Soal dan Bahas OSP Matematika SMA Tahun 2012

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

MATEMATIKA SMA/MA

PETUNJUK UNTUK PESERTA:

1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan tes bagian

kedua terdiri dari 5 soal uraian.

2. Waktu yang disediakan untuk menyelesaikan semua soal adalah 210 menit.

(tiga puluh) menit pertama dari keseluruhan waktu tes.

3. Tuliskan nama, kelas, dan asal sekolah Anda di sebelah kanan atas pada setiap halaman.

4. Untuk soal bagian pertama:

(a) Masing-masing soal bagian pertama bernilai 1 (satu) angka.

(b) Beberapa pertanyaan dapat memiliki lebih dari satu jawaban yang benar. Anda diminta

memberikan jawaban yang paling tepat atau persis untuk pertanyaan seperti ini. Nilai

hanya akan diberikan kepada pemberi jawaban paling tepat atau paling persis.

(c) Tuliskan hanya jawaban dari soal yang diberikan. Tuliskan jawaban tersebut pada kotak

di sebelah kanan setiap soal.

5. Untuk soal bagian kedua:

(a) Masing-masing soal bagian kedua bernilai 7 (tujuh) angka.

(b) Anda diminta menyelesaikan soal yang diberikan secara lengkap. Selain jawaban akhir,

Anda diminta menuliskan semua langkah dan argumentasi yang Anda gunakan untuk

sam-pai kepada jawaban akhir tersebut.

(c) Jika halaman muka tidak cukup, gunakan halaman sebaliknya.

6. Jawaban hendaknya Anda tuliskan dengan menggunakan tinta (bukan pensil), kecuali pada

sketsa gambar.

7. Selama tes, Anda tidak diperkenankan menggunakan buku, catatan, dan alat bantu hitung.

Anda juga tidak diperkenankan bekerjasama.

8. Mulailah bekerja hanya setelah pengawas memberi tanda dan berhentilah bekerja segera setelah

pengawas memberi tanda.

9. Selamat bekerja.

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

Nama: ... Kelas: ...

Sekolah: ...

BAGIAN PERTAMA

1. Misalkan

O

dan

I

berturut-turut menyatakan titik pusat lingkaran luar dan titik pusat lingkaran

dalam pada segitiga dengan panjang sisi

3

;

4

;

dan

5

:

Panjang dari

OI

adalah...

2. Misalkan

x; y;

dan

z

adalah bilangan-bilangan prima yang memenuhi persamaan

34

x

51

y

= 2012

z:

Nilai dari

x

+

y

+

z

adalah...

3. Diketahui empat dadu setimbang dan berbeda, yang masing-masing berbentuk segi delapan

be-raturan bermata 1, 2, 3, ..., 8. Empat dadu tersebut ditos (dilempar) bersama-sama satu kali.

Probabilitas kejadian ada dua dadu dengan mata yang muncul sama sebesar ...

4. Fungsi bernilai real

f

dan

g

masing-masing memiliki persamaan

f

(

x

) =

p

b

x

c

a

dan

g

(

x

) =

s

x

2

x

p

2

p

a

dengan

a

bilangan bulat positif. Diketahui

b

x

c

menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang

dari atau sama dengan

x. Jika domain

g

f

adalah

f

x

j

3

1

2

x <

4

g

, maka banyaknya

a

yang

memenuhi sebanyak...

5. Diberikan bilangan prima

p >

2

:

Jika

S

adalah himpunan semua bilangan asli

n

yang

menye-babkan

n

2

+

pn

merupakan kuadrat dari suatu bilangan bulat maka

S

=

:::

6. Untuk sebarang bilangan real

x

dide…nisikan

f

x

g

sebagai bilangan bulat yang terdekat dengan

x;

sebagai contoh

f

1

;

9

g

= 2

;

f

0

;

501

g

=

1

;

dan sebagainya. Jika

n

adalah suatu bilangan

bulat positif kelipatan 2012, maka banyak bilangan bulat positif

k

yang memenuhi

n

p

3

k

o

=

n

adalah...

7. Banyak bilangan bilangan asli

n <

100

yang mempunya kelipatan yang berbentuk

123456789123456789

:::

123456789

adalah...

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

9. Dalam sebuah pertemuan, 5 pasang suami istri akan didudukkan pada sebuah meja bundar.

Berapa banyak cara untuk mengatur posisi duduk 5 pasang suami istri tersebut sedemikian

sehingga tepat 3 suami duduk disamping istrinya?

10. Jika

p; q;

dan

r

akar-akar dari

x

3

x

2

+

x

2 = 0

, maka

p

3

+

q

3

+

r

3

=

....

11. Jika

m

dan

n

bilangan bulat positif yang memenuhi

m

2

+

n

5

= 252

, maka

m

+

n

=

...

