Aplikasi Metode Lagrange pada Fungsi Pro

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang

Sudah menjadi hal yang biasa, dalam kehidupan sehari-hari baik disadari maupun tidak, kita pasti selalu melakukan optimasi untuk memenuhi kebutuhan. Optimasi yang dilakukan oleh masyarakat awam lebih banyak dilandasi oleh intuisi daripada teori optimasi. Dalam bidang ekonomi optimasi sangat dibutuhkan, sering kita dihadapkan pada persoalan penyelesaian termurah dengan memenuhi kendala yang ada.

Dalam hal ini akan dibahas teori produksi. Teori produksi pada ilmu ekonomi membantu menganalisis besarnya produksi suatu barang berdasarkan besarnya masukan. Jenis masukan ini antara lain jumlah pekerja, mesin, modal, dan bahan mentah.

Berdasarkan kepentingan produsen, tujuan produksi adalah untuk menghasilkan barang yang dapat memberikan laba, dimana kita membutuhkan optimasi. Tujuan tersebut dapat tercapai, jika barang atau jasa yang diproduksi sesuai dengan kebutuhan masyarakat.

BAB II KAJIAN TEORI

Secara umum, produksi dapat diartikan sebagai kegiatan optimalisasi dari faktor-faktor produksi seperti tenaga kerja, modal, dan lain-lain oleh perusahaan untuk menghasilkan produk berupa barang dan jasa. Secara teknis, kegiatan produksi dilakukan dengan mengkombinasikan beberapa input untuk menghasilkan sejumlah output.

Fungsi produksi adalah hubungan fisik antara masukan produksi (input) dan produksi (output). Proses produksi merupakan suatu tindakan yang dilakukan oleh stakeholders ekonomi (dalam hal ini firm / perusahaan) dengan mengoptimalkan input untuk memaksimalkan output.

Pada tahun 1982 fungsi Cobb-Douglas dikembangkan oleh peneliti sehingga namanya bukan saja “fungsi produksi”, tetapi juga yang lain, yaitu “fungsi biaya dan fungsi keuntungan”. Hal ini menunjukkan bahwa fungsi Cobb-Douglas memang dianggap penting.

Fungsi produksi Cobb-Douglas diperkenalkan oleh Cobb, C.W dan Douglass, P.H (1982), yang dituliskan dan dijelaskan Cobb, C.W dan Douglass, P.H dalam artikelnya “A Theory of Production”. Artikel ini dimuat dalam majalah American Economic Review 18, halaman 139-165.

Bentuk umum fungsi produksi Cobb-Douglass yaitu

z=β PαM1−α

dimana :

α , β=¿ Konstan, 0<α<1 ,

P=¿ Menyatakan pekerja

BAB III PEMBAHASAN

Misalkan diketahui fungsi produksi Cobb-Douglass _z=36P13_M 2 3

dengan P dan M menyatakan besaran pekerja dan modal. Dimana gaji suatu pekerja adalah Rp. 2000 dan satu satuan untuk modal adalah Rp. 3000. Untuk memproduksi barang dibutuhkan dana Rp. 6000.000. Tentukan gaji pekerja dan modal yang dibutuhkan agar produksi optimum!

Jawab :

Diketahui : _z=36P13_M23

dengan kendala

2.000P+3.000M=6.000.000 2P+3M=6.000

2P+3M−6.000=0

Titik optimum dapat dicari dengan menggunakan Metode Lagrange. Dapat didefinisikan funsi Lagrange :

F(P , M)=36P 1

3_M23_{+λ(2P+3M−6.000)}

Maka syarat perlu untuk memaksimumkan F adalah

Dari (1) diperoleh :

Dari (2) diperoleh :

3λ=−24P

Dengan mengeliminasi (4) dan (5) diperoleh M=4

3 P Substitusikan nilai M ke persamaan (3), diperoleh :

∂2F

∂ M2

|

(1.000;1.333,33)=−8P 1 3_M

−4

3 _=−0,00881

∂ g

∂ P

|

(1.000;1.333,33)=2 ∂ g

∂ M

|

(1.000;1.333,33)=3

Sehingga diperoleh Matriks Hancock :

|

(

L₁₁−z

)

L₁₂ g₁₁ L21

(

L22−z

)

g12 g₁₁ g₁₂ 0

|

=0

|

−0,004953−z 0,006604 2 0,006604 −0,00881−z 3

2 3 0

|

=0

z=−0,0122

Karena nilai z negatif, maka penyelesaiaan diatas yaitu P=1.000 dan M=1.333,33 adalah titik maksimum dengan nilai z=43611 .

Jadi , agar produksi optimum gaji pekerja sebesar Rp 1.000 dengan modal Rp 1.333 .

DAFTAR PUSTAKA

http://fmipa.unmul.ac.id/pdf/128