IDEAL lucas DAN SIFAT SIFATNYA

IDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA

Dalam grup kita mengenal subgrub normal. Dalam ring terdapat subring-subring tertentu yang mempunyai peranan mirip dengan subgrup normal. Subring yang peranannya mirip subgroup normal disebut ideal, yakni subring dari suatu ring yang memilki sifat-sifat khusus.

Definisi 1.1

Misalkan R adalah suatu ring dan dengan I≠∅, I disebut Ideal kanan dari R jika dan hanya jika: 1. ∀ x,y ∈ I berlaku (x – y) ∈ I

2. (∀ x ∈ R) (∀ x ∈ I) berlaku rx ∈I

Misalkan R adalah suatu ring dan I ∁ R dengan I≠∅, I disebut Ideal dua sisi (ideal kiri sekaligus ideal kanan), disebut juga Ideal dari R jika dan hanya jika

1. ∀ x,y ∈ I berlaku (x – y) ∈ I

2. ∀ x ∈ R) (∀ x ∈ I) berlaku rx, xr ∈ I

Ideal I disebut ideal trivial jika I = {0}dan disebut ideal sejati jika I ≠ R. Ideal I dinamakan ideal tak sejati jika I = R. Ring yang tidak mempunyai ideal sejati disebut ring sederhana (simple ring). Apabila R adalah ring komutatif maka ideal kanan juga merupakan ideal kiri.

Catatan:

1. Ideal pasti merupakan subring dan tidak sebaliknya.

2. Syarat ke-2, (∀ r ∈ R)(∀x ∈ I) berlaku rx,xr ∈ I berarti bahwa rx≠ xr. Selanjutnya Download saja ya jangan lupa tuk tinggalkan Komen tentang Blog in

.Himpunan

Contoh 1

Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan

bulat positif, didefinisikan x * y = |x – y| bila x y dan x * x = x untuk setiap x,y Z+. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif

Contoh 2

Jika A, B R didefinisikan A = { x | 1 x 4} = { 1, 2, 3, 4} dan B = { x | 2 x 3} = {2, 3}. Tunjukan bahwa A x B B x A ! Penyelesaian :

Relasi terhadap A x B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,2), (4,3)}

Relasi terhadap B x A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)}

2.semigrup dan monoid

Contoh 1

Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner: a * b = a + b + ab

Tunjukan bahwa (N, *) adalah suatu semigrup. Penyelesaian:

1. Tertutup

Ambil sebarang a, b * N, karena a, b* N, dan ab* N maka a * b = a + b + ab * N.

Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *. 2. Assosiatif

Ambil sebarang a, b, c * N, maka

(a * b) * c = (a + b + ab) * c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c = a + b + ab + c + ac + bc + abc

a * (b * c) = a * (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc Maka untuk setiap a, b, c * N berlaku

(a * b) * c = a * (b * c).

Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup.

Jika operasi biner pada semigrup (S, *) tersebut bersifat komutatif, maka semigrup (S, *) disebut juga semigrup abel.

Contoh 2

Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu grup terhadap penjumlahan (G, +). Penyelesaian:

Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, +) sebagai berikut

+ -1 1

1 0 2

Berdasarkan daftar Cayley dari tabel di atas, operasi penjumlahan himpunan G = {-1, 1} menghasilkan {-2, 0, 2}. Dikarenakan {-2, 0, 2} adalah bukan merupakan anggota dari himpunan G = {-1, 1}, maka G = {-1, 1} tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan.

Jadi, (G, +) bukan suatu grup.

3.Dasar2 grup

Contoh 1

tunjukan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan

Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +). Penyelesaian :

H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, sehingga H G.

Dari tabel 3.3. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup :

a.

