BENTUK OPTIMAL METODE POTRA PTAK

(1)

BENTUK OPTIMAL METODE POTRA-PTAK

BEBAS TURUNAN

SKRIPSI

OLEH

NURISNA SARI

NIM. 1003113286

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

(2)

BENTUK OPTIMAL METODE POTRA-PTAK

BEBAS TURUNAN

SKRIPSI

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains

OLEH

NURISNA SARI

NIM. 1003113286

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

(3)

BENTUK OPTIMAL METODE POTRA-PTAK

BEBAS TURUNAN

Disetujui oleh:

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. Imran M., M.Sc Zulkarnain, M.Si NIP. 19640505 199002 1001 NIP. 19871027 201212 1001

Diketahui oleh: Ketua Jurusan Matematika

(4)

Skripsi ini telah diuji oleh Tim Penguji Ujian Sarjana Sains Program Studi S1 Matematika

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Pekanbaru

Pada Tanggal

Tim Penguji:

1. Dr. Imran M., M.Sc Ketua ( )

NIP. 19640505 199002 1001

2. Zulkarnain, M.Si Sekretaris ( )

NIP. 19871027 201212 1001

3. aaa Anggota ( )

NIP.

4. bbb Anggota ( )

NIP.

5. ccc Anggota ( )

NIP.

Mengetahui:

Dekan FMIPA Universitas Riau

(5)

LEMBARAN PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa Skripsi yang berjudul ”Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak Bebas Turunan”, benar hasil penelitian saya dengan arahan Dosen Pembimbing dan belum pernah diajukan dalam bentuk apapun untuk mendapatkan gelar Kesarjanaan. Dalam Skripsi ini tidak terdapat karya atau pendapat yang telah ditulis atau dipublikasikan orang lain, kecuali secara tertulis dengan jelas dicantumkan dalam naskah dengan menyebutkan referensi yang dicantumkan dalam daftar pustaka. Pernyataan ini saya buat dengan sesungguhnya dan apabila dikemudian hari terdapat penyimpangan dan ketidakbenaran dalam pernyataan ini, maka saya bersedia menerima sanksi akademik berupa pencabutan gelar yang telah diperoleh karena Skripsi ini, serta lainnya sesuai norma yang berlaku di perguruan tinggi.

Pekanbaru, 15 Juli 2015 Yang membuat pernyataan

(6)

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim, Alhamdulillahirrabbil’aalamiin segala rasa syukur dan pujian hanya milik Allah Subhanaahuu wa Ta’aalaa, bertasbih segala yang di langit dan di bumi, yang selalu memberikan limpahan nikmat, kasih sayang, dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak Bebas Turunan. Salawat serta salam semoga senantiasa dilimpahkan pada kekasih junjungan alam Nabi Muhammad Shalallahu ’Alaihi Wasallam, Allahumma shalli ’alaa Muhammad wa ’alaa aali Muhammad, sosok manusia pilihan yang telah membawa perubahan dari gelapnya masa kejahiliahan kepada terangnya ilmu pengetahuan.

Ungkapan terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Imran M., M.Sc selaku pembimbing I dan Bapak Zulkarnain, M.Si selaku pembimbing II, yang telah meluangkan waktu, pikiran dan tenaga dalam memberi bimbingan, arahan, dorongan, dan kesabaran dalam membimbing penulis menyelesaikan skripsi ini.

Terima kasih kepada Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau, Ketua Jurusan Matematika dan Prodi S1 Matematika, serta Bapak dan Ibu dosen di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau, khususnya Jurusan Matematika, yang telah mendidik dan mengajarkan ilmunya kepada penulis.

(7)

Marny, Juhrianti, Ridho Alfarisy dan Lusy Kristina. Terima kasih atas kese-tiaannya memberikan doa dan dukungan kepada penulis.

Kritik dan saran yang membangun ke arah perbaikan skripsi ini sangat penulis harapkan. Akhirnya penulis berdo’a semoga skripsi ini bermanfaat umumnya untuk pembaca dan khususnya untuk penulis sendiri. Semoga Allah Subhanaahuu wa Ta’aalaa memberikan rahmat dan hidayah-Nya kepada kita semua, amiin.

Pekanbaru, 15 Juli 2015

(8)

ABSTRACT

This final project discusses an optimized derivative-free form of the potra-ptak method to solve a nonlinear equation. This iterative method has the convergence of order four and for each iteration it requires three function evaluations, so the efficiency index of the method is 1.5874. Furthermore, the computational test shows that the discussed method is superior, both in the number of function evaluatios, as well as in the number of iterations needed to get a root.

(9)

ABSTRAK

Skripsi ini membahas bentuk optimal metode potra-ptak bebas turunan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Metode iterasi ini mempunyai kekonvergenan orde empat dan untuk setiap iterasinya memerlukan tiga perhitungan fungsi, sehingga indek efisiensinya adalah 1.5874. Selanjutnya dari uji komputasi terlihat bahwa metode iterasi yang didiskusikan lebih unggul dari metode pembanding, baik dari perhitungan, maupun jumlah iterasi yang diperlukan untuk mendapatkan akar.

(10)

DAFTAR ISI

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING . . . iii

HALAMAN PERSETUJUAN PENGUJI . . . iv

LEMBARAN PERNYATAAN . . . v

KATA PENGANTAR . . . vi

ABSTRACT . . . viii

ABSTRAK . . . ix

DAFTAR ISI . . . x

DAFTAR TABEL . . . xii

DAFTAR ALGORITMA . . . xiii

1. PENDAHULUAN . . . 1

2. BEBERAPA METODE ITERASI UNTUK MENYE-LESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR . . . 4

2.1 Orde Konvergensi, Indeks Efisiensi dan Teorema Taylor . . 4

2.1.1 Orde Konvergensi . . . 4

2.1.2 Indeks Efisiensi . . . 5

2.1.3 Teorema Taylor . . . 5

2.2 Metode Newton (MN) . . . 6

2.3 Metode Potra-Ptak(PP) . . . 9

2.4 Metode Liu (MLi) . . . 11

2.5 Metode Ren (MR) . . . 15

3. BENTUK OPTIMAL METODE POTRA-PTAK BEBAS TURUNAN . . . 20

3.1 Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak dengan Turunan 20 3.2 Analisa Kekonvergenan . . . 23

3.3 Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak Bebas Turunan . 31 3.4 Analisa Kekonvergenan . . . 32

3.5 Uji Komputasi . . . 46

4. KESIMPULAN DAN SARAN . . . 51

(11)

(12)

DAFTAR TABEL

2.1 Hasil Komputasi Contoh 2.1 dengan Metode Newton . . . 8 2.2 Hasil Komputasi Contoh 2.1 dengan Metode Potra-Ptak . . . . 11 2.3 Hasil Komputasi Contoh 2.1 dengan Metode Liu . . . 15 2.4 Hasil Komputasi Contoh 2.1 dengan Metode Ren . . . 19

