Penyelesaian Soal Matematika dengan Pembuktian
Tulisan berikut membahas beberapa cara pembuktian soal-soal matematika.
A. Bukti langsung
Contoh 1.Buktikan bahwa
Jikanadalah bilangan bulat genap, maka juga bilangan bulat genap
Selesaian.
Karenanadalah bilangan bulat genap, maka dapat dituliskan sebagai
n= 2kuntuk suatu ∈ ℤ.
Dengan demikian,
= (2 ) = 4 = 2(2 ),
yang berarti juga merupakan bilangan genap.
Contoh 2.Tunjukkan bahwa
Jikaadanbdua bilangan bulat berurutan, maka + − 1habis dibagi oleh 4.
Selesaian.
Misalkana<b. Makab=a+ 1( mengapa ? )
Dengan demikian,
+ − 1 = + ( + 1) − 1
= + ( + 2 + 1) − 1
= 2 + 2
= 2 ( + 1).
Jikaagenap, maka dapat ditulis a= 2kuntuk suatu ∈ ℤ. Diperoleh
+ − 1 = 2 ( + 1)
=2(2 )(2 + 1)
= 4 (2 + 1),
Selanjutnya, jikaaganjil, maka dapat ditulis a= 2k+ 1, untuk suatu ∈ ℤ.
yang berarti bahwa jikaaganjil, maka + − 1habis dibagi oleh 4.
Dengan demikian, jikaadanbdua bilangan bulat berurutan, maka + − 1
habis dibagi oleh 4.
Contoh 3.Pada gambar di samping, titikOadalah pusat lingkaran yang
berjari-jarir. JikaED = r, buktikan
bahwa
∠DEC:∠AOB= 1 : 3.
Selesaian.
HubungkanODsehingga diperoleh ∆EDO
LATIHAN SOAL
1. Jikanadalah bilangan bulat ganjil, maka juga bilangan bulat ganjil.
2. Buktikan bahwa jumlah dan hasil kali dua bilangan rasional adalah rasional juga.
Apakah jumlah dan hasil kali dua bilangan irasional adalah irasional juga ?
3. Buktikan bahwa + 1 > 0untuk sebarang bilangan realx.
4. JikaOadalah sebarang titik di dalam∆ABC, buktikan bahwaAB+AC>OB+OC 5. Buktikan bahwa
√ √
+
√ √+ ⋯ +
√ √> 24
.Modifikasi soal (bukan soal pembuktian):
Tentukan bilangan asli terbesarnyang memenuhi
a.
√ √+
√ √+ ⋯ +
√ √>
b.
√ √+
√ √+ ⋯ +
√ √>
6. Buktikan bahwa
< ∙ ∙
∙
∙∙∙
<
.7. Diketahui persegi panjangABCD,Padalah titik
tengahABdanQadalah titik padaPDsehingga
CQ⊥PD(lihat gambar di samping). Buktikan
bahwa∆ adalah segitiga sama kaki.
8. Diketahui∆ABCsiku-siku diA, titikDpada
ACdan titikFpadaBC(lihat gambar di
samping). JikaAF⊥BCdan BD = DC = FC = 1,
B. Bukti tidak langsung
Contoh 1.Buktikan bahwa jika habis dibagi 3, makanjuga habis dibagi 3. Selesaian.
Andaikanntidakhabis dibagi 3. Maka kemungkinannya adalah
n= 3k+ 1 atau n= 3k+ 2, untuk suatu ∈ ℤ.
Untukn= 3k+ 1, diperoleh
= (3 + 1) = 9 + 6 + 1 = 3(3 + 2 ) + 1,
yang berarti bahwa tidak habis dibagi 3 (kontradiksi dengan yang diketahui).
Sedangkan untukn= 3k+ 2, diperoleh
= (3 + 2) = 9 + 12 + 4 = 3(3 + 4 + 1) + 1,
yang berarti bahwa tidak habis dibagi 3 (kontradiksidengan yang diketahui).
Ini berarti pengandaian bahwantidak habis dibagi 3 adalah salah.
Jadi haruslahnhabis dibagi 3.
Contoh 2.Buktikan bahwa √2adalah bilangan irasional. Selesaian.
