Penerapan Model Persamaan Diferensial te

Penerapan Model Persamaan

Diferensial terhadap Dinamika Populasi

Ikan Tuna di Laut Banda

Ayunda Annisa Putri, Ilmi Citra Mulyani, Rizqa Khairunnisa

Program Studi Teknik Lingkungan, Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik, Universitas Tanjunpura, Pontianak

1. Pendahuluan

Tuna merupakan anggota dari famili Scombridae. Ada beberapa jenis tuna exportable yang tertangkap dari perairan Indonesia,diantaranya adalah madidihang atau yellowfin tuna (Thunnus albacares), tuna mata besar atau bigeye tuna (Thunnus obesus),albakora atau albacore (Thunnus alalunga) dan tuna sirip biru selatan atau southern bluefin tuna (Thunnus maccoyi). Tuna adalah ikan perenang cepat dan hidup bergerombol (schooling) sewaktu mencari makan. Kecepatan renang ikan dapat mencapai 50 km/jam. Kemampuan renang ini merupakan salah satu faktor yang menyebabkan penyebarannya dapat meliputi skalaruang (wilayah geografis) yang cukup luas, termasuk diantaranya beberapa spesies yang dapat menyebar dan bermigrasi lintas samudera. Pengetahuan mengenai penyebaran tuna sangat penting artinya bagi usaha penangkapannya.

Secara ekologis Laut Banda merupakan daerah ruaya, asuhan, pemangsaan dan pemijahan berbagai jenis ikan tuna terutama ikan tuna mandihang. Kondisi ini didukung oleh letak Laut Banda yang merupakan pertukaran masa air dunia, sesuai pernyataan Gordon (2005) diacu dalam Wagiyo (2015) bahwa Laut Banda mempunyai karakteristik tropis, oseanik, bersifat oligotropik yang dikellingi oleh ekosistem terumbu karang, tempat terjadinya umbalan (up welling) dan pertemuan masa air. Secara sosial ekonomi Laut Banda telah ditetapkan sebagai kawasan segitiga emas lumbung ikan nasional (KKP 2011.b.; Listriana, 2011 diacu dalam Wgiyo 2015).

Menurut Wyrtki (1958) seperti diacu dalam Suharsono (2003) di perairan Laut Banda pada musim timur yaitu antara bulan April sampai September terjadi upwelling dan pada musim barat yaitu antara bulan Oktober sampai Maret terjadi downwelling. Pada musim timur angin bertiup dari timur menuju barat, sehingga menyebabkan arus permukaan mengalir dari Laut Banda menuju Laut Flores dan Laut Jawa. Hal ini menimbulkan pergerakan massa air dari lapisan bawah yang bersuhu lebih dingin ke atas sehingga terjadilah

upwelling. Pada musim barat terjadi sebaliknya, angin bertiup dari barat ke timur dan menyebabkan arus permukaan bergerak dari Laut Jawa, Laut Sulawesi dan Laut Flores menuju ke Laut Banda sehingga menyebabkan terjadinya penumpukan massa air yang besar dan kemudian tenggelam (downwelling). Upwelling ditandai dengan penurunan suhu, kenaikan oksigen, zat hara nitrat, dan fosfat (Rochford, 1962 diacu dalam Suharsono,2003). Terjadinya penurunan suhu pada saat upwelling diperkuat oleh pengamatan variasi suhu musiman yang dilakukan di Banda Timur yang menunjukkan bahwa terjadi penurunan suhu sebesar 26 C pada bulan Juni hingga September⁰

dan suhu maksimum terjadi pada bulan November (Boely et al., 1990 diacu dalam Suharsono, 2003). Meningkatnya oksigen dan nutrien pada musim timur ini menyebabkan terjadinya peningkatan produktivitas primer dan jumlah plankton hingga 2 hingga 3 kali apabila dibandingkan dengan musim barat (Arinardi, 1999 diacu dalam Suharsono, 2003). Peningkatan jumlah biomassa plankton tersebut secara tidak langsungmemberi pengaruh pada meningkatnya produksi ikan pelagis besar. Pada saat terjadinya upwelling produksi ikan pelagis meningkat sebesar 4 hingga 5 kali apabila dibandingkan dengan musim barat. Sehingga hasil tangkapan ikan tuna nelayan Kepulauan Banda meningkat pada musim timur dan mencapai puncaknya pada awal musim barat yaitu antara bulan Oktober-November (Amin dan Nugroho, 1990 diacu dalam Suharsono, 2003).