3.1 Hasil Komputasi Contoh 2.1 BOMP dengan parameter a . . . . 30 3.2 Hasil Komputasi Contoh 2.1 BOMPBT dengan parametera . . 45 3.3 Perbandingan Hasil Komputasi untuk MN, MPP, MLi, MR, BOMPT

(13)

DAFTAR ALGORITMA

2.1 Algoritma Metode Newton . . . 7

2.2 Algoritma Metode Potra-Ptak . . . 10

2.3 Algoritma Metode Liu . . . 14

2.4 Algoritma Metode Ren . . . 18

(14)

BAB 1

PENDAHULUAN

Matematika merupakan salah satu ilmu pengetahuan yang berperan merumuskan persoalan dalam kehidupan sehari-hari. Persoalan yang sering

dijumpai adalah bagaimana menemukan solusi atau akar dari persamaan nonlinear. Persamaan nonlinear memiliki peranan yang sangat penting dalam seluruh bidang ilmiah, terutama dibidang matematika, fisika, biologi, dan

bidang ilmu lainnya. Persoalan nonlinear disajikan dalam bentuk f(x) = 0. Persamaan nonlinear dapat diselesaikan dengan dua metode, yaitu metode analitik dan metode numerik. Metode Analitik merupakan metode yang

menghasilkan solusi sejati (exact solution). Sedangkan metode numerik adalah metode yang menghasilkan solusi berupa hampiran atau pende-katan terhadap solusi sejati, sehingga solusi numerik juga dikatakan solusi

hampiran (approximation solution). Untuk persamaan nonlinear yang rumit, biasanya digunakan metode numerik.

Banyak metode numerik yang dapat digunakan untuk mencari solusi atau

akar dari persamaan nonlinear, beberapa diantaranya adalah Metode Newton yang memiliki orde kekonvergenan kuadratik [1, h. 83] yang bentuk iterasinya diberikan oleh

xn+1 =xn−

f(xn)

f′

(15)

dimanaf′

(xn)̸= 0, dengan tebakan awalx0 diperoleh

x1, x2, x3,· · · ,

yang akan konvergen ke nilai akar f(x) = 0. Dalam perkembangannya, metode

Newton banyak mengalami modifikasi. Tujuannya adalah untuk memperkecil jumlah iterasi dan memperkecil error. Error merupakan selisih antara solusi sejati/solusiexact dengan solusi numerik yang diperoleh. Salah satu modifikasi

metode Newton adalah metode Potra-Ptak [4], dengan bentuk persamaan

yn =xn−

f(xn)

f′₍_x_n),

xn+1 =xn−

f(xn) +f(yn)

f′₍_x_n) .

Pada skripsi ini, dibahas bentuk optimal dari metode Potra-Ptak bebas turunan. Pembahasan ini merupakan sebagian isi dari artikel yang ditulis

oleh F. Soleymani [8] dengan judul ”An Optimized Derivative-Free Form of

The Potra-Ptak Method”. Skripsi ini disusun dalam 4 bab. Bab 1 merupakan pendahuluan yang berisi gambaran umum tentang penelitian yang akan

diba-has. Bab 2 menjelaskan beberapa teori penunjang untuk pembahasan pada bab 3. Diteruskan dengan bab 3 yang membahas Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak Bebas Turunan, analisa kekonvergenan dan komputasi numerik untuk

(16)

(17)

BAB 2

BEBERAPA METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR

Pada bab ini dijelaskan beberapa teori pendukung yang terkait dengan bab

selanjutnya. Pembahasan dimulai dengan Orde Konvergensi, Indeks Efisiensi, dan Teorema Taylor. Kemudian dilanjutkan dengan Metode Newton, Metode Potra-Ptak, Metode Liu dan Metode Ren.

2.1 Orde Konvergensi, Indeks Efisiensi dan Teorema Taylor

2.1.1 Orde Konvergensi

Definisi 2.1 (Orde Konvergensi) [6, h. 77] Asumsikan barisan {xn}∞n=0 konvergen ke α dan nyatakan en = xn −α untuk n ≥ 0. Jika dua konstanta positifA̸= 0 dan p >0 ada, dan

lim n→∞

|xn+1−α|

|xn−α|p

= lim n→∞

|en+1|

|en|p

=A, (2.1)

maka barisan tersebut dikatakan konvergen keαdengan orde kekonvergenan p. KonstantaA disebut konstanta error asimtotik (asymptotic error constant).

Jika p= 1,2 dan 3, maka orde kekonvergenan dengan barisan{xn}∞n=0

berturut-turut dikenal dengan istilah linear, kuadratik dan kubik. Secara komputasi, orde konvergensi juga dapat dihitung dengan menggunakan definisi

(18)

Definisi 2.2 (COC₎ _{[10] Misalkan}_α _{adalah akar dari suatu fungsi nonlinear}

f(x), dan andaikanxn−1,xn,xn+1 adalah tiga iterasi berturut-turut yang cukup

dekat ke akar α. Jadi orde kekonvergenan secara komputasi COC dapat diaproksimasikan dengan rumus:

COC ≈ ln|(xn+1−α)/(xn−α)| ln|(xn−α)/(xn−₁−α)|

. (2.2)

2.1.2 Indeks Efisiensi

Definisi 2.3 (Indeks Efisiensi) [9, h. 12] Misalkan p adalah orde konvergensi dengan suatu metode iterasi danw adalah banyaknya fungsi yang dievaluasi pada setiap iterasinya, maka indeks efisiensi dari metode adalahpw1.

Indeks efisiensi digunakan untuk melihat seberapa efisien suatu metode.

2.1.3 Teorema Taylor

Teorema 2.4 (Teorema Taylor) [2, h. 188] Misalkan n ∈N_, _I _{= [}_{a, b}_{] dan}

f : I → R _{sedemikian hingga} _f _dan _f′

, f′′

, ..., f(n) _{kontinu pada} _I _dan _f(n+1) ada pada (a, b). Jika x0 ∈I maka untuk sebarang x∈I terdapat suatu titik c diantarax dan x0 sehingga

f(x) = f(x0) +f′

(x0)(x−x0) + f

′′

(x0)

2! (x−x0) 2

+· · ·

+ f (n)₍_x

0)

n! (x−x0) n

+ f

(n+1)₍_c₎

(n+ 1)! (x−x0)

n+1_. _(2.3)

(19)

2.2 Metode Newton (MN)

Metode Newton [1, h. 79-80] dan [3, h. 67] adalah salah satu metode yang digunakan untuk mencari akar dari suatu persamaan f(x) = 0 dengan

f kontinu, melalui proses iterasi yang menggunakan prinsip garis singgung pada suatu grafik y=f(x) untuk menghampiri akar sebenarnya.

