KONSEP HITUNG KUADRAT TERKECIL 1 MENGAPA

KONSEP HITUNG KUADRAT TERKECIL

1

MENGAPA SUATU PENGAMATAN HARUS DIRATAKAN DAN

DIANALISA?

1.1 PENDAHULUAN

Tahapan yang terpenting didalam Geomatika adalah yang berkenaan dengan pengukuran, suatu proses yang secara alamiah yang tidak pernah bebas dari suatu kesalahan.

Kesalahan-kesalahan dalam pengukuran merambat secara kuantitas, jadi proses untuk mengestimasi nilai pengukuran yang paling benar, yaitu teknik perataan, mutlak diperlukan.

Proses:

Patut dicatat bahwa “measurement” berarti adalah keseluruhan proses untuk menentukan semua elemen yang diukur.

Suatu keuntungan yang sangat signifikan dari perataan adalah didapatnya suatu model yang konsisten secara geometris atau matematis. Hal ini berarti apapun kombinasi pengamatan (adjusted observation), solusi yang unik dan konsisten akan didapat.

1.2 CONTOH-CONTOH KASUS

a). Suatu jarak diukur n kali. Nilai berapa yang akan muncul? Model komputasi yang digunakan untuk menghitung nilai rata-ratanya adalah dm = d/n. didalam

kasus dimana parameter yang dicari, dm, adalah juga nilai pengamatan yang

teratakan (adjusted observation value). Nilai residu dari rata-rata tersebut memberikan informasi kualitas statistik pada dual hal, pengamatan masing-masing jarak dan jarak yang teratakan. Perhatikan disini bahwa hanya ada satu

jarak teratakan.

b). Sebuah segitiga abc berkoordinat a(x1,y1), b(x2,y2), dan c(x3,y3). Koordinat a dan

b diketahui nilainya. Untuk menentukan koordinat titik c maka dilakukan pengukuran ketiga sudut segita tersebut.

Measurement/ observation

+ errors

Computational model

Derived quantities +

Diukur: sudut a, b, dan c. Hanya dibutuhkan dua pengukuran untuk menyelesaikan masalah. Model matematikanya: a + b + c – 1800 = 0. Jika pengukuran yang dilakukan tidak cocok dengan model, maka



x₃,y₃



f





x₁,y₁

 

, x₂,y₂



,a,b



f





x₁,y₁

 

, x₂,y₂



,b,c



a, b, dan c masing-masing harus diratakan untuk memperoleh model yang konsisten, misalnya mungkin dengan mengurangi (a + b + c – 1800)/3 untuk masing-masing sudut.

Perhatikan disini bahwa produk akhir dari parameter yang dicari, x3 dan y3, tidak

diamati secara langsung, tetapi mereka juga memiliki ketidakpastian, dan kualitas statisktik pengukuran disini tetap berlaku untuk parameter ini.

c). Perhatikan segitiga itu lagi. Kali ini dilibatkan luasan segitiga dan seluruh sudut dan sisi segitiga diukur.

Diukur: d1, d2, d3, a, b, c.

Model matematika yang dapat disusun untuk kasus ini menjadi bermacam-macam:

a + b + c – 1800

= 0

d3/sin a = d2/sin b = d1/sin c

d12 = d22 + d32– 2 d2 d3 cos c

A = (s(s-d1) (s-d2) (s-d3))1/2 dimana s = (d1 + d2 + d3)/2

A = 0.5 d2 d3 sin c

Berapa banyak model yang diperlukan? Berapa banyak pengamatan yang diperlukan?

Sekumpulan pengamatan yang teratakan secara konsisten akan menghasilkan nilai parameter yang sama ( misalnya A) tanpa memandang kombinasi pengukuran yang dipakai.

Tetapi, bagaimana agar pengamatan tersebut konsisten dengan model matematika?

a

b

c

a

b

c d2

d3

d1

d). Untuk lebih jelasnya, perhatikan tiga buah traverse beda tinggi berikut. Beda tinggi terukur diindikasikan seperti berikut:

Tinggi untuk A, B, C adalah:

A B C

- 11,4 14,1

12,0 11,8 14,3

12,2 11,6 14,5

Salah satu solusi: (12,1) (11,6) (14,3)

 Tinggi mana yang paling mungkin untuk A, B, dan C?  Pengamatan mana yang paling akurat?