12. Pada

ABC

titik

D

terletak pada garis

BC

. Panjang

BC

= 3

,

\

ABC

= 30

, dan

\

ADC

=

45

. Panjang

AC

=

...

13. Lima siswa,

A; B; C; D; E

berada pada satu kelompok dalam lomba lari estafet. Jika

A

tidak

bisa berlari pertama dan

D

tidak bisa berlari terakhir, maka banyaknya susunan yang mungkin

adalah...

14. Diketahui

H

adalah himpunan semua bilangan asli kurang dari

2012

yang faktor primanya tidak

lebih dari

3

:

Selanjutnya dide…nisikan himpunan

S

=

1

n

j

n

2

H

:

Jika

x

merupakan hasil penjumlahan dari semua anggota

S

dan

b

x

c

menya- takan bilangan

bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan

x, maka

b

x

c

=

...

15. Diberikan dua lingkaran

1

dan

2

yang berpotongan di dua titik yaitu

A

dan

B

dengan

AB

= 10

. Ruas garis yang menghubungkan titik pusat kedua lingkaran memotong lingkaran

1

dan

2

masing-masing di

P

dan

Q. Jika

P Q

= 3

dan jari-jari lingkaran

1

adalah 13, maka

jari-jari lingkaran

2

adalah

: : :

16. Banyaknya pasangan bilangan bulat

(

x; y

)

yang memenuhi

1

x

+

1

y

1

xy

2

=

3

4

adalah ...

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

17. Untuk bilangan real positif

x

dan

y

dengan

xy

=

1₃

, nilai minimum

₉1_x6

+

1

4y6

adalah ...

18. Banyaknya pasangan bilangan bulat positif

(

a; b

)

yang memenuhi

4

a

+ 4

a

2

+ 4 =

b

2

adalah ...

19. Diberikan segitiga

ABC, dengan panjang

AB

sama dengan dua kali panjang

AC. Misalkan

D

dan

E

berturut-turut pada segmen

AB

dan

BC

, sehingga

\

BAE

=

\

ACD

. Jika

F

=

AE

\

CD

dan

CEF

merupakan segitiga sama sisi, maka besar sudut dari segitiga

ABC

adalah ...

20. Banyaknya bilangan bulat positif

n

yang memenuhi

n

2012

dan merupakan bilangan kuadrat

sempurna atau kubik atau pangkat 4 atau pangkat 5 atau ... atau pangkat 10, ada sebanyak...

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

BAGIAN KEDUA

Soal 1.

Tentukan semua pasangan bilangan bulat tak negatif

(

a; b; x; y

)

yang memenuhi sistem

persamaan

a

+

b

=

xy

x

+

y

=

ab

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

Nama: ... Kelas: ...

Sekolah: ...

Soal 2.

Cari semua pasangan bilangan real

(

x; y; z

)

yang memenuhi sistem persamaan

8

<

:

x

= 1 +

p

y

z

2

y

= 1 +

p

z

x

2

z

= 1 +

p

x

y

2

:

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

Soal 3.

Seorang laki - laki memiliki 6 teman. Pada suatu malam di suatu restoran, dia bertemu

dengan masing - masing mereka 11 kali, setiap 2 dari mereka 6 kali, setiap 3 dari mereka 4 kali,

setiap 4 dari mereka 3 kali, setiap 5 dari mereka 3 kali, dan semua mereka 10 kali. Dia makan diluar

9 kali tanpa bertemu mereka. Berapa kali dia makan di restoran tersebut secara keseluruhan ?

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

Nama: ... Kelas: ...

Sekolah: ...

Soal 4.

Diberikan segitiga lancip

ABC. Titik

H

menyatakan titik kaki dari garis tinggi yang

ditarik dari

A

. Buktikan bahwa

AB

+

AC

BC

cos

\

BAC

+ 2

AH

sin

\

BAC

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

Soal 5.

Diketahui

p

0

= 1

dan

p

i

bilangan prima ke-i, untuk

i

= 1

;

2

; : : :; yaitu

p

1

= 2

,

p

2

= 3

,

: : :.

Bilangan prima

p

i

dikatakan

sederhana

jika

p

(_in2)

> p

i 1

(

n

!)

4

untuk semua bilangan bulat positif

n. Tentukan semua bilangan prima yang

sederhana

!

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

SELEK

TIM O

KSI OLIM

LIMPIAD

Presta

Disus

MPIADE

DE MATE

asi itu dir

SOLU

BAGIAN

sun oleh :

TINGKA

EMATIKA

raih bukan

USI SOA

N PERTA

Eddy He

AT PROV

A INDON

n didapat

AL

AMA

rmant o, S

VINSI 20

NESIA 20

t !!!