Untuk mendapatkan rumus metode Newton ekpansikan f(x) disekitar

x=x0 sampai suku (x−x0)2 menggunakan ekspansi Taylor, diperoleh

f(x) =f(x0) +f′

(x0)(x−x0) + (x−x0) 2 2! f

′′

(c). (2.4)

Jika x0 yang dicukup dekat ke x maka (x− x0)2 akan bernilai cukup kecil, sehingga dapat diabaikan, sehingga persamaan (2.4) dapat ditulis menjadi

0≈f(x0) +f′

(x0)(x−x0),

x−x0 ≈ −

f(x0)

f′

(x0), (2.5)

denganf′

(x0) ̸= 0. Dengan cara yang sama proses ini dilakukan berulang kali sampai ke-n, sehingga diperoleh persamaan berikut

xn+1 =xn−

f(xn)

f′₍_x_n), n= 0,1,2,· · · . (2.6)

Metode Newton memiliki kekonvergenan orde dua, [1, h. 83] dan memerlukan

(20)

adalah 1.414.

Berikut adalah algoritma metode Newton untuk mencari akar pendekatan

dari persamaan nonlinearf(x) = 0.

Algoritma 2.1Algoritma Metode Newton 1. INPUT : x₀ (Tebakan Awal),

2. tol= 1.0×10−900 (toleransi), 3. α (Akar Sebenarnya),

4. maxit= 100 Maksimum Iterasi) dan fungsi f.

5. OUTPUT : n, xn, |f(xn)|, |x_n−α|, dan COC. 6. PROSES :

7. kondisi:=true

8. for n from 0 while kondisi=true do 9. if |f′(xn)|= 0 then

10. ”Metode Newton tidak dapat diterapkan” 11. break

12. end if

13. Hitung x_n+1 =x_n− f(xn)

f′

(xn) 14. Hitung err =|x_n+1−α| 15. if n >= 1 then

16. Hitung COC = ln|(xn+1−α)/(xn−α)| ln|(xn−α)/(xn−₁−α)|

17. end if

18. OUTPUT : n+ 1, xn+1, |f(xn+1)|,|err| dan COC. 19. if error ≤tol then then

20. ”Selisih iterasi sudah sangat kecil” 21. break

22. else if |f(xn+1)|< tol then

23. ”Nilai fungsi sudah sangat kecil” 24. break

25. else if n > maxit then

26. ”Iterasi maksimum terlewati” 27. break

28. end if 29. end for

Berikut diberikan contoh untuk menerapkan Algoritma 2.1 dalam menentukan akar hampiran atau akar pendekatan dengan menggunakan metode

(21)

Contoh 2.1 Gunakan metode Newton untuk menentukan akar pendekatan dari persamaanf(x) = sin(x)2₋_x2_{+ 1 dengan tebakan awal} _x

0 = 1.7.

Solusi.

Untuk mencari akar pendekatan dari persamaan nonlinear ini dengan menggunakan metode Newton, maka Algoritma 2.1 diimplementasikan dengan menggunakan program Maple13 (Lampiran 1). Hasil perhitungan

dapat dilihat pada Tabel 2.1.

Tabel 2.1: Hasil Komputasi Contoh 2.1 dengan Metode Newton

n xn |f(xn)| |xn−α| COC

1 1.4519926931726741 1.22331e−01 2.48007e−01

2 1.4061520063840885 4.12716e−03 4.58407e−02 1.8347 3 1.4044938035453610 5.35056e−06 1.65820e−03 1.9819 4 1.4044916482189813 9.03627e−12 2.15533e−06 1.9997 5 1.4044916482153412 2.57734e−23 3.64003e−12 2.0000 6 1.4044916482153412 2.09671e−46 1.03822e−23 2.0000 7 1.4044916482153412 1.38762e−92 8.44605e−47 2.0000 8 1.4044916482153412 6.07762e−185 5.58966e−93 2.0000 9 1.4044916482153412 1.16590e−369 2.44821e−185 2.0000 10 1.4044916482153412 4.29057e−739 4.69652e−370 2.0000 11 1.4044916482153412 5.81064e−1478 1.72835e−739 2.0000

Dari Tabel 2.1 terlihat bahwa untuk tebakan awalx0 = 1.7, metode Newton memberikan akar pendekatan 1.4044916482153412 pada iterasi kesebelas. Hal ini terjadi karena nilai fungsi untuk akar pendekatan pada iterasi ini sudah

(22)

2.3 Metode Potra-Ptak(PP)

Metode Potra Ptak [4] merupakan kombinasi dari dua metode Newton yang digunakan untuk mencari akar dari persamaan nonlinearf(x) = 0, yaitu

yn=xn−

f(xn)

f′

(xn), (2.7)

xn+1 =yn−

f(yn)

f′

(xn). (2.8)

Subtitusikan persamaan (2.7) ke persamaan (2.8)

xn+1 =yn−

f(yn)

f′₍_x_n),

= (xn−

f(xn)

f′₍_x_n))−

f(yn)

f′₍_x_n),

=xn−

f(xn)

f′₍_x_n) −

f(yn)

f′₍_x_n),

=xn−

f(xn) +f(yn)

f′

(xn) . (2.9)

Sehingga diperoleh metode iterasi

yn =xn−

f(xn)

f′₍_x_n),

xn+1 =xn−

f(xn) +f(yn)

f′₍_x_n) . (2.10)

Persamaan (2.10) dikenal dengan metode Potra-Ptak [4] yang memiliki kekonvergenan orde tiga, dan memerlukan tiga kali evaluasi fungsi pada setiap

(23)

Newton).

Berikut adalah algoritma metode Potra-Ptak untuk mencari akar

pendekatan dari persamaan nonlinear f(x) = 0. Algoritma 2.2Algoritma Metode Potra-Ptak

1. INPUT : x₀ (Tebakan Awal),

5. PROSES : 6. kondisi:=true

9. ”Metode Potra-Ptak tidak dapat diterapkan” 10. break

11. end if

12. Hitung y_n=x_n− f(xn)

f′₍_x_n)

13. Hitung x_n+1 =x_n−f(xn) +f(yn)

f′₍_x_n)

14. Hitung err =|x_n+1−α| 15. if n >= 1 then

16. Hitung COC = ln|(xn+1−α)/(xn−α)| ln|(xn−α)/(xn−₁−α)|

17. end if

18. OUTPUT : n+ 1, xn+1, |f(xn+1)|,|err| dan COC. 19. if error ≤tol then then

(24)

Solusi.

Untuk mencari akar pendekatan dari persamaan nonlinear ini dengan

menggunakan metode Potra-Ptak, maka Algoritma 2.2 diimplementasikan dengan menggunakan program Maple13 (Lampiran 2). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel 2.2.