Ilustrasi. Bilangan pecahan (rasional) dapat dituliskan dalam beberapa bentuk yang
senilai misalnya
Dari beberapa bentuk tersebut, kita dapat memilih bentuk pecahan paling
sederhana di mana faktor persekutuan terbesar (FPB) dari pembilang dan
penyebutnya adalah 1 (Misalnya, FPB pembilang dan penyebut dari pecahan
adalah 1, namun FPB pembilang dan penyebut dari pecahan dan keduanya
bukan 1). Pemilihan bentuk paling sederhana dari bilangan pecahan (rasional) akan
Andaikan√2adalah bilangan rasional (pecahan). Maka ada bilangan-bilangan
bulatpositif adanb dengan ≠ 0sehingga
√2 = , dengan FPB dariadanbadalah 1. Selanjutnya,
= √2 ⟺ = 2 ,
yang berarti adalah genap dan karenanyaajuga bilangan genap.
Misalkan a = 2m,untuk suatu ∈ ℤ . Diperoleh
2 = = (2 ) = 4 2 2
2
b m
⇒ = ,
yang berarti adalah genap dan karenanyabjuga bilangan genap.
Misalkan = 2 , untuk suatu ∈ ℤ .
Karenaadan bkeduanya bilangan genap, maka FPB dariadan bbukan 1
(kontradiksi). Jadi pengandaian salah, yang berarti√2adalah bilangan irasional.
LATIHAN SOAL.
1. Jika adalah bilangan bulat genap, makaxjuga bilangan bulat genap
2. Jika adalah bilangan bulat ganjil, makayjuga bilangan bulat ganjil
3. √3, √2 + √3dan
√2
adalah bilangan-bilangan irasional.C. Bukti dengan Contoh Penyangkal Contoh 1.
Benarkah pernyataan “Untuk sebarang bilangan aslin, bilangan + 4 merupakan bilangan prima” ?
Selesaian.
Pilihn= 2, maka + 4 = 2 + 4 = 8bukan prima.
Modifikasi soal (bukan pembuktian dgn contoh penyangkal):
2. Cari bilangan asli terkecilnsehingga + 4merupakan bilangan komposit.
Soal. Selidiki kebenaran pernyataan- pernyataan berikut
( Jika menjawab BENAR, maka harus membuktikan secara umum,
Jika menjawab SALAH, maka harus memberikan 1 contoh penyangkal )
1. Untuksebarangbilangan aslin, + + 1merupakan bilangan prima.
Modifikasi soal:
a. Untuksebarangbilangan aslin, − + 1merupakan bilangan prima. b. Untuksebarangbilangan aslin, + − 1merupakan bilangan prima. c. Untuksebarangbilangan aslin, − − 1merupakan bilangan prima.
2. Fungsig:ℝ →ℝ dengang(a) =a2 adalah fungsi 1-1 (injektif).
Fungsi : → disebutfungsi injektif (satu-satu)jika∀ , ∈ dengan ≠ berlaku ( ) ≠ ( ). Atau dengan bentuk kontrapositif,∀ , ∈
dengan ( ) = ( )berlaku = .
3. Fungsig:ℝ →ℝ dengang(a) =a2 adalah fungsi onto (surjektif).
4. Tentukan kebenaran pernyataan-pernyataan berikut. Berikan penjelasannya.
a. Jumlah suatu bilangan rasional dengan bilangan irasional adalah irasional.
b. Jumlah dua bilangan irasional adalah irasional.
c. Hasil kali suatu bilangan rasional dengan bilangan irasional adalah
irasional.
d. Hasil kali dua bilangan irasional adalah irasional.
D. Bukti dengan Induksi Matematika
Prinsip induksi matematika merupakan suatu alat penting untuk pembuktian
hasil-hasil tentang bilangan-bilangan bulat.
Teorema itu bermakna,
Step 1 (Basis step). Harus ditunjukkan bahwa hasilnya benar untukn= 1.
Step 2 (Induction hypotheses). Diasumsikan bahwa hasilnya benar untukn=k.
Step 3 (Inductive step). Harus ditunjukkan bahwa hasilnya benar untukn=k+ 1.
Teorema 1.2 (Prinsip Pertama Induksi Matematika). Jika suatu himpunan
bilangan bulat positifSmemuat 1, dan untuk setiap bilangan bulat positifn,S
memuatn+ 1 jikaSmemuatnmakaSadalah himpunan semua bilangan asli
Contoh 1.Dengan induksi matematika, tunjukkan bahwa n!≤ nn, ∀ ∈n N.
Penyelesaian.
(i). Untukn= 1: n!= =1! 1 dan 1
1 1
n
n = = . Sehingga berlaku1! ≤ 11.
(ii). Anggap benar untukn=k yaitu berlaku bahwa k!≤ kk
(iii). Akan ditunjukkan benar untukn=k+ 1 yaitu berlaku (k+1)!≤ (k+1)k+1.
(k+1)!= (k+ ⋅ ≤1) k! (k+ ⋅1) kk ≤ (k+1)(k+1)k = (k+1)k+1.
