1 Faktorisasi Pada Matriks Ekuivalen Bertanda Positif Total
(Factorization on totally positive sign equivalent matrices) Oleh : Aleksander Hutauruk
( Di bawah bimbingan Muhafzan, Ph.D dan Jenizon, M.Si ) ABSTRACS
Factorization of matrices is the multiply of matrices which is suitable with where A is as input matrix and , is as factorial matrices that is matrices suitable with in a certain condition. The number of k represents the number of factorial matrix F.
Factorization on totally positive sign equivalent matrices that the matrices being able to be D1QD2, with Q is totally positive matrix, D1 and D1 are diagonal matrices with main diagonal elements equal to .
Theorem in factorization on totally positive sign equivalent matrices that every square real matrix n x n, n ≥ 2 is result of multiplical totally positive sign equivalent matrices, indicated and stated based on facts in Lowner-Neville factorization, the concept about matrix and facorization matrix. One of them is facorization : Cholesky, LU, and QR.
Keywords:Totally positive matrix, Totally positive sign equivalent matrix, Factorization on totally positive sign equivalent matrix, Lowner-Neville factorization.
I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Faktorisasi matriks merupakan cara untuk menyatakan hubungan sebuah matriks sebagai perkalian dari matriks-matriks lain. Sedangkan matriks itu sendiri adalah suatu susunan berbentuk persegi panjang dari entri-entrinya. Selanjutnya, terdapat berbagai macam tipe matriks berdasarkan pengamatan ukuran maupun karakteristik dari entri matriks tersebut.
Dengan adanya berbagai macam tipe matriks menimbulkan pula berbagai macam cara untuk memfaktorkan suatu matriks, diantaranya dikenal sebagai: faktorisasi
Cholesky, faktorisasi LU, faktorisasi SVD, faktorisasi QR dan faktorisasi
Loewner-Neville. Penggunaan masing-masing faktorisasi ini tergantung pada tipe matriks yang
difaktorkan ataupun tipe matriks sebagai faktor pada perkalian.
Disamping cara memfaktorkan matriks tersebut, terdapat suatu cara lain yang dinamakan faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total yakni cara memfaktorkan suatu matriks persegi dalam bentuk perkalian matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. Matriks ekuivalen bertanda positif total itu sendiri adalah suatu matriks yang dapat dinyatakan sebagai D1QD2, dimana Q adalah matriks positif total, D1 dan
2
D masing-masing merupakan matriks diagonal dengan entri diagonal utama 1. Sebuah fakta pada faktorisasi Loewner-Neville bahwa setiap matriks riil persegi merupakan perkalian dari matriks-matriks bidiagonal. Fakta ini sebagai gagasan pokok yang digunakan oleh Daniel Hershkowitz dan Allan Pinkus (2006) dalam artikel On
Nonnegative Sign Equivalent and Sign Similar Factorizations of Matrtices pada suatu
teorema bahwa setiap matriks riil persegi adalah perkalian dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
2 matriks riil berukuran n n, n 2 dapat difaktorkan menjadi perkalian matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
1.2. Perumusan Masalah
Diberikan matriks riil A berukuran n x n dengan n 2, bagaimana memfaktorkan matriks A sedemikian sehingga matriks A merupakan perkalian dari matriks – matriks ekuivalen bertanda positif total.
1.3. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah menunjukkan bahwa faktorisasi matriks persegi riil merupakan perkalian dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total dengan membuktian suatu teorema yang berkaitan dengan hal tersebut.
1.4. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
- Menambah pengetahuan penulis mengenai faktorisasi pada matriks persegi riil khususnya pada matriks ekuivalen bertanda positif total.
- Sebagai bahan masukan untuk peneliti selanjutnya dalam mengembangkan dan memperluas cakupan penelitian ini.
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Teori Dasar Matriks Definisi 2.1.1 (Anton, 1988)
Suatu matriks mempunyai ukuran yang diperoleh berdasarkan banyaknya baris dan kolom dalam matriks tersebut. Suatu matriks A yang berukuran m x n disimbolkan
dengan Amxn dan dapat ditulis:A = ,
a a
a
a a
a
a a
a
mn m
m
n n
2 1
2 22
21
1 12
11
aij entri baris ke-i dan kolom
ke-j, i= 1,2,…,m dan j= 1,2,…,n. Definisi 2.1.2. (Leon, 2001)
Suatu matriks persegi D merupakan matriks diagonal jika entri – entri dij 0 untuk
j i .
Definisi 2.1.3. (Leon, 2001)
Matriks identitas adalah matriks I = aij berorde n x n, dimana
j i jika
j i jika aij
0 1
ij
a adalah entri-entri dari matriks yang terletak dibaris ke i dan kolom ke j. Definisi 2.1.4. (Zwillinger, 2003)
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang entri dibawah atau diatas garis diagonal utama adalah nol.
Definisi 2.1.5. (Golub & Loan , 1996)
Suatu matriks persegi D dij merupakan matriks bidiagonal jika entri-entri yang mungkin tak nol adalah dii dengan i 1,...,n, dan dj,j 1(atau dj 1,j), dengan j=
1,2,...n – 1. Khususnya jika entri dii 1, untuk i 1,,n dinamakan matriks bidiagonal elementer (elementary bidiagonal Matrices).
Definisi 2.1.6. ( Leon, 2001).
3 Matriks simetris berukuran n x n disajikan sebagai:
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
A
2 1
2 22
21
1 21
11
Definisi 2.1.7. ( Zwilinger, 2003).
Transpos suatu matriks A berukuran m x n dilambangkan dengan T
A adalah suatu
matriks berukuran n x m dengan baris dan kolom saling berganti sedemikian sehingga komponen baris ke-i kolom ke-j dari matriks A adalah komponen baris ke-j kolom ke-i
dari matriks T
A dan (AT)ji (A)ij aij.
Definisi 2.1.8. ( Zwilinger, 2003).