Tabel 2.2: Hasil Komputasi Contoh 2.1 dengan Metode Potra-Ptak

1 1.4185282069869532 3.52292e−02 2.81472e−01

2 1.4044948990606015 8.07016e−06 1.40333e−02 2.7471 3 1.4044916482153413 1.04726e−16 3.25085e−06 2.9948 4 1.4044916482153412 2.28868e−49 4.21863e−17 3.0000 5 1.4044916482153412 2.38875e−147 9.21934e−50 3.0000 6 1.4044916482153412 2.71601e−441 9.62247e−148 3.0000 7 1.4044916482153412 3.99219e−1323 1.09407e−441 3.0000

Dari Tabel 2.2 terlihat bahwa untuk tebakan awal x0 = 1.7, metode Potra-Ptak memberikan akar pendekatan 1.4044916482153412 pada iterasi ketujuh. Hal ini terjadi karena nilai fungsi untuk akar pendekatan pada iterasi ini sudah sangat kecil, yaitu lebih kecil dari toleransi yang diberikan.

2.4 Metode Liu (MLi)

Metode Liu [5] merupakan metode kombinasi dari metode Newton dua langkah

yn=xn−

f(xn)

f′₍_x_n), (2.11)

xn+1 =yn−

f(yn)

(25)

Dengan mengaproksimasikan turunan yang muncul pada persamaan (2.11) denganforward difference, yaitu

f′

(xn) = f(xn+f(xn))−f(xn)

f(xn) , (2.13)

sehingga diperoleh

yn=xn−

f(xn)2

f(xn+f(xn))−f(xn)

. (2.14)

Selanjutnya aproksimasikan persamaan (2.12) dengan Newton interpolation

formula, yaitu

f(x)≈f(xn) +f[xn, yn](x−xn) +f[xn, yn, wn](x−xn)(x−yn), (2.15)

dari persamaan (2.15) aproksimasikan f(yn) sehingga

f(yn)≈f(yn) +f[xn, yn](yn−xn) +f[xn, yn, wn](yn−xn)(yn−yn),

≈f(yn) +f[xn, yn](yn−xn) +f[xn, yn, wn](yn−xn), (2.16)

kemudian dari persamaan (2.16) aproksimasikanf′

(yn) sehingga

f′

(yn)≈f[xn, yn] +f[xn, yn, wn](yn−xn),

f′

(yn)≈f[xn, yn] (

1 + f[xn, yn, wn]

f[xn, yn]

(yn−xn )

(26)

f′

Selanjutnya subtitusikan persamaan (2.17) ke persamaan (2.12), diperoleh

xn+1=yn−

Dari persamaan (2.14) dan (2.18) diperoleh metode iterasi dengan bentuk

yn=xn−

Metode Liu memiliki orde kekonvergenan empat [5] dan memerlukan tiga

(27)

1.587.

Berikut adalah algoritma metode Liu untuk mencari akar pendekatan dari

persamaan nonlinearf(x) = 0.

Algoritma 2.3Algoritma Metode Liu 1. INPUT : x₀ (Tebakan Awal),

7. kondisi:=true

10. ”Metode Liu tidak dapat diterapkan” 11. break

12. end if

13. Hitung y_n=x_n− f(xn) 2

f(xn+f(xn))−f(xn) 14. Hitung w_n=x_n+f(xn)

15. Hitung x_n+1 =y_n− f[xn, yn]−f[yn, wn] +f[xn, wn]

f[xn, yn]2

f(yn) 16. Hitung err =|x_n+1−α|

17. if n >= 1 then

18. Hitung COC = ln|(xn+1−α)/(xnα)| ln|(xn−α)/(xn−1−α)|

19. end if

20. OUTPUT : n+ 1, xn+1, |f(xn+1)|,|x_n+1−α| dan COC. 21. if error ≤tol then then

(28)

Solusi.

menggunakan metode Liu, maka Algoritma 2.3 diimplementasikan dengan menggunakan program Maple13 (Lampiran 3). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel 2.3.

Tabel 2.3: Hasil Komputasi Contoh 2.1 dengan Metode Liu

1 1.4078738059148743 8.41837e−03 2.92126e−01

2 1.4044916482411513 6.40728e−11 3.38216e−03 4.1813 3 1.4044916482153412 2.12738e−43 2.58101e−11 4.0011 4 1.4044916482153412 2.58541e−173 8.56960e−44 4.0000 5 1.4044916482153412 5.63988e−693 1.04147e−173 4.0000 6 1.4044916482153412 1.27711e−2771 2.27188e−693 4.0000

Dari Tabel 2.3 terlihat bahwa untuk tebakan awal x0 = 1.7, metode Liu memberikan akar pendekatan 1.4044916482153412 pada iterasi keenam. Hal ini terjadi karena nilai fungsi untuk akar pendekatan pada iterasi ini sudah sangat

kecil, yaitu lebih kecil dari toleransi yang diberikan.

2.5 Metode Ren (MR)

Metode Ren merupakan metode kombinasi dari metode Newton dua langkah

yn=xn−

f(xn)

f′

(xn), (2.20)

xn+1 =yn−

f(yn)

f′

(29)

Dengan mengaproksimasikan turunan yang muncul pada persamaan (2.20) denganforward difference, diperoleh

yn=xn−

f(xn)2

f(xn+f(xn))−f(xn)

. (2.22)

Selanjutnya dengan mengaproksimasikan persamaan (2.21) dengan interpolasi polinomial

h(xn) = ax3+bx2+cx+d, (2.23)

dengan kondisi

h(xn) =f(xn), h(yn) =f(yn), h(wn) = f(wn),

dan

b =f[xn, yn, wn]−a(xn+yn+wn),

c=f[xn, yn]−f[xn, yn, wn](xn+yn) +a(xnyn+xnwn+ynwn). (2.24)

Selanjutnya dengan mengaproksimasikan f′

(yn)≈h′

(yn) sehingga

f′

(yn)≈h′

(yn),

f′

(30)

kemudian subtitusikan persamaan (2.24) ke persamaan (2.25)

f′

(yn) =3ay_n2+ 2(f[xn, yn, wn]−a(xn+yn+wn))yn+f[xn, yn]

−f[xn, yn, wn](xn+yn) +a(xnyn+xnwn+ynwn),

=f[xn, yn] +f[xn, yn, wn](yn−xn) +a(yn−xn)(yn−wn),

=f[xn, yn] +f[yn, wn]−f[xn, wn] +a(yn−xn)(yn−wn). (2.26)

dari persamaan (2.22) dan (2.26) diperoleh metode iterasi dengan bentuk

yn =xn−

f(xn)2

f(xn+f(xn))−f(xn)

,

xn+1 =yn−

f(yn)

f[xn, yn] +f[yn, wn]−f[xn, wn] +a(yn−xn)(yn−wn)

. (2.27)

dimana

wn=xn+f(xn).

(31)

Berikut adalah algoritma metode Ren untuk mencari akar pendekatan dari persamaan nonlinearf(x) = 0.