ST

012

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

SMA Neger BAGIAN PER

1. Tanpa m

Misalkan

Karena Δ Jadi, O a

Misalkan

r = 1 Karena O Jadi, E a OE = OD

OI2 = OE

OI = √  Jadi,

2. 34x



51 Karena 3 Karena 3 34x  51 x = 1009 x + y + z  Jadi,

3. Banyakn Peluang  Jadi,

ri 5 Bengkul

RTAMA

mengurangi k

n j uga R ada ΔABC siku-si adalah pert e

n D adalah t i

O adalah pe adalah t it ik  ED = AC

2

+ IE2 =

, panj ang OI

1y = 2012z d 34 dan 2012 34 dan 51 ha (2) = 2012(1 9 yang meme z = 1009 + 2

, nilai dari x

nya kej adian ada angka y

, peluang ad

lu

keumuman m

l ah j ari-j ari

iku di A mak engahan BC.

it ik pada AB

rt engahan B singgung ga C  r =

I = √ .

engan x, y, habis dibag abis dibagi 1 17)

enuhi bahwa + 17 = 1028 x + y + z ada

n semua angk yang sama =

da angka yan

misal kan AC

lingkaran l u

ka BC adalah .

B sehingga O

BC maka D a ris OD t erha

z adalah bil gi 2 maka y h 17 maka z ha

a x adalah b

alah 1028.

ka dadu ber =

ng sama =

= 3 ; AB =

uar dan r ad

h diamet er l

D  AB dan

dalah pert e adap l ingkara

l angan prima habis dibagi abis dibagi 1

ilangan prim

rbeda = 8 x 7

4 ; BC = 5

dalah j ari-j ar

lingkaran l ua

E pada OD s

ngahan AB s an dal am. M

a.

2. Karena y 17. Karena z

ma.

7 x 6 x 5.

E .

ri lingkaran

ar ΔABC.

sehingga IE 

sehingga AD Maka IE = 2.

y prima mak z prima mak

Eddy Herma dalam ΔABC

 OD.

= 2.

ka y = 2. ka z = 17.

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

Solusi

Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012

Bagian Pert ama

SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST

4. dan √

√ dengan a adalah bilangan bulat posit if .

√

Karena maka .

Unt uk maka √ sehingga

√ √

Syarat yang harus dipenuhi adalah a  3  (1) dan

√ √

a(3  a)2  6  2a  (2)

Jika a = 1 maka 1  (3  1)2 = 4 dan 6  2(1) = 4 Jika a = 2 maka 2  (3  2)2 = 2 dan 6  2(2) = 2 Jika a = 3 maka 3  (3  3)2 = 0 dan 6  2(3) = 0

Maka nilai a bulat posit if yang memenuhi adalah a = 1 at au a = 2 at au a = 3.  Banyaknya nilai a yang memenuhi ada 3.

5. Karena n2 + pn bilangan kuadrat sempurna maka 4n2 + 4pn j uga merupakan kuadrat sempurna. 4n2 + 4pn = m2 dengan n, m  N dan p adal ah bil angan prima.

(2n + p)2 p2 = m2

p2 = (2n + p + m)(2n + p  m) Maka ada 2 kasus :

 Jika 2n + p + m = p dan 2n + p  m = p Maka didapat 2n + p = 0 dan 2n  p = 0

Didapat n = 0 yang t idak memenuhi syarat bahwa n  N.  Jika 2n + p + m = p2 dan 2n + p  m = 1

Jumlahkan kedua persamaan didapat 4n + 2p = p2 + 1

4n = (p  1)2

Karena p adalah bilangan prima ganj il maka akan didapat n  N.

 Jadi, dengan p bilangan prima > 2.

6. √ dengan m  N

√

Karena n habis dibagi 2012 maka dan keduanya bilangan asli. Jadi,

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

SMA Neger  Jadi, 7. Misalkan angka-an m = 1234 Jelas ba Juga j el Karena 1 999 = 33 103 1 ( Jadi, j ik 103 1 ( Jadi, j ik Karena 3 Maka bil  Jadi,

8. Perhat ik

Tanpa m Maka ko Persama Persama Perpot o Maka

 Jadi,

9. Misalkan pasanga dan C, a kasus :

ri 5 Bengkul , banyaknya

n m = 12345 ngka berula 456789(1 + hwa 31234 as bahwa 9 12345678912

 37

(mod 37) Ma ka k = 37 ma (mod 27) Ma ka k = 27 ma 3123456789 langan asl i n

, banyaknya

kan gambar.

mengurangi k

ordinat C(b

aan garis AC

aan garis MN

ngan garis A

sehingga

, .

n A, B, C da nnya dan xA

ant ara C dan

lu

a nilai k yang

6789123456 ng set iap 9 a 109 + 1018 + 456789.

membagi 12 23456789 ha

aka 109n  1 ka 37m = 1 aka 109n  1

ka 271 + 1 9 dan 271 n < 100 yang a bilangan as

keumuman m

+ a, c). Koo

adalah

N adalah

AC dan MN ad

an D adalah

A, xB, xC dan

n D dan ant a

g memenuhi

789…123456 angka yait u

 + 109(k-1))

23456789. abis dibagi 1

(mod 37) un 123456789(1 (mod 27) un 09 + 1018 +  + 109 + 1018 g mempunya

sli n < 100 ya

misal kan koo

ordinat

dalah t it ik P

. Jadi,

h 4 orang da xD adalah b

ara D dan A. ada

6789 merupa 123456789.