yang baik. Ikan ini juga termasuk ikan pelagis oseanik yang melakukan migrasi ke berbagai perairan samudera. Hidupnya terutama di perairan subtropis, yang berada pada kisaran suhu 13° - 29° C. Selain untuk mencari makan, ikan tuna dewasa juga melakukan migrasi untuk bertelur. Untuk tujuan ini, ikan tuna mencari tempat yang bersuhu relatif tinggi. Ini disebabkan telur-telur ikan tuna dapat berkembang optimum selain didukung faktor ketersediaan makanan.

Widodo dkk. (1988) mencatat bahwa sumberdaya ikan tuna merupakan sumberdaya yang memiliki batas oleh karena itu diperlukan pengelolaan yang tepat untuk dapat memanfaatkan sumberdaya tersebut untuk kurun waktu yang lama. Pengelolaan sumberdaya ikan adalah suatu proses yang terintegrasi mulai dari pengumpulan informasi, analisis, perencanaan, konsultasi, pengambilan keputusan, alokasi sumberdaya dan implementasinya dalam rangka menjamin kelangsungan produktivitas serta pencapaian tujuan pengelolaan. Namun, meskipun demikian masih ada saja oknum-oknum tertentu yang melakukan eksploitasi pada ikan tuna terutama pada jenis ikan tuna madidihang. Eksploitasi pada perikanan tuna permukaan biasanya menggunakan alat tangkap berupa pukat cincin.

Matematika merupakan ilmu dasar yang sering dipakai dalam menyelesaikan masalah dalam berbagai bidang ilmu. Dalam bidang teknik lingkungan, matematika dapat digunakan sebagai alat untuk mengetahui seberapa cepat suatu populasi itu tumbuh agar dapat diketahui dampaknya bagi sebuah ekosistem.

Pertumbuhan populasi ditandai dengan adanya perubahan jumlah populasi di setiap waktu yang dipengaruhi oleh jumlah kematian, kelahiran serta perpindahan (migrasi). Selain membutuhkan pengamatan dalam jangka waktu tertentu, perhitungan mengenai perkembangan jumlah populasi juga penting dilakukan untuk mengetahui laju pertumbuhan spesies tersebut. Salah satu cabang ilmu matematika yang dapat membantu menyelesaikan permasalahan tersebut adalah pemodelan matematika (Aprilia, 2017).

Dalam penerapan pemodelan matematika terdapat beberapa model pertumbuhan, salah satunya adalah model pertumbuhan kontinu. Model kontinu terbagi dua yaitu model eksponensial dan model logistik. Dalam pertumbuhan populasi, model pertumbuhan logistik mempunyai hasil estimasi yang lebih baik dibanding dengan model pertumbuhan eksponensial. Dalam penggunaan model logistik ini batas populasi dimasukkan dalam perhitungan sehingga jumlah populasi dengan model ini tidak akan tumbuh secara tak terhingga (Aprilia, 2017).

Menurut Clark (1976), Murray (1993) dan Kreyszig (1993), jika dimisalkan x(t) adalah populasi ikan pada waktu t , maka tingkat pertumbuhan populasi ikan terhadap waktu t pada suatu daerah tertentu dapat dituliskan sebagai berikut

dx

/

dt

=

kelahiran

−

kematian

+

migrasi

Model sederhana tingkat pertumbuhan populasi tanpa migrasi dapat dituliskan seperti berikut

dx

/

dt

=(

n

−

m

)

x

=

Rx

(1.1)

dengan n,m adalah konstanta positif yang masing-masing menyatakan tingkat kelahiran dan kematian populasi ikan dan R adalah parameter yang menyatakan pertumbuhan alamiah ikan (kelahiran dikurangi kematian) dan diasumsikan positif. Adanya persaingan antar individu, keterbatasan ruang, keterbatasan makanan dan keterbatasan sumber daya lainnya akan mempengaruhi pertumbuhan populasi ikan.