Misalkan A aij merupakan matriks berukuran m x n dan B bjk matriks berukuran n x p; ( bahwa banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B
), maka AB adalah matriks berukuran m x p yakni matriks C cij dengan elemen
pada baris ke-i kolom ke-j ditentukan oleh
rumus: i j i j in nj
n
k kj ik
ij a b a b a b a b
c 1 1 2 2
1
dengan i 1,...,m dan j 1,...,p.
Definisi 2.1.9. ( Zwillinger, 2003).
Suatu matriks A berukuran n x n dikatakan nonsingular atau invertibel jika terdapat suatu matriks B sedemikian sehingga: AB In BA
Setiap matriks B yang memenuhi sifat tersebut dinamakan invers A ditulis 1 A . Jika A tidak memiliki invers maka A dinamakan matriks singular.
Invers suatu matriks A dirumuskan sebagai:
) det(
) (
1
A A Adj
A , dengan Adj(A) adalah
adjoin dari matriks A sedangkan det( A) merupakan determinan matriks A.
Definisi 2.1.10. (Zwillinger, 2003)
Adjoin suatu matriks A aij berukuran n n ditulis Adj(A) adalah matriks
berukuran n nyang disajikan sebagai:
nn n
n
n n
A A
A
A A
A
A A
A
A Adj
2 1
2 22
12
1 21
11
)
( , dimana Aij
merupakan kofaktor aij.
Definisi 2.1.11. . (Hager, 1988)
Suatu matriks A disebut matriks ortogonal jika hasilkali A dan transposnya yaitu T A
adalah matriks identitas atau ATA AAT I dengan I matriks identitas. Definisi 2.1.12 (Jacob, 1990)
Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah penerapan diantara hal berikut pada matriks:
(i). Mengalikan salah satu baris dengan suatu bilangan skalar tak nol. (ii). Menjumlahkan suatu hasilkali dari salah satu baris pada baris lainnya. (iii). Mempertukarkan dua baris.
Definisi 2.1.13 (Jacob, 1990)
Matriks elementer n n adalah suatu matriks yang diperoleh dari matriks identitas
n
4 2.2. Minor dan Determinan Matriks
Definisi 2.2.1. ( Leon, 2001).
Minor baris ke-i kolom ke-j (ditulis Mij) adalah determinan matriks berukuran
) 1 ( ) 1
(n n dari suatu matriks berukuran n x n tanpa entri baris ke-i dan entri kolom ke-j.
Definisi 2.2.2. (Zwillinger, 2003)
Kofaktor baris ke-i kolom ke-j dari matriks persegi A aij berukuran n n ditulisAij
adalah hasil kali 1i jMij dimana Mij merupakan determinan dar matriks A dengan
menghapus elemen baris ke-i dan elemen kolom ke-j (Mij biasa disebut minor dari aij) .Definisi 2.2.3. (Strang, 1988).
Determinan dari matriks persegi A aij berukuran n x n biasa ditulis A atau det(A) dapat dibedakan oleh formula berikut:
a. Matriks persegi berukuran 2 x 2:
22 21
12 11
a a
a a
A , maka deteminan dari A adalah:
det(A) = a11a22 a12a21 ... (1.1) b. Matriks persegi ukuran n (dengan n > 2)
Misalkan A merupakanmatriks persegi ukuran n x n, dengan n > 2 ditulis A aij
dimana aijadalah entri pada baris ke i dan kolom ke j untuk i 1,,ndan j 1,,n
maka determinannya dapat dihitung dengan ekspansi kofaktor dari salah satu baris atau salah satu kolom. Dengan ekspansi kofaktor baris ke-i atauekspansi kofaktor kolom
ke-j, maka determinan matriks A adalah:
i i i i in in
n
j ij
ijA a A a A a A
a
A 1 1 2 2
1 )
det( ... (1.2)
atau j j j j nj nj
n
i ij
ijA a A a A a A
a
A 1 1 2 2
1
)
det( ... (1.3)
2.3. Faktorisasi dalam matriks Definisi 2.3.1. (Hager, 1988) .
Faktorisasi Cholesky adalah faktorisasi suatu matriks persegi H yang dinyatakan sebagai bentuk perkalian matriks T
KK
H dengan K adalah matriks segitiga bawah yang disebut segitiga Cholesky (Cholesky triangle). Sebagai ilustrasi, misalkan matriks H
sebagai berikut:
nn n
n
n n
h h
h
h h
h
h h
h
H
2 1
2 22
21
1 12
11
dengan hij hji (i = 1,...,n dan j = 1,...,n).
Ambil
nn n
n ii
k k
k k k
k
K
2 1
22
21 0
0 0
maka
nn n n ii
T
k k k
k k
k
K
0 0
0 22 2
1 21
5 nn n n n n h h h h h h h h h 2 1 2 22 21 1 12 11 nn n n ii k k k k k k 2 1 22 21 0 0 0 nn n n ii k k k k k k 0 0
0 22 2
1 21
... (2.1)
Dengan menyelesaikan (2.1) diperoleh:
i 1 p 2 ip ii k
h ... (2.2) j i p jp ip
ij k k
h
, min
1
, dengan i j ... (2.3) Definisi 2.3.2. (Hager, 1988).