 Bagaimana kita mengatasi perbedaan nilai akurasi?

 Ingat bahwa levelling adalah kasus linier yang sederhana, misalnya: HB – HA =

beda tinggi antar dua titik; semua loop harus bernilai nol.

Nilai didalam tanda kurung konsisten untuk semua loop, tetapi perataan disini menjadikurang bernilai dan tidak mengacu pada teori statisyik untuk estimasi. Misalnya nilai akhir yang teratakan adalah bukan nilai yang paling mungkin.

1.3 KONSISTENSI MODEL DAN DESAIN MODEL

Jika kita menginginkan model yang konsisten dan merupakan nilai estimasi parameter dan nilai pengamatan yang paling mungkin, maka:

 Secara garis besar, pengukuran tidak hanya berkenaan dengan pengamatan fisik dari nilai data, tetapi juga melibatkan proses penentuan semua elemen yang terlibat yang akan ditentukan.

A

B

C

(2,3) 2,2

(-0,7) -0,8

2,1 _0,6

(2,7) 2,5

1,5 (1,4) 1,4

(1,3) -01,2

(-0,5)

-0,6 -0,1

1.4 ILUSTRASI TENTANG KEBUTUHAN AKAN ESTIMASI KUADRAT TERKECIL

Masalah: kita akan menentukan parameter persamaan garis lurus m dan b antara dua variabel x dan y dimana y = mx + b

Atau jika l _{= Ax, dimana Ii = yi, Ai = (xi 1) & x = (m b)}T

Proses (hipotesa):

1. Ukur nilai yi pada dua even xi dan secara langsung tentukan m dan b

dengan x = A-1_l

Apa yang didapat? (solusi unik untuk nilai m dan b)

Apa yang tidak didapat? (nilai akurasi parameter dan pengukuran)

2. Saat kita lebih mengetahui bahwa nilai m dan b yang terhitung berelasi dengan ekspektasi, kita akan menambah pengukuran (redundant observations). Model matematikanya menjadi l _{+ v = Ax}

3. Kita lakukan perataan kuadrat terkecil linier: x = (AT_A)-1 _AT_l

v = Ax - l

x1

x2 y

hubungan yg. diasumsikan

yg. terhitung

x1

x2 y

v_i

Hal ini akan menghasilkan vTv = minimum (jumlah kuadrat residualnya minimum). Apa yang didapat?

 Nilai parameter m & b yang paling mungkin, yang tidak dapat diukur secara langsung

 Evaluasi akurasi pengukuran (besar nilai residual v)  Akurasi/ketelitian parameter m & b (C_x = (ATA)-1)  Tes ketepatan model matematika (melalui v)

 Pengukuran yang terkoreksi (yi + vi) yang konsisten dengan model

 Estimasi parameter dilakukan dengan perhitungan yang tidak bertele-tele

2

TEKNIK PENGUKURAN DIDALAM GEOMATIKA

2.1 TAHAPAN-TAHAPAN PROSES PENGUKURAN

2.1.1 Identifikasi Parameter yang akan Dicari

Misalkan: volume, V, dari suatu prisma (lihat gambar) dengan akurasi sekitar 50m3_.

Parameter yang akan dicari disini adalah Volume.

Tetapi , karena bentuknya tidak teratur, kita membutuhkan koordinat titik-titik (x,y,z) pada permukaannya, dari sini volume dapat ditentukan, misalnya dengan V = f((x,y,z)i, i = 1….n) = F(l) dimana l adalah vektor pengukuran.

Jika bentuk prisma itu teratur, maka: V = F(l_{) = f(a,b,c,d).}

Contoh-contoh kasus lain yang membutuhkan parameter misalnya luas area, bentuk, jarak dan sudut (parameter-parameter ini tidak dapat langsung diukur).

Kita juga harus menentukan akurasi dari parameter yang akan ditentukann. Hal ini biasanya diekspresikan dengan suatu probability yang biasanya menyatakan probabilitas dalam suatu selang kepercayaan tertentu.

Sebagai contoh: a

b c

 Suatu jarak diukur 20 kali, dan nilai reratanya x dan standar deviasi x

dihitung. Kita dapat mengatakan bahwa probabiliti 0.95 (95%) yang benar untuk nilai x terletak pada wilayah x – 2x hingga x + 2x.