(Lemma: tunjukkan nn ≤ (n +1) ,n ∀ ∈n N)
Teorema itu bermakna,
Step 1 (Basis step). Harus ditunjukkan bahwa hasilnya benar untukn= 1.
Step 2 (Induction hypotheses). Diasumsikan hasilnya benar untukn= 2, 3, …,(k-1),k.
Step 3 (Inductive step). Harus ditunjukkan bahwa hasilnya benar untukn=k+ 1.
Teorema 2 (Prinsip Kedua Induksi Matematika/ Induksi Matematika Kuat). Jika
suatu himpunan bilangan bulat positifSmemuat 1, dan mempunyai sifat bahwa
untuk setiap bilangan bulat positifn, jikaSmemuat semua bilangan bulat positif 1,
2, 3, …,n, makaSjuga memuatn+ 1, adalah himpunan semua bilangan asli positif.
Definisi Rekursif. Suatu fungsi f dikatakanterdefinisi secara rekursifjika nilaifdi
1 adalah khusus dan jika untuk setiap bilangan bulat positifnsuatu aturan
f(1) = 1, f(2) = 5 dan f n( +1) = f n( ) + ⋅2 f n( −1), untuk n > 2.
Tunjukkan bahwa f n( )= 2n+ −( 1) , untuk semuan n∈N
SELESAIAN.
(i). Untuk n= 1. f(1) = 1 dan2 + (−1) = 2 + (−1) = 1.Jadif(1) =2 + (−1) .
Dgn dmk benar untukn= 1.
(ii). Anggap benar untukn= 2, 3, …, (k– 1),k yaitu berlaku
f(n) =2 + (−1) , untukn= 2, 3, … , (k– 1),k.
(iii). Akan dibuktikan benar untukn= k + 1, yaitu berlakuf(k+1) =2 + (−1) .
Bukti:f(k+1) = ( ) + 2 ∙ ( − )
=[ 2 + (−1) ]+ 2∙ [ 2 + (−1) ]
= 2 + 2 +(−1) +2 ∙ (−1)
= 2 ∙ 2 +(−1) [ (−1) + 2 ∙ (−1) ]
= 2 + (−1) .
Teorema itu bermakna,
Step 1 (Basis step). Harus ditunjukkan bahwa hasilnya benar untukn=m.
Step 2 (Induction hypotheses). Diasumsikan bahwa hasilnya benar untukn= k>m.
Teorema 3 (Prinsip Ketiga Induksi Matematika).
Jika suatu himpunan bilangan bulat positifSmemuatm, dan untuk setiap bilangan
bulat positifn>m,Smemuatn+ 1 jikaSmemuatnmakaSadalah himpunan
Step 3 (Inductive step). Harus ditunjukkan bahwa hasilnya benar untukn=k+ 1.
Contoh 3.Gunakan induksi matematika untuk membuktikan 2n< n!, untuk n ≥4.
Penyelesaian.
(i). Untukn= 4: 4
2n=2 =16 dan n!= 4!= 24. Jadi berlaku 24< 4!.
(ii). Anggap benar untukn=k > 4yaitu berlaku bahwa 2k< k!
(iii). Akan ditunjukkan benar untukn=k+ 1 yaitu berlaku 2k+1< (k+1)! .
1
2k+ = 2k⋅ < ⋅ < ⋅ + =2 k! 2 k! (k 1) (k+1)!
Soal-soal Induksi Matematika
6. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa
1
11. LetDbe a function that is defined by
13.Tunjukkan bahwa(2 + √3) + (2 − √3) merupakan bilangan bulat untuk ∈ ℕ.
14. Buktikan bahwa(3 + √5) + (3 − √5) habis dibagi oleh2 untuk setiap ∈ ℕ.
15. Dugalah suatu rumus untuk An di mana 1 1 0 1 A=
.
Buktikan dugaan anda dengan menggunakan induksi matematika.
16. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa
2
17. Carilah rumus jumlah dari
1 1 1 1
...
1 4⋅ +4 7⋅ +7 10⋅ + + (3n−2)(3n+1) .
Kemudian buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika.
18. For what integersn is !> ( )!? Prove your answer by induction.
19. Tunjukkan bahwa + + ⋯ + < 2, untuk setiap ∈ ℕ.
20. Gunakan identitas ( )= − untuk menentukan∑ ( )dan
buktikan hasil penjumlahan deret itu dengan induksi matematika.
21. Gunakan identitas = − untuk menentukan∑ dan
buktikan hasil penjumlahan deret itu dengan induksi matematika.
Rujukan
Rosen, K.H. 2005. “Elementary Number Theory and Its Application 5ed”.