Faktorisasi LU adalah suatu bentuk perkalian dari suatu matriks A yang dinyatakan sebagai hubungan A = LU dimana L adalah matriks segitiga bawah dan U merupakan matriks segitiga atas. Khususnya, jika matriks A berukuran 3 x 3, yakni:
33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A
maka hubungan pada faktorisasi LU menjadi:
33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a 33 32 31 22 21 11 0 0 0 l l l l l l 33 23 22 13 12 11 0 0 0 u u u u u u
... ( 2.4)
dimana 33 32 31 22 21 11 0 0 0 l l l l l l
L , dan
33 23 22 13 12 11 0 0 0 u u u u u u
U . Persamaan (2.4) berakibat:
11 11 11 l u
a , a12 l11u12 dan a13 l11u13 atau
13 13 12 12 11 11 11 u a u a u a l 11 21 21 l u
a , a22 l21u12 l22u22 dan a23 l21u13 l22u23
11 31 31 l u
a , a32 l31u12 l32u22 dan a33 l31u13 l32u23 l33u33
Sebagai contoh pehatikan matriks
22 18 6 7 7 4 2 2 2
A . Dengan operasi baris elementer
faktorisasi ditulis sebagai:
4 0 0 3 3 0 2 2 2 1 2 3 0 1 2 0 0 1 22 18 6 7 7 4 2 2 2
Definisi 2.3.3. (Hager, 1988).
Suatu faktorisasi QR dari suatu matriks persegi A yang riil adalah suatu bentuk perkalian matriks yang dinyatakan sebagai A = QR dimana Q merupakan matriks ortogonal dan R matriks segitiga atas.
Sebagai contoh, perhatikan matriks:
6 Dengan MATLAB diperoleh
3 3 0
4 4 0
7 0 12
26 0 9
A
0 5 / 3 0
0 5 / 4 0
5 / 3 0 5 / 4
5 / 4 0 5 / 3
QR
25 0 0
5 5 0
10 0 15
Definisi 2.3.4. (Fiedler & Markham, 1997)
Suatu faktorisasi dari matriks persegi A berukuran n x n disebut faktorisasi Loewner-Neville jika A dapat dinyatakan sebagai: A = BDC ... (2.6)
dimana D adalah matriks diagonal, Bdan C masing-masing adalah hasilkali dari matriks-matriks bidiagonal yaitu: B B1B2 Bn 1 ... (2.7) dan C Cn 1Cn 2C1 ... (2.8)
dengan Bidan Ciuntuk i 1,,n 1disajikan sebagai:
1 1
1 0 1 0 1
1 1
ni i
n i
b b
B
,
... (2.9)
dan
1 1
1 0 1
0 1
1 1
in i
n i
c c
C
,
... (2.10)
Sebagai contoh perhatikan matriks berukuran 3 3:
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
A
Sesuai definisi (2.3.4), ambil matriks diagonal:
3 2 1
0 0
0 0
0 0
d d d
D ,
Sesuai (2.9) dan (2.10) matriks bidiagonal:
1 0
0 1 0
0 0 1
31 1
b
B ,
1 0
0 1
0 0 1
32 21 2
b b
B ,
dan
1 0 0
1 0
0 0 1
13
1 c
C ,
1 0 0
1 0
0 1
23 12
2 c
c
C . Dengan menyelesaikan persamaan (2.7)
dan (2.8) diperoleh:
1 0 1
0 0 1
32 31 31 21
21
b b b b
b
B dan
1 0
0 1 0 1
23 13
13 12 12
c c
7 Sehingga faktorisasi Loewner-Neville dari matriks A dinyatakan dengan:
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
1 0 1
0 0 1
32 31 31 21
21
b b b b
b
3 2 1
0 0
0 0
0 0
d d d
1 0 0
1 0
0 1
23 12
c c
33 32 31
23 22 21
13 12 11
... (2.11)
dimana: 11 d1, 12 d1c12, 13 d1c12c13, 21 d1b21, 22 d2 d1b21c12,
)
( 13 23
2 13 12 21 1
23 db c c d c c , 31 d1b21b31, 32 d1b21b31c12 d2(b31 b32), 3
23 13 32 31 2 13 12 31 21 1
33 db b c c d (b b )(c c ) d ... (2.12)
III. METODOLOGI PENILITIAN 3.1. Tempat dan Waktu
Penelitian ini dilakukan pada perpustakaan jurusan Matematika Universitas Andalas, dan Pustaka Digital (Digital Library) dari berbagai situs matematika sesuai dengan permasalahan yang dihadapi dan berlangsung sejak Desember 2007 sampai April 2008.
3.2. Metode
Penelitian ini merupakan penelitian deskriptif dan analitik yang menggunakan analisa teori yang relevan dengan masalah yang dibahas dan berlandaskan pada studi kepustakaan. Dalam melakukan penelitian ini penulis memulai dengan meninjau permasalahan, mengumpulkan teori-teori yang didapat sebagai penunjang untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dan terakhir menarik kesimpulan dari permasalahan yang telah dibahas.
Langkah - langkah kerja yang dilakukan pada penelitian adalah: 1. Meninjau konsep-konsep dasar matriks
2. Meninjau konsep-konsep faktorisasi pada matriks.
3. Meninjau tentang matriks positif total danmatriks ekuivalen bertanda positif total . 4. Menyelesaikan masalah faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total dengan
teori-teori dan algoritma yang berhubungan dengan pemecahan masalah tersebut. 5. Menyimpulkan hasil yang diperoleh.
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Matriks Positif Total
Definisi 4.1.1. (Hershkowitz & Pinkus, 2007)
Suatu matriks A dinamakan matriks positif total jika setiap minor dari matriks A adalah
nonnegatif. Secara khusus, jika A berukuran 2 x 2, yakni:
22 21
12 11
a a
a a
A maka A
merupakan matriks positif total jika: det( A) a11a22 a12a21 0 .... (3.1)
dan jika A matriks berukuran 3 x 3, yakni:
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
A maka A adalah
matriks positif total jika setiap nilai minornya adalah nonnegatif atau M11
0 32 23 33 22 33 32
23 22
11 a a a a
a a
a a
M , 21 33 23 31 0
33 31
23 21
12 a a a a
a a
a a
8
0 31 22 32 21 32 31
22 21
13 a a a a
a a
a a
M , 12 33 13 32 0
33 32
13 12
21 a a a a
a a
a a
M ,
0 31 13 33 11 33 31
13 11
22 a a a a
a a
a a
M , 11 32 12 31 0
32 31
12 11
23 a a a a
a a
a a
M ,
0 22 13 23 12 23 22
13 2 ` 1
31 a a a a
a a
a a
M , 11 23 13 21 0
23 21
13 11
32 a a a a
a a
a a
M , dan
0 21 12 22 11 22 21
12 11
33 a a a a
a a
a a
M ... (3.2)
Sebagai contoh diberikan
4 1
5 2
A , akan diselidiki apakah A adalah matriks positif total. Karena det( A) 3 0 maka sesuai (3.1) A adalah matriks positif total.
