FUNGSI dan limit fungsi str uktur

(1)

Bab II

FUNGSI

oleh:

(2)

RELASI DAN FUNGSI

• _{Pemetaan (relasi) : Operasi yang memetakan}

anggota himpunan asal (domain) ke anggota

himpunan hasil (kodomain).

• _{Fungsi: Operasi yang memetakan setiap}

anggota himpunan asal (domain) ke hanya

satu anggota himpunan hasil (kodomain).

(3)

RELASI

(4)

RELASI

(5)

RELASI

Ada tiga cara dalam menyatakan suatu relasi :

a. Diagram panah

(6)

CONTOH

Diketahui himpunan A = {1,2,3,4,5} dan

himpunan B = {becak, mobil, sepeda,

motor,bemo}. Relasi yang menghubungkan

himpunan A ke himpunan B adalah “banyak

roda dari”. Tunjukkan relasi tersebut

dengan:

a.Diagram panah

(7)

CONTOH

Jawab:

a. Diagram panah

“banyak roda dari”

1.

c. Diagram

Cartesius

(8)

Pengertian Fungsi :

Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi

yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal , dengan

elemen pada B

.

B

f

A

(9)

Beberapa cara penyajian fungsi

:

• Dengan diagram panah

_{Dengan diagram panah}

• f : D

_{f : D}



K. Lambang fungsi tidak harus f.

Misalnya,

u

_n_n

= n

2 2

+ 2n atau u(n) = n

2 2

+ 2n

• Dengan diagram Kartesius

_{Dengan diagram Kartesius}

• Himpunan pasangan berurutan

_{Himpunan pasangan berurutan}

• Dalam bentuk tabel

_{Dalam bentuk tabel}

(10)

Contoh :

grafik fungsi

• 4 disebut bayangan

_{4 disebut bayangan}

(peta) dari 2 dan juga

dari –2.

• –

_–

2 dan 2 disebut

prapeta dari 4, dan

(11)

Beberapa Fungsi Khusus

• _{1). Fungsi Konstan}

_{1). Fungsi Konstan}

• _{2). Fungsi Identitas}

_{2). Fungsi Identitas}

• _{3). Fungsi Modulus}

_{3). Fungsi Modulus}

• _{4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil}

_{4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil}

Fungsi genap jika f(



x) = f(x), dan

_{x) = f(x), dan}

Fungsi ganjil jika f(



x) =



f(x)

• 5). Fungsi Linear

_{5). Fungsi Linear}

• 6). Fungsi Kuadrat

_{6). Fungsi Kuadrat}

• 7). Fungsi Turunan

_{7). Fungsi Turunan}

(12)

Jenis Fungsi

1.Injektif ( Satu-satu)

Fungsi f:A



B adalah fungsi injektif apabila setiap dua elemen

yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang

berbeda di B. Misalnya Fungsi f(x) = 2x

adalah fungsi satu-satu adalah fungsi satu-satu

dan f(x) = x

22 bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-2) = f(2)._{bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-2) = f(2).}

2. Surjektif (Onto)

3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

Apabila f: A



B merupakan fungsi injektif dan surjektif maka

“

f adalah fungsi yang bijektif”

(13)

FUNGSI LINEAR

1.Bentuk Umum Fungsi Linear

Fungsi ini memetakan setiap x R kesuatu bentuk ax + b dengan a ≠ 0, a dan b konstanta.



Grafiknya berbentuk garis lurus yang disebut grafik fungsi linear dengan Persamaan y = mx + c, m disebut gradien dan c konstanta

2. Grafik Fungsi Linear

Cara menggambar grafik fungsi linear ada 2 : 1. Dengan tabel

(14)

FUNGSI LINEAR

Contoh :

Suatu fungsi linear ditentukan oleh y = 4x – 2 dengan daerah asal

a. Buat tabel titik-titik yang memenuhi persamaan diatas .

b. Gambarlah titik-titik tersebut dalam diagram Cartesius.

c. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y.





Jawab

a. Ambil sembarang titik pada domain

Jadi, grafik fungsi melalui titik-titik (-1,-6), (0,-2), (1,2), (2,6) {x \ -1 x 2, x R}.

