MINGGU KE- III:
UKURAN NILAI SENTRAL
Tujuan Instruksinal Umum :
1. Mahasiswa memahami apa yang dimaksud dengan nilai sentral
2. Mahasiswa memahami guna dari perhitungan nilai sentral
3. Mahasiswa dapat memahami berbagai jenis cara perhitungan nilai sentral atau ukuran
pemusatan
4. Mahasiswa dapat memahami perbedaan ukuran nilai sentral untuk data yang
dikelompokkan dan untuk data yang tidak dikelompokkan
Tujuan Instruksional Khusus:
1. Mahasiswa dapat menghitung nilai rata-rata data yang dikelompokkan maupun data yang
tidak dikelompokkan
2. Mahasiswa mampu menghitung nilai median untuk data yang dikelompokkan dan data
yang tidak dikelompokkan
3. Mahasiswa mampu menghitung nilai modus untuk data yang dikelompokkan dan data
yang tidak dikelompokkan
4. Mahasiswa mampu membedakan rata-rata aritmatika, rata-rata harmoni dan rata-rata
geometrik serta rata-rata kuadrat.
5. mahasiswa mampu menggunakan aplikasi komputer untuk menghitung berbagai ukuran
MACAM NILAI SENTRAL
1. Rata-rata
2. Median
3. Mode
4. Rata-rata ukur (geometric mean)
5. Rata-rata harmoni
6. Rata-rata Kuadrat
A. RATA-RATA HITUNG (ARITMETHIC MEAN)
Rata-rata meruakan hasil bagi dari sejumlah nilai dengan banyaknya responden
atau sample. Perhitungan mean merupakan perhitungan yang sederhan, karena
hanya membutuhkan jumlah nilai dan jumlah responden (n). Jika sebaran nilai
berdistribusi normal, maka rata-rata nilai meruoakan nilai tengah dari distribusi
frekuensi nilai tersebut.
Rata-rata dalam suatu rangkaian data adalah jumlah seluruh data dibagi dengan seluruh
kejadian.
Secara matematis dirumuskan sebagai berikut :
N X X
Dimana ;
X = X bar yang merupakan notasi rata-rata
= Sigma = jumlahX = nilai dari keseluruhan data
N = jumlah data
Contoh :
Berikut ini adalah jumlah saudara kandung dari 5 mahasiswa yang dipilih secara acak,
yaitu ; 2; 4; 6; 8; 10.
6 5
10 8 6 4
2
X
Apabila data yang ada sudah dikelompokkan ke dalam distribusi frekuensi, maka cara
perhitungan adalah sebagai berikut :
1. Cari Nilai tengah untuk setiap kelas
2. Kalikan nilai tengah dengan frekuensi
3. Hitung rata-rata dengan menggunakan rumus
N Xi f X
.Gaji karyawan (kelas)
Jumlah Karyawan (frekuensi)
Nilai Tengah (Xi)
Frekuensi x Nilai tengah
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 - 99
4
6
8
12
9
7
4
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
138
267
436
774
670,5
591,5
378
N = 50 f.Xi = 3255
Dari hasil diatas didapat :
1 , 65 50 3255
B. MEDIAN
Median merupakan skor yang membagi distribusi frekuensi menjadi dua sama
besar ( 50% obyek yang diteliti terletak dibawah median dan 50% sisanyaterletak
diatas median)
a. Untuk data tidak dikelompokkan
Langkah yang dilakukan adalah dengan cara :
Urutkan data dari nilai yang terkecil
Cari letak median, dengan rumus :
2 1
N
Cari nilai median pada susunan tersebut
Apabila datanya genap, maka untuk mencari median yang terletak
diantara 2 nilai, harus dicari rata-rata nya.
b. Untuk data dikelompokkan
Siapkan table sebagai berikut
Gaji karyawan
Jumlah Karyawan Tepi Kelas Bawah Frekuensi Kumulatif ‘Kurang Dari’ 30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 - 99
4
6
8
12
9
7
4
29,5
39,5
49,5
59,5
69,5
79,5
89,5
99,5
4
10
18
30
39
46
50
Tentukan letak median, letak median ditentukan dengan N/2
Maka didapat median adalah pada data yang ke-25. Data yang ke-25
Hitung median dengan rumus ;
3 , 65 12
18 25 5 , 59 12
18 2 50
5 , 59
2
f Fk N
Tepikelas Me
C. MODE
Mode adalah skor yang mempunyai frekuensi terbanyak dalam sekumpulan
distribusi nilai. Dengan kata lain Mode atau Modus dianggap sebagai nilai yang
menunjukkan nilai-nilai yang terkonsentrasi dari sekumpulan data.