Pengoptimalan nilai x merupakan bagian yang penting dalam proses

pengukuran.

 Suatu titik didalam suatu jaringan geodesi ditentukan untuk memiliki koordinat (x,y). Tingkat kepercayaan titik itu sering digambarkan sebagai elips, sering disebut dengan elips kepercayaan. Bentuk elips ini tidak akan berubah untuk berbagai tingkat probabiliti, hanya membesar atau mengecil oleh faktor skala.

2.1.2 Memformulasikan Model Matematika

Model matematis biasanya selalu berdasarkan hukum geometri atau fisika tertentu, dan hukum ini merelasikan antara pengamatan (pengukuran) dengan parameter yang akan dicari.

Dengan kata lain, parameter yang dicari tidak selalu bisa diukur secara langsung, jadi diperlukan suatu model yang menjelaskan hubungan matematis antara pengamatan dengan parameter yang dicari.

Contoh:

1. Refraksi atmosfir dari suatu perambatan gelombang adalah:

T

e

T

P

N

N

refraksi

_L



0

.

2696

_G



11

.

25

dimana NL = f(P,T,e)

parameter: NL

pengamatan/pengukuran: P, T, dan e konstanta: NG

2. Tekanan uap jenuh, es   

 



237.3

27 . 17

1078

.

6

t

t

s

e

parameter: es

pengukuran: t (wet-bulb temperature)

Untuk menghitung parameter d3, sudut a,b,c dan jarak d1 dan d2 diukur.

Model matematika adalah abstraksi dari hubungan geometris dari segitiga bidang datar. Dalam model ini, semua pengukuran harus dilibatkan. Untuk kasus ini model dapat berupa:

d3 = d1 sin c / sin a

d3 = d2 sin c / sin b atau

d32 = d12 + d22 - 2 d1 d2 cos c

0 = a + b + c - 1800

atau model lain dapat digunakan asalkan keduanya linier independen dan melibatkan semua pengukuran.

Catatan tentang Linier independen dapat dilihat pada bagian akhir bahasan ini.

4. Penentuan beda tinggi

h2 = h1 + h12

h3 = h2 + h23

= h1 + h12 + h23

seperti yang akan kita lihat nanti bahwa model matematika dapat terdiri pengamatan/pengukuran, parameter, dan konstanta, atau kombinasi dari semuanya.

2.1.3 Desain atau Pra-Analisa

Sebelum melakukan pengukuran didalam pengamatan, sangat penting ditentukan/diketahui sampai tingkat akurasi berapakah pengamatan itu harus diukur. Hal ini berhubungan dengan tingkat akurasi parameter yang akan dicari.

h

₁

h

2

h

₃



h

₂₃



h

₁₂

danau

c b

a

C _B

A

d₃

Misalnya: (perhatikan contoh 4)

Jika client menginginkan tinggi h2 dan h3 memiliki kesalahan standar

(standar deviasi) h2 dan h3 < 3mm,

Karena titik h1 adalah titik referensi (fix), maka agar h2 < 3mm maka

diharuskan h12 < 3mm.

Seperti pada dalil perambatan kesalahan (perambatan varian): h3 = (2h12 +

2_{h23)1/2 < 3mm mengindikasikan bahwa} _{h12 dan} _{h23 masing-masing kurang}

dari 2,1mm.

Tahapan desain atau pra-analisa ini sering disebut juga sebagai analisa kovarian. Dimana melalui model matematika dapat ditentukan ketelitian (akurasi) pengukuran yang berpengaruh nantinya pada ketelitian parameter.

Contoh lain:

T

e

T

P

N

N

_L



0

.

2696

_G



11

.

25

dari rumus diatas asumsikan bahwa ketilitian NL adalah 1 unit. Kita harus dapat menentukan sampai ketelitian berapa kita harus mengamati P, T dan e. jawabannya adalah tidak jelas, namun demikian hal tersebut dapat ditentukan melalui cara linierisasi dan perambatan kovarian.

Contoh lain, pada penentuan posisi titik I secara spasial triangulasi, sampai ketelitian berapa sudut (asimuth) harus diukur agar ketelitian koordinat I terpenuhi? Katakanlah standar deviasi yang harus dicapai adalam dalam mm, tetapi standar deviasi pengukuran asimuth adalah dalam detik.