1 maka 11 j

nt uk n bilang + 109 + 101 nt uk n bilang

 + 109(k-1) se +  + 109(k-1 i kel ipat an m ang memenu

ordinat A(0, , dan

P

koordinat

al am arah s banyaknya k . Jel as bahw

.

akan bilanga

j uga memba

gan bulat t a

8

+  + 109(k gan bulat t a ehingga 27

1)

maka 81m m adalah 1, uhi ada 9.

0), B(a, 0)

n ,

,

searah j arum kursi yang be wa xA, xB, xC

E an t erdiri da

agi m.

k negat if .

k-1)

)

k negat if . m

m

3, 9, 11, 27

dan D(b, c).

.

.

m j am yang erada ant ar dan xD sem

Eddy Herma ari 9k angka

7, 33, 37, 81

.

g t idak dudu ra A dan B, a

uanya gena

anto, ST a dengan

1, 99.

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

Solusi

Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012

Bagian Pert ama

SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST

 Kasus 1, xA = 0, xB = 0, xC = 0 dan xD = 6.

A, B, C dan D akan berdekat an. Agar di ant ara mereka t idak ada sepasang suami ist eri maka mereka harus duduk berselang seling.

Banyaknya cara memil ih A ada 10. Banyaknya cara memil ih B hanya 8 sebab B t idak boleh pasangan A. Cara memilih C dan D hanya ada sat u cara memilihnya sebab mereka pasangannya A dan B.

Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adal ah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840.

 Kasus 2, xA = 0, xB = 2, xC = 2 dan xD = 2.

A dan B akan berdekat an sehingga t idak mungkin pasangan suami ist eri. Banyaknya cara memilih A dan B adalah 10 x 8. C adalah pasangan A at au B sehingga banyaknya cara memil ih C dan D adalah 2 x 1.

Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adal ah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 2 x 1 x 48 = 7680.

 Kasus 3, xA = 0, xB = 0, xC = 2 dan xD = 4.

A, B dan C akan berdekat an sehingga B bukan pasangan A at au C. Banyaknya cara memilih A ada 10 dan B ada 8. Banyaknya cara memil ih C dan D hanya ada 1.

Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adal ah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840.

 Kasus 4, xA = 0, xB = 2, xC = 0 dan xD = 4.

A dan B akan berdekat an sehingga t idak mungkin pasangan suami ist eri. Banyaknya cara memilih A dan B adalah 10 x 8. C adalah pasangan A at au B sehingga banyaknya cara memil ih C dan D adalah 2 x 1.

Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adal ah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 2 x 1 x 48 = 7680

 Kasus 5, xA = 0, xB = 0, xC = 4 dan xD = 2.

A, B dan C akan berdekat an sehingga B bukan pasangan A at au C. Banyaknya cara memilih A ada 10 dan B ada 8. Banyaknya cara memil ih C dan D hanya ada 1.

Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adal ah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840

Banyaknya cara menyusun secara keseluruhan = 10 x 8 x 7 x 1 x 48 = 26880.  Jadi, banyaknya cara menyusun secara keseluruhan = 26880.

10.x3 x2 + x  2 = 0 akar-akarnya p, q dan r. p + q + r = 1

pq + pr + qr = 1 pqr = 2

Alt ernat if 1 :

(p + q + r)3 = p3 + q3 + 3 + 3p2q + 3p2r + 3pq2 + 3pr2 + 3q2r + 3qr2 + 6pqr (p + q + r)3 = p3 + q3 + r3 + 3(pq + pr + qr)(p + q + )  3pqr

13 = p3 + q3 + r3 + 3(1)(1)  3(2) p3 + q3 + r3 = 4

Alt ernat if 2 :

p2 + q2 + r2 = (p + q + r)2  2(pq + pr + qr) = 12 2  1 = 1 p, q dan r adalah akar-akar persamaan x3  x2 + x  2 = 0 maka p3 p2 + p  2 = 0

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

SMA Neger Didapat p3 + q3 + p3 + q3 + p3 + q3 +  Jadi,

11.m2 + n5 = n5 252  Jika  Jika  Jika Maka pa  Jadi,

12. Misalkan

AD = 2x

Pada ΔA AC2 = AD AC2 = (2x Maka nil  Jadi,

13.Ada 2 ka  Jika Bany 5 ad Bany  Jika Bany Bany Bany Bany Banyakn  Jadi,

ri 5 Bengkul + r3  (p2 + q + r3 + 1 + 1 = + r3 = 4

, p3 + q3 + r3

= 252 denga sehingga n n = 1 maka n = 2 maka n = 3 maka asangan (m, , m + n = 6.

n panj ang BD

cos 15o.