-1 0 1 2

X

2

-6 -2

(15)

FUNGSI LINEAR

Jadi titik potong dengan sumbu X adalah ( ½,0)

Titik potong dengan sumbu Y ( x = 0 ) y = 4x – 2

y = 4(0) – 2 y = -2

Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (0,-2)

(16)

FUNGSI LINEAR

3.

Gradien Persamaan Garis Lurus

Cara menentukan gradien :

(i). Persamaan bentuk y = mx+c, gradiennya adalah m.

(ii). Persamaan bentuk ax+by+c=0 atau ax+by=-c adalah m=

(iii). Persamaan garis lurus melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2), gradiennya

1. Tentukan gradien persamaan garis berikut a. y = 3x – 4

b. 2x – 5y = 7

(17)

(18)

FUNGSI LINEAR

4. Menentukan Persamaan Garis Lurus

• Persamaan garis melalui sebuah titik (x1,y1) dan gradien m adalah

y – y1 = m ( x – x1 )

Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( -2, 1 ) dan gradien -2

Jawab :

y – y₁= m ( x – x₁ ) y – 1 = -2 ( x – (-2)) y - 1 = -2x – 4

(19)

FUNGSI LINEAR

Contoh 2 :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(-2, 3) dan Q(1,4)

(20)

FUNGSI LINEAR

5. Kedudukan dua garis lurus

• Dua garis saling berpotongan jika m1 ≠ m2 • Dua garis saling sejajar jika m1 = m2

• Dua garis saling tegak lurus jika m1. m2 = -1 atau m1 = - 2 1

m

Contoh :

1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,-3) dan sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0

(21)

FUNGSI LINEAR

Jawab :

1. Diketahui persamaan garis x – 2y + 3 = 0

maka

Persamaan garis melalui titik (2,-3) dan gradien adalah

y – y

1

= m ( x – x

1

)

y + 3 = ½ ( x – 2 )

y + 3 = ½ x – 1

2y + 6 = x – 2

x – 2y – 8 = 0

(22)

FUNGSI LINEAR

2. Diketahui persamaan garis 6x – 3y – 10 = 0.

Persamaan garis lurus yang dicari melalui titik (-3,5) dan bergradien -½, maka persamaannya adalah

y – y1 = m(x – x1)

(23)

FUNGSI KUADRAT

1.Bentuk umum fungsi kuadrat

y = f(x)



ax

2

+bx+c dengan a,b, c



R dan a



0 Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris

2. Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat Berdasarkan nilai a

(i) Jika a > 0 (positif), maka grafik terbuka ke atas. Fungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim minimum, dinotasikan y_min atau titik balik minimum.

(24)

FUNGSI KUADRAT

Hubungan antara D dengan titik potong grafik dengan sumbu X

(i) Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu X di dua titik yang berbeda. (ii) Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu X di sebuah titik.

(iii) Jika D < 0 maka grafik tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu X.

Berdasarkan Nilai Diskriminan (D)

(25)

Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X

X

(i) (ii) _X

X (iii)

a > 0 D > 0

a > 0

D = 0 _{D < 0}a > 0

X

(iv)

X

(v)

a < 0 D > 0

a < 0 D = 0

X

(vi) _{D < 0}a < 0

(26)

3. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat :

(i) Menentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0) (ii) Menentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0) (iii) Menentukan sumbu simetri dan koordinat titik balik

• _{Persamaan sumbu simetri adalah x =}

• _{Koordinat titik puncak / titik balik adalah}

(iv) Menentukan beberapa titik bantu lainnya (jika di perlukan)

(27)

FUNGSI KUADRAT

Contoh :



Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x – 5.

Jawab :

(i) Titik potong dengan sumbu X (y = 0) x2_{– 4x – 5 = 0}

(x + 1)(x – 5) = 0 x = -1 atau x = 5

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah titik (-1, 0) dan (5, 0).



(ii) Titik potong dengan sumbu Y (x = 0) y = 02 _{– 4(0) – 5}

y = -5

(28)

FUNGSI KUADRAT

(iii) Sumbu simetri dan koordinat titik balik

Jadi, sumbu simetrinya x = 2 dan koordinat titik baliknya (2, -9).

