Metode Peramalan Autoregressive Integrat. docx

(1)

Metode Peramalan

Autoregressive Integrated Moving Average

(ARIMA) terhadap Data Simulasi dan Data Penjualan Produk PT.

XXX (Januari 2010 – Juni 2014)

Dessy Ariani (1207015029), Muhammad Septyadhi (1207015019) dan Pratama Yuly N. (1207015003) Jurusan Statistika Fakultas MIPA

Universitas Mulawarman Samarinda

ABSTRAK

Paper ini membahas penggunaan metode peramalan Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) terhadap nilai peramalan untuk dua data, yakni Data Simulasi dan Data Penjualan Produk PT. XXX periode Januari 2010 – Juni 2014. Metode ini digunakan untuk mencari model yang terbaik dalam menentukan nilai peramalan. Berdasarkan hasil yang diperoleh analisis baik secara global maupun lokal diperoleh bahwa model terbaik bagi Data Simulasi adalah ARIMA (1,2,1) dan model terbaik bagi Data Penjualan Produk PT. XXX adalah ARIMA (0,2,1)

Kata Kunci:

1. Pendahuluan

2. Kajian Teori

2.1 Regresi Parametrik

3. Metodologi

3.1 Sumber Data

Data yang dianalisis adalah data penjualan produk PT. XXX periode Januari 2010 – Juni 2014 dan data kedua adalah data simulasi. Kali ini kita akan meramalkan nilai hasil penjualan selama 5 bulan kedepan dan juga meramalkan nilai simulasi selama 5 periode tertentu kedepan.

3.2 Tahap Analisis

Tahapan analisis yang dilakukan adalah 1. Mengecek kestasioneran data

 Dalam variansi

Dalam hal ini digunakan uji Box-Cox untuk mengecek apakah data sudah stasioner dalam variansi atau belum.

 Dalam rata-rata

2. Mencari nilai ACF dan PACF guna memodelkan peramalan menggunakan metode ARIMA

3. Mencari model terbaik dari beberapa model sementara yang didapat dengan asumsi yang harus memenuhi

 Setiap parameter model harus signifikan

 Uji White Noise atau uji kecocokan model

 Residual data berdistribusi normal

(2)

4. Hasil dan Pembahasan

Analisis dilakukan untuk tujuan explanation dan prediksi menggunakan data penjualan produk PT. XXX, selain itu juga akan dilakukan analisis data simulasi.

4.1 Explanation

4.1.1 Data Penjualan Produk PT. XXX 4.1.1.1 Uji Kestasioneran Data

Berikut adalah time series plot pada data penjualan produk PT. XXX periode Januari 2010 – Juni 2014

50

Time Series Plot of Data

5.0

Lower CL Upper CL

Limit

Estimate 0.53 Lower CL -0.53 Upper CL 1.52 Rounded Value 0.50 (using 95.0% confidence)

Lambda

Box-Cox Plot of Data

Gambar 1. Time Series Plot data Penjualan dan Plot Box-Cox

Dari gambar plot diatas dapat dilihat bahwa data belum stasioner dalam variansi maupun rata-rata. Maka dari itu dilakukan transformasi sebanyak 1 kali dengan memangkatkan data dengan nilai estimate yaitu 0,53 dan differencing 2 kali sehingga

time series plot menjadi

50

Time Series Plot of Diff_ 2

Gambar 2. Time Series Plot setelah transformasi dan differencing

Karena data sudah stasioner dalam variansi dan rata-rata maka dilanjutkan untuk mencari nilai ACF dan PACF

(3)

13

Autocorrelation Function for Diff_ 2

(with 5% significance limits for the autocorrelations)

13

Partial Autocorrelation Function for Diff_ 2

(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

Gambar 3. ACF dan PACF data Penjualan

Dari gambar diatas diketahui bahwa ACF cut off di lag 1 dan PACF cut off di lag 5. Nilai ACF menunjukkan parameter untuk Moving Average (MA) dan PACF merupakan parameter untuk Autoregressive (AR). Sedangkan Integrated menunjukkan berapa kali data di differencing. Karena data di differencing 2 kali, maka model peramalan sementara untuk data penjualan adalah ARIMA (5,2,1). Sehingga kombinasi model ARIMA adalah sebagai berikut

ARIMA (0,2,1) ARIMA (2,2,1) ARIMA (4,2,1) ARIMA (1,2,0) ARIMA (3,2,0) ARIMA (5,2,0) ARIMA (1,2,1) ARIMA (3,2,1) ARIMA (5,2,1) ARIMA (2,2,0) ARIMA (4,2,0)