Contoh lainnya misalkan
4 2 1
2 3 2
0 1 1
A , akan diselidiki apakah A adalah matriks positif total. Dengan memeriksa minor-minor dari A yaitu:
8 4 2
2 3
11
M , 6
4 1
2 2
12
M , 1
2 1
3 2
13
M , 4
4 2
0 1
21
M ,
4 4 1
0 1
22
M , 1
2 1
1 1
23
M , 2
2 3
0 1
31
M , 2
2 2
0 1
32
M ,
1 3 2
1 1
33
M .
Karena Mij 0 untuk i 1,2,3 dan j 1,2,3, maka sesuai (3.2) jelas A adalah matriks positif total.
Beberapa tipe matriks khusus yang memenuhi matriks positif total berdasarkan definisi (4.1.1), diantaranya :
1). Matriks Identitas a. Ukuran 2 2:
1 0
0 1
I ,det(I) 1 0 berarti matriks ini adalah matriks positif total.
b. Ukuran n n dengan n 2
Sesuai definisi minor pada baris ke-i kolom ke-j (Mij) dari suatu matriks, maka minor matriks identitas berukuran n n tersebut adalah:
0 1
ij
M
untuk untuk
j i
j i
Dengan hasil ini diperoleh bahwa setiap minor dari matriks identitas berukuran
n
n adalah nonnegatif. Menurut definisi (4.1.1), jelas bahwa matriks identitas termasuk matriks positif total.
2). Matriks diagonal
9 n
d d
d
D
0 0
0 0
0 0
2 1
dengan mengambil entri diagonal di 0 dimana i 1,...,n maka semua minor matriks D adalah nonnegatif. Sesuai definisi (4.1.1), D dengan kondisi tersebut merupakan matriks positif total.
3). Matriks Bidiagonal
Berdasarkan definisi (2.1.5), maka matriks bidiagonal D (dij) berukuran n x n
adalah:
a). Untuk entri-entri yang bukan dii, i 1,...,n dan dj(j 1), j 1,...,n 1adalah nol
dapat disajikan sebagai:
nn n n n
n
d d d
d d d d
D
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
) 1 ( ) 1 )( 1 ( 23 22 12 11
Dengan mengambil kondisi entri dii 0, i 1,...,n dan dj(j 1) 0, j 1,...,n 1, jelas bahwa semua nilai minornya adalah nonnegatif. Menurut definisi (4.1.1), maka matriks bidiagonal dengan kondisi tersebut merupakan matriks positif total.
b). Untuk entri-entri yang bukan dii, i 1,...,n dan d(j 1)j, j 1,...,n 1 adalah nol dapat disajikan sebagai:
nn n
n n n n
n
d d
d d
d d d
D
) 1 (
) 1 )( 1 ( ) 2 )( 1 ( 22 21 11
0 0
0
0 0
0
0 0
0 0
0
Dengan mengambil kondisi entri dii 0, i 1,...,n dan d(j 1)j 0, j 1,...,n 1 jelas bahwa semua nilai minornya adalah nonnegatif. Menurut definisi (4.1.1), maka matriks bidiagonal dengan kondisi tersebut merupakan matriks positif total.
4). Matriks segitiga
a). Matriks segitiga bawah
Sesuai definisi (2.1.4), matriks segitiga bawah berukuran n n dapat disajikan sebagai:
nn n
n l l
l l l l
L
2 1
22 21 11
10 Dengan mengambil kondisi entri lij 0, i j jelas bahwa semua nilai minor lij
adalah nonnegatif. Sesuai definisi (4.1.1), matriks segitiga bawah dengan kondisi tersebut adalah matriks positif total.
b). Matriks segitiga atas
Sesuai definisi (2.1.4), matriks segitiga atas berukuran n n dapat disajikan sebagai:
nn n n
u u u
u u
u
U
0 0
0 22 2
1 12
11
Dengan mengambil konidisi uij 0 untuk i j jelas semua nilai minor uij adalah
nonnegatif. Sesuai definisi (4.1.1), maka matriks segitiga atas dengan kondisi tersebut merupakan matriks positif total.
4.2. Matriks Ekuivalen Bertanda Positif Total Definisi 4.2.1. (Hershkowitz & Pinkus, 2007)
Suatu matriks persegi A disebut matriks ekuivalen bertanda positif total jika A dapat dinyatakan sebagai: A D1QD2 (4.1) dimana Q adalah matriks positif total, D1 dan
2
D merupakan matriks-matriks diagonal dengan entri diagonal utama adalah 1.
Karena D1 dan D2 merupakan matriks diagonal dengan entri pada diagonal 1 maka
1
D dan D2 merupakan matriks nonsingular yakni 1 1
D dan 1 2
D ada. Apabila persamaan (4.1) dikali dari kiri dengan 1
1
D dan dari kanan dengan 1 2
D
diperoleh: 1
2 1 1 AD
D
Q ... (4.2) Kasus 1: Matriks riil A berukuran 2 2, yaitu:
22 21
12 11
a a
a a A
Untuk menyelidiki apakah A merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total dapat dipilih
2 1 1
0 0
d d
D , dan
2 1 2
0 0
D dengan d1,d2, 1, 2 1,1 .
