Program linier, Matrik, dan Vektor

1.

KEMAMPUAN YANG DIUJI

Menyelesaikan masalah program linear

2.

RINGKASAN MATERI

Program linear

Program linear merupakan suatu metode atau prosedur penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear.

1. Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Persamaan Garis : Ax + By © C

Nilai A

( koefisien x ) Tanda © Daerah Penyelesaian

positif (+) > atau  < atau 

 di sebelah

kanan garis

 di sebelah kiri garis

negatif ( -) > atau  < atau 

 di sebelah kiri garis  di sebelah kiri garis

2. Model Matematika dari Masalah Program Linear

Dalam merancang suatu model matematika diperlukan langkah-langkah sebagai berikut:

a. Tuliskan ketentuan-ketentuan yang ada ke dalam sebuah tabel. b. Tetapkan besaran masalah di dalam soal sebagai variabel-variabel. c. Buatlah sistem pertidaksamaan linear dari hal hal yang sudah diketahui d. Tentukan fungsi tujuan , yaitu fungsi yang akan dimaksimumkan atau

diminimumkan ( kalau ada).

3. Menentukan Nilai Optimum dari Fungsi Tujuan.

a. Dengan metode Uji Titik Sudut dapat dikerjakan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

 Lukis daerah penyelesaian dari kendala dalam suatu masalah program linear.

 Tentukan koordinat titik sudut – titik sudut daerah penyelesaian.

 Hitung nilai fungsi tujuan f(x,y) = ax + by untuk masing– masing titik sudut.  Nilai optimum dicari dengan membandingkan nilai – nilai pada langkah c.

b. Dengan metode Garis Selidik, langkah – langkah sebagai berikut :

 Lukis daerah himpunan penyelesaian dari kendala dalam suatu masalah program linear.

 Lukis garis selidik ax + by = k dan selidiki nilainya pada masing – masing titik sudut.

1. Suatu jenis roti x memerlukan 300

gram tepung dan 80 gram mentega. Untuk jenis roti yang lain y memerlukan 200 gram tepung dan 2 Kg mentega. Model matematika dari persoalan ini adalah ....

A. 3x2y 40; 2xy50; x0; y 0

B. 3x2y 40 ; 2xy50; x0; y0

C. 2x3y 40 ; x2y50; x0 ; y 0

D. 2x3y 40; x2y50; x0 ; y 0

E. 3x2y 40 ; 2x y50; x0 ; y 0 2. Daerah yang diarsir pada gambar di

bawah merupakan himpunan

penyelesaian sistem pertidak-samaan … 0,75 m bahan bercorak, sedangkan model B membutuhkan 1,5 m bahan polos dan 0,5 m bahan bercorak. Perusahaan tersebut mempunyai persediaan 27 m bahan polos dan 13 m bahan bercorak. Jika x banyak pakaian model A dan y adalah banyaknya pakaian model B, maka

model matematika dari permasalahan di atas adalah….

A. 5x+6y ≤120; 3x+2y ≤52; x ≥ 0 ; y ≥0 B. 5x+6y ≤108; 3x+2y ≤52 ; x ≥ 0; y ≥ 0 C. 6x+5y ≤120; 3x+2y ≤52; x ≥ 0; y ≥ 0 D. 6x+5y ≤108; 2x+3y ≤26; x ≥ 0; y ≥ 0 E. 6x+5y ≤120; 3x+2y ≤26; x ≥ 0; y ≥ 0

4. Daerah yang diraster pada gambar di bawah

merupakan grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan....

A. 

5. Sebuah rombongan wisata yang terdiri dari 240 orang akan menyewa kamar-kamar hotel untuk satu malam. Kamar yang tersedia di hotel itu adalah kamar untuk 2 orang dan untuk 3 orang. Rombongan itu akan menyewa kamar hotel sekurang-kurangnya 100 kamar. Besar sewa kamar untuk 2 orang dan kamar untuk 3 orang per malam berturut-turut adalah Rp 200.000,00 dan Rp 250.000,00. Besar sewa kamar minimal per malam untuk seluruh rombongan adalah ....

A. Rp 20.000.000,00

B. Rp 22.000.000,00 C. Rp 22.500.000,00 D. Rp 24.000.000,00 E. Rp 25.000.000,00

5. Daerah yang diarsir pada grafik di

samping merupakan himpunan

penyelesaian suatu sistem

pertidaksamaan linier.

Nilai maksimum 5x+ 4y adalah ... .

A. 16

B. 20 C. 23

D. 24

E. 27

7. Nilai maksimum fungsi

sasaran z = 8x + 6y dengan syarat :

60 2 4x y

48 4 2x y

0 

x

0



y

adalah…

A. 132

B. 134

C. 136

D. 144

E. 152

8. Jika diketahui

bahwa P = x + y dan Q = 5x + y, maka nilai maksimum dari P dan Q pada sistem pertidaksamaan

0 

x ;

0



y _;

12 2   y

x _;

12 2x y

adalah …..

A. 8 dan 30

B. 8 dan 6

C. 4 dan 6

D. 6 dan 24

E. 8 dan 24

9. Diketahui model

matematika sebagai berikut.