ACD berlaku D2 + DC2 2 x cos 15o)2 + lai AC berga

, belum dap

asus : D sebagai p yaknya cara

a 1.

yaknya cara D bukan seb yaknya cara yaknya cara yaknya cara yaknya cara nya cara men

, banyaknya

lu

2

+ r2) + p + = 6

3

= 4.

an m, n  N  3

m2 = 251. T m2 = 220. T m2 = 9. Nila n) yang mem

D = x. Karen

 AD  DC co + (3  x)2  2

nt ung denga pat dit ent uka

pelari pert am memil ih pe

= 4x3x2x1 = bagai pelari memilih pel memilih pel memilih pel = 3x3x2x1x3 nyusun pela a cara menyu

q + r = 6

Tidak ada m Tidak ada m ai m  N yan menuhi adal

a ADC = 45

s 45o

2(2x cos 15o) an x.

an panj ang A

ma

lari ke-2 ada

= 24 pert ama lari ke-1 ada lari ke-5 ada lari ke-2 ada 3 = 54

ri = 24 + 54 usun pel ari =

 N yang m  N yang m ng memenuh

lah (3, 3).

5o maka AD

)(3  x) cos 4

AC.

a 4, pelari k

a 3. a 3.

a 3 dan pel a

= 78. = 78.

emenuhi. emenuhi. hi hanya m =

DB = 135o se

45o

ke-3 ada 3, p

ari ke-3 ada

E = 3.

ehingga BA

pelari ke-4 a

2 dan pelar

Eddy Herma AD = 15o.

ada 2 dan pe

i ke-4 ada 1

anto, ST elari

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

Solusi SMA Neger 14.H = {20

36 = 729 210 = 102 ∙

p = 36  ( 32  (210 p = 36 ( (24  1) + p = 1492 q = 210

 Jadi,

15.Misalkan dengan A Jelas b persekut Karena M Misalkan AN2 = AR r2 = 52 + 4r = 29  Jadi

16. Jelas ba  Jika Nilai Tet a  Jika  J N

O

ri 5 Bengkul 30, 20 31, 2 dan 37 = 21 24 dan 211 =

∙ ∙

∙ (210 + 29 + 

+ 29 +  + 2 (211  1) + 3 + 30 29 (22 2263 + 49717

36 = 746. 496

, .

n M dan N be AB di R. Jel a

ahwa garis t uan. Jadi, A MA = 13 dan n j ari-j ari Г2

R2 + RN2 (r  2)2

j ari-j ari ling

deng

hwa x, y  0 x < 0 maka

i y yang mem api unt uk y =

x > 0 Jika y < 0

Nilai x yang

Olimpiade

lu

20 32, 20  3 87

2048.

⋯ ∙

+ 1) + 35 (

6

) + 31 (210

5 _

21  (210

2_

1) 78 + 165240

6

ert uurt -t uru as bahwa R

melalui k AR  MR dan

AR = 5 mak = r.

gkaran Г2 =

an x, y  Z

.

menuhi hany = 1 maka

memenuhi h

e Matema

33,, 210 30

dengan q

(210 + 25 +  + 210 +  +  1) + 34  23

+ 54862 + 1

t adalah pus adalah pert e

kedua pusat n AR  RN. ka MR = 12. J

.

ya y = 1

hanya x = 1.

atika Tk P

0

)

= 210 36.

+ 21) + 34  27) + 30  (21

 (28  1) +

7856 + 5760

sat lingkaran engahan AB

t lingkaran

Jadi, RP = 1

Provinsi 2

(210 + 25 + 

10

+ 29) 33  24  (27

0 + 1536 = 2

n Г1danГ₂. . Jadi, AR =

akan mem

dan QR = P

2012

E  + 23) + 33

 1) + 32  2

. 234. 697.

. Misalkan j u RB = 5.

mot ong t eg

Q  RP = 3 

Bagian

Eddy Herma (210 + 25 + 

6 _

(25  1) +

uga MN berp

gak l urus t

 1 = 2.