Tertutup

Ambil sebarang nilai dari H misalkan 0, 2, 4 H

0 + 0 = 0 0 + 2 = 2 0 + 4 = 4 2 + 2 = 4 2 + 4 = 0 4 + 4 = 2

karena hasilnya 0, 2, 4 H, maka tertutup terhadap H

b

. Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari H

misalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 H (a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2 a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2 Sehingga :

(a + b) + c = a + (b + c) = 2 maka H assosiatif

c

. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan) Ambil sebarang nilai dari G

misalkan 2 G 2 + e = e + 2 = 2 misalkan 4 G 4 + e = e + 4 = 4

maka G ada unsur satuan atau identitas

d

. Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 0 G, pilih 0 G, sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0

Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 2 G, pilih 4 G, sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1 = 4

Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 4 G, pilih 2 G, sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1 = 2

maka G ada unsur balikan atau invers

e

. Adanya unsur satuan atau identitas Ambil sebarang nilai dari H

misalkan 4 H 4 + e = 4 + 0 = 4 e + 4 = 0 + 4 = 4 Sehingga :

4 + e = e + 4 = 4

maka H ada unsur satuan atau identitas

f

. Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari H, misalkan 4 H 4 + (-4) = 4 – 4 = 0 = e

(-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = e Sehingga :

4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = e

maka H ada unsur balikan atau invers

Jadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H, +) merupakan Subgrup dari (G, +).

Contoh 2

tunjukan bahwa H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakan

Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).

Penyelesaian :

H = {1, 2, 3} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, sehingga H G.

Akan ditunjukan H = {1, 2, 3} memenuhi syarat-syarat suatu Grup : Ambil sebarang nilai dari H

misalkan 2, 3 H didapat : 2 + 3 = 5

4.Grup siklik

Contoh 1

Grup (Z,+) merupakan Grup Siklik tak hingga yang dibangun oleh 1.

Penyelesaian :

[1] = {…, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, …} = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Jadi, 1 merupakan genertor yang membentuk Grup Siklik tak hingga.

Contoh 2

Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .). Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.

Penyelesaian :

generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga : [-1] = {-1, 1}

generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga : [1] = {1}.

5.Grup faktor

Contoh 1

Misalkan (G,+) = Z4 adalah suatu Grup dan H = {0,2} adalah merupakan

Subgrup dari G. Tentukan koset kiri dan koset kanan dari H dalam G. Penyelesaian :

Maka koset kiri = koset kanan

Misalkan 3Z adalah merupakan Subgrup dari Z. Tentukan koset kiri dan koset kanan dari 3Z dalam Z.

Penyelesaian :

Kita akan selidiki koset kiri dan koset kanan terhadap operasi penjumlahan dan operasi perkalian.

Diketahui :

Z = { …, -2, -1, 0, 1, 2, …} 3Z = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}

a. Terhadap operasi penjumlahan

Koset kiri :

-2 + 3Z = {…., -8, -5, -2, 1, 4, …} -1 + 3Z = {…., -7, -4, -1, 2, 5, …} 0 + 3Z = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …} 1 + 3Z = {…., -5, -2, 1, 4, 7, …} 2 + 3Z = {…., -4, -1, 2, 5, 8, …}

Koset kanan:

3Z + (-2) = {…., -8, -5, -2, 1, 4, …} 3Z + (-1) = {…., -7, -4, -1, 2, 5, …} 3Z + 0 = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …} 3Z + 1 = {…., -5, -2, 1, 4, 7, …} 3Z + 2 = {…., -4, -1, 2, 5, 8, …} Koset kiri = Koset kanan

b. Terhadap operasi perkalian

Koset kiri :

-2 . 3Z = {…., 12, 6, 0, -6, -12, …} -1 . 3Z = {…., 6, 3, 0, -3, -6, …} 0 . 3Z = {0}

1 . 3Z = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …} 2 . 3Z = {…., -12, -6, 0, 6, 12, …}

Koset kanan:

3Z . (-2) = {…., 12, 6, 0, -6, -12, …} 3Z . (-1) = {…., 6, 3, 0, -3, -6, …} 3Z . 0 = {0}

3Z . 1 = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …} 3Z . 2 = {…., -12, -6, 0, 6, 12, …}

Koset kiri = Koset kanan

6.RING

Contoh 1

Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan daerah asal (domain) dari fungsi.

Misalkan f : Z → Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalam contoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Z maka:

Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y) Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring

Contoh 2

.Didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q }. Buktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring bagian dari R

Jawab:

Bila didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring bagian dari R.

Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(√2 ) juga himpunan yang tidak kosong.

Terhadap operasi pergandaan bersifat

( a + b √2 ) ( c + d √2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) √2 dan terhadap operasi pengurangan bersifat

( a + b ) √2 – ( c + d ) √2 = ( a – c ) + ( b – d ) √2

Karena ac + 2bd, ad + bc, a – c dan a – d tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi pengurangannya tetap dalam Q (√2 ).

Oleh karena itu Q (√2 ) merupakan ring bagian dari R.

Perlu dicatat bahwa Q (√2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleks C = { a + b i │a, b dalam R }

Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b√2 dan dalam hal ini ring Q ( √2 ) mengandung Q, seperti juga C mengandung R.

7.subring

Contoh 1

3. a . b S

Misalkan 0, 2 S 2 . 0 = 0

2 . 2 = 0 0 . 2 = 0

Sehingga 0 S

Syarat (1), (2), dan (3) terpenuhi maka S adalah Subring dari Z4.

Contoh 2

Diketahui R ring komutatif dan himpunan bagian X ⊆ R . Didefinisikan I X = { I ideal di R I X ⊆I } = dan (X)= ∩ Jika A,B ⊆ R , maka (A) ∩(B) merupakan

I∈IX.

ideal pada (A) . Bukti.

Karena (A),(B) ideal-ideal di R, maka (A) ∩ (B) juga merupakan ideal di R. Karena

berlaku hubungan (A)∩ (B) ⊆ (A) , maka untuk setiap x ∈(A)∩(B) dan r ∈(A)selalu

berlaku rx =xr∈(A) ∩(B) . Jadi, terbukti bahwa (A) ∩(B) merupakan ideal pada A .

8.ring faktor & homomorfisma

Contoh 1

Bila K = {0, 2, 4} adalah suatu Ideal yang dibangun oleh 2 dalam Z6.

Tunjukan Z6/K adalah merupakan Ring Faktor.

Penyelesaian :

Ada dua koset / Ideal dari Ring Z6, yaitu :

K = {0, 2, 4} K + 1 = {1, 3, 5}

Sehingga Z6/K = {K, K + 1}

Tabel 8.1.

Daftar Cayley (Z6/K = Z6/{0, 2, 4}, +) dan (Z6/K = Z6/{0, 2, 4}, .)

Tabel 8.1. menunjukan penjumlah dan perkalian unsur-unsur dari Z6/K.

Selanjutnya dari tabel, kita akan membuktikan bahw Z6/K dengan

syaratsyarat

. k K+1

k k k

suatu Ring merupakan Ring Faktor dari Z6/K. Adapun syaratsyaratnya

sebagai berikut :

1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di Z6/K

K, K + 1 Z6/K

berlaku K + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1 Sehingga K + 1 Z6/K

2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K

K, K + 1 Z6/K

3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) di Z6/K

K + 1 Z6/K

(K + 0) + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1 (K + 1) + (K + 0) = K + (1 + 0) = K + 1

Sehingga (K + 0) + (K + 1) = (K + 1) + (K + 0) = K + 1

4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) di Z6/K

K + 1 Z6/K

(K + 1) + (K + (-1)) = K + (1 + (-1)) = K + 0 = K (K + (-1)) + (K + 1) = K + ((-1) + 1) = K + 0 = K

Sehingga (K + 1) + (K + (-1)) = (K + (-1)) + (K + 1) = K + 0 = K

5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K

K, K + 1 Z6/K

K + (K + 1) = (K + 1) + K K + (0 + 1) = K + (1 + 0) K + 1 = K + 1

Sehingga K + (K + 1) = (K + 1) + K = K + 1

6. Tertutup terhadap perkalian (.) di Z6/K

K, K + 1 Z6/K

berlaku K . (K + 1) = K + (0 . 1) = K + 0 = K Sehingga K Z6/K

7. Assosiatif terhadap perkalian (.) di Z6/K

K, K + 1 Z6/K

K Z6/K

(K + 1) . K = K + (1 . 0) = K + 0 = K K . (K + 1) = K + (0 . 1) = K + 0 = K

Sehingga (K + 1) + K = K + (K + 1) = K + 0 = K

9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) di Z6/K

K, K + 1 Z6/K

Misalkan a = K , b = K + 1 dan c = K + 1 a. (b + c) = (a . b) + (a . c)