Berdasarkan definisi (4.2.1), pilih
22 21
12 11
q q
q q
Q matriks positif total maka A
merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total jika memenuhi hubungan persamaan (4.1), yaitu:
22 21
12 11
a a
a a
2 1 0
0
d d
22 21
12 11
q q
q q
2 1 0
0
Perhatikan
2 1 1
0 0
d d
D dan
2 1 2
0 0
D adalah matriks-matriks nonsingular
maka :
2 1 1
2 2 1 1 1
/ 1 0
0 /
1
0 0 1
d d d
d d d
D dan
2 1 1
2 2 1 1 2
/ 1 0
0 /
1
0 0 1
11 Karena d1,d2, 1, 2 1,1 jelas 1
1
1 d d
, 2
2
1 d d
, 1
1
1
, dan 2
2
1
akibatnya ,
1 2 1 2
1 1
1
0 0
/ 1 0
0 /
1
D d d d
d
D dan 2
2 1 2
1 1
2
0 0
/ 1 0
0 /
1
D D
Sehingga dengan persamaan (4.2) diperoleh:Q D1AD2 ... (4.3) atau
22 21
12 11
q q
q q
2 1 0
0
d d
22 21
12 11
a a
a a
2 1 0
0
22 2 2 21 2 2
12 2 1 11 1 1
a d a d
a d a d
... (4.4) Dari hubungan (4.4), diperoleh: q11 d1 1a11, q12 d1 2a12 , q21 d2 1a21 dan
22 2 2
22 d a
q
Karena d1,d2, 1, 2 1,1 , maka d1 1 1, d1 2 1, d2 1 1 dan d2 2 1. Karena Q D1AD2 maka det(Q) det( D1AD2),
atau q11q22 q12q21 d1d2 1 2(a11a22 a12a21) ... (4.5) Perhatikan bahwa
22 21
12 11
q q
q q
Q merupakan matriks positif total berarti:
0 ) ( 11 22 12 21 2
1 2 1 21 12 22
11q q q d d a a a a
q
Karena d1,d2, 1, 2 1,1 , maka d1d2 1 2 1. Untuk menentukan apakah
22 21
12 11
a a
a a
A merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total dilakukan dengan memilih Q, D1 dan D2 sebagai berikut:
(1). Jika det( A) a11a22 a12a21 0, maka d1,d2, 1, 2 memenuhi d1d2 1 2 1.
(2). Jika det( A) a11a22 a12a21 0, maka d1,d2, 1, 2memenuhi d1d2 1 2 1.
Untuk kedua hal tersebut ditentukan Q yang memenuhi definisi (4.1.1) dengan
menggunakan hubungan (4.3).
Dengan demikian jikaA adalah matriks riil berukuran 2 2 maka ada 3 matriks
disamping matriks identitas yang dapat dipilih sebagai D1 dan D2 untuk memeriksa
A matriks ekuivalen bertanda positif total , yaitu:
1 0
0 1
,
1 0
0 1
, dan
1 0
0 1
.
Contoh: Akan diperiksa apakah matriks
2 3
6 5
A adalah matriks ekuivalen bertanda positif total.
Karena det( A) 5.2 6.3 8 0 maka d1d2 1 2 1dengan d1,d2 1,1
dan 1, 2 1,1 , Pilih :
1 0
0 1
1
D dan
1 0
0 1
2
D . Dalam hal ini : d1 1,
1 2
d , 1 1 dan 2 1. Akibatnya , q11 5, q12 6 , q21 3 dan q22 2. Dengan hubungan (4.3) diperoleh:
2 3
6 5
12 Jadi, 2 3 6 5 A 1 0 0 1 2 3 6 5 2 1 1 0 0 1 QD D
Kasus 2 : Matriks riil A berukuran 3 3, yaitu:
33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A
Dalam hal ini, untuk menyelidiki apakah A merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total dipilih
3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 d d d
D , dan
3 2 1 2 0 0 0 0 0 0
D , dimana
, ,
, 2 3
1 d d
d 1, 2, 3 1,1 .
Berdasarkan definisi (4.2.1), pilih
33 32 31 23 22 21 13 12 11 q q q q q q q q q
Q yang memenuhi definisi (4.1.1)
sebagai matriks positif total sedemikian sehingga A matriks ekuivalen bertanda positif total jika memenuhi hubungan persamaan (4.1) yaitu:
33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a 3 2 1 0 0 0 0 0 0 d d d 33 32 31 23 22 21 13 12 11 q q q q q q q q q 3 2 1 0 0 0 0 0 0 Perhatikan bahwa 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 d d d
D dan
3 2 1 2 0 0 0 0 0 0
D adalah matriks-matriks
nonsingular yaitu D111 dan 1 2
D ada. Sesuai definisi (2.1.9) yang dirumuskan maka
) ( ) det( 1 1 1 1
1 adj D
D
D dan ( )
) det( 1 2 2 1
2 adj D
D D
Dengan menggunakan hubungan (1.2) pada baris pertama diperoleh determinan D1 dan
2
D yaitu: 2 1 2 3
3 3 2 1 1 0 0 0 ) 0 ( 0 0 0 ) 0 ( 0 0 )
det( d d d d
d d
d d
D
dan 2 1 2 3
3 3 2 1 2 0 0 0 ) 0 ( 0 0 0 ) 0 ( 0 0 )
det( D .