Pert ama

anto, ST  + 24) +

+ 31  27 

pot ongan

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST

4y  4 = y2 (y + 2)2 = 8

Tidak ada y bulat yang memenuhi.  Jika y > 0

 Jika x  y

x  2

Jika x = 1 maka t idak ada y yang memenuhi. Jika x = 2 maka

4y  2 = y2 (y  2)2 = 2

Tidak ada y bulat yang memenuhi.  Jika y  x

y  2

Jika y = 1 maka t idak ada x bulat yang memenuhi. Jika y = 2 maka yang dipenuhi oleh x = 3. Pasangan (x, y) = (3, 2) memenuhi persamaan.

Banyaknya pasangan bil angan bulat (x, y) yang memenuhi ada 1.

 Jadi, banyaknya pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi ada 1.

17.

Berdasarkan ket aksamaan AM-GM maka

∙ ∙ ∙ 9

 Jadi, nilai minimal dari adalah 9.

18.Lemma _:

Akan dibukt ikan dengan induksi mat emat ika bahwa 4n > 4n2 unt uk n  N dan n > 2. Bukt i :

Jika n = 3 maka 64 = 43 > 4  (3)2 = 36

Andaikan benar unt uk n = k maka diangap benar 4k > 4k2 4k+1 = 4  4k > 16k2 = 4k2 + (k  2)  8k + 16k + 4k2

Karena k > 2 maka 4k+1 = 4  4k > 16k2 = 4k2 + (k  2)  8k + 16k + 4k2 > 4k2 + 8k + 4 = 4(k + 1)2 Maka t erbukt i bahwa j ika 4k > 4k2 maka 4k+1 > 4(k + 1)2 unt uk k > 2.

Jadi, t erbukt i bahwa 4n > 4n2 unt uk n  N dan n > 2 4a + 4a2 + 4 = b2.

Karena ruas kiri habis dibagi 4 maka b genap. Misalkan b = 2m maka 4a-1 + a2 + 1 = m2

Jika a ganj il maka ruas kiri dibagi 4 akan bersisa 2 at au 3 yang t idak memenuhi syarat . Misalkan a = 2n maka

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

Solusi SMA Neger Berdasa (22n-1)2 = (22n-1)2 < (22n-1)2 < Jadi, un yang me Jika n = Jika n = Maka pa  Jadi,

19.Misalkan

Karena  Karena  Karena 

Berdasa

Karena A 2 sin (60

∙ √ c √ cos cot √  = 30o ABC =  Jadi,

20.Bilangan bilangan set ara d pangkat posit if n Karena 4 Karena 1 Karena 4 Karena 2

O

ri 5 Bengkul rkan lemma = 42n-1 < 42n-1 42n-1 + 4n2 + m2 < (22n-1 + nt uk n > 2 m emenuhi.

1 maka 42n-1 2 maka 42n-1 asangan bil an , banyaknya

n BAE = A

CFE = 60o m AFC = 120o BAC = 60o d

rkan dalil si

AB = 2AC ma 0o) = sin cos ∙ s sin √

60o = 30 , besar AB

n pangkat 2 n pangkat 2 dengan men 7. Misalkan n  2012 yan 442 = 1936 d 123 = 1728 d 45 = 1024 da 27 = 128 dan

Olimpiade

lu

unt uk n > 2 + 4n2 + 1 < 4 + 1 < (22n-1 +

+ 1)2

maka m2 t er

1

+ 4n2 + 1 =

1

+ 4n2 + 1 = ngan bulat p a pasangan b

ACD = . Mis

maka AFC

o

dan ACF = dan ACB =

nus pada ΔA

aka (60o + ) sin √ c

0o. C = 30o.

2, pangkat 4 . Bil angan ncarai banya n A, B, C dan

g merupaka dan 452 = 202 dan 133 = 219 an 55 = 3125 n 37 = 2187 m

e Matema

2 maka 42n-1 + 4n + 1 1)2

rlet ak di an

9 = 32. 81 = 92. posit if (a, b) bil angan bul a

salkan j uga p

= 120o. =  maka C 60o +  mak

ABC maka

cos sin

4, pangkat pangkat 9 j aknya bilan n D bert urut n pangkat 2 25 maka ban 97 maka ban maka banya maka banyak

atika Tk P

= (22n-1)2 +

t ara 2 bilan

) yang meme at posit if (a

panj ang AC

CAF = 60o  ka ABC = 6

6, pangkat j uga merupa

gan pangka t -t urut adal a

, pangkat 3, nyaknya ang nyaknya ang aknya anggo knya anggot a

Provinsi 2

2  22n-1 + 1

ngan kuadra

enuhi adalah , b) yang me

= x sehingga

 sehingga 60o.

