x x⁻ dx 4

2 4 Jawab =

b.



^/6

0 cos2 2 2

 sin





d

Jawab =

c.



− +

7

1 2

2 x

dx x

Jawab =

Penyelesaian dengan Aturan Substitusi pada Integral Tentu Misal 𝑢 = 𝑥 + 2

𝑥 = 𝑢 − 2 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

Saat 𝑥 = −1, maka 𝑢 = −1 + 2 = 1 Saat 𝑥 = 7, maka 𝑢 = 7 + 2 = 9 Maka, ∫ ^{𝑥2𝑑𝑥}

√𝑥+2= ∫ ^(𝑢−2)2

√𝑢 𝑑𝑢

9 1 7

−1

= ∫ (𝑢₁^{9 2}− 4𝑢 + 4)𝑢⁻¹² 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢₁^{9 32}− 4𝑢¹²+ 4𝑢⁻¹² 𝑑𝑢 = ²₅𝑢⁵²− 4.²₃𝑢³²+ 4.2𝑢¹²]9

1 = ²

5(9)⁵²−⁸

3(9)³²+ 8(9)¹²− (²

5(1)⁵²−⁸

3(1)³²+ 8(1)¹²) = ²

5(243) −⁸

3(27) + 24 − (²

5−⁸

3+ 8) = 1458−1080+360−(6−40+120)

15

= ⁶⁵²

15

d. x x²dx

1

0

5 1 +



Jawab =

Penyelesaian dengan Aturan Substitusi pada Integral Tentu Misal 𝑢 = 1 + 𝑥²

𝑥² = 𝑢 − 1 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥

1

2𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥

Saat 𝑥 = 0, maka 𝑢 = 1 + 0 = 1 Saat 𝑥 = 1, maka 𝑢 = 1 + 1 = 2

Maka,∫ 𝑥₀^{1 5}√1 + 𝑥²𝑑𝑥 = ∫ (𝑥₀^{1 2})²√1 + 𝑥²𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (𝑢 − 1)₁^{2 2}√𝑢 ¹₂ 𝑑𝑢

=¹

2∫ (𝑢₁^{2 2}− 2𝑢 + 1)𝑢¹² 𝑑𝑢

=¹

2∫ 𝑢₁^{2 52}− 2𝑢³²+ 𝑢¹² 𝑑𝑢

=¹

2[²

7𝑢⁷²− 2.²

5𝑢⁵²+²

3𝑢³²]2 1 =¹₇𝑢⁷²−²₅𝑢⁵²+¹₃𝑢³²]2

1

= ¹

7(2)⁷²−²

5(2)⁵²+¹

3(2)³²− (¹

7(1)⁷²−²

5(1)⁵²+¹

3(1)³²)

=^8√2

7 −^8√2

5 +^2√2

3 − (¹

7−²

5+¹

3) =√2(120−168+70)−(15−42+35)

105

=^22√2−8₁₀₅

e.



−



+



dx x x cos )2

(sin Jawab =

Penyelesaian soal ini dapat menggunakan dua cara, yaitu :

1. Dengan mencari integral tak tentu terlebih dahulu, kemudian dihitung dengan integral tentu

2. Teorema Simetri

−





+



dx x x cos )2 (sin

Akan dicari nilai integral diatas

∫ (sin 𝑥 + cos 𝑥)_−𝜋^{𝜋 2}𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑖𝑛_−𝜋^{𝜋 2}𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠²𝑥 𝑑𝑥

= ∫ 1 + sin 2𝑥 𝑑𝑥_−𝜋^𝜋

(menurut sifat penjumlahan integral, maka)

= ∫ 1 𝑑𝑥_−𝜋^𝜋 + ∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥_−𝜋^𝜋

Dapat dilihat bahwa ∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥_−𝜋^𝜋 dapat diselesaikan dengan teorema simetri. Akan dicek apakah fungsi tersebut ganjil atau genap.

Misal 𝑓(𝑥) = sin 2𝑥.

Perhatikan bahwa 𝑓(−𝑥) = sin 2𝑥 𝑓(−𝑥) = sin 2(−𝑥) 𝑓(−𝑥) = sin(−2𝑥) 𝑓(−𝑥) = −sin 2𝑥

=−𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓

Karena telah terbukti bahwa 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓, maka fungsi f(x) adalah fungsi ganjil. Menurut teorema kesimetrian, jika f(x) adalah fungsi ganjil, maka

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 _−𝑎^𝑎 Sehingga,

∫ (sin 𝑥 + cos 𝑥)_−𝜋^{𝜋 2}𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑑𝑥_−𝜋^𝜋 + ∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥_−𝜋^𝜋 (Menurut teorema kesimetrian)

= ∫ 1 𝑑𝑥_−𝜋^𝜋 + 0

= 𝑥] 𝜋

−𝜋

= 𝜋 − (−𝜋)

= 2𝜋

f. ⁴

 ^

xdx 0

2 sin Jawab =

4. Diketahui suhu dalam derajat Farenheit dalam rumah adalah 𝑇 = 72 + 12 sin [𝜋(𝑡 − 8)

12 ]

dimana 𝑡 adalah waktu dalam jam, dengan 𝑡 = 0 menunjukkan tengah malam Biaya pendingin rumah adalah 0,1 rupiah perderajat

(a) Cari biaya pendinginan rumah jika pengatur suhu di set 72℉ ( lihat gambar )

72

Jawab =

Diketahui bahwa thermostat di set pada 72℉. Dari grafik dapat dilihat bahwa suhu rumah melewati batas termostat dari 𝑡 = 8 sampai 𝑡 = 20 sehingga thermostat akan menyalakan pendingin untuk menstabilkan dan menurunkan suhu rumah ke batas thermostat kembali. 𝐶 merupakan biaya pendingin rumah yang dapat kita cari dengan menghitung total penggunaan pendingin pada 𝑡 = 8 sampai 𝑡 = 20 yang berarti total suhu rumah di atas 72℉ kemudian dikalikan dengan biaya penggunaan pendingin per ℉, yang dapat dituliskan sebagai berikut.