Untuk itu model yang lebih baik adalah model pertumbuhan logistik yang diperkenalkan oleh P.F. Velhurst, yaitu

dx

/

dt

=

Rx

−

ax

2

; R

>0,

a

>

0

(1.2) dengan

₋

_{a x}

2 merupakan faktor pengendali yang dimaksudkan untuk mencegah terjadinya ledakan populasi. Dengan a menyatakan konstanta rata-rata pertemuan dua individu dalam populasi per satuan waktu. Misalkan dalam populasi ada x individu, dan daya dukung lingkungan K dimasukkan ke dalam model, maka lingkungan masih dapat mendukung K - x individu. Jadi masih ada bagian lingkungan yang masih bisa diisi

sebesar

K

−

x

K

. Bagian inilah yang sebanding dengan pertumbuhan populasi. Oleh karena itu logistik. Sebagai keterangan K - R / a menyatakan daya dukung lingkungan atau titik maksimum dimana laju pertumbuhan akan menurun bahkan berhenti. (Lestari, 2009)

Ukuran populasi menyatakan banyaknya individu anggota populasi di suatu daerah tertentu. Jika daerah penyebaran populasi luas sehingga pengukuran populasi secara menyeluruh sulit di lakukan, besarnya ukuran populasi yang di gunakan adalah kepadatan populasi, yang menyatakan individu persatuan luas tertentu. Ukuran dan kepadatan populasi dapat di ukur dengan metode sensus, sampling atau pengukuran nisbi.Populasi dapat tumbuh cepat atau lambat. Kecepatan pertumbuhan populasi di tentukan dengan perbedaan angka kelahiran dan angka kematian. Kecepatan pertumbuhan populasi itu di pengaruhi oleh jumlah kematian sebelum mencapai umur reproduktif, dan ketahanan hidup pada umur tertentu.

Penggambaran yang lebih realistik dapat disajikan dengan piramida biomassa. Biomassa adalah ukuran berat materi hidup di waktu tertentu. Untuk mengukur biomassa di tiap tingkat trofik maka rata-rata berat organisme di tiap tingkat harus diukur kemudian barulah jumlah organisme di tiap tingkat diperkirakan. Piramida biomassa berfungsi menggambarkan perpaduan massa seluruh organisme di habitat tertentu, dan diukur dalam gram. Untuk menghindari kerusakan habitat maka biasanya hanya diambil sedikit sampel dan diukur, kemudian total seluruh biomassa dihitung. Dengan pengukuran seperti ini akan didapat informasi yang lebih akurat tentang apa yang terjadi pada ekosistem.

2. Pembahasan

2.1 Biomassa Perikanan Tuna di Laut Banda

Laut Banda merupakan tempat bertelur bagi 68% Ikan Tuna yang ada di Indonesia. Oleh karena itu, Menteri Kelautan dan Perikanan Republik Indonesia sangat melarang adanya penangkapan ikan di Laut Banda.

Perikanan Tuna Laut Banda dimodelkan dengan persamaan diferensial :

��/��=�y(1−�/�) (2.1)

Persamaan diferensial tersebut melambangkan laju pertumbuhan biomassa Ikan Tuna yang terjadi di laut Banda. Dari persamaan matematis (2.1) terlihat bahwa dalam keadaan seimbang, populasi akan sama dengan daya dukung lingkungan, sedangkan maksimum pertumbuhan akan terjadi pada kondisi setengah daya dukung lingkungan.

Pada persamaan (2.1), (�) menyatakan biomassa (massa total anggota populasi) ikan dalam kilogram pada saat � (dalam tahun). Nilai dari (�) merupakan hasil dari pengintegralan persamaan di atas, yang merupakan

model pertumbuhan logistik. Kapasitas tampung diperkirakan sebesar = 8 × �

107 _{��, dan = 0,71 per tahun. � k merupakan} konstanta positif yang menyatakan tingkat kelahiran dan kematian populasi ikan, adanya persaingan antar individu, keterbatasan ruang, keterbatasan makanan dan keterbatasan sumber daya lainnya yang dalam hal ini telah ditentukan sebesar 0,71 per tahun. angka ini bukan angka yang sembarang dicantumkan, tetapi telah dilalui penelitian terlebih dahulu.