2.1.4 Akusisi Data

Pengamatan atau pengukuran dilaksanakan berdasarkan pada desain/kriteria yang telah ditentukan dalam tahapan desain dan pra analisa.

Pengukuran-₁

₂

₃

I (x_i, y_i) A

B



ˆ



ˆ

pengukuran disini adalah obyek dari ‘variasi’ atau pengukuran kesalahan

(error).

Error e didefinisikan sebagai nilai hasil pengamatan  dikurangi dengan nilai sebenarnya t: e =  - t.

Tetapi, sangatlah sulit untuk menentukan berapa besarnya nilai e yang sebenarnya karena kita tidak pernah mengetahui berapa nilai t itu. Sebagai alternatif, kita mengamati nilai residu pengamatan v sebagai perbedaan antara probabilitas yang tertinggi untuk nilai t , disebut dengan ̂ , dengan nilai hasil pengamatan .

 

ˆ

v

tujuan dari hal ini adalah untuk menjaga agar v tetap minimum, atau diekspresikan dengan cara lain, untuk memastikan bahwa selisih  dan selalu seminimal mungkin.

Ada tiga macam kesalahan:

 Gross error: (large blunders) kesalahan yang kuantitasnya angat signifikan, yang mungkin disebabkan oleh salah catat, salah baca, dll.

 Systemetic error: kesalahan yang disebabkan/dipengaruhi oleh instrument, dan karena itu kesalahan ini menumpuk secara sistematis didalam pengukuran. Kesalahan ini dapat terjadi baik pada saat pengukuran maupun didalam model matematika.

 Random error: kesalahan yang tersebar/teracak pada nilai pengamatan; biasanya kesalahan ini selalu diasumsikan terdistribusi normal, dengan ekspektasi (mean value) adalah nol.

Contoh: pembacaan beda tinggi pada rambu ukur

Pengukuran  : 3.210, 3.212, 3.208, 3.211, 3.311, 3.216, 3.209, 3.210

Gross error: 3.311 (kemungkinan karena salah baca)

Systematic error: tidak terlihat secara nyata, tidak dapat diperiksa kecuali kalau modelnya memenuhi syarat.

Random error: terdeteksi dengan varian atau standar deviasi, _. Setelah gross error ini dibuang (reject) apakah ketelitiannya sudah memenuhi syarat? Tes statistik untuk mendeteksi outlier harus dilakukan. Tetapi untuk saat ini

( - ) > 3_. anggaplah kriteria penolakan tersebut sebesar:

2.1.5 Pra-pemrosesan Data

Tujuan dari tahapan ini adalah menghilangkan seluruh “systematic error” sebelum hasil pengukuran dimasukkan kedalam model matematika. Aturan mainnya, model harus dibuat sesederhana mungkin dengan melibatkan sebanyak mungkin pra-pemrosesan data.

2.1.6 Pemrosesan Data (Perataan)

Pada saat memasukan hasil pengukuran/pengamatan kedalam model

matematika yang berpengamatan lebih (“redundant”) (dalam hal ini kita

harus selalu mengasumsikan adanya pengamatan lebih), variasi-variasi nilai selalu terjadi didalam proses pengestimasian nilai parameter.

Ada dua kategori variasi:

 Variasi–variasi yang berupa fungsi yang dapat dideskripsikan

 Variasi-variasi yang bukan merupakan fungsi dan tidak dapat dideskripsikan. Pada kasus yang pertama, biasanya dapat dihilangkan pada pra-pemrosesan data. Sedangkan variasi yang masih terdapat didalam proses pengestimasian nilai parameter yang memiliki pengamatan lebih (kasus kedua) sering disebut dengan istilah stochastic.

Catatan:

Tanpa adanya pengamatan lebih tidak akan ada proses pemeriksaan lebih lanjut. Dalam mendesain suatu pengamatan didalam geomatika harus selalu memiliki pengamatan lebih. Berapa banyak pengamatan lebih yang harus diambil, ditentukan dalam proses desain atau pra-analisa.

