18. SOAL-SOAL NOTASI SIGMA,
BARISAN, DERET DAN INDUKSI
MATEMATIKA
UN2004 1.Nilai∑
= = − 21 2 ) 6 5 ( n n …. A. 882 B. 1030 C. 1040 D. 1957 E. 2060 Jawab:∑
= = − 21 2 ) 6 5 ( n n (5.2 – 6) + (5.3 – 6) + (5.4 – 6)+…+ (5.21 – 6) = 4 + 9 + 14+ . . .+ 99 a = 4 b = 9 – 4 = 14 – 9 = 5 n = n(akhir) – (n(awal)-1) = 21 – (2-1) = 20 Sn = 2 n (a + Un) = 2 n (2a +(n-1) b) = 2 20 (2. 4 +(20-1) 5) = 10 (8 + 95) = 10 . 103 = 1030 Jawabannya adalah B EBTANAS2000 2. Diketahui∑
= = − 25 5 ) 2 ( k pk 0, maka nilai∑
= = 25 5 ... k pk A. 20 B. 28 C. 30 D. 42 E. 112 Jawab:∑
= = − 25 5 ) 2 ( k pk 0∑
= = − 25 5 ) 2 ( k pk∑
= 25 5 2 k -∑
= = 25 5 k pk 0∑
= 25 5 2 k =∑
= 25 5 k pk 2 (n(akhir) – (n(awal)-1) ) =∑
= 25 5 k pk 2 (25 – (5-1) ) =∑
= 25 5 k pk 2 . 21 =∑
= 25 5 k pk Æ∑
= 25 5 k pk = 42 jawabannya adalah D Catatan :∑
= 25 5 2 k =14 24 4 34 kali n 2 ... 2 2 2+ + + + = 2 . 21 = 42 n = 25 – (5-1) = 21 kali EBTANAS20003. Suku keempat dan suku ketujuh barisan aritmetika berturut-turut adalah 17 dan 29. Suku ke 25 barisan tersebut adalah…. A. 97 B. 101 C. 105 D.109 E. 113 Jawab: U4 = 17 = a + (n-1) b = a + 3b …(1) U7 = 29 = a + (n-1)b = a + 6b …(2) Dari (1) dan (2) a + 3b = 17 a + 6b = 29 - -3b = -12 b = 4 a + 3b = 17 a = 17 – 3b = 17 – 3.4 = 17 – 12 = 5 U25 = a + (25 – 1)b = 5 + 24 . 4 = 5 + 96 = 101 jawabannya adalah B EBTANAS1990
4. Suatu deret aritmetika, diketahui jumlah 5 suku yang pertama = 35 dan jumlah 4 suku yang pertama = 24, suku yang ke 15 = ….
Jawab: S5 = 2 n (2a +(n-1) b) = 2 5 (2a + 4b) = 5a+10b = 35….(1) S4 = 2 4 (2a + 3b) = 4a + 6b = 24 ….(2) dari (1) dan (2) 5a+10b = 35 | x 4 | ⇒ 20a + 40b = 140 4a + 6b = 24 | x 5 | ⇒ 20a + 30b = 120 - 10b = 20 b = 2 5a + 10b = 35 5a = 35 – 10b 5a = 35 – 20 a = 15/5 = 3 U15 = a + (15 – 1)b = 3 + 14 . 2 = 3 + 28 = 31 Jawabannya adalah C UAN2007
5. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah…
A. 840 B. 660 C. 640 D. 630 E. 315 jawab: U3 = a +(n-1) b = a + 2b = 36 …(1) U5 + U7 = a + 4 b + a + 6b = 144 = 2a + 10b = 144 = a + 5b = 72 ….(2) Dari (1) dan (2) a + 2b = 36 a + 5b = 72 - -3b = -36 b = 12 a + 2b = 36 a = 36 – 2b = 36 – 24 = 12 S10 = 2 10 (2. 12 +(10-1) 12) = 5 (24 + 108) = 5 . 132 = 660 EBTANAS1993
6. Jumlah n suku pertama dari sebuah deret aritmetika adalah Sn =
2 1
n (3n – 1 ). Beda dari barisan aritmetika itu adalah….