Apabila (0) = 2 × 107 _{��, biomassa setahun}

kemudian dapat diketahui menggunakan persamaan

(2.1) yang telah diintegralkan melalui pengintegralan terpisahkan, sehingga diperoleh persamaan (2.2). karena itu, untuk mengetahui biomassa ikan tuna setahun yang akan datang dengan cara mensubtitusikan nilai k,K, dan y(0) yang telah diketahui dan beserta nilai t=1, karena untuk mengetahui biomassa setahun dari y(0).

y

(

1

)=

8

×

10

Maka, biomassa ikan Tuna di Laut Banda setahun kemudian adalah 32.324.112,71

kg.

berapa lama waktu yang dibutuhkan oleh biomassa untuk mencapai jumlah 4 × 107 _{kg dengan cara :}

y (t) =

K

e

−kt

(

K

yo

−1

)

+1

4

×

10

7

=

8

x

10

7

e

−0,71t

(

8

x

10

7

2

x

10

7

−1

)

+1

4

×

10

7

=

8

x

10

7

e

−0,71t

(

3)+1

8

x

10

7

4

×

10

7

=

e

−0,71t

₍

3

)+1

2=

e

−0,71t

₍

3)+1

1=

e

−0,71t

(3)

1

3

=

e

−0,71t

t

=

1,8

Jadi dapat diketahui bahwa biomassa ikan Tuna di Laut Banda akan mencapai jumlah 4 × 107 _{dalam waktu sekitar 1,8}

tahun kemudian. Informasi ini dapat digunakan untuk menentukan waktu yang tepat untuk melakukan pemanenan serta banyaknya ikan yang dipanen agar jumlah ikan Tuna di Laut Banda tetap terjaga.

2.2 Model Pertumbuhan Musiman

Pertumbuhan jumlah populasi ikan tuna ini dapat dinyatakan dalam suatu model persamaan diferensial dengan menyisipkan faktor-faktor yang dianggap berpengaruh terhadap pertumbuhan ikan tuna di Laut Banda antara lain eksploitasi, kelahiran, dan lingkungannya (suhu, salinitas, nutrien, dan lain-lain). Maka, hubungan antar faktor yang mempengaruhi jumlah ikan tuna di Laut Banda dapat digambarkan dengan rumus;

dy

dt

=

k y

cos

(

rt

−

∅

)

(2.3)

Selain itu, dalam menyatakan permodelan pertumbuhan ikan tuna dilakukan diskusi dan

pencarian sumber yang sesuai. Selain itu, permodelan ini juga ditunjang dengan alat berupa aplikasi online medan arah yang bersumber dari web www.bluffton.edu (Slope and Direction). Sehingga ditemukan kurva dari grafik solusi medan arah yang mewakili pertumbuhan ikan tuna sebagai berikut;

Gambar 1. Faktor Pertumbuhan Seimbang

Maka didapatkanlah grafik medan arah yang merupakan hasil dari rumus fungsi;

dy

dt

=5

y

cos

(4,5

t

−

4)

(2.4)

Rumus fungsi dan grafik tersebut didapatkan dari asumsi kelompok (secara random) mengenai faktor yang dapat mempengaruhi pertumbuhan jumlah populasi ikan tuna yaitu k yang bernilai 5 dinyatakan sebagai faktor penangkapan, r yang bernilai 4,5 dinyatakan sebagai faktor kelahiran, dan

_∅

yang bernilai -4 dinyatakan sebagai faktor lingkungan yang dapat mempengaruhi.