Algoritma 2.4Algoritma Metode Ren 1. INPUT : x₀ (Tebakan Awal),

7. kondisi:=true

10. ”Metode Ren tidak dapat diterapkan” 11. break

12. end if

13. Hitung y_n=x_n− f(xn) 2

f(xn+f(xn))−f(xn) 14. Hitung w_n=x_n+f(xn)

15. Hitungx_n+1 =y_n− f(yn)

f[xn, yn] +f[yn, wn]−f[xn, wn] +a(yn−xn)(yn−wn) 16. Hitung err =|x_n+1−α|

17. if n >= 1 then

18. Hitung COC = ln|(xn+1−α)/(xnα)| ln|(xn−α)/(xn−₁−α)|

19. end if

20. OUTPUT : n+ 1, xn+1, |f(xn+1)|,|x_n+1−α| dan COC. 21. if error ≤tol then then

(32)

Solusi.

menggunakan metode Ren, maka Algoritma 2.4 diimplementasikan dengan menggunakan program Maple13 (Lampiran 4). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel 2.4.

Tabel 2.4: Hasil Komputasi Contoh 2.1 dengan Metode Ren

1 1.4235587638689938 4.80422e−02 2.76441e−01

2 1.4044917754578622 3.15876e−07 1.90670e−02 4.3482 3 1.4044916482153412 5.89791e−28 1.27243e−07 4.0051 4 1.4044916482153412 7.16843e−111 2.37582e−28 4.0000 5 1.4044916482153412 1.56433e−442 2.88762e−111 4.0000 6 1.4044916482153412 3.54765e−1769 6.30149e−443 4.0000

Dari Tabel 2.4 terlihat bahwa untuk tebakan awal x0 = 1.7, metode Ren memberikan akar pendekatan 1.4044916482153412 pada iterasi keenam. Hal ini terjadi karena nilai fungsi untuk akar pendekatan pada iterasi ini sudah sangat

(33)

BAB 3

BENTUK OPTIMAL METODE POTRA-PTAK BEBAS TURUNAN

Pada bab ini dibahas bentuk optimal metode Potra-Ptak bebas turunan untuk

menyelesaikan persamaan nonlinear dan analisis kekonvergenannya. Kemudian dilanjutkan dengan melakukan komputasi numerik menggunakan program Maple 13. Selanjutnya ditunjukkan hasil perbandingan komputasi dari metode

Newton, metode Potra-Ptak, metode Liu, metode Ren, bentuk optimal meto-de Potra-Ptak meto-dengan turunan dan bentuk optimal metometo-de Potra-Ptak bebas turunan.

3.1 Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak dengan Turunan

Pada subbab ini dibahas bagaimana proses terbentuknya bentuk optimal metode Potra-Ptak dengan turunan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear

f(x) = 0. Metode baru ini dimodifikasi dari metode Potra-Ptak dengan

kekonvergenan orde tiga. Diberikan metode Potra-Ptak orde tiga dengan bentuk iterasinya yaitu

yn =xn−

f(xn)

f′₍_x_n), (3.1)

zn =xn−

f(xn) +f(yn)

f′

(xn) , (3.2)

xn+1 =zn−

f(zn)

f′

(34)

Dengan menggunakan metode Newton tanpa memperbarui turunan dan

meng-diperoleh metode baru orde empat yang memerlukan empat evaluasi fungsi, tetapi tidak optimal. Untuk meningkatkan seberapa keefisienan metode diaproksimasikanf(zn) dengan kombinasi fungsi yang sudah diketahui nilainya.

Ekspansikanf(zn) dengan menggunakan ekspansi Taylor disekitarzn =xn dan

f(yn) disekitaryn=xn sampai orde dua sehingga

Selanjutnya substitusikan persamaan (3.1) ke persamaan (3.6)

(35)

Kemudian substitusikan persamaan (3.7) ke persamaan (3.5), sehingga

Untuk menghasilkan sebuah keluarga satu parameter dengan orde konvergensi empat, perhatikan taksiran aproksimasif(zn) dengan a∈R

f(zn) = (f(yn))

2₍₂_f₍_x_{n) +}_af₍_y_n))

(f(xn))2 , (3.9)

selanjutnya substitusikan persamaan (3.9) ke persamaan (3.4), diperoleh

xn+1 =zn−

(f(yn))2₍₂_f₍_x_{n) +}_af₍_y_n))

f′

(xn)(f(xn))2 , (3.10)

kemudian substitusikan persamaan (3.2) ke persamaan (3.10), diperoleh

(36)

sehingga diperoleh

yn=xn−

f(xn)

f′₍_x_n),

xn+1 =xn−

f(xn) +f(yn)

f′₍_x_n) −

2f(xn) +af(yn)

f′₍_x_n)

(

f(yn)

f(xn) )2

. (3.12)

Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak dengan Turunan (BOMPT) memiliki orde

konvergensi empat, dan memerlukan tiga evaluasi fungsi pada setiap iterasinya, berdasarkan Definisi 2.3 memiliki indeks efisiensi 1.5874.

3.2 Analisa Kekonvergenan

Teorema 3.1 Misalkan α ∈ I adalah akar sederhana dari fungsi f : I → R yang terdiferensialkan secukupnya untuk interval bukaI. Jikax0cukup dekat ke

α, maka orde konvergensi dari metode yang didefinisikan pada persamaan (3.12) mempunyai orde konvergensi empat.

Bukti. Misalkan α adalah akar sederhana dari f(x) = 0 maka f(α) = 0, dan

f′

(α)̸= 0. Kemudian dengan melakukan ekspansi Taylor, untukf(xn) disekitar

α sampai orde ke empat diperoleh

f(xn) = f(α) +f′

(α)(xn−α) 1! +f

(2)₍_α₎(xn−α)2 2! +f

(3)₍_α₎(xn−α)3 3! +f(4)₍_α₎(xn−α)4

4! +O(xn−α) 5

(37)

Karenaf(α) = 0 danen=xn−α, maka persamaan (3.13) dapat ditulis menjadi

dengan menyatakan ck =

f(k)₍_α₎

Selanjutnya dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk f′

(xn) disekitar α,

setelah dilakukan penyederhanaan maka diperoleh

f′

Selanjutnya dari persamaan (3.15) dan (3.16) diperoleh

f(xn)

Kemudian dengan menggunakan formula deret geometri

1

1 +r = 1−r+r

(38)

untuk r = 2c2en + 3c3e2n + 4c4e3n +O(e4n), sehingga setelah disederhanakan

Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (3.19) ke persamaan (3.12) diperoleh

Kemudian dengan melakukan ekspansi Taylor dari f(yn) disekitar α sampai

orde empat dan mengabaikan orde yang lebih tinggi diperoleh

f(yn) =f(α) +f′

(39)