8 dan pan akan bilang at 2 at au pa

ah himpunan , pangkat 5 ggot a himpun ggot a himpun ot a himpunan a himpunan

2012

E = (22n-1 + 1)2

at berurut an

h (2, 6), (4, emenuhi ada

a panj ang AB

BAC = 60o

ngkat 10 se gan pangkat angkat 3 at n semua ang dan pangka

nan A = A nan B = B n C = C = D = D = 2

Bagian

Eddy Herma

2

n. Maka t ida

18). a 2.

B = 2x.

.

muanya me 3. Jadi, pe t au pangkat ggot a bilang

t 7. = 44. = 12. 4. 2. Pert ama anto, ST ak ada n

erupakan ersoalan t 5 at au

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST

dan j uga pangkat 3 yang berart i merupakan himpunan pangkat 6.

Karena 36 = 729 dan 46 = 4096 maka banyaknya anggot a himpunan AB = AB= 3. Dengan cara yang sama didapat

AC = 2 ; AD = 1 ; BC = 1 ; BD = 1 ; CD = 1. ABC  = 1 ; ABD  = 1 ; ACD  = 1 ; BCD  = 1. ABCD  = 1

ABCD  = A + B + C + D  AB  AC  AD  BC  BD  CD + ABC  + ABD  + ACD  + BCD ABCD .

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

SELEK

TIM O

KSI OLIM

LIMPIAD

Presta

Disus

MPIADE

DE MATE

asi itu dir

SOLU

BAGIA

sun oleh :

TINGKA

EMATIKA

raih bukan

USI SOA

AN KED

Eddy He

AT PROV

A INDON

n didapat

AL

DUA

rmant o, S

VINSI 20

NESIA 20

t !!!

ST

012

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST

BAGIAN KEDUA

1. a, b, x, y bil angan bulat t ak negat if . a + b = xy

x + y = ab

Jika salah sat u di ant ara a, b, x dan y sama dengan 0, t anpa mengurangi keumuman misalkan saj a a = 0 maka x + y = 0 sehingga x = y = 0 dan membuat b = 0.

Jadi, j ika salah sat u di ant ara a, b, x at au y sama dengan 0 maka yang lain akan sama dengan 0. Andaikan bahwa t idak ada sat upun di ant ara a, b, x at au y sama dengan 0.

Karena a dan b simet ris maka dapat diandaikan a  b. Karena a bil angan bulat lebih dari 0 maka x + y = ab  b 2x + 2y  2b

Karena a  b maka xy = a + b  2b 2x + 2y  2b  a + b = xy

Jadi, didapat 2x + 2y  xy (x  2)(y  2)  4

Karena x dan y simet ris maka t anpa mengurangi keumuman dapat dimisallkan x  y. Maka x  4.

 Jika x = 1

a + b = y dan 1 + y = ab 1 + a + b = ab

(a  1)(b  1) = 2

Didapat a = 2 dan b = 3 sehingga y = 5  Jika x = 2

a + b = 2y dan 2 + y = ab 4 + a + b = 2ab

(2a



1)(2b



1) = 9

Didapat a = 1 dan b = 5 sehingga y = 3 at au a = 2 dan b = 2 sehingga y = 2  Jika x = 3

a + b = 3y dan 3 + y = ab 9 + a + b = 3ab

(3a



1)(3b



1) = 28

Didapat a = 1 dan b = 5 sehingga y = 2  Jika x = 4

Maka y = 4

a + b = 16 dan 8 = ab

Tidak ada a dan b bulat yang memenuhi.

 Semua t upel (a, b, x, y) yang memenuhi adalah (0,0,0,0), (1,5,2,3), (1,5,3,2), (2,2,2,2), (2,3,1,5), (2,3,5,1), (3,2,1,5), (3,2,5,1), (5,1,2,3), (5,1,3,2).

2.

Karena akar suat u bil angan t idak mungkin negat if maka x, y, z  1.

Alt ernat if 1 :

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

4 Solusi SMA Neger Karena x Karena y Dengan Jadi, t ri

Alt ernat

Karena x Jelas ba Kalikan xyz  (xy xyz  1 Karena x  Jadi,

3. Misalkan ABC S 9 S = 28 Maka lak Cat at an dengan dipenuh pert emu lebih ba Jika t ida bert emu ABC S 9 S = 31  Jadi,

4. Andaika t it ik-t it i

Misalkan Jelas ba Misalkan

ri 5 Bengkul x real maka y  y2 dan y2 cara yang sa pel bilangan

t if 2 :

x, y, z  1 m hwa y  z2 ket iga persa yz)2

xyz  1 adan , t ripel bilan

n kawan-kaw CDEF = 66  90 + 8

ki-laki t erse : Penulis b

t epat t iga d i haruslah b uan dengan

nyak dari be ak, maka soa u dengan em CDEF = 66 + 90 + 18.