Pada gambar 1 terlihat bahwa grafik kurva berada pada posisi seimbang. Faktor-faktor yang mempengaruhi jumlah populasi ikan tuna di Laut Banda dianggap berada pada intensitas yang seharusnya dimana kelahiran lebih tinggi dari eksploitasi dan lingkungan yang memadai yaitu suhu yang cukup rendah, tersedianya nutrien yang melimpah, dan lainnya. Hal ini dapat dibuktikan dengan titik infleksi atau titik belok yang menunjukkan menurunnya suatu pertumbuhan atau jumlah populasi pada garis tengah grafik.

Gambar 2. Nilai k diperbesar

Maka didapatkanlah sebuah grafik dari rumus fungsi;

dy

dt

=7,5

y

cos

(4,5

t

−

4)

(2.5)

Rumus fungsi dan grafik tersebut didapatkan dari asumsi kelompok (secara random) mengenai faktor yang dapat mempengaruhi pertumbuhan jumlah populasi ikan tuna yaitu k yang bernilai 7,5 dinyatakan sebagai faktor penangkapan, r yang bernilai 4,5 dinyatakan sebagai faktor kelahiran, dan

∅

yang bernilai -4 dinyatakan sebagai faktor lingkungan yang dapat mempengaruhi. Pada gambar 2 terlihat bahwa titik belok terjadi sebelum garis tengah. Maka dapat diasumsikan bahwa, jika eksploitasi dilakukan secara berlebihan atau menggunakan alat tangkap yang tidak ramah lingkungan dapat menyebabkan populasi ikan tuna menurun sebelum siklus yang seharusnya.

Selanjutnya, dibuat permodelan jika natalitas dan eksploitasi seimbang namun lingkungan untuk tumbuh tidak memadai, dengan memperkecil

∅

, maka dihasilkan;

Gambar 3. Nilai

∅

diperkecil

Maka didapatkanlah sebuah grafik dari rumus fungsi;

dy

dt

=5

y

cos

(4,5

t

−3)

(2.6)

Rumus fungsi dan grafik tersebut didapatkan dari asumsi kelompok (secara random) mengenai faktor yang dapat mempengaruhi pertumbuhan jumlah populasi ikan tuna yaitu k yang bernilai 5 dinyatakan sebagai faktor penangkapan, r yang bernilai 4,5 dinyatakan sebagai faktor kelahiran, dan

∅

yang bernilai -3 dinyatakan sebagai faktor lingkungan yang dapat mempengaruhi. Dengan memperkecil nilai

_∅

dapat dilihat bahwa populasi ikan tuna juga dapat menurun karena lingkungan tempat hidupnya tidak memadai. Banyak faktor yang dapat mempengaruhi nilai lingkungan antara lain bencana alam atau terjadinya kerusakan atau pencemaran pada laut.

Daftar Pustaka

Aprilia, Zefni. 2017. Kestabilan Pertumbuhan Populasi Ikan Lele dengan Model Verhulst.

Bandar Lampung: Universitas Lampung Clark C.W. 1976. Mathematical Bioeconomics:

The Optimal Management of Renewable Resources. Jolin Wiley and Sons. New York.

Kreyzig E. 1993. Matematika Teknik Lanjutan. Edisi Keenam. Jilid 1. Erlangga: Jakarta. Lestari,Dian. 2009. Model Pemanenan dalam

Menejemen Perikanan. Bogor: Institut Pertanian Bogor.

Murray J.D. 1993. Mathematical Biology. Second, Corrected Edition. SpringerVerlag. Berlin. Heidelberg.

Suharsono. 2003. Kondisi Terumbu Karang di Kepulauan Banda dan Suksesi Karang di Bekas Muntahan Lahar Pulau Gunung Api.Jurnal Pesisir dan Lautan. Vol 5 No 1. ISSN 1410.7821.

Sumberdaya Perairan Indonesia). Ternate : Faperta UMMU.

Wagiyo, Karsono. Dkk. 2015. Sebaran&Hubungan Parameter Reproduksi Ikan Tuna Mandidihang (Thunnus Albacares) dengan Suhu dan Klorofil-a di Laut Banda. . Jakarta: Balai Penelitian Perikanan Laut Widodo, J. 1988. Pengelolaan Sumberdaya