(29)

FUNGSI KUADRAT

Grafiknya :

Y

X -1 0 1 2 3 4 5

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

-9 _•

• •

•

(30)

FUNGSI KUADRAT

Persamaan fungsi kuadrat f(x) =ax2 + bx + c apabila diketahui grafik fungsi

melalui tiga titik



Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (1,-4), (0,-3) dan (4,5)

Jawab:

f(x) = ax2_{+ bx + c}

f(1) = a(1)2_{+ b(1) + c = -4}

a + b + c = -4 . . . 1)

f(0) = a(0)2_{+ b(0) + c =}

0 + 0 + c = -3 c = -3 . . . 2)

f(4) = a(4)2_{+ b(4) + c = 5}

16a + 4b + c = =5 . . . 3)



(31)

FUNGSI KUADRAT

Substitusi 2) ke 1)

a + b – 3 = -4 a + b = -1 . . . 4)

Substitusi 2) ke 3) 16a + 4b – 3 = 5 16a + 4b = 8 . . . 5)



Dari 4) dan 5) diperoleh :

a + b = -1 x 4 4a + 4b = -4 16a + 4b = 8 x 1 16a + 4b = 8 _ -12a = -12 a = 1

Substitusi a = 1 ke 4)

1 + b = -1 b = -2

(32)

FUNGSI KUADRAT

Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax

2

+ bx + c apabila

diketahui dua titik potong terhadap sumbu X dan satu titik

lainnya dapat ditentukan dengan rumus berikut .

)

2 )(

1 (

)

(

x

a

x

f





Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong

sumbu X di titik A (1,0), B(-3,0), dan memotong sumbu

Y di titik (0,3)

(33)

FUNGSI KUADRAT

Jawab :

Titik (1,0) dan (-3,0) disubstitusikan ke f(x) menjadi : f(x) = a(x – 1)(x + 3) . . . 1)

Kemudian subsitusikan (0,3) ke persamaan 1) menjadi :

3 = a(0 - 1)(x + 3) 3 = -3a

a = -1

Persamaan fungsi kuadratnya menjadi :

Jadi fungsi kuadratnya adalah

(34)

FUNGSI KUADRAT

Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax

2

+ bx + c

apabila diketahui titik puncak grafik (x

p’

y

p

) dan

satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumus

berikut.

p

y

x

a

x

(35)

FUNGSI KUADRAT

f(x) = a(x – x

p

)

2

+ y

p

(xp , yp) = (-1, 9)

f(x) = a(x + 1 )

2

+ 9 . . .

1)

Subsitusikan titik (3,-7) ke persamaan

1)

menjadi :

-7 = a(3 + 1)

2

+ 9

-16 = 16 a

a = -1

Jawab :

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik puncaknya (-1, 9) dan

melalui (3, -7)

Contoh :



(36)

FUNGSI INVERS

• _{Pengertian Invers}

Misal f: A B

maka invers fungsi f dinyatakan dengan

f

-1-1

:

B A

(37)

FUNGSI INVERS

10 x 5 +2 52

x x 5 +2 5x+2=y

f : x 5x+2=y

f

-1 -1

: x (x-2)/5

(38)

FUNGSI INVERS

x x5 +2 5x+2=y

f : x 5x+2=y

5x=y-2

x=(y-2)/5

f

-1 -1

(y)= (y-2)/5

f

-1 -1

(x)= (x-2)/5

f

(39)

FUNGSI INVERS

Soal Latihan

1.y = 5x + 10

(40)

FUNGSI TRIGONOMETRI

• _{Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan}

Selisih Dua Sudut

• _{Rumus Trigonometri untuk sudut ganda}

• _{Perkalian, Penjumlahan, serta Pengurangan}

(41)

Rumus Trigonometri

untuk Jumlah dan

Selisih Dua Sudut

Rumus untuk Cos (

A

_{± B)}

cos(A+B)=cos A cos B - sin A sin B

cos (A-B)=cos A cos B + sin A sin B

Rumus untuk sin (

A

± B)

sin(A+B)=sin A cos B + cos A sin B

sin (A-B)=sin A cos B – cos A sin B

Rumus untuk tan (

A

_{± B)}

(42)