K . [(K + 1) + (K + 1)] = [K . (K + 1)] + [K . (K + 1)] K . [K + (1 + 1)] = [K + (0 . 1)] + [K + (0 . 1)]

K + [0 . (1 + 1)] = K + [(0 . 1) + (0 . 1)] K + (0 . 0) = K + (0 + 0)

K = K

Sehingga K . [(K + 1) + (K + 1)] = [K . (K + 1)] + [K . (K + 1)] = K Jadi, Z6/K = {K, K + 1} adalah merupakan suatu Ring Faktor

Contoh 2

Tunjukan apakah f : Z R dengan f(a) = a adalah suatu Homomorfisma Ring.

Penyelesaian :

Akan kita buktikan bahwa a, b R berlaku : 1. f(a + b) = f(a) + f(b)

2. f(a . b) = f(a) . f(b) Sehingga :

1. f(a + b) = f(a) + f(b), a, b R (a + b) = (a) + (b)

a + a = a + b

2. f(a . b) = f(a) . f(b), a, b R (a . b) = (a) . (b)

a . b = a . b

Dikarenakan untuk f(a + b) = f(a) + f(b) dan f(a . b) = f(a) . f(b) maka f : Z R untuk f(a) = a adalah merupakan suatu Homomorfisma

Ring.

9.ring polinom

Contoh 1

Tentukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut terhadap Z3[x], dimana

p(x) = 2x2 + 2 dan q(x) = 2x + 2, p(x) adalah polinom yang dibagi dan

g(x) polinom pembagi.

Daftar Kajian Materi

 Ideal Maksimal

 Ideal Prima

========================= ========================= ========================= =========================

==

Halaman Sebelumnya

[ ]

Kembali ke Halaman

utama [Daftar

Isi]

Halaman Selanjutny

a [Ideal Prima]

Kemampuan akhir yang diharapkan setelah mempelajari materi ini adalah:

 Mahasiswa dapat menjelaskan kembali konsep-konsep yang berhubungan dengan ideal

maksimal dan prima

 Mahasiswa dapat menganalisis keterkaitan antara konsep dalam ideal maksimal dan prima

 Mahasiswa dapat menggunakan sifat yang berlaku dalam membuktikan pernyataan matematis yang berhubungan

dengan ideal maksimal dan prima

jika

I={0}

I={0} dan sebaliknya, dikatakan ideal sejati nontrivial jika

I≠R

I≠R dan

I≠{0}

I≠{0}. Secara umum, sebarang ring

R

R memiliki minimal dua buah ideal yaitu ideal tidak sejati

(I=R)

(I=R) dan ideal trivial

(I={0})

(I={0}). Suatu ring yang hanya tepat memiliki dua buah ideal adalah sebuah field proper lainnya (disebut ideal maksimal) dan ada ideal yang bersifat bahwa setiap perkalian yang menghasilkan suatu elemen dalam ideal maka salah satu faktornya pasti merupakan elemen dalam ideal tersebut (disebut ideal prima). Sifat menarik lainnya mengenai ideal jika dikaitkan dengan ring faktornya adalah, ada ring faktor yang dibentuk oleh integral domain dan idealnya tetapi menghasilkan ring faktor yang bukan integral domain, sebaliknya juga ada yang menghasilkan ring faktor yang merupakan integral domain. Sebagai contoh jika kita ambil ring

Z

Z dan idealnya

⟨4⟩

⟨4⟩ dan

⟨5⟩

⟨5⟩maka ring faktor

R/⟨4⟩≃Z

4R/⟨4⟩≃Z4 yang bukan merupakan sebuah integral domain. Sedangkan ring faktor

R/⟨5⟩≃Z

5R/⟨5⟩≃Z5merupakan suatu integral domain. Bagaimana bentuk ring faktor yang dibentuk kedua ideal tersebut dan bagaimana kaitan antara kedua ideal tersebut, semuanya dibahas dalam bagian ini.