A. -3 B. -2 C. 3 D. 2 E. 4 jawab:
jumlah n suku pertama:
Sn = 2 1 n (3n – 1 ) S1 = 2 1 1 (3 – 1 ) = 1 S2 = 2 1 2 (6 – 1 ) = 5 Beda = Un- Un−1 = U2 - U1 U1 = S1 = 1 Un = Sn - Sn−1 U2 = S2 - S1 = 5 – 1 = 4 Beda = U2 - U1 = 4 – 1 = 3 Jawabannya adalah C UAN2003
7. Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5 adalah 12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebut adalah ...
A . 48,5 tahun C . 49,5 tahun E . 50,5 tahun B . 49,0 tahun D . 50,0 tahun Jawab: U3 = a +(n-1) b = a + 2b = 7 …(1) U5 = a +(n-1) b = a + 4 b = 12 …(2) Dari (1) dan (2) a + 2b = 7 a + 4 b = 12 - - 2 b = -5 Æ b = 2 5 a + 2 b = 7 a = 7 – 2b = 7 – 2 . 5 = 2
jumlah n suku pertama:
Sn = 2
n
(2a +(n-1) b)
maka jumlah usia enam anak tersebut adalah:
S6 = 2 6 (2.2 +(6-1). 2 5 ) = 3. ( 4 + 2 25 ) = 3 ( 2 33 ) = 2 99 = 49 2 1 tahun Jawabannya adalah C UMPTN1998
8. Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33,… disisipkan 4 buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang berbentuk adalah…
A. 78 B. 81 C. 84 D. 87 E. 91 Jawab: dari barisan 3, 18, 33,… diketahui a = 3 b = 15 k = 4
beda barisan yang baru: b'= 1 + k b = 1 4 15 + = 3
Jumlah 7 suku pertama barisan yang terbentuk :
Sn ' = { 2 ' n (2a + (n'-1) b'} S7 = 2 7 {2.3+(7-1).3} = 2 7 (6+18) = 84 Jawabannya adalah C UAN2002
9. Banyak bilangan antara 450 dan 1001 yang habis dibagi 8 adalah…
A. 67 B. 68 C. 69 D. 182 E. 183
Jawab:
bilangan antara 450 dan 1001 yang habis dibagi 8 456, 464, 472, …, 1000
ditanya banyak bilangan (n) = ?
Un = a + (n-1) b Un = 1000 a = 456 b = 464 – 456 = 472 – 464 = 8 sehingga : 1000 = 456 + (n-1 ) . 8 = 456 + 8.n – 8 = 448 + 8n 8n = 1000 – 448 = 552 n = 8 552 = 69 jawabannya adalah C SPMB2003
10. Jumlah bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 tetapi tidak habis dibagi 4 adalah…
A. 168 B. 567 C. 651 D. 667 E. 735
jawab:
1. bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 7, 14, 21, …, 98 a = 7 ; b = 7 Un = a + (n-1) b 98 = 7 + (n-1). 7 98 = 7 + 7n – 7 98 = 7n n = 98/7 = 14 Sn = 2 n (2a +(n-1) b) S14 = 2 14 (2 . 7 + 13. 7) = 7 (105) = 735
2. bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 dan juga habis dibagi 4 :
28, 56, 84
karena jumlah n sedikit kita langsung jumlah saja = S3 = 28 + 56 + 84 = 168
Kalau dengan rumus seperti berikut:
a = 28 ; b = 28 ; n = ? Un = a + (n-1) b 84 = 28 + (n – 1).28 84 = 28 + 28n – 28 84 = 28n n = 84/28 = 3 Sn = 2 n (2a +(n-1) b) S3 = 2 3 (2.28 + 2 . 28) = 2 3 ( 112) = 168 ( hasilnya sama)
Jumlah bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 tetapi tidak habis dibagi 4 adalah :
hasil (1) – hasil (2) = 735 – 168 = 567
jawabannya adalah B
EBTANAS1999
11. Dari suatu barisan geometri diketahui suku ke 2 adalah
3 4
dan suku ke 5 adalah 36. Suku ke 6 barisan tersebut adalah….
A. 108 B.120 C.128 D. 240 E. 256 Jawab: Un = ar 1 − n U2 = a r = 3 4 U5 = ar 4 = 36 2 5 U U = ar ar4 = 3 / 4 36 r3 = 36 . 4 3 = 27 r = 3 27 = 3 U6 = ar5 = 9 4 . 35 = 9 4 . 243 = 108 Jawabannya adalah A UN2006
12. Dari suatu deret geometri yang rasionya 2 diketahui jumlah 10 buah suku pertama sama dengan 3069. Hasil kali suku ke 4 dan ke 6 dari deret tersebut=….