8 2   y x

7 0x

4 1 y _.

Nilai minimum fungsi sasaran f(x, y) = 5x + 10y adalah…. .

A. 0 C. 5 E. 20

B. 8 D. 10

Y

2x+3y=12 2x + y = 8

10. Luas daerah parkir 176 m2_{, luas rata-rata untuk mobil sedan} 4 m2 _{dan bus 20 m}2_{. Daya tampung} maksimum hanya 20 kendaraan, biaya parkir untuk mobil sedan Rp. 100,00/jam dan untuk bus Rp.200,00/jam. Jika dalam satu jam tidak ada kendaraan yang

datang dan pergi, maka hasil

maksimum yang mungkin didapat oleh tempat parkir itu adalah ....

1.

KEMAMPUAN YANG DIUJI

Menyelesaikan operasi matriks

2.

RINGKASAN MATERI

Matriks

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang teratur dalam baris-baris dan kolom-kolom.

1. Operasi Matriks

Jika A = __ca _db_ dan B = __rp q_s_, maka :

2. Determinan & Invers Matriks

 _{Determinan dari matriks A dinyatakan dengan det(A) atau |A| .}

B A AB 

 _{Invers dari matriks A dinyatakan dengan notasi A}-1

A-1 _{= AA}-1 _{= I}

Matriks

c. Perkalian bilangan dengan matriks

kA = k

=

d. Matriks Transpose

A =  At ₌

   

 

d b

c a

a.

A  B =

b.

AB =

=

XA = B  X = BA-1 _{dan AX = C  X = A}-1 _C A =  |A| = a_{c d}b = ad – bc

B = _

transpose matriks B.

1.

KEMAMPUAN YANG DIUJI

 Menentukan sudut antara dua vektor

2.

RINGKASAN MATERI

Sudut antara Dua Vektor Vektor

Vektor adalah besaran yang memiliki arah dan besar.

1. Notasi :

Sudut antara DuaVektor

B(x₂,y₂,z₂)

A. Penjumlahan/ Pengurangan

B. Penggandaan (perkalian dengn skalar)

C. Perkalian dengan skalar

3.

SOAL PILIHAN

Sudut antara dua vektor

1. Besar sudut antara



saling tegak lurus. Maka nilai p yang memenuhi adalah ... sudut antara vektor a dan b, nilai cos α =

21 8

, dan p adalah bilangan bulat. Maka nilai p yang memenuhi adalah ....

A. – 3

B. – 2

C. 1

E. 3

7. Jika u _{= 15 dan} v _{= 13 dan}

u . v = – 75, maka tan sudut yang dibentuk antara vektor u dan v adalah ...

A. – 13

5

B. – 13 12

C. 13

5

D. 13 12

E. 12 13

8. Diketahui a  2_, b  9_, 5

 b

a _{. Besar sudut antara}

vektor a dan vektor b adalah ….

A. 450

B. 600

C. 1200

D. 13500

E. 1500

9. Jika a 2_, b 3, dan sudut (

b ,

a ) = 120°, maka

.... b 2 a

3  

A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 E. 13

10. Diketahui

6



a _,(a _{–b )(}a _{+b ) =0, dan} a (a –b ) = 3. Besar sudut antara vektor a dan b adalah ….

A.

6



B.

4



C.

3



D.

2



E.

3 2

Substansi 13

: Proyeksi pada

1. KEMAMPUAN YANG DIUJI

 Menentukan panjang proyeksi dan vektor proyeksi

2. RINGKASAN MATERI

Proyeksi Vektor

.

 _{Proyeksi skalar vektor a pada b :}

b b a c  .

 _{Proyeksi vektor (Vektor proyeksi) a pada b :}

b b

b a c  .₂

c adalah proyeksi ortogonal a pada b

a

3. SOAL PILIHAN

1.

dan v 2i 2j4k _{. Proyeksi}

vektor orthogonal u pada v

adalah ….

A. 4i 8j 12k

B. 4i 4j8k

C. 2i 2j4k

D. i 2j3k

E. i  j2k

2.

1 3 2

         

pada vektor b =

p 0 4

         

sama dengan 11

5 . Nilai p

yang memenuhi adalah ....

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

3.

k j i

b 2  3 _{, dan}

k j i

c 4 3 5 _{. Panjang}

proyeksi vektor

c b

a )pada

(  adalah ….

A. 3 2

B. 4 2

C. 5 2

D. 6 2

E. 7 2

4. Diketahui vektor

  

 

  

 

 



5 3

m

b _{. Jika proyeksi scalar}

orthogonal vektor _b pada

vektor _a sama dengan 5 5 3

,

maka nilai m sama dengan … A. 4

B. 5 C. 6 D. 7 E. 8

5. Diberikan

= (2, 5,1). Proyeksi skalar a pada b adalah ...

A. 10 3 1

B.

30 3 1

C.

10 3

10

D. 3

3 1

E.

3 10

6.

9. Panjang proyeksi orthogonal vektor

k

orthogonal dari vektor



terhadap vektor