Tujuan dalam tahapan pemrosesan data adalah untuk menghasilkan parameter yang sesuai dengan kriteria tertentu.dari beberapa solusi yang mungkin, hanya ada solusi yaitu hasil dari hitung kuadrat terkecil (least square solution) dimana jumlah kuadrat dari residu adalah minimum.

Parameter-parameter didalam model matematika juga berhubungan dengan estimasi ketelitiannya (akurasi). Varian atau standar deviasi dari parameter adalah fungsi dari dua faktor:

 Ketelitian dari pengamatan(pengukuran)

 Model matematikanya itu sendiri (misalnya merubah bentuk geometriknya akan merubah ketelitiannya).

Ketelitian pada kasus pertama dapat ditingkatkan dengan menambah pengamatan lebih. Pada kasus kedua, ketelitian model sangat tergantung dari systematic error yang tidak dapat dihilangkan.

2.1.7 Pengkajian Hasil

kebenaran/ketepatan/keabsahan model matematika yang dipakai. Tes statistik ini disebut juga dengan post analysis.

Post analysis menggunakan informasi dari:  Model stochastic

 Operasi perataan

Pada dasarnya post analysis sangat tergantung dari variasi-variasi didalam pengamatan. Dari sini kita dapat:

Mengujui asumsi model stochastic (apakah varians dari pengamatan lebih baik atau lebih buruk?)

Menguji kebenaran/keabsahan model matematika

Menetapkan “confidence interval” dan “confidence regions” berkenaan dengan parameter.

Contoh:

Suatu jarak diukur dengan macam alat survei yang berbeda, EDM dan GPS. Hasilnya adalah dEDM = 1062.31, dEDM = 0.05, dan dGPS = 1062.45 + 0.02. apakah

kedua cara ini kompatible? Jika tidak, apakah perbedaan hasil ini mencerminkan adanya kesalahan pengukuran?

2.1.8 Penyajian Hasil

Penyajian hasil akan melengkapi proses pengukuran. Ada perbedaan-perbedaan dalam cara penyajian (dengan grafik, angka, dsb), tetapi yang penting ditekankan disini adalah menyajikan hasil dari ketujuh tahapan sebelumnya:

 Sepesifikasi harus selalu disebutkan, bersamaan dengan penyajian parameter dan ketelitiannya. Apakah spesifikasi yang ditetapkan sudah terpenuhi?

 Hasil dari pre-analysis dan post analysis harus selalu ditunjukkan, misalnya dengan histogram, ellips kesalahan, dsb.

 Nyatakan bahwa ketelitian awal dari pengamatan konsisten perkiraan ketelitian awal.

 Harus diberitahukan pula bila ada data pengamatan yang dibuang. Alasannya juga harus dijelaskan.

 Hasil tes statistik juga harus disajikan bersamaan dengan detail dari confidence level, dsb.

3

FORMULASI MODEL MATEMATIKA

(real world). Atau abstraksi matematis dari kondisi/situasi yang sebenarnya dilapangan (permukaan bumi).

Definisi:

A theoretical system or an abstract concept by which one describes a physical situation or a set of events.

Definisi ini menghubungkan properti yang ditentukan dari situasi atau kejadian dalam keadaan tertentu, misalnya definisi ini menjembatani antara pengukuran lapangan dengan unkown parameter.

Didalam geomatika secara umum model fungsi itu memeiliki hubungan geometris, model yang tergantung pada waktu, dan berdasarkan pada dalil-dalil fisika.

Walaupun model itu dapat diinterpretasikan sebagai bentuk geometrik (misalnya jaringan trilaterasi), bentuk fungsinya adalah sekumpulan dari persamaan matematika yang menjelaskan hubungan antara unknown parameter dengan pengamatan.

Sebagai contoh didalam disiplin ilmu berikut:

 Surveying – hubungan trigonometri bidang datar, geometri 3-D ruang Euclidean, dalil-dalil fisika tentang perambatan cahaya.

 Photogrammetry – dalil tentang proyeksi pada pusat perspektif yang menghubungkan antara titik-titik di citra dengan lokasinya pada ruang Euclidean 3D.