sementara berdasarkan definisi (2.2.1), (2.2.2) dan (2.1.10) diperoleh:
13 2 1 3 1 3 2 2 1 1 2 1 3 1 3 2 3 3 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) (D Adj . Akibatnya , 3 2 1 1 1 / 1 0 0 0 / 1 0 0 0 / 1 d d d
D dan
3 2 1 1 2 / 1 0 0 0 / 1 0 0 0 / 1 D
Karena d1,d2,d3, 1, 2, 3 1,1 , maka 1
1
1 d
d , 2 2
1 d
d , 3 3
1 d
d , 1 1
1
, 2
2
1
dan 3
3
1
. Akibatnya , 1 1
1 D
D dan 1 2
2 D
D Sehingga dengan hubungan persamaan (4.2) diperoleh:
33 32 31 23 22 21 13 12 11 q q q q q q q q q 3 2 1 0 0 0 0 0 0 d d d 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a 3 2 1 0 0 0 0 0 0 33 3 3 32 2 3 31 1 3 23 3 2 22 2 2 21 1 2 13 3 1 12 2 1 11 1 1 a d a d a d a d a d a d a d a d a d ... (4.6)
Dari hubungan (4.6) diperoleh:qij di jaij , dengan di, j { 1,1} ... (4.7)
dimana i 1,2,3 dan j 1,2,3. Perhatikan
33 32 31 23 22 21 13 12 11 q q q q q q q q q
Q merupakan matriks
positif total, karena d1,d2,d3, 1, 2, 3 1,1 maka hasilkali diantara
, d , d ,
d1 2 3 1, 2, 3 adalah 1.
Secara umum, untuk memeriksa apakah matriks riil A aij berukuran n n
adalah matriks ekuivalen bertanda positif total atau bukan, cukup dengan memeriksa setiap kemungkinan matriks Q qij berdasarkan (4.3) yaitu matriks yang memenuhi definisi (4.1.1).
4.3. Faktorisasi Matriks Ekuivalen Bertanda Positif Total
Suatu faktorisasi matriks A merupakan hubungan dari matriks A yang sebagaiA F1.F2...Fk ... (5.1) dengan matriks Fi , i 1,,k memenuhi kondisi-kondisi tertentu.
14 Berdasarkan pengertian umum tersebut, maka hubungan matriks persegi riil A
sebagai perkalian dari D1 dan D2 yakni matriks diagonal dengan entri diagonal utama
1, serta matriks Q yaitu matriks persegi dengan semua nilai minornya adalah nonnegatif memenuhi A D1QD2 dapat disebut sebagai faktorisasi matriks A.
Hubungan ini, oleh Daniel Hershkowitz dan Allan Pinkus (2007) dalam artikelnya disebut sebagai definisi matriks ekuivalen bertanda positif total. Hal ini telah diuraikan pada bagian pembahasan sebelumnya.
Selanjutnya, berdasarkan rumusan masalah pada penelitian yang dilakukan ini yaitu jika diberikan matriks riil A berukuran n x n dengan n 2 , maka A dapat difaktorkan masing-masing menjadi perkalian dari matriks – matriks ekuivalen bertanda positif total akan ditunjukkan dengan membuktikan suatu teorema.
Teorema 4.3.1.
Setiap matriks persegi riil dapat dinyatakan sebagai perkalian dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Bukti :
Misalkan A (aij) matriks berukuran n n akan ditunjukan bahwa A dapat dinyatakan sebagai: A A1.A2...Ak ... (5.2)
dimana Ai, i 1,2,,k adalah matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Karena Ai, i 1,2,,k adalah matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total berarti:
2 1Q D
D
Ai i , dimana:Qi, i 1,2,,k masing-masing adalah matriks positif total,D1,
2
D masing-masing merupakan matriks diagonal dengan entri diagonal utama 1.
Berdasarkan suatu fakta dari faktorisasi Loewner-Neville bahwa setiap matriks persegi merupakan hasilkali matriks-matriks bidiagonal, yaitu untuk
) (aij
A berukuran n n yang memenuhi yang hubungan (2.6) yakni: A BDC dengan D matriks diagonal , B dan C memenuhi persamaan (2.7), (2.8), (2.9) dan
(2.10).
Berdasarkan hubungan (2.7) dan (2.8) maka hubungan (2.6) dapat ditulis sebagai hubungan: A B1.B2...Bn 1.D.Cn 1.Cn 2...C1 ... (5.3)
Dari hubungan (5.3) dapat dianalisis matriks-matriks pada sisi kanan sebagai berikut: Karena D matriks diagonal maka menurut definisi (2.1.2) dapat ditulis sebagai:
n
d d
d
D
0 0
0 0
0 0
2 1
Kasus 1: Jika di 0,i 1,2,,n maka D merupakan matriks positif total karena semua minornya adalah nonnegatif. Maka, jelas bahwa D merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total.
Kasus 2: Jika terdapat di 0 maka D dinyatakan sebagai:
2 2
1
1 2
1
0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
D
d d
d
D
d d
d
D
n
n
15 Dalam hal ini D1 dan D2 adalah matriks diagonal dengan entri pada diagonal utama 1
dan d1 0, yang berarti bahwa:
n
d d
d
0 0
0 0 0
0 0
2 1
adalah matriks positif total.
Akibatnya, menurut definisi (4.2.1) D adalah matriks ekuivalen bertanda positif total. Karena Bi dan Ci matriks-matriks bidiagonal, berarti dapat dinyatakan sebagai:
i) Bi bij , dengan bii 1, i 1,...,n; bj 1,j 0, j 1,...,n 1; dan entri bij lainnya
adalah nol.
ii). Ci cij , dengan cii 1, i 1,2,,n ; cj,j 1 0, j 1,2,,n 1; dan entri cij
lainnya adalah nol.
Kasus 1: bj 1,j 0, j 1,2,,n 1 dan cj,j 1 0, j 1,2,,n 1.
Dalam hal ini minor-minor dari matriks Bi bij dan Ci cij adalah nonnegatif. Sehingga menurut definisi (4.1.1) Bi bij dan Ci cij adalah matriks positif total dan tentu saja merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total.
Kasus 2: Ada bj 1,j 0, j 1,2,,n 1 atau cj,j 1 0, j 1,2,,n 1.
Dalam hal ini, matriks-matriks Bi bij dan Ci cij masing-masing dapat dinyatakan sebagai:
2 1B D
D b
Bi ij i , dengan Bi bij dan bj 1,j 0 untuk j 1,2,,n 1
2 1C D
D c
Ci ij i , dengan Ci cij dan cj,j 1 0 untuk j 1,2,,n 1.