Selanjutnya dihitungf(xn)+f(yn) dengan menggunakan persamaan (3.15) dan (3.22) diperoleh

f(xn) +f(yn) = f′

(α)(en+ (2c2e2n) + (3c3−2c22)e3n+ (4c4

−7c2c3+ 5c23)e4n+O(e 5

n)), (3.23)

selanjutnya hitung f(xn) +f(yn)

f′

(xn) dengan menggunakan persamaan (3.16) dan (3.23), sehingga diperoleh

f(xn) +f(yn)

f′₍_x_n) =

en+ (2c2e2n) + (3c3 −2c22)e3n 1 + 2c2en+ 3c3e2n+ 4c4e3n+O(e4n)

+ (4c4−7c2c3+ 5c 3

2)e4n+O(e5n)) 1 + 2c2en+ 3c3e2n+ 4c4e3n+O(e4n)

, (3.24)

kemudian dengan menggunakan formula deret geometri pada persamaan (3.18),

maka persamaan (3.24) menjadi,

f(xn) +f(yn)

f′₍_x_n) =en−2c

2

2e3n+ (−7c2c3+ 9c23)e4n+O(e5n). (3.25)

Kemudian dihitung 2f(xn) +af(yn) dengan menggunakan persamaan (3.15) dan (3.22) diperoleh

2f(xn) +af(yn) = f′

(α)(2en+ (2c2+ac2)e2n+ (2c3+ 2ac3−2ac22)e3n

+ (3ac4+ 2c4−7ac2c3+ 5ac32)e4n

(40)

selanjutnya hitung 2f(xn) +af(yn)

f′

(xn) dengan menggunakan persamaan (3.16) dan (3.26), sehingga diperoleh

2f(xn) +af(yn)

f′₍_x_n) =

2en+ (2c2+ac2)e2n+ (2c3+ 2ac3 −2ac22)e3n 1 + 2c2en+ 3c3e2n+ 4c4e3n+O(e4n) +(3ac4+ 2c4−7ac2c3+ 5ac

3

2)e4n+O(e5n)) 1 + 2c2en+ 3c3e2n+ 4c4e3n+O(e4n)

, (3.27)

kemudian dengan menggunakan formula deret geometri pada persamaan (3.18),

maka persamaan (3.27) menjadi,

2f(xn) +af(yn)

f′₍_x_n) = 2en+ (−2c2+ac2)e

2

n+ (2ac3−4ac22

−4c3+ 4c22)en3 + (−6c4+ 3ac4+ 13ac

3 2

+ 14c2c3−14ac2c3−8c32)e4n+O(e5n). (3.28)

Kemudian dihitung (

f(yn)

f(xn) )2

dengan menggunakan persamaan (3.15) dan (3.22) diperoleh

(

f(yn)

f(xn) )2

=c22e2n+ (−6c32+ 4c2c3)e3n+ (4c23+ 6c2c4

(41)

Kemudian subtitusikan persamaan (3.25), (3.28), (3.29) ke (3.12) sehingga

xn+1 =xn−

f(xn) +f(yn)

f′₍_x_n) −

2f(xn) +af(yn)

f′₍_x_n)

(

f(yn)

f(xn )2

,

xn+1 =en+α− (

en−2c22e3n+ (−7c2c3+ 9c32)e4n+O(e 5 n)

)

−

(

2en+ (−2c2+ac2)e2n+ (2ac3−4ac22−4c3+ 4c22)e3n

+ (−6c4+ 3ac4 + 13ac32+ 14c2c3−14ac2c3−8c32)e4n

+O(e5_n) )(

c2₂e2_n+ (−6c₂3+ 4c2c3)e3n+ (4c 2 3 + 6c2c4−33c22c3+ 26c42)e4n+O(e

5 n)

)

,

xn+1 =α+ (−ac32−c2c3+ 5c32)e4n+O(e5n). (3.30)

Karenaen+1 =xn+1−α sehingga

en+1 = (−ac32−c2c3+ 5c32)e4n+O(e 5

n). (3.31)

Persamaan (3.31) merupakan persamaan error untuk persamaan (3.12).

Dari definisi orde konvergensi dilihat bahwa persamaan (3.12) memiliki orde

(42)

Berikut adalah algoritma BOMP dengan turunan menggunakan parameter

a untuk mencari akar pendekatan dari persamaan nonlinearf(x) = 0.

Algoritma 3.5Algoritma BOMP dengan Turunan menggunakan parameter a

7. kondisi:=true

10. ”BOMP dengan Turunan menggunakan parametera tidak dapat dite-rapkan”

23. else if |f(x_n+1)|< tol then

Contoh 3.1 Gunakan BOMP dengan Turunan menggunakan parameter a

(43)

dengan tebakan awal x0 = 1.7.

Solusi.

menggunakan BOMP dengan turunan, maka Algoritma 3.1 diimplementa-sikan dengan menggunakan program Maple13 (Lampiran 5). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel 3.1.

Tabel 3.1: Hasil Komputasi Contoh 2.1 BOMP dengan parameter a

1 1.4064508022266468 4.87101e−03 2.93549e−01

2 1.4044916482144877 2.11892e−12 1.95915e−03 4.2969 3 1.4044916482153412 9.05327e−50 8.53553e−13 3.9921 4 1.4044916482153412 3.01695e−199 3.64688e−50 4.0000 5 1.4044916482153412 3.72064e−797 1.21530e−199 4.0000 6 1.4044916482153412 8.60632e−3189 1.49876e−797 4.0000

Dari Tabel 3.1 terlihat bahwa untuk tebakan awal x0 = 1.7, BOMP dengan Turunan memberikan akar pendekatan 1.4044916482153412 pada

(44)

3.3 Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak Bebas Turunan

Pada subbab ini dibahas bagaimana proses terbentuknya bentuk optimal metode Potra-Ptak bebas turunan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear

f(x) = 0. Metode ini dimodifikasi dari bentuk optimal metode Potra-Ptak dengan turunan dengan mengganti turunan pada Persamaan (3.12) dengan beda terbagi, sehingga

Persamaan (3.32) menghasilkan orde konvergensi tiga dengan persamaanerror

en+1=−c22f

′

(α)β(1 +βf′

(α))en

3 +O(e4n).

Kemudian gunakan konsepweight function, sehingga

(45)

dimanaG(tn) =G(f[xn, wn]). Kemudian gunakan ekspansi Taylor dan didapat

G(tn) = 2 +βf[xn, wn] 2 + 2βf[xn, wn]

. (3.34)

Substitusikan persamaan (3.34) kepersamaan (3.33), sehingga

yn=xn−

selanjutnya sederhanakan menggunakan komputasi, sehingga

yn=xn−

Persamaan (3.36) merupakan bentuk optimal metode Potra-Ptak bebas turunan

(BOMPBT). Metode ini memiliki orde konvergensi empat dan memiliki indeks efisiensi 1.5874.

3.4 Analisa Kekonvergenan

(46)

α, maka orde konvergensi dari metode yang didefinisikan pada persamaan (3.36) mempunyai orde konvergensi empat.