Teorema 1

Jika

R

R sebuah ring dengan unity, dan

I

I adalah ideal pada

Bukti: Untuk menunjukkan bahwa

I=R

I=R maka harus ditunjukkan bahwa kedua himpunan tersebut saling subset. Karena

I

I adalah ideal dari

R

R maka jelas bahwa

I⊆R

I⊆R. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

R⊆I

R⊆I.

Ambil sebarang

r∈R

r∈R. Ingat bahwa

I

I memuat suatu unit, misalkan

u

u adalah unit yang termuat dalam

I

I maka ada

u

−1

∈R

u−1∈R sedemikian

hingga

uu

−1

=1=u

−1

u

uu−1=1=u−1u.

Karena

I

I ideal maka untuk

diambil

r=u

−1r=u−1 maka

u

−1

u=1,uu

−1

=1∈I

u−1u=1,uu−1=1∈I, jadi

1∈I

1∈I. Sehingga, untuk setiap

r∈R

r∈R dan

1∈I

1∈I berlaku

r1=r,1r=r∈I

r1=r,1r=r∈I. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa

R⊆I

R⊆I.

Karena

I⊆R

I⊆R dan

R⊆I

R⊆I maka

I=R

I=R.

■

◼

Berdasarkan Teorema 1, jika

R

R adalah sebuah field maka jelas bahwa sebarang

I

I yaitu ideal dari

R

R kecuali

I={0}

I={0} akan memuat suatu unit dan berakibat

R=I

R=I. Dengan demikian jika

R

R field, maka

R

R hanya memiliki dua buah ideal yaitu

I={0}

I={0} dan

I=R

I=R.

Akibat 1

Sebuah field tidak memiliki ideal proper nontrivial

IDEAL MAKSIMAL

Definisi 1

Sebuah ideal

M

M pada ring

R

R disebut ideal maksimal

memuat

M

M.

Contoh 1

Tentukan semua ideal maksimal dari

Z

12Z12

Diagram ideal dari

Z

12Z12

Gambar di atas merupakan gambar diagram dari ideal-ideal dari

Z

12Z12. Jika kita perhatikan, ideal proper dari

Z

12Z12adalah

⟨0⟩

⟨0⟩,

⟨6⟩

⟨6⟩,

⟨4⟩

⟨4⟩,

⟨3⟩

⟨3⟩ dan

⟨2⟩

⟨2⟩. Ideal

⟨0⟩

⟨0⟩,

⟨6⟩

⟨6⟩, dan

⟨4⟩

⟨4⟩ jelas bukan ideal maksimal dari

Z

12Z12 karena ideal-ideal tersebut termuat dalam

⟨2⟩

⟨2⟩. Sehingga, dapat kita pastikan bahwa ideal maksimal dari

Z

12Z12 adalah

⟨3⟩

⟨3⟩ dan

⟨2⟩

⟨2⟩.

⧫

⧫

Contoh 2

Tunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan prima

p

p,

Jawab: Untuk menunjukkan bahwa

pZ

pZ adalah ideal maksimal dari

Z

Z, kita akan gunakan pembuktian dengan kontradiksi. Andaikan bahwa

pZ

pZ bukan ideal maksimal dari

Z

Z. Oleh karenanya, ada

I

I ideal proper lainnya dari

Z

Zsedemikian hingga

I⊃pZ

I⊃pZ. Selanjutnya, ambil

x∈I−pZ

x∈I−pZ. Karena

p

p prima

maka

p

p tidak membagi

x

x,

demikian, akan ada bilangan bulat

a

a dan

b

b sedemikian hingga

ax+bp=1(1)

(1)ax+bp=1

Karena

x,p∈I

x,p∈I maka hasil operasi persamaan

(1)

(1) bagian kiri termuat di

I

I. Ini berarti bahwa

1∈I

1∈I, sehingga berdasarkan Teorema 1 di atas,

I=R

I=R. Ini kontradiksi dengan asumsi awal bahwa

I

I merupakan ideal proper dari

R

R. Dengan demikian, pengandaian salah. Jadi kesimpulannya,

pZ

pZ adalah ideal maksimal dari

Z

Z.