Dalam hal iniD1 danD2 merupakan matriks diagonal dengan entri diagonal utama adalah 1.
Dari kasus 1) dan 2) tentang Bi bij dan Ci cij maka B dan C masing-masing merupakan perkalian matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Perhatikan pada sisi kanan hubungan (5.2) merupakan perkalian sebanyak 2n 1 dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Selanjutnya pada sisi kanan hubungan (5.4) merupakan perkalian sebanyak k matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Dengan mengambil k 2n 1 diperoleh bahwa persamaan (5.2) dan persamaan (5.3) adalah analog, yaitu:
faktor k
k faktor
n
n n
n DC C C AA A
B B B
A 1 2
1 2
1 2 1 1 2
1 ...(5.5)
Dengan demikian suatu matriks riil A berukuran n n, n 2 merupakan hasilkali dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Berdasarkan hubungan persamaan (5.5) terdapat k yang menyatakan banyaknya matriks sebagai faktor dalam faktorisasi.
Sebagaimana pada faktorisasi matriks bidiagonal bahwa banyaknya faktor minimal pada faktorisasi masih merupakan pertanyaan terbuka demikian pula halnya pada faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total.
1). Faktorisasi Cholesky
Untuk kasus matriks berukuran 2 2Faktorisasi Cholesky dinyatakan dengan :
22 21 11 22 21 11 22
21 12 11
0 0
k k k k k k h
16 Sesuai definisi faktorisasi Cholesky matriks segitiga bawah yang disebut segitiga
Cholesky jelas setiap elemen segitiga adalah positif, berarti kii 0, k2i 0 dan k22 0.
Akibatnya , 0
0 0
22 11 22 21 11 22 21 11
k k k k k k k k
. Ambil
2 1 1
0 0
d d
D dan
2 1 2
0 0
D dengan d1,d2, 1, 2 1,1 . Matriks sisi kanan sesuai hubungan pada
faktorisasi Cholesky dengan hubungan (4.4) yakni
:
22 21
12 11
q q
q q
2 1 0
0
d d
22 21 11 0
k k k
2 1 0
0
22 2 2 22 1 2
11 1
1 0
k d k d
k d
diperoleh: q11 d1 1k11 ; q12 0 ; q21 d2 1k21 ;q22 d2 2k22.
Sesuai definisi (4.2.1), bahwa
22 21
12 11
q q
q q
merupakan matriks positif total, maka
0 22 11 2 1 2 1 21 12 22
11q q q d d k k
q yang berarti d1d2 1 2 1.
Sehingga dapat diambil 2 diantara entri diagonal utama D1 dan D2 adalah 1 dan entri
diagonal utama lainnya adalah 1.
Dengan mengambil Q =
22 21
11 0 k k
k
merupakan matriks positif total maka
2 1 22
21 11 22
21 11
1 0
0 1 0
1 0
0 1 0
QD D k
k k k
k k
Menurut definisi (4.2.1), maka
22 21 11 0
k k k
adalah matriks ekuivalen bertanda positif
total. Tanpa mengurangi keumuman dapat disimpulkan bahwa
22 21 11
0 k
k k
juga merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total.
2). Faktorisasi LU
Untuk kasus matriks A berukuran 2 2 dengan faktorisasi LU dinyatakan sebagai:
22 21 11 22 21 11 22
21 12 11
0 0
u u u l l l a
a a a
….. (5.12)
Ambil
2 1 1
0 0
d d
D dan
2 1 2
0 0
D dengan d1,d2 1,1 dan 1, 2 1,1
Perhatikan matriks-matriks sisi kanan faktorisasi (5.12), yakni:
2 1 22 21
12 11 2 1 22
21 11
0 0
0 0 0
q q
q q d d l
l l
... (5.12a) dengan d1,d2, 1, 2 1,1 .
17
22 2 2 21 1 2
11 1 1 2
1 22 21 11 2 1 22
21 12
11 0
0 0 0
0 0
l d l d
l d l
l l d d q
q q q
...(5.12b) dimana q11q22 q12q21 d1d2 1 2l11l22 0.
a. Untuk l11l22 0 berarti untuk matriks D1 dan D2 dapat diambil 2 diantara entri diagonal utama adalah – 1 dan entri diagonal utama yang lain adalah 1.
Satu pasangan matriks D1 dan D2 yang dapat dipilih adalah
1 0
0 1
dan
1 0
0 1
.
Dengan mengambil matriks Q =
22 21
11 0 l l
l
yang merupakan matriks positif total, maka
1 2
22 21
11 22
21 11
1 0
0 1 0
1 0
0 1 0
QD D l
l l l
l l
…..(5.12c) b. Untuk l11l22 0 berarti untuk matriks D1 dan D2 dapat diambil 3 diantara elemen
bernilai –1 dan elemen diagonal lain 1.
Diantara kemungkina D1 dan D2 yang dapat dipilih adalah:
1 0
0 1
dan
1 0
0 1
dengan mengambil Q =
22 21 11 0
l l l
yang merupakan matriks positif total maka:
1 2
22 21 11 22
21 11
1 0
0 1 0
1 0
0 1 0
QD D l
l l l
l l
….. (5.12d)
Dari (5.12c) dan (5.12d) menurut definisi (4.2.1) maka
22 21 11 0
l l l
adalah matriks ekuivalen bertanda positif total.
Dengan cara yang sama untuk matriks segitiga atas
22 21 11
0 u
u u
dapat dikonstruksi
sedemikian sehingga 1 2
22 21 11
0 u DQD
u u
dengan Q matriks positif total, D1 dan D2
matriks diagonal dengan elemen diagonal 1.Sesuai definisi maka
22 21 11
0 u
u u
adalah matriks ekuivalen bertanda positif total.