Mode atau modus adalah nilai yang paling sering muncul dalam data. Cara perhitungan
Modus adalah sebagai berikut :
a. Untuk data yang tidak dikelompokkan
Cari Nilai yang paling sering muncul dari kumpulan data
NIlai yang paling sering muncul itu adalah modus b. Untuk data yang dikelompokkan
Tampilkan table berikut
Gaji karyawan
Jumlah Karyawan Tepi Kelas Bawah
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 - 99
4
6
8
12
9
7
4
29,5
39,5
49,5
59,5
69,5
79,5
89,5
99,5
Cari kelompok yang memiliki frekuensi tertinggi, dalam hal ini kelas ke-4 memiliki frekuensi tertinggi yaitu 12.
ci d d
d Li
Mo
2 1
1
, dimana:
Li = Batas kelas modus
D1 = selisih frekuensi modus dengan frekuensi sebelumnya
D2 = selisih frekuensi modus dengan frekuensi sesudahnya
Ci = interval.
Maka ;
2 , 65 7 40 5 , 59 10 ) 9 12 ( ) 8 12 (
) 8 12 ( 5
,
59
Mo
D. RATA-RATA UKUR
Rata-rata ukur adalah akar pangkat n dari hasil perkalian datanya
n
n
X X
X
Mg 1 2... E. RATA-RATA HARMONI
Rata-rata harmoni adalah kebalikan dari rata-rata hitung
X N Mh
1
F. RATA-RATA KUADRAT
Rata-rataadalah akar pangkat dua dari kuadrat nilai rata-ratanya
N X
Mq
G. PERBANDINGAN MODE, MEDIAN DAN MEAN
Mode merupakan kalukali yang paling sederhana dan paling fleksibel, karena dapat
digunakan untuk seluruh skala pengukuran. Perhitungan Mean akan lebih baik jika
disertai dnegan perhitungan Mode. Perbedaan nilai mean dan mode akan
menggambarkan kondisi penyebaran data yang dihadapi.
Median memiliki kelebihan dibandingkan Mean jika data yang dianalisa terdapat skor
atau nilai yang ekstrem, atau terdapat perbedaan yang sangat jauh antara data yang
tertinggi dengan data yang terendah.
MINGGU KE- Iv:
UKURAN LETAK
Tujuan Instruksional Umum :
1. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan ukuran letak
2. Mahasiswa mampu memahami berbagai macam mengukur nilai ukuran letak sekelompok
data
3. Mahasiswa mampu memahami kegunaan dari mencari nilai ukuran letak
4. Mahasiswa mampu memahami perbedaaan cara melakukan pengukuran letak untuk data
yang dikelompokkan dengan data yang tidak dikelompokkan.
Tujuan Instruksional Khusus :
1. Mahasiswa mampu menghitung letak dan nilai kuartil untuk data yang dikelompokkan
dan data yang tidak dikelompokkan
2. Mahasiswa mampu menghitung letak dan nilai desil untuk data yang dikelompokkan dan
data yang tidak dikelompokkan
3. Mahasisa mampu menghitung letak dan nilao prosentil untuk data yang dikelompokkan
dan data yang tidak dikelompokkan
4. Mahasiswa mampu menggunakan aplikasi komputer untuk mencari nilai Ukuran letak :
Pengertian
Ukuran letak adalah rangkaian ukuran yang didasarkan letak dari suatu distribusi data.
MACAM UKURAN LETAK
A. KUARTIL
Kuartil adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 4 bagian yang sama.
Cara perhitungan Kuartil :
a. Untuk data yang tidak dikelompokkan
i. Susun data diurutkan dari yang memiliki nilai terkecil
ii. Cari letak kuartil, dengan rumus :
1. Kuartil 1
4 ) 1 ( 1 1 N
K
2. Kuartil 2
4 ) 1 ( 2 2 N
K
3. Kuartil 3
4 ) 1 ( 3 3 N
K
iii. Cari nilai kuartil pada susunan data tersebut
Contoh ;
Carilah nilai kuartil pada rangkaian data berikut ini ;
2 4 3 3 6 5 7
Langkah :
Susunan data : 1 3 3 4 5 6 7
Letak kuartil :
* 2
4 ) 1 7 ( 1
1
* 4
K , Terletak pada data yang ke-4
* 6
K , terletak pada data yang ke-6
Maka nilai K1 adalah 3, nilai K2 adalah 4 dan nilai K3 adalah 6.