⧫

⧫

Berdasarkan Contoh 2,

pZ

pZ adalah ideal maksimal dari

Z

Z. Menurut teorema dasar homomorfisma,

Z/pZ

Z/pZisomorfis dengan

Z

pZp. Karena

Z

pZp adalah field maka demikian juga dengan

Z/pZ

Z/pZ. Ilustrasi ini, membawa kita pada teorema berikut.

Teorema 2

Misalkan

R

R ring komutatif dengan unity. Maka

M

M adalah ideal maksimal pada jika

R/M

R/M merupakan suatu field.

Bukti: Teorema ini akan dibuktikan dua arah: pertama akan ditunjukkan bahwa jika

R

R ring

komutatif dengan unity dan

M

M adalah ideal

maksimal pada

R

R maka

R/M

R/M merupakan

suatu field.

Misalkan

M

M adalah ideal maksimal, maka

R/M

R/M adalah ring faktor komutatif (A1-A9) (Teorema 1 dan Akibat 1 pada bagian ring faktor). Karena

R

R ring dengan unity, maka

ada

1+M∈R/M

1+M∈R/M dengan

1∈R

1∈R sede

mikian hingga untuk

sebarang

r+M∈R/M

r+M∈R/M berlaku

Jadi,

1+M

1+M adalah unity

R/M

R/M (A10). Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa setiap elemen

selain identitas penjumlahan

pada

R/M

R/M merupakan unit.

Misalkan ambil

sebarang

a+M∈R/M

a+M∈R/M sedemikian hingga

a+M≠0+M

a+M≠0+M (ini

berarti

a∉M

a∉M). Pandanglah himpunan

J

J,

J=M+aR={m+ar|

m∈M,r∈R}

J=M+aR={m+ar|m∈M,r∈R}

Jelas bahwa

J

J adalah ideal dari

R

R.

Liat pembuktian JJ ideal dari RR

Misalkan kita ambil

sebarang

m∈M

m∈M maka

m

m dapat ditulis dengan

m=m+a0

m=m+a0, jadi

m∈J

m∈J.

Karena untuk

sebarang

m∈M

m∈M,

m∈J

m∈J maka

M⊆J

M⊆J. Karena

M

M adalah ideal maksimal, maka

J=M

J=M atau

J=R

J=R. Perhatikan bahwa

a=0+a.1

a=0+a.1, ini berarti bahwa

a∈J

a∈J. Tetapi, di atas sudah kita katakan bahwa

a∉M

a∉M. Jadi,

J≠M

J≠M. Hal ini memaksa

J

J harus sama dengan

R

R, yaitu

M+aR=R

M+aR=R.

Karena

1∈R

1∈R maka

1

1 dapat

ditulis

1=m+ar=ar+m

1=m+ar=ar+m untuk suatu

m∈M

m∈M dan

r∈R

r∈R. Ini berarti bahwa

1∈ar+M

1∈ar+M atau dapat ditulis

1+M=ar+M=(a+M)(r+M)

1+M=ar+M=(a+M)

(r+M)

Jadi,

r+M

r+M adalah unit dari

a+M

a+M. Kesimpulannya, setiap elemen selain identitas penjumlahan pada

R/M

R/Mmerupakan unit (A11).

Jadi,

R/M

R/M adalah field

dan

R/M

R/M merupakan suatu field maka

M

M adalah ideal maksimal pada

R

R.