3). Faktorisasi QR
Sebagaimana pada faktorisasi Cholesky dan faktorisasi LU maka pada faktorisasi
QR dapat pula bahwa pada matriks persegi riil yang merupakan hasilkali matriks ortogonal Q dan matriks segitiga atas R yang juga berbentuk matriks persegi dapat dikonstruksi sebagai hasil kali dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Dalam kasus matriks berukuran 2 2 pada faktorisasi QR dengan memeriksa
determinan matriks ortogonal Q dan matriks segitiga atas R, sedemikian sehingga hubungan A QR sebagai faktorisasi QR juga merupakan faktorisasi matriks ekuivalen
bertanda positif total.
18 Berdasarkan uraian dan contoh serta bukti teorema tersebut diatas maka untuk setiap matriks riil A aij berukuran n n, n 2 difaktorkan menjadi: A A1A2...Ak
dengan Ai, i 1,,k merupakan matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. Untuk memeriksa apakah matriks - matriks Ai, i 1,,k merupakan matriks - matriks yang memenuhi definisi (4.2.1) cukup dengan memeriksa matriks-matriks Qi,
k
i 1,..., sebagai matriks-matriks yang memenuhi definisi (4.1.1) ber - dasarkan
persamaan yang memenuhi hubungan (4.3), yakni: Qi D1AiD2, i 1,2,...,k ... (6.2)
dimana D1 dan D2 adalah matriks diagonal dengan entri diagonal utama 1. V. KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
1). Suatu matriks riil A (aij) berukuran n n, dengan n 2 merupakan matriks positif total apabila setiap minornya adalah nonnegatif.
a). Untuk n 2, matriks riil A merupakan matriks positif total jika det( A) 0. b). Untuk n 2, matriks riil A merupakan matriks positif total jika setiap minor
ij
a ditulis Mijdengan i 1,...,ndan j 1,...,nadalah nonnegatif.
2). Suatu matriks riilA (aij ) berukuran n n, dengan n 2 merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total jika dapat dinyatakan sebagai A D1QD2, dengan
Q adalah matriks positif total, D1 dan D2 merupakan matriks diagonal dengan entri
diagonal utama ± 1. Disajikansebagai:
n nn
n n
n n
n nn
n n
n n
q q
q
q q
q
q q
q
d d
d
a a
a
a a
a
a a
a
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
2 1
2 1
2 22
21
1 12
11 2
1
2 1
2 22
21
1 12
11
dengan dk, k 1,1 untuk k 1,...,n atau :
n nn
n n
n n
n nn
n n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
d d
d
q q
q
q q
q
q q
q
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
2 1
2 1
2 22
21
1 12
11 2
1
2 1
2 22
21
1 12
11
dengan qij di jaij, i 1,...,n ; j 1,...,n dan di, j { 1,1}.
3). Matriks-matriks D1 dan D2 yang dapat dipilih untuk memeriksa suatu matriks berukuran n n sebagai matriks ekuivalen bertanda positive total sebanyak: 2n 1
kemungkinan matriks disamping matriks identitas yakni matriks-matriks diambil
dari kemungkinan penyajian matriks diagonal:
1 0
0
0 1
0
0 0
1
19 5). Setiap matriks riil A berukuran n n, dengan n 2 dapat difaktorkan menjadi hasilkali matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total ditulis sebagai:
k
A A A
A 1. 2... , dengan Ai, i 1,...,k matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Hal ini ditunjukkan berdasarkan sebuah fakta pada faktorisasi Loewner-Neville bahwa setiap matriks persegi adalah hasilkali dari matriks-matriks bidiagonal.
B. Saran
Penelitian selanjutnya dapat dilakukan pada matriks yang lebih umum dan cara pembuktian yang lain. Berlakunya teorema faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total pada penelitian ini hanya dihubungkan dengan faktorisasi: Cholesky, LU
dan QR, selanjutnya dapat dilakukan pada faktorisasi matriks lainnya. DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1988. Aljabar Linier Elementer Edisi Kelima. Erlangga. Jakarta
Fiedler, M & Markham, T.L.1997. Consecutive Column and Row properties of Matrices
and the Loewner-Neville factorization. Linear Algebra and its Applications, 266:
243 – 259. Elsevier Science Inc. New York.
Gasca, M & Peña, J.M. 1996. On Factorizations of Totally Positive Matrices, Total
Positivity and Its Applications, pp. 1-3 Kluwer Academic Publisher. Dordrecht.
Golub, G. H dan Loan, C. F. 1996. Matrix Computations (Third edition). The John Hopkins University Press. Baltimore London.
Hager, W. W. 1988. Applied Linear Algebra.Prentice Hall.Inc. Englewood Cliff, New Jersey.
Harville, D. A. 1997. Matrix Algebra From A Statiscian Perspektive. Springer-Verleg. Inc. New York.
Hershkowitz, D. & Pinkus, A. 2007. On Nonnegative Sign Equivalent and Sign Similar
Factorizations of Matrices. Electronics Journal of Linear Algebra (ELA). ISSN
1081-3810. Volume 16. pp. 162-170.
Horn, R.A & Johnson , C.R. 1985. Matrix Analysis. Cambridge University Press. Jacob, B. 1990. Linear Algebra. W. H. Freeman and Company. New York.
Johnson, C.R, Olesky, D.D & Driessche, P.v. 1999. Elementary Bidiagonal
Factorizations, Linear Algebra and Its Applications, 292:233-234. Elsevier
Science Inc. New York.
Leon,S.J.2001. Aljabar Linier dan Aplikasinya(Terjemahan). Erlangga. Jakarta. Polyanin, A.D. & Manzhirov, A.V. 2007. Mathematics for Engineers and Scientists.
Chapman & Hall. New York.
Riley, K.F, Hobson, M.P & Bence,S.J. 2006. Mathematical Methods for Physics and
Engineering. Cambridge University Press.
Strang, G. 1988. Linear Algebra and Its Applications. Harcourt Brace Jovanovich. Sandiego.