4.1.1.3 Mencari Model Terbaik

Semua model sementara diatas diuji kesesuaian modelnya, apakah model ARIMA tersebut layak digunakan dalam peramalan apa tidak. Asumsi yang harus dipenuhi adalah Setiap parameter model harus signifikan, uji White Noise atau uji kecocokan model, dan residual data harus berdistribusi normal. Dari semua model tersebut, yang memenuhi semua kriteria asumsi diatas adalah model peramalan ARIMA (0,2,1). Berikut adalah hasil dari analisis yang dilakukan

ARIMA (0,2,1)

Uji Parsial (Signifikansi Parameter)

ARIMA Model Parameter P-value Kesimpulan

(0,2,1) MA(1) _θ₌_0,9670 0,000 Signifikan

(1,2,0) AR(1) _ϕ₌₋_0,4647 0,000 Signifikan

(4)

MA(1) _ϕ₌₋_0,5049

θ=−0,5252

0,202 Tidak Signifikan

(4,2,0) AR(1)

Gambar 4. Tabel Uji Parsial

Dari tabel diatas diketahui model ARIMA yang signifikan adalah ARIMA (0,2,1), ARIMA (1,2,0) dan ARIMA (2,2,0) sehingga hanya ketiga model tersebut yang dilakukan pengujian White Noise

Uji White Noise (Kecocokan Model)

ARIMA Lag P-value Kesimpulan

(0,2,1) 12

Gambar 5. Tabel Uji White Noise

Dari ketiga model tersebut, yang signifikan hanyalah model ARIMA (0,2,1) dan selanjutnya dilakukan uji kenormalan residual pada model tersebut.

(5)

40 30 20 10 0 -10 -20 -30

99

95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5

1

RESI1

P

e

rc

e

n

t

Mean 1.088 StDev 10.68 N 52 KS 0.109 P-Value 0.122

Probability Plot of RESI1

Normal

Gambar 6. Plot Residual

Dari plot diatas diketahui nilai p-value adalah 0,122 > α = 0,05 maka residual berdistribusi normal

Hipotesis

Hipotesis untuk MA (1) H0 : θ1=0

(Nilai parameter model MA (1) tidak signifikan berbeda dengan nol) H1 : θ1≠0

(Nilai parameter model MA (1) signifikan berbeda dengan nol) Taraf Signifikansi

α=5

Daerah Kritis

Menolak H0 jika p-value < α

Keputusan dan Kesimpulan

Karena nilai p-value = 0,000 < α=0,05 maka diputuskan H0 ditolak pada taraf

kepercayaan 95%. Maka dapat disimpulkan bahwa nilai parameter model MA (1) signifikan berbeda dengan nol

Uji Kecocokan Model (White Noise)

Hipotesis

H0 : ρ1=ρ2=…=ρk=0

(Residual memenuhi syarat White Noise)

H1 : ∃ρi≠0;i=1,2,… , k

(Residual tidak memenuhi syarat White Noise) Taraf Signifikansi

α=5

Daerah Kritis

(6)

Karena nilai p-value pada lag 12, 24, 36 dan 48 berturut-turut adalah 0,077 ; 0,333 ; 0,333 ; 0,100 > α=0,05 maka diputuskan H0 gagal ditolak pada taraf

kepercayaan 95%. Maka dapat disimpulkan bahwa residual memenuhi syarat White Noise

Uji Kenormalan Residual

Hipotesis

H0 : Residual data berdistribusi normal

H1 : Residual data tidak berdistribusi normal

Taraf Signifikansi

α=5

Daerah Kritis

Karena nilai p-value = 0,122 > α=0,05 maka diputuskan H0 gagal ditolak pada

taraf kepercayaan 95%. Maka dapat disimpulkan bahwa residual data berdistribusi normal

Penurunan Model

Model ARIMA secara umum

ϕ_p(B) (1−B)dZ_t=θ_q(B)a_t

ARIMA (0,2,1) dengan transformasi satu kali

ϕ₀(B) (1−B)2Z_t¿

=θ₁(B)a_t¿

(1−B)2Zt

¿

=θ1(B)at

¿

(

1−2B+B2

₎

_Z

t

¿

=[1−θ1(B)]at¿

Zt¿−2Zt¿(B)+Zt¿

(

B2

)

=at¿−θ1at¿(B)

Zt

¿

−2Zt−1

¿

+Zt−2

¿

=at

¿

−θ1at−1

¿

Z_t¿

=2Z_t¿₋₁

−Z_t¿₋₂

−θ₁a_t¿₋₁

+a_t¿

Z_t¿

=2Z_t¿₋₁

−Z_t¿₋₂

−0,9760a_t¿₋₁

+a_t¿

4.1.1.4 Hasil Peramalan

(7)

perlu dikembalikan ke data awal dimana data berada disekitar data awal atau data asli. Cara mengembalikan data peramalan transformasi ke data peramalan data asli adalah dengan cara data transformasi dipangkatkan satu berbanding nilai lambda atau nilai

estimate pada plot box-cox. Hasil peramalan atau forecast dari data penjualan selama 5

bulan kedepan adalah sebagai berikut:

Bulan Forecas

Gambar 7. Tabel Hasil Forecast Data Penjualan

4.1.2 Data Simulasi

4.1.2.1 Uji Kestasioneran Data

Berikut adalah time series plot pada data simulasi

44

Time Series Plot of Data

5.0

Lower CL Upper CL

Limit

Estimate -0.85 Lower CL -2.04 Upper CL 0.14 Rounded Value -1.00 (using 95.0% confidence)

Lambda

Box-Cox Plot of Data

Gambar 8. Time Series Plot data Simulasi dan Plot Box-Cox

Dari gambar plot diatas dapat dilihat bahwa data belum stasioner dalam variansi maupun rata-rata. Maka dari itu dilakukan transformasi sebanyak 1 kali dengan memangkatkan data dengan nilai estimate yaitu 0,53 dan differencing 2 kali sehingga

time series plot menjadi

50

Time Series Plot of Diff_ 2

(8)

Karena data sudah stasioner dalam variansi dan rata-rata maka dilanjutkan untuk mencari nilai ACF dan PACF

4.1.1.2 Mencari Nilai ACF dan PACF

11

Autocorrelation Function for Diff_ 2

(with 5% significance limits for the autocorrelations)

11

Partial Autocorrelation Function for Diff_ 2

(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

Gambar 10. ACF dan PACF data Simulasi

Dari gambar diatas diketahui bahwa ACF cut off di lag 1 dan PACF cut off di lag 5. Nilai ACF menunjukkan parameter untuk Moving Average (MA) dan PACF merupakan parameter untuk Autoregressive (AR). Sedangkan Integrated menunjukkan berapa kali data di differencing. Karena data di differencing 2 kali, maka model peramalan sementara untuk data penjualan adalah ARIMA (5,2,1). Sehingga kombinasi model ARIMA adalah sebagai berikut

ARIMA (0,2,1) ARIMA (2,2,1) ARIMA (4,2,1) ARIMA (1,2,0) ARIMA (3,2,0) ARIMA (5,2,0) ARIMA (1,2,1) ARIMA (3,2,1) ARIMA (5,2,1) ARIMA (2,2,0) ARIMA (4,2,0)

4.1.1.3 Mencari Model Terbaik

Semua model sementara diatas diuji kesesuaian modelnya, apakah model ARIMA tersebut layak digunakan dalam peramalan apa tidak. Asumsi yang harus dipenuhi adalah Setiap parameter model harus signifikan, uji White Noise atau uji kecocokan model, dan residual data harus berdistribusi normal. Dari semua model tersebut, yang memenuhi semua kriteria asumsi diatas adalah model peramalan ARIMA (0,2,1), ARIMA (1,2,1), ARIMA (2,2,0), ARIMA (3,2,0) dan ARIMA (5,20). Karena terdapat lebih dari satu model sementara yang memenuhi asumsi, maka dilihat nilai SSE yang paling kecil. Dari kelima model sementara tersebut, nilai SSE terkecil ada pada model ARIMA (1,2,1), maka ARIMA (1,2,1) merupakan model terbaik yang kita dapat. Berikut adalah hasil dari analisis yang dilakukan

ARIMA Model Parameter P-value Kesimpulan

(0,2,1) MA(1) _θ₌_0,9921 0,000 Signifikan

(1,2,0) AR(1) _ϕ₌₋_0,6672 0,000 Signifikan

(9)

(2,2,1) AR(1)

Gambar 11. Tabel Uji Parsial

Dari tabel diatas diketahui model ARIMA yang signifikan adalah ARIMA (0,2,1), ARIMA (1,2,0), ARIMA (1,2,1), ARIMA (2,2,0), ARIMA (3,2,0), dan ARIMA (5,2,0) sehingga hanya keenam model tersebut yang dilakukan pengujian White Noise.

Uji White Noise (Kecocokan Model)

ARIMA Lag P-value Kesimpulan

(10)

(5,2,0) 12 24 36

0,633 0,636 0,278

Signifikan Signifikan Signifikan

Gambar 12. Tabel Uji White Noise

Dari keenam model tersebut yang signifikan adalah model ARIMA (0,2,1), ARIMA (1,2,1), ARIMA (2,2,0), ARIMA (3,2,0) dan ARIMA (5,2,0). Maka pada kelima model tersebut dilakukan pengujian kenormalan residual.