Untuk menunjukkan bahwa

M

M adalah ideal maksimal dari

R

R, kita akan gunakan pembuktian dengan kontradiksi. Andaikan bahwa

M

M bukan ideal maksimal dari

R

R maka ada ideal proper lainnya, misalkan

J

Jsedemikian hingga

J≠R

J≠R dan

J⊃M

J⊃M (ini berarti bahwa

J≠M

J≠M). Karena

J⊃M

J⊃M maka ada

x∈J−M

x∈J−M (

x∈J,x∉M

x∈J,x∉M),

sedemikian hingga

x+M≠0+M

x+M≠0+M. Karena

R/M

R/M adalah field maka ada

y+M∈R/M

y+M∈R/Msedemikian hingga

(x+M)(y+M)=1+Mxy+M=1+M

(x+M)

(y+M)=1+Mxy+M=1+M

Ini berarti bahwa

xy∈1+M

xy∈1+M, sehingga

xy

xy dapat dinyatakan dalam bentuk

xy=1+m

1xy=1+m1 atau dapat ditulis

xy−1=m

1xy−1=m1 untuk

suatu

m

1

∈M

m1∈M. Jadi,

xy−1∈M

xy−1∈M. Karena

M⊂J

M⊂J, maka

xy−1∈J

xy−1∈J. Perhatikan bahwa

1=(xy)−(xy−1)

1=(xy)−(xy−1)

Diketahui bahwa

xy−1∈J

xy−1∈J dan karena

J

J ideal maka

xy∈J

xy∈J. Dengan demikian,

1=(xy)−(xy−1)∈J

1=(xy)−(xy−1)∈J. Karena

1∈J

1∈J dan

1

1 adalah unit maka

J=R

J=R. Ini kontradiksi dengan asumsi awal bahwa

J

J merupakan ideal proper dari

R

R. Dengan demikian, pengandaian salah. Jadi kesimpulannya,

M

M adalah ideal maksimal dari

R

R.

⧫

⧫

Berdasarkan Teorema 2, maka dapat diperoleh akibat sebagai berikut

Akibat 1

Contoh 3

Misalkan pada

Z

6Z6 dengan idealnya

⟨3⟩={0,3}

⟨3⟩

berdasarkan Teorema 2,

Z

6

/⟨3⟩

Z6/⟨3⟩ adalah field. Hal ini dapat kita cek menggunakan teorema homomorfisma dasar dimana

Z

6

/⟨3⟩

Z6/⟨3⟩ isomorfis dengan

Z

3Z3.

Latihan

1. Tunjukkan bahwa pemetaan

γ:C→M

2

(R)

γ:C→M2(R) setiap

a+bi∈C

a+bi∈C,

γ(a+bi)=⎧⎩⎪⎪⎪a

ring!

Cek Jawaban

2. Misalkan ϕ:Z9→Z2ϕ:Z9→Z2 dengan aturan: untuk setiap

Tentukan apakah ϕϕmerupakan homomorfisma ring atau bukan! Jika iya, buktikan, jika tidak, berilah counter examplenya!

Cek Jawaban

Lemma 1

Jika

R

R,

S

S, dan

T

T adalah ring dan

α:R→S

α:R→S serta

fungsi

β∘α:R→T

β∘α:R→T juga merupakan homomorfisma ring.

Bukti: Ambil sebarang

x,y∈R

x,y∈R, maka

(β∘α)(x+y)=β[α(x+y)]=β[α(x)+α(y)]

(karena α homomorfisma ring)=β[α(x)]

+β[α(y)] (karena β homomorfisma ring

)=(β∘α)(x)+(β∘α)(y)(4)

(4)(β∘α)

(x+y)=β[α(x+y)]=β[α(x)+α(y)] (karena α ho momorfisma ring)=β[α(x)]+β[α(y)] (karena β ho

momorfisma ring)=(β∘α)(x)+(β∘α)(y)

dan

(β∘α)(xy)=β[α(xy)]=β[α(x)α(y)] (kar

ena α homomorfisma ring)=β[α(x)]β[α(y)]

(karena β homomorfisma ring)=(β∘α)(x)

(β∘α)(y)(5)

(5)(β∘α)(xy)=β[α(xy)]=β[α(x)α(y)] (karena α homomorfisma ring)=β[α(x)]β[α(y)]

Berdasarkan

(4)

(4) dan

(5)

(5) dapat disimpulkan bahwa

β∘α

β∘α merupakan homomrfisma ring.