Skala multidimensi - USD Repository

SKALA MULTIDIMENSI

S k r i p s i

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

Program Studi Matematika

Oleh:

Yuda Esdie Sutanto

NIM : 993114008

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

MULTIDIMENSIONAL SCALING

An undergraduate Thesis

Presented spartial fulfillment of the reqirements For the degree ofSarjana sains

In mathematics programme

By:

Yuda Esdie Sutanto Student Number: 993114008

MATHEMATICS PROGRAMME

DEPARTEMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

Semalam aku bermimpi berjalan menyisir pantai bersama Tuhan . Aku melihat dua pasang jejak kaki , milikku dan milik Tuhan . Aku menoleh kebelakang , kulihat saat-saat sedih dan mencekam ,

hanya ada sepasang jejak kakiku saja . Aku sangat kecewa dan bertanya kepadaNya ,

“ Tuhan dimanakah Engkau ? Mengapa pada waktu aku membututuhkanMu , Justru Engkau meninggalkanku ? ”

Tuhan menjawab ; “ Anakku , engkau sangat Kukasihi , ketika Engkau dalam bahaya , hanya terlihat sepasang jejak kaki ,

Karena waktu itu Aku menggendongmu “.

Karya ini ku persembahkan untuk

Tuhan Yesus & Bunda Maria

Papa & Mamaku

DIAN C . RUSLIADI , S.SI

Mas Roesdy & Mbak Ipah

Mbak Diniek & Dian

Dik Ferra & Ucok

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang telah saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian dari karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah

Yogyakarta , Juli 20007

Penulis

ABSTRAK

Penskalaan Multidimensional adalah suatu metode analisis multivariat yang digunakan untuk menyederhanakan data mentah menjadi suatu tampilan grafis. Data masukan berupa persepsi obyek terhadap beberapa stimuli. Data berada pada skala ordinal, interval atau rasio. Bentuk dasar data masukan adalah nilai kedekatan. Nilai kedekatan mengacu pada ukuran nilai kesamaan atau nilai ketidaksamaan antar semua pasangan stimuli. Nilai kedekatan dapat diperoleh secara langsung, dengan meminta obyek menilai tingkat kesamaan setiap pasangan stimuli, dan secara tidak langsung, dengan meminta obyek untuk memperngkatkan stimuli berdasar beberapa adjektif deskriptor. Cara lain untuk memperoleh nilai kedekatan adalah menyakan tingkat kesukaan atau preferensi terhadap semua stimuli.

ABSTRACT

Multidimensional Scaling is a multivariat analysis method used to reduce raw data into a visual representation. The input data is the perception of objects to some stimuli. The datas range from ordinal, interval to ratio scale. The basic input is proximities value. Proximities value refer to similarity or dissimilarity values between a pair of stimuli. Proximities value can be generated directly by asking objects for similarity judgments among all pairs of stimuli adjectives or indirectly by asking objects for rating the stimuli on some descriptor adjectives. Another way to generate proximities value is by asking objects’ preferences of stimuli.

KATA PENGANTAR

Puji syukur dan terimakasih kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan kasih, berkat dan lindunganNya, sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi yang berjudul ” SKALA MULTI DIMENSI” ini dengan baik.

Penyusunan skripsi ini ditujukan untuk memenuhi salah satu syarat

memperoleh gelar Sarjana Sain (S.Si) pada program studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis menyadari bahwa skripsi ini dapat terselesaikan atas bantuan, bimbingan dan dorongan yang diberikan oleh berbagai pihak. Maka dalam kesempatan ini penulis ingin mengucapkan rasa terimakasih

yang tulus kepada:

1. Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria atas terkabulnya permohonanku

melalui doa Novena Tiga Salam Maria serta atas limpahan