b. Untuk data yang dikelompokkan
i. Susun data seperti table berikut
Gaji karyawan
Jumlah Karyawan Tepi Kelas Bawah Frekuensi Kumulatif ‘Kurang Dari’ 30 – 39
ii. Cari letak kuartil, dengan rumus :
1. Kuartil 1
K , kuartil satu terletak pada data yang ke-12,5
yaitu pada kelompok kelas ke-3
2. Kuartil 2
K , kuartil dua terletak pada data yang ke-25,
yaitu pada kelompok kelas ke-4
3. Kuartil 3
K , kuartil ketiga terletak pada data yang ke
iii. Cari nilai kuartil dengan rumus
Fk = Frekuensi kumulatif sebelum letak kuartil
F = frekuensi pada letak kuartil
B. DESIL
Desil adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi data menjadi sepuluh (10)
bagian sama besar.
Cara perhitungan Desil:
c. Untuk data yang tidak dikelompokkan
i. Susun data diurutkan dari yang memiliki nilai terkecil
ii. Cari letak desil, dengan rumus :
10 ) 1 ( 1 1 N
D
2. Desil 5
10 ) 1 ( 5 5 N
D
3. Desil 9
10 ) 1 ( 9 9 N
D
iii. Cari nilai desil pada susunan data tersebut
Contoh ;
Carilah nilai kuartil pada rangkaian data berikut ini ;
2 4 3 3 6 5 7
Langkah :
Susunan data : 1 3 3 4 5 6 7
Letak desil :
* 0,8
10 ) 1 7 ( 1
1
D , terletak pada data yang ke-2
* 4
10 ) 1 7 ( 5
5
D , Terletak pada data yang ke-4
* 7,2
10 ) 1 7 ( 9
9
D , terletak pada data yang ke-7
Maka nilai D1 adalah 2, nilai D5 adalah 4 dan nilai D9 adalah 7.
d. Untuk data yang dikelompokkan
Gaji karyawan
Jumlah Karyawan Tepi Kelas Bawah Frekuensi Kumulatif ‘Kurang Dari’ 30 – 39
ii. Cari letak desil, dengan rumus :
1. Desil 1
D , kuartil satu terletak pada data yang ke-5 yaitu
pada kelompok kelas ke-2
2. Desil 5
D , kuartil dua terletak pada data yang ke-25,
yaitu pada kelompok kelas ke-4
3. Desil 9
D , kuartil ketiga terletak pada data yang ke
45 yaitu pada kelompok kelas ke-7
iii. Cari nilai desil dengan rumus
3
Fk = Frekuensi kumulatif sebelum letak desil
F = frekuensi pada letak desil
C. PROSENTIL
Desil adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi data menjadi seratus (100)
bagian sama besar
Cara perhitungan Desil:
e. Untuk data yang tidak dikelompokkan
i. Susun data diurutkan dari yang memiliki nilai terkecil
ii. Cari letak Prosentil, dengan rumus :
1. Prosentil 1
2. Prosentil 50
100
3. Prosentil 99
iii. Cari nilai prosentil pada susunan data tersebut
Contoh ;
Carilah nilai prosentil pada rangkaian data berikut ini ;
2 4 3 3 6 5 7
Langkah :
Susunan data : 1 3 3 4 5 6 7
Letak prosentil :
* 4
100 ) 1 7 ( 50
50
P , Terletak pada data yang ke-4
Maka nilai P5 adalah 4.
f. Untuk data yang dikelompokkan
i. Susun data seperti table berikut
Gaji karyawan
Jumlah Karyawan Tepi Kelas Bawah Frekuensi Kumulatif ‘Kurang Dari’ 30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 - 99
4
6
8
12
9
7
4
29,5
39,5
49,5
59,5
69,5
79,5
89,5
99,5
4
10
18
30
39
46
50
ii. Cari letak Prosentil, dengan rumus :
1. Prosentil 1
5 , 0 100
50 100
1
1 N
P , kuartil satu terletak pada data yang ke-0,5
2. Prosentil 50
P , kuartil dua terletak pada data yang
ke-25, yaitu pada kelompok kelas ke-4
3. Prosentil 99
5
P , kuartil ketiga terletak pada data yang
ke 49,5 yaitu pada kelompok kelas ke-7
iii. Cari nilai Prosentil dengan rumus
1. Nilai Prosentil 1
75
2. Nilai Prosentil 50
3
Fk = Frekuensi kumulatif sebelum letak prosentil