𝐶 = 0,1 ∫ [72 + 12 sin𝜋(𝑡 − 8)

12 − 72] 𝑑𝑡

20 8

𝐶 = 0,1 ∫ [12 sin𝜋(𝑡 − 8) 12 ] 𝑑𝑡

20

8

Penyelesaian = Misal 𝑢 =^{𝜋(𝑡−8)}

12

𝑑𝑢 = ¹

12𝜋 𝑑𝑡 𝑑𝑡 =¹²

𝜋 𝑑𝑢 Maka,

𝐶 = 0,1 ∫ ¹²

𝜋 [12 sin 𝑢] 𝑑𝑢

20 8

𝐶 = 0,1.¹⁴⁴

𝜋 ∫ sin 𝑡 𝑑𝑡₀^𝜋 𝐶 =^14,4

𝜋 (−1 − 1) 𝐶 =^14,4

𝜋 (−2) , karena luas selalu bernilai positif, maka 𝐶 =^14,4

𝜋 . |−2|

𝐶 =^14,4

𝜋 . 2 𝐶 = 9,167 ≈ 9

Jadi, biaya pendinginan rumah jika pengatur suhu di set 72℉ yaitu sebesar 9 rupiah per 24 jam.

(b) Hitung berapa biaya yang dihemat jika pengatur suhu di set 78℉ ( lihat gambar )

Jawab=

Diketahui bahwa thermostat di set pada 78℉. Dari grafik dapat dilihat bahwa suhu rumah melewati batas thermostat dari 𝑡 = 10 sampai 𝑡 = 18 sehingga thermostat akan menyalakan pendingin untuk menstabilkan dan menurunkan suhu rumah ke batas thermostat kembali. 𝐶 merupakan biaya pendingin rumah yang dapat kita cari dengan menghitung total penggunaan pendingin pada 𝑡 = 10 sampai 𝑡 = 18 yang berarti total

78

suhu rumah di atas 78℉ kemudian dikalikan dengan biaya penggunaan pendingin per ℉, yang dapat dituliskan sebagai berikut.

𝐶 = 0,1 ∫ [72 + 12 sin^{𝜋(𝑡−8)}

12 − 78] 𝑑𝑡

18 10

𝐶 = 0,1 ∫ [12 sin^{𝜋(𝑡−8)}

12 − 6] 𝑑𝑡

18 10

Penyelesaian = Misalkan 𝑢 =^{𝜋(𝑡−8)}

12

𝑑𝑢 =^12𝜋

144𝑑𝑡 𝑑𝑢 = ^𝜋

12𝑑𝑡

12

𝜋 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 Maka,

𝐶 = 0,1 ∫ [12 sin^{𝜋(𝑡−8)}

12 − 6] 𝑑𝑡

18 10

𝐶 = 0,1 [∫ 12 sin^{𝜋(𝑡−8)}

12 𝑑𝑡 − ∫ 6₁₀¹⁸ 𝑑𝑡

18

10 ]

𝐶 = 0,1 [∫ 12 sin 𝑢 ¹²

𝜋 𝑑𝑢 − ∫ 6₁₀¹⁸ 𝑑𝑡

5𝜋 𝜋6 6

] 𝐶 = 0,1 [¹⁴⁴

𝜋 ∫ sin 𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 6₁₀¹⁸ 𝑑𝑡

5𝜋 6

10 ]

𝐶 = 0,1 [[−¹⁴⁴

𝜋 cos 𝑢]

5𝜋 6𝜋 6

− [6𝑡]18 10] 𝐶 = 0,1 [[−¹⁴⁴

𝜋 cos^5𝜋

6 − (−¹⁴⁴

𝜋 cos^𝜋

6)] − [6(18) − 6(10)]]

𝐶 = 0,1 [[−¹⁴⁴

𝜋 (−^√3

2) − (−¹⁴⁴

𝜋 (^√3

2))] − 48]

𝐶 = 0,1 [[^72√3

𝜋 +^72√3

𝜋 ] − 48]

𝐶 = 0,1 [[^144√3

𝜋 ] − 48]

𝐶 = 0,1 [31.39136]

𝐶 = 3.139136 ≈ 3

Jadi, biaya pendinginan rumah jika pengatur suhu di set 78℉ yaitu sebesar 3 rupiah per 24 jam.

Telah diketahui pada soal nomor 4a, bahwa biaya pendinginan rumah jika pengatur suhu di set 72℉ yaitu sebesar 9 rupiah. Jika, thermostat diubah dan di set pada 78℉, maka biaya pendinginan rumah yaitu sebesar 3 rupiah. Oleh karena itu, jika set thermostat diubah dari 72℉ menjadi 78℉, maka akan menghemat sebesar 6 rupiah per 24 jam.