 Geodesy – segitiga bola untuk astronomi, hukum gaya berat untuk penentuan gravitasi bumi, penentuan model orbit satelit – solid mechanics

Model harus mewakili kondisi sebenarnya di lapangan. Tiga buah segitiga yang diamati sudutnya di permukaan bumi. Jika cakupan areanya kecil (tidak luas), kita dapat memberlakukan rumusan a + b + c –1800 _{= 0. Tetapi jika}

cakupan areanya sangat luas maka kita harus menggunakan ellipsoid, dan modelnya harus diubah menjadi a + b + c – (1800 _{+ e) = 0. Dimana e spherical}

excess.

Mungkin akan terdapat beberapa model untuk menyelesaikan masalah dalam suatu pengukuran tertentu. Tetapi secara umum, model final harus memiliki jumlah minimum ekspresi linier independen yang menyertakan semua pengamatan.

Secara simbolik, model fungsi atau matematika dapat ditulis sebagai:

0

)

,

,

(

)

(

q



f

c

x





f

c – merupakan konstanta, misalnya satuan detik dalam radian ( = 206264.8062), kecepatan cahaya atau koefisien. Konstanta ini diasumsikan memiliki varian nol (c2 = 0). Biasanya konstanta diperlakukan sebagai

bagian dari model. Ambil contoh dalam pengukuran segitiga abc:

0

180

)

(

menjadi

akan

0

)

,

(

c



a



b



c



A



f



a



b



c



0



f





x – vektor parameter unknown xi. Parameter-parameter ini harus linier

independen, dan tidak dapat diekspresikan sebagai kombinasi linier dari xj, xk, dst. Misalnya

 – vektor pengamatan i, yang secara langsung diamati nilainya berdasarkan

suatu kriteria ketelitian tertentu. Kualitasnya diekspresikan dalam varian atau standar deviasi dan merupakan bagian penting dalam tahap perataan pengamatan (adjusdment of observation), residual vi akan berbanding terbalik

dengan besarnya varian apriori s_i2.

Didalam geomatika pengamatan dapat terdiri dari pseudo-range GPS, sudut, koordinat citra/foto, beda tinggi, dll.

Suatu model matematika mungkin saja dapat tidak memiliki konstanta dan parameter, tetapi harus selalu memiliki pengamatan. Karena itu model sering diistilahkan sebagai persamaan pengamatan.

Berbagai aplikasi didalam Geomatika umunya selalu mencari solusi untuk parameter unknown x, dan solusi untuk pengamatan hasil perataan. Kualitas pengukuran (standar deviasi/varian) juga dicari solusinya dari model linier yang berpengamatan lebih didalam hitung kuadrat terkecil.

4

LINIERISASI

Dalam mata kuliah ini hanya model matematika yang linierlah (dilinierkan) yang akan dipakai. Sehingga jika dijumpai suatu model matematika yang tidak linier biasanya harus dibuat linier terlebih dahulu (diekspresikan kedalam bentuk linier).

























0

0

0

)

,

,

(

w

Bv

A

w

B

Ax

x

c

f





dimana A dan B merupakan matrik desain (matrik koefisien), w merupakan perbedaan (selisih) antara pengamatan dengan model pendekatan,  merupakan koreksi dari nilai pendekatan (perkiraan) untuk parameter, dan v merupakan vektor residu dari pengamatan. Misalnya:

2 1

2 2 1 1

3

a

x

a

x

untuk

semua

nilai

a

dan

a

perkiraan

Ingatlah bahwa suatu persamaan yang linier hanya mengandung variabel-variabel berorde satu. Contoh, perhatikan konstanta dan variabel-variabel x,y,z untuk persamaan berikut:

ax + by – c2 _{= 0 adalah persamaan linier}

cx + y2 _{= 0 bukan persamaan linier (non-linier)}

xy + bz – c = 0 bukan persamaan linier (non-linier)

4.1 TEKNIK LINIERISASI

Untuk merubah bentuk non-linier menjadi bentuk linier sering disebut dengan liniersiasi.

Suatu deret fungsi trigonometri, misalnya sin x = x – x3/3! + x5/5! - …. (x

4.1.1 Ekspansi deret Taylor

Didalam Geomatika deret Taylor sering digunakan untuk melinierkan bentuk-bentuk persamaan yang non-linier, baik dalam bentuk-bentuk skalar (univariate) maupun dalam bentuk vektor.