RUMUS TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT

GANDA

Rumus untuk sin 2A

sin 2A = 2 sin a cos A

Rumus untuk cos 2A

cos 2A = 1- 2 sin

2

A

Rumus untuk tan 2A

(43)

Perkalian, Penjumlahan, serta

Pengurangan Sinus dan Kosinus

Perkalian Sinus dan Kosinus

(44)

Perkalian, Penjumlahan, serta

Pengurangan Sinus dan Kosinus

Penjumlahan dan Pengurangan Sinus

(45)

Contoh soal trigonometri

1. cos (3p + 4q)= cos 3p cos 4q – sin 3p sin 4q

2. 2 sin

50

0

cos 20

0

= sin (

50

0

+

20

0

) + sin

(

50

0

-20

0

)=

sin (

70

0

) + sin

(

30

0

)

3. cos

60

0

+ cos 20

0

=

2 cos ½ (60+20) cos ½

(46)

Latihan Soal

Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator,

hitunglah nilai-nilai d bawah ini

a. sin

75

0

b. cos

15

0

c. 2 sin

75

0

cos

15

0

d. sin p – sin (p + )

(47)

FUNGSI EKSPONEN

(48)

FUNGSI EKSPONEN

Grafik f: x



f(x) = 2

x

untuk x bulat dalam [0,5]

adalah:

x

2

X

O

Y

(0,1) (1,2)

(2,4) (3,8)

(4,16) (5,32)

(1,2) (2,4)

(3,8) (4,16)

(5,32)

x ₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅

(49)

(50)

FUNGSI EKSPONEN

Kedua grafik melalui titik (0, 1)

Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y

Grafik f: x



2

x

_{merupakan grafik}

naik/mendaki dan grafik g: x



merupakan grafik yang menurun, dan

keduanya berada di atas sumbu X

(nilai fungsi senantiasa positif)

Dari kurva tersebut dapat dicari berbagai

nilai 2

x

_{dan nilai}

Sebaliknya dapat dicari pangkat dari 2 jika hasil perpangkatannya diketahui.

Atau: menentukan nilai logaritma suatu bilangan dengan pokok logaritma 2.

untuk berbagai nilai x real

(51)

FUNGSI LOGARITMA

• _{Logaritma merupakan kebalikan dari eksponen.}

Fungsi logaritma juga merupakan kebalikan dari fungsi eksponen.



x

f

(

)



a

log

Secara umum fungsi logaritma didefinisikan sebagai berikut :

(52)

FUNGSI LOGARITMA

Secara visual grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah sebagai

berikut :

x

a y 

o

Y

X

x y a_log

(53)

FUNGSI LOGARITMA

Contoh 1 :



Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk logaritma yang ekivalen a. 8 = 23

(54)

FUNGSI LOGARITMA

Contoh 3 :

Jawab :

Sebelum menggambar grafik kita dapat menggunakan bantuan tabel berikut. Gambarkan grafik fungsi f(x) = 2 _{log x+2}

x

¼ ½ 1

2 4

8

f(x) = 2_{log x+2}

0 1 2

3 4

(55)

FUNGSI LOGARITMA

Grafiknya

2 log

)

(_x _2 _x_

f

Y

X O ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ _{9 10}

(56)

0

1 -1

90

0

180

0

270

0

360

0

Grafik y = sin x

amplitudo

1 periode

FUNGSI

(57)

0

1 -1

90

0

180

0

270

0

360

0

Grafik y = 2 sin x

2 -2

Periode 360

0

Amlpitudo 2

Y=sin x

FUNGSI

(58)

0

1 -1

90

0

180

0

270

0

360

0

Y=sin x

45

0

135

0

225

0

315

0

pereode

amplitudo

Grafik y = sin 2x

FUNGSI

(59)

-90

0

1 -1

0

90

0

180

0

270

0

Grafik y = cos x

amplitudo

1 periode

FUNGSI

TRIGONOMETRI

-90

0

(60)

Grafik y = 2cos x

-90

0

1 -1

0

90

0

180

0

270

0