A. 3069 B. 2304 C. 4236 D. 4476 E. 5675 jawab : Diketahui : r = 2 Sn = 1 ) 1 ( − − r r a n karena r > 1 S10 = 1 2 ) 1 2 ( 10 − − a = 3069 ⇒ 1 1023 . a = 3069 ⇒ a = 1023 . 3069 = 3 U4 = ar 3 = 3 . 23 = 3 . 8 = 24 U6 = ar 5 = 3 . 25 = 3 .32 = 96 U4 . U6 = 24 . 96 = 2304 jawabannya adalah B UAN2007
13. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp.80.000.000,- Setiap tahun nilai jualnya menjadi
4 3
dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah 3 tahun ?
A. Rp. 20.000.000,- D. Rp. 35.000.000,- B. Rp. 25.312.000,- E. Rp. 45.000.000,- C. Rp. 33.750.000,-
Jawab:
Diketahui harga awal = a = 80.000.000 r =
4 3
U3 = ar 1 − n = 80.000.000 . ( 4 3 )2 = 80.000.000 16 9 = 45.000.000 Jawabannya adalah E EBTANAS1997
14. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri ditentukan oleh rumus Sn = 2n+2 - 4 . Rasio dari deret tersebut adalah…
A. 8 B. 4 C. 2 D. 2 1 E. 4 1 Jawab:
Jumlah n suku pertama = Sn = 2n+2 - 4 S1 = 2 3 - 4 = 4 S1 = U1 = a = 4 S2 = U1 + U2 = 22+2 - 4 4 + U2 = 24 - 4 U2 = 16 – 4 – 4 = 8 U2 = a. r r = a U2 = 4 8 = 2 Jawabannya adalah C UAN2005
15. Jumlah deret geometri tak hingga dari 8 + 3 16 + 9 32 + . . . A. 48 B .24 C. 19.2 D. 18 E. 16.9 Jawab: r = 8 3 16 = 3 2 Æ|r| < 1 , maka S∞ = r a − 1
mempunyai nilai (konvergen)
S∞ = r a − 1 = 3 2 1 8 − = 3 1 8 = 24 Jawabannya adalah B SPMB2002
15. Agar deret bilangan ,...
) 1 ( 1 , 1 , 1 − − x x x x x
jumlahnya mempunyai limit, nilai x harus memenuhi…
A. x > 0 C. 0<x< 1 atau x >1 E. 0<x< 1 atau x >2 B. x < 1 D. x >2 Jawab: Deret bilangan ,... ) 1 ( 1 , 1 , 1 − − x x x x x Mempunyai r = x x x 1 1 − = x 1 . 1 − x x = 1 1 − x
Mempunyai limit (konvergen) jika |r| < 1 atau -1 <r < 1 -1 < 1 1 − x < 1 (1 ) 1 1 − x > -1 1 > -x +1 x -1 + 1 > 0 x > 0 (2) 1 1 − x < 1 1 < x - 1 x – 1 > 1 x > 2
gabungan dari (1) dan (2) didapat nilai x > 2 jawabannya adalah D
catatan:
x > 2 memenuhi x > 0 x > 0 tidak memenuhi x > 2
UAN2005
16. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25m dan memantul kembali dengan ketinggian
5 4
kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga boleh berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah.. A. 100m B. 125m C. 200m D. 225m E. 250m
Jawab:
Menjawab soal ini dengan membayangkan pergerakan bola pingpong tersebut yang digambarkan dengan sketsa
gambarnya sbb:
25 m
20 20 16 16
terlihat pada gambar 20m dan 16m dan selanjutnya nya terdiri dari dua kejadian: pantulan
5 4
dari tinggi sebelumnya naik ke atas dan dengan jarak yang sama turunnya.
Sehingga terjadi 2 kejadian deret yaitu naik dan turun a = 20 (bukan 25, deret terjadi awalnya pada 20) r =
5 4
deret adalah tak terhingga karena sukunya tidak terbatas.
S∞ = r a − 1 = 5 4 1 20 − = 5 1 20 = 100
Jumlah seluruh lintasan = 25m + S∞ naik + S∞ turun = 25m + 100m + 100m = 225m