Untuk bentuk skalar, diberikan suatu fungsi y = f(x) dengan nilai yang diketahui adalah y0 _{= f(x) pada x = x}0_{, nilai-nilai lainnya adalah:}

Jika (x – x0_{) sangat kecil maka (x} – _x0₎2  _{0, seperti yang terjadi untuk}

orde-orde yang lebih tinggi lagi. Hal ini akan menyebabkan:







  

Sebagai contoh:

Jika y = f(x) = x2 _{+ x}3_{, evaluasilah fungsi tersebut untuk x=1.1}

Dalam hal ini ambilah nilai pendekatan x0 _{= 1 dan perbedaan}  _{= 0.1, maka:}

Linier

2.541) f(1.1) untuk sebenarnya (nilai

5 . 2 . 5 2

5 3

2

, 2 1 1 )

( 0 0 ₀2

0

0

 

  

 

 

   

y

x x dx

df j x

f y

x

interpretasi grafis/geometris untuk kasus ini adalah sbb.:

kelengkungan kurva tergantung dari fungsi y = f(x)

ketika d mendekati/menuju 0, y0 _{+ j} _{f(x), maka}  _{akan tetap kecil}

pengaruh orde-orde yang lebih tinggi ditunjukkan oleh perbedaan antara kurva pada x0 ₊ _{1, dan x}0 ₊ _2.

4.1.2 Iterasi

Iterasi adalah suatu proses komputasi yang dilakukan secara berulang-ulang untuk memperbaiki nilai pendekatan x0 dengan prosedur sbb:

i. pilihlah nilai pendekatan untuk x = x10 dan hitunglah:



( ) ( 0)



1 0

1 f x f x

x x

j 

 

ii. berikan nilai x yang didapat dari tahap (i) sebelumnya ke x20 dan

gunakan untuk hitungan yang sama:



( ) ( 0)



1 0

1 x f x f x

x

j i

i   

iii. teruskan proses perulangan ini sampai ditemukan solusi untuk x, atau ketika f(x) = f(xi0), misalnya pada saat x0i+1 = xi0.

Contoh hitungan:

x₁

x₂

X

Y y0=f(x0) _

1

₂

y=f(x)

y0 _{+ j}_{x =}

gradien pada

x0

y0 _{+ j}_x

2

y0 _{+ j}_x

1

₁ dan ₂ merupakan

an x

catatan:

jika penentuan nilai pendekatan x10 terlalu besar (jauh) dari nilai sebenarnya

akan membutuhkan iterasi yang sangat banyak.

Proses iterasi dapat dihentikan bila:

relatif) tertentu) nilai

4.1.3 Deret Taylor dalam Bentuk Vektor

Deret Taylor dapat dikembangkan lebih lanjut dalam bentuk fungsi vektor, antara lain:

4.1.4 Ekspansi untuk m Fungsi dengan n variabel

Jacobean matrik

dimana dan vektor

matrik ordo

Contoh-contoh soal:

Soal 1

Suatu model matematika terdiri dari dua fungsi yaitu:

Jawaban:

Linierisasikan Persamaan:



bentuk menjadi

Jawaban:





Persamaan Matrik:





4.1.5 Beberapa Catatan Tambahan

Sangatlah bermanfaat untuk mengembangkan persamaan dalam simbol y0_, _,

dan J sebelum anda mengisinya dengan data angka numerik.

Dari contoh soal 1 dan 2, lebih mudah untuk menyatakan suatu ekspresi

dalam bentuk y = … atau 0 = …..

Linier Independen dan Rank

Sekumpulan vektor (u1, u2, …,un) dikatakan linier dependen jika dan hanya jika terdapat skalar c1, c2, …,cn, yang tidak nol, sehingga memenuhi kondisi:

c1u1 + c2u2+ …+ cnun = 0

sekumpulan vektor (u₁, u₂, …,u_n) dikatakan linier independen jika semua skalar c1,

c2, …,cn, berharga nol, sehingga memenuhi kondisi:

c1 u1 + c2 u2 + …+ cnun = 0

contoh:

Apakah sekumpulan vektor-vektor berikut u₁ = (1,1,-1,-1), u₂ = (2,2,2,-2), u₃ = (3,3,1,-3), u₄ = (1,1,3,-1) linier independen? Untuk dapat menjawabnya susunlah persamaan vektornya: c1u1 + c2u2 + c3u3 + c4u4 = 0.