ARIMA P-value Kesimpulan

(0,2,1) 0,150 Berdistribusi normal

Gambar 13. Tabel Uji Kenormalan Residual

Karena kelima model ARIMA tersebut berdistribusi normal, maka untuk menentukan model terbaiknya lihat SSE yang paling kecil. Berikut adalah SSE kelima model ARIMA tersebut:

ARIMA (0,2,1) = 0,719515 ARIMA (1,2,1) = 0,632027 ARIMA (2,2,0) = 0,954601 ARIMA (3,2,0) = 0,814106 ARIMA (5,2,0) = 0,665066

Nilai SSE terkecil terdapat pada model ARIMA (1,2,1) dengan nilai 0,632027 jadi model terbaik untuk peramalan data simulasi adalah ARIMA (1,2,1)

0.3 0.2 0.1 0.0 -0.1 -0.2 -0.3

99

95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5

1

RESI3

P

e

rc

e

n

t

Mean 0.01265 StDev 0.1220 N 43 KS 0.098 P-Value >0.150

Probability Plot of RESI3 Normal

Gambar 14. Plot Residual

Hipotesis

(11)

H0 : ϕ1=0

(Nilai parameter model AR (1) tidak signifikan berbeda dengan nol) H1 : ϕ1≠0

(Nilai parameter model AR (1) signifikan berbeda dengan nol) Taraf Signifikansi

α=5

Daerah Kritis

kepercayaan 95%. Maka dapat disimpulkan bahwa nilai parameter model AR (1) signifikan berbeda dengan nol

Hipotesis untuk MA (1) H0 : θ1=0

(Nilai parameter model MA (1) tidak signifikan berbeda dengan nol) H1 : θ1≠0

(Nilai parameter model MA (1) signifikan berbeda dengan nol) Taraf Signifikansi

α=5

Daerah Kritis

kepercayaan 95%. Maka dapat disimpulkan bahwa nilai parameter model MA (1) signifikan berbeda dengan nol

Uji Kecocokan Model (White Noise)

Hipotesis

H0 : ρ1=ρ2=…=ρk=0

(Residual memenuhi syarat White Noise)

H1 : ∃ρi≠0;i=1,2,… , k

(Residual tidak memenuhi syarat White Noise) Taraf Signifikansi

α=5

Daerah Kritis

(12)

Karena nilai p-value pada lag 12, 24, dan 36 berturut-turut adalah 0,632 ; 0,859 ; 0,409 > α=0,05 maka diputuskan H0 gagal ditolak pada taraf kepercayaan 95%.

Maka dapat disimpulkan bahwa residual memenuhi syarat White Noise

Hipotesis

H0 : Residual data berdistribusi normal

H1 : Residual data tidak berdistribusi normal

Taraf Signifikansi

α=5

Daerah Kritis

Karena nilai p-value = 0,150 > α=0,05 maka diputuskan H0 gagal ditolak pada

taraf kepercayaan 95%. Maka dapat disimpulkan bahwa residual data berdistribusi normal

Penurunan Model

Model ARIMA secara umum

ϕ_p(B) (1−B)dZ_t=θ_q(B)a_t

ARIMA (1,2,1) dengan transformasi satu kali

ϕ₁(B) (1−B)2Z_t¿

=θ₁(B)a_t¿

[1−ϕ1(B)]

(

1−2B+B2

)

Zt¿=[1−θ1(B)]at¿

Zt

¿_−ϕ

1Zt

¿₍

B)−2Zt

¿₍

=at

¿

−θ1at

Zt−2

¿ _−ϕ

1Zt−3

¿

=a_t¿

−θ₁a_t¿₋₁ Z_t¿

=

₍

ϕ1+2

)

Zt−1

¿

−

₍

2ϕ1+1

)

Zt−2

¿

+ϕ1Zt−3

¿

−θ₁a_t¿₋₁ +a_t¿

Z_t¿

=(−0,3474+2)Z_t¿₋₁

−

(

2(−0,3474)+1

)

Z_t¿₋₂

+(−0,3473)Z_t¿₋₃

−0,9875a_t¿₋₁

+a_t¿

Z_t¿

=1,6526Z_t¿₋₁

−0,3052Z_t¿₋₂

−0,3474Z_t¿₋₃

−0,9875a_t¿₋₁

+a_t¿

4.1.1.5 Hasil Peramalan

(13)

estimate pada plot box-cox. Hasil peramalan atau forecast dari data penjualan selama 5 periode waktu kedepan adalah sebagai berikut:

t Foreca_st

46 1.98026 47 2.0233 48 2.06385 49 2.10755 50 2.1525

Gambar 15. Tabel Hasil Forecast Data Simulasi

5. Kesimpulan

Dari hasil analisis yang telah dilakukan dalam hal explanation dapat disimpulkan:

 Model peramalan ARIMA yang terbaik untuk data penjualan PT. XXX adalah ARIMA (0,2,1)

 Model peramalan ARIMA yang terbaik untuk data simulasi adalah ARIMA (1,21)