, laki-laki t e

n Ai dengan

k t ersebut a

n Hi pada BC

hwa AiHi aka

n AiHi maksim

Olimpia

lu

y  z2 z 

2 _

y maka h ama didapat n real (x, y, z

maka xyz  1 ; z  x2 dan amaan di at a

n xyz  1 ma ngan real (x

wan laki-laki = 11 6C1  6

80  45 + 18

but pergi ke berkeyakina di ant aranya banyaknya p lima di an ert emu deng al harus diar mpat di ant ar = 11 6C1 + 6

80 + 45 + 18

ersebut mak

i = 1, 2, 3, akan membe

C sehingga Ai

an maksimu mum = y. Sa

de Matem

x2  x  y2 harusl ah y =

t x = z = 1. ) yang mem

n z  y2. as didapat

aka haruysla , y, z) yang m

t ersebut ad 6 6C2 + 4  6

8  10 = 19

e rest oran se n bahwa m a berart i j ug pert emuan

t aranya. Te gan set iap l i

rt ikan bert e ranya. 6 6C2 + 4 6

8 + 10 = 309

an di rest ora

 adalah ku ent uk suat u

iHi t egak lur

m j ika Hi me

aat AiHi = y m

matika Tk

y2 yang dipe

enuhi x = y

h xyz = 1 ya memenuhi x

dal ah A, B, C

6C3 3 6C4

ebanyak 28 k aksud soal ga bert emu dengan sem ernyat a bert ma di ant ar emu dengan

6C3 + 3 6C4

an sebanyak

umpulan t it i lingkaran.

rus BC. erupakan pe maka AB = AC

k Provinsi

enuhi oleh y

= z = 1.

ang dipenuhi

= y = z = 1.

C, D, E dan + 3 6C5  1

kali.

adal ah sepe dengan 2 d muanya pal i

t emu denga ranya, yait u 3 set iap lima

+ 3 6C5 + 10

k 28 kali.

ik-t it ik sehin

ert engahan B C. Misalkan

i 2012

E y = 1.

i hanya j ika .

F, 0 6C6

ert i t ersebu di ant aranya

ng banyak an semuany

3 kali. di ant arany

0 6C6

ngga BAiC

BC.

saj a saat in

Bagia

Eddy Herma x = y = z = 1

ut di at as. B a. Persyarat

harus sama ya sebanyak

ya t idak bera

=  maka ku

ni AB = AC =

an Kedua

anto, ST 1.

Bert emu t an yang dengan k 10 kali

art i j uga

umpulan

w

w

w

.m

a

th

z

o

n

e

.w

e

b

.i

d

SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST

∙ ∙

sin sin cos

cos sin

cos sin

Karena bil angan kuadrat t idak mungkin negat if maka

cos sin sehingga

cos sin

Maka didapat cos



sin



cos



sin



 Jadi, terbukti bahwa





5. Lemma 1 _:

Akan dibukt ikan dengan induksi mat emat ika bahwa 32n+1 > (n + 1)4 unt uk n  N dan n > 1. Bukt i :

 Jika n = 2 maka 443 = 32(2)+1 > (2 + 1)4= 81

 Andaikan bent uk unt uk n = k. Maka 32k+1 > (k + 1)4 dianggap benar unt uk k  N dan k > 1.  32(k+1)+1 = 32 32k+1 > 9(k + 1)4 = 9k4 + 36k3 + 54k2 + 36k + 9 = k4 + 36k3 + 54k2 + 36k + 8k2 + 9

32(k+1)+1 = 32 32k+1 > 9(k + 1)4 = k4 + 36k3 + 54k2 + 36k + 8k2 + 9 > k4 + 8k3 + 24k2 + 32k + 16 32(k+1)+1 = 32 32k+1 > k4 + 8k3 + 24k2 + 32k + 16 = (k + 2)4

Jadi, t erbukt i bahwa 32n+1 > (n + 1)4 unt uk n  N dan n > 1 Lemma 2 :

Akan dibukt ikan dengan induksi mat emat ika bahwa ! unt uk n  N dan n > 1. Bukt i :

 Jika n = 2 maka !

 Andaikan benar unt uk n = k. Maka ! dianggap benar unt uk k  N dan k > 1.  Sesuai lemma 1 maka

! ! ∙

Jadi, t erbukt i bahwa ! unt uk n  N dan n > 1  Jika i = 1

Pi = 2 dan unt uk n = 2 maka ∙ !

Jadi, unt uk i = 1 sehingga Pi = 2 t idak t ermasuk bilangan prima sederhana.

 Jika i > 1 Pi 3

 Jika n = 1

∙ !

Jadi, unt uk n = 1 maka ∙ !

 Jika n > 1

Sesuai l emma 2 _{dan mengingat bahwa Pi > Pi-1 didapat}

!

!

Terbukt i bahwa ∙ ! unt uk i > 1 dan n  N.