Bukti. Misalkan α adalah akar sederhana dari f(x) = 0 maka f(α) = 0, dan

f′

(α)̸= 0. Kemudian dengan melakukan ekspansi Taylor, untukf(xn) disekitar

α sampai orde ke empat diperoleh

f(xn) = f(α) +f′

dengan menyatakan ck =

f(k)₍_α₎

Kemudian hitung wn

(47)

Kemudian dengan melakukan ekspansi Taylor dari f(wn) disekitar α sampai orde empat dan mengabaikan orde yang lebih tinggi diperoleh

f(wn) =f(α) +f′

selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (3.40) ke persamaan (3.41)

(48)

Selanjutnya hitungf[xn, wn] dengan menggunakan persamaan (3.39) dan (3.42),

(49)

Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (3.44) ke persamaan (3.36), diperoleh

yn=α+ (c2+c2βf

′

(α))e2_n+ (2c3−2c22βf

′

(α)−c2₂β2f′

(α)2

−2c2₂ +c3β2f′(α)2+ 3c3βf′(α))en3 + (−7c2c3f

′

(α)2β2

−10c2c3f

′

(α)β−2c2c3f

′

(α)3β3+ 4c3₂+ 5c3₂f′

(α)β

+ 4c4f

′

(α)2β2+ 6c4f

′

(α)β+c4f

′

(α)3β3+ 3c3₂f′

(α)2β2

+ 3c4+c32f

′

(α)3β3−7c2c3)e4n+O(e5n). (3.45)

Kemudian dengan melakukan ekspansi Taylor dari f(yn) disekitar α sampai orde empat dan mengabaikan orde yang lebih tinggi diperoleh

f(yn) =f(α) +f′

(α)(yn−α) 1! +f

(2)₍_α₎(yn−α)2 2! +f

(3)₍_α₎(yn−α)3 3! +f(4)(α)(yn−α)

4

4! +O(yn−α) 5

(50)

Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (3.45) ke persamaan (3.46)

(51)

selanjutnya hitung f(xn) +f(yn)

f[xn, wn]

dengan menggunakan persamaan (3.43) dan

(3.48), sehingga diperoleh

(52)

selanjutnya hitung 2f(xn) +af(yn)

f[xn, wn]

dengan menggunakan persamaan (3.43)

dan (3.50), sehingga diperoleh

(53)

Kemudian dihitung (

f(yn)

f(xn) )2

(54)

Selanjutnya hitung 1− βf[xn, wn]

2 + 2βf[xn, wn]

dengan menggunakan persamaan (3.43)

(55)

− 45c ngan menggunkan persamaan (3.51), (3.52), dan (3.53) diperoleh

(56)

Kemudian subtitusikan persamaan (3.49) dan (3.54) ke persamaan (3.36)

se-Persamaan (3.56) merupakan persamaan error untuk persamaan (3.12).

Dari definisi orde konvergensi dilihat bahwa persamaan (3.36) memiliki orde

konvergensi empat. ✷

Berikut adalah algoritma BOMPBT menggunakan parameterauntuk

(57)

Algoritma 3.6Algoritma BOMPBT menggunakan parameter a

7. kondisi:=true

10. ”BOMPBTmenggunakan parametera tidak dapat diterapkan” 11. break

(58)

Contoh 3.2 Gunakan BOMP Bebas Turunan menggunakan parameter a

untuk menentukan akar pendekatan dari persamaan nonlinear pada Contoh 2.1

dengan tebakan awal x0 = 1.7.

Solusi.

Untuk mencari akar pendekatan dari persamaan nonlinear ini dengan menggu-nakan BOMPBT, maka Algoritma 3.1 diimplementasikan dengan menggumenggu-nakan

program Maple13 (Lampiran 6). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel 3.2.

Tabel 3.2: Hasil Komputasi Contoh 2.1 BOMPBT dengan parameter a

1 1.4212693245838072 4.21987e−02 2.78731e−01

2 1.4044918156920164 4.15756e−07 1.67775e−02 4.0140 3 1.4044916482153412 3.93652e−27 1.67477e−07 4.0041 4 1.4044916482153412 3.16380e−107 1.58573e−27 4.0000 5 1.4044916482153412 1.32005e−427 1.27445e−107 4.0000 6 1.4044916482153412 4.00057e−1709 5.31749e−428 4.0000

Dari Tabel 3.2 terlihat bahwa untuk tebakan awal x0 = 1.7, BOMPBT memberikan akar pendekatan 1.4044916482153412 pada iterasi keenam. Hal ini terjadi karena nilai fungsi untuk akar pendekatan pada iterasi ini sudah sangat

(59)

3.5 Uji Komputasi

Pada subbab ini, dilakukan uji komputasi dengan menggunakan metode Newton (MN), metode Potra-Ptak (MPP), metode Liu (MLi), metode Ren

(MR), serta bentuk optimal metode Potra-Ptak dengan turunan (BOMPT) dengan parameter a dan bentuk optimal metode Potra-Ptak bebas turunan (MBOPBT) dengan parameter a dan β.

Di bawah ini adalah beberapa contoh fungsi dan nilai tebakan awal beserta akar yang digunakan untuk membandingkan metode-metode tersebut.

1. f1(x) = (sin(x))2−x2+ 1

2. f2(x) =x2 _{+ sin(}_x_{) +}_x

3. f3(x) =x6 ₋₁₀_x3₊_x2₋_x_{+ 3}

4. f4(x) =x3 ₋_cos(_x_{) + 2}

5. f5(x) = ln(x)−x3_{+ 2 sin(}_x₎

Untuk menentukan solusi numerik dari contoh-contoh fungsi nonlinear di atas digunakan program Maple13 sebagaimana pada Lampiran 1−6. Dalam menemukan solusi numerik juga ditentukan kriteria pemberhentian jalannya

program komputasi yang sama untuk semua metode, yaitu jika selisih nilai mutlak antara dua iterasi yang berdekatan bernilai lebih kecil dari toleransi yang diberikan, atau jika nilai mutlak fungsi lebih kecil dari toleransi yang

(60)

(61)

(62)

Metode n COC xn |f(xn)| |xn−α|

f5, x0 = 1.4

MN 10 2.00 1.2979977432803718 8.48e−925 4.05e−463 MPP 7 3.00 1.2979977432803718 7.56e−1696 3.76e−566 MLi 6 4.00 1.2979977432803718 9.10e−2272 7.04e−569 MR 6 4.00 1.2979977432803718 4.78e−1869 2.94e−468 BOMPT 5 4.00 1.2979977432803718 7.13e−1015 2.72e−254 BOMPBT 6 4.00 1.2979977432803718 1.27e−991 4.52e−249

f5,x0 = 1.15

f5, x0 = 1.3

Keterangan untuk Tabel 3.3 adalah, n menyatakan jumlah iterasi, x0 menyatakan tebakan awal, COC menyatakan orde konvergensi dari metode

secara komputasi, xn menyatakan akar dari fungsi, |f(xn)| menyatakan nilai fungsi untuk pendekatan akar kendan |xn−α|menyatakan kesalahan (error). Secara umum berdasarkan Tabel 3.3 keenam metode yang dibahas berhasil

menemukan akar yang diharapkan, dapat dilihat pada kolomxn setiap metode iterasi memperoleh akar pendekatan yang sama untuk fungsi persamaan nonlinear yang sama. Kemudian dapat dilihat nilai mutlak fungsi pada kolom

|f(xn)| untuk akar pendekatan pada setiap metode sudah sangat kecil, yaitu lebih kecil dari toleransi yang diberikan 1×10−₉₀₀