Dalam bentuk matrik persamaan tersebut menjadi:

0

ini tidak akan dapat diselesaikan jika rank A kurang dari jumlah unkonwn.melalui reduksi baris koefisien matrik A akan menjadi:

   

 

   



 

    

 

   

 

    

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 0

1 0 0 1

1 3 2 1

3 1 2 1

1 3 2 1

1 3 2 1

Setelah matrik A direduksi (ruas kanan) terdapat elemen baris yang semua anggotanya bernilai nol. Nilai rank suatu matrik adalah jumlah elemen baris yang anggotanya ada yang tidak bernilai nol. Karena elemen baris kesatu dan kedua tidak semuanya nol maka dikatakan rank matrik A adalah 2. Elemen baris ini disebut dengan linier independen. Sedangkan baris yang semua elemennyya nol disebut dengan linier dependen.

Didalam hitung kuadrat terkecil, sekumpulan persamaan matematika hanya dapat diselesaikan jika kesemuanya adalah linier independen dan rank matriknya sama dengan jumlah unknown atau lebih.

mulai dengan identifikasi parameter

Metodologi Pengukuran didalam Geomatika

Meformulasikan Model Matematika

Desain atau Preanalisa

Pengkajian pra-pemrosesan data &

manajemen

Pemrosesan data - Perataan

Pengkajian Hasil

Penyajian Hasil

Selesai

OK?

Mengkoreksi Parameter

Mengkoreksi Model Matematika

Mengkoreksi Desain

Mengkoreksi prosedur manajemen & pengkajian pra pemrosesan Mengkoreksi Prosedur Akusisi Data

Mengkoreksi prosedur pemrosesan data

OK?

Akusisi Data OK? Model Matematika

OK?

Desain OK?

Pengkajian pra prosesing data & manajemen OK?

Pemrosesan Data OK?

Tujuan: menentukan parameter yang dicari

Akusisi Data

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Ya

Tidak

Tidak

Ya

Tidak

Ya

Tidak

Ya

Tidak

Tidak

Ya

Ya Tidak

mulai dengan identifikasi parameter

Metodologi Pengukuran didalam Geomatika

Meformulasikan Model Matematika

Desain atau Preanalisa

Pengkajian pra-pemrosesan data &

manajemen

Pemrosesan data -Perataan

Pengkajian Hasil

Penyajian Hasil

Selesai

OK?

Mengkoreksi Parameter

Mengkoreksi Model Matematika

Mengkoreksi Desain

Mengkoreksi prosedur manajemen & pengkajian pra pemrosesan Mengkoreksi Prosedur Akusisi Data

Mengkoreksi prosedur pemrosesan data

OK?

Akusisi Data OK?

Model Matematika

OK?

Desain OK?

Pengkajian pra prosesing data & manajemen OK?

Pemrosesan Data OK?

Tujuan: menentukan parameter yang dicari

Akusisi Data

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Ya

Tidak

Tidak

Ya

Tidak

Ya

Tidak

Ya

Tidak

Tidak

Ya

Ya Tidak

4.1.6 Memformulasikan Model Matematika

Model matematis biasanya selalu berdasarkan hukum geometri atau fisika tertentu, dan hukum ini merelasikan antara pengamatan (pengukuran) dengan parameter yang akan dicari.

Dengan kata lain, parameter yang dicari tidak selalu bisa diukur secara langsung, jadi diperlukan suatu model yang menjelaskan hubungan matematis antara pengamatan dengan parameter yang dicari.

Contoh:

5. Refraksi atmosfir dari suatu perambatan gelombang adalah:

T

e

T

P

N

N

refraksi

_L



0

.

2696

_G



11

.

25

dimana NL = f(P,T,e)

parameter: NL

pengamatan/pengukuran: P, T, dan e konstanta: NG

6. Tekanan uap jenuh, es   

 



237.3

27 . 17

1078

.

6

t

t

s

e

parameter: es

pengukuran: t (wet-bulb temperature)

7. Persoalan dalam ukur tanah, jarak AB akan dicari, tetapi tidak dapat secara langsung diukur.

Untuk menghitung parameter d3, sudut a,b,c dan jarak d1 dan d2 diukur.

Model matematika adalah abstraksi dari hubungan geometris dari segitiga danau

c b

a

C _B

A

d₃