(63)

secara komputasi dari semua metode sesuai dengan ordenya. Metode Newton menunjukkan orde konvergensi dua, metode Potra-Ptak menunjukkan orde

konvergensi tiga, metode Liu menunjukkan orde konvergensi empat, metode Ren menunjukkan orde konvergensi empat, bentuk optimal metode Potra-Ptak dengan turunan menunjukkan orde konvergensi empat dan bentuk optimal

(64)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan pada bab sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak Bebas Turunan

(BOMPBT) ini merupakan modifikasi dari Metode Potra-Ptak. Secara analitik dengan menggunakan ekspansi Taylor dan deret geometri ditunjukkan bahwa BOMPBT mempunyai orde kekonvergenan empat dan Indeks Efisiensi metode

ini adalah 1.5874.

Berdasarkan simulasi numerik dalam menemukan akar pada masing-masing fungsi, dengan menunjukkan bentuk iterasi dan diberikan nilai tebakan awal

yang berbeda, dapat disimpulkan bahwa orde kekonvergenan dari suatu metode berpengaruh terhadap jumlah iterasi yang diperlukan untuk mendapatkan akar. Secara komputasi BOMPBT lebih cepat mencapai akar dan sebanding dengan

metode Liu (MLi), metode Ren (MR), dan Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak dengan Turunan (BOMPT).

4.2 Saran

Skripsi ini membahas Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak Bebas Turunan

(65)

DAFTAR PUSTAKA

[1] K. E. Atkinson, Elementary Numerical Analysis, Third Edition, John Wiley & Sons, Inc.(ed.), New York, 1993.

[2] R. G. Bartle dan R. D. Shebert, Introduction to Real Analysis, Fourth

Edition, John Wiley & Sons, Inc.(ed.), New York, 2011.

[3] J. D. Faires dan R. L. Burden, Numerical Analysis, Ninth Edition, Brooks/Cole(ed), Belmont, 2001.

[4] M. Grau dan J.L.Diaz-Barrero, An Improvement of the Euler-Chebyshev

iterative method, J. Math. Anal. Appl., 315 (2006), 1–7.

[5] Z. Liu dan Q. Zheng, A variant of Steffensen’s method

fourth-order convergence and its applications, Applied Mathematics and Computation, 216 (2010), 1978–1983.

[6] J. H. Mathews, Numerical Methods for Mathematics Science and

Engineering, Second Edition,Prentice Hall Inc.(ed), New Jersey, 1987.

[7] H. Ren, Q. Wu, dan W. Bi, A class of two-step Steffensen type methods

with fourth-order convergence, Applied Mathematics and Computation, 209 (2009), 206–210.

[8] F. Soleymani, R. Sharma, X. Li, dan E. Tohidi, An optimized

(66)

[9] J. F. Traub,Iterative Methods for the Solution of Equations, Prentice Hall Inc. Englewood Cliffs, 1964.

[10] S. Weerakoon dan T. G. I. Fernando, A variant of Newton’s method

(67)

LAMPIRAN LAMPIRAN 1 (Metode Newton)

restart:

Digits:=3500: # Jumlah digit yang digunakan

x[0]:= 1.7: # Tebakan awal

f:=x->sin(x)^2-x^2+1; # Contoh fungsi

df:=unapply((diff(f(x),x)), x): # Turunan pertama fungsi

akar:=fsolve(f); # Akar sebenarnya

kondisi:=true:

for n from 0 while kondisi=true do if abs(df(x[n])) < tol then

printf("Metode Newton tidak dapat diterapkan"); break;

end if:

x[n+1] := x[n]-f(x[n])/df(x[n]): fxn1:=abs(f(x[n+1]));

err:=abs(x[n+1]-x[n]); if n>=1 then

pbl:=ln(abs((x[n+1]-akar)/(x[n]-akar))); pny:=ln(abs((x[n]-akar)/(x[n-1]-akar))); COC:=pbl/pny;

printf("%4d %20.16f %13.5e %13.5e %8.4f",n+1,x[n+1],fxn1,err,COC); else

printf("%4d %20.16f %13.5e %13.5e ",n+1,x[n+1],fxn1,err); end if;

if err <= tol then

printf(" Selisih iterasi sudah sangat kecil"); kondisi:=false:

elif (fxn1 <= tol) then

printf(" Nilai fungsi sudah sangat kecil"); kondisi:=false:

else

printf(" Jumlah iterasi dilebihi\n"); end if;

(68)

LAMPIRAN 2 (Metode Potra-Ptak)

restart:

kondisi:=true:

printf("Metode Potra-Ptak tidak dapat diterapkan"); break;

end if:

y[n] := x[n]-f(x[n])/df(x[n]):

x[n+1] := x[n]-(f(x[n])+f(y[n]))/df(x[n]): fxn1:=abs(f(x[n+1]));

if err <= tol then

else

(69)

LAMPIRAN 3 (Metode Liu)

restart:

kondisi:=true:

for n from 0 while kondisi=true do fxn:=f(x[n]):

CC:= fxn^2: wn:=x[n]+fxn: fwn:=f(wn): DD:= fwn-fxn:

y[n]:= x[n]-(CC/DD): fyn:=f(y[n]):

EE:= (fyn-fxn)/(y[n]-x[n]): w[n]:= x[n]+f(x[n]):

FF:= (fwn-fyn)/(w[n]-y[n]): GG:= (fwn-fxn)/(w[n]-x[n]): HH:= EE^2:

x[n+1]:= y[n]-((EE-FF+GG)/HH)*fyn: fxn1:=abs(f(x[n+1]));

if err <= tol then

else

(70)

LAMPIRAN 4 (Metode Ren)

restart:

b:=0;

kondisi:=true:

for n from 0 while kondisi=true do fxn:=f(x[n]):

if err <= tol then

else

(71)

LAMPIRAN 5 (Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak dengan Turunan (BOMPT))

restart:

a:=5;

kondisi:=true:

printf("Metode Newton tidak dapat diterapkan"); break;

if err <= tol then

else

(72)

LAMPIRAN 6 (Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak Bebas Turunan (BOMPBT))

restart:

beta:=1; a:=5;

kondisi:=true:

for n from 0 while kondisi=true do fxn := f(x[n]):

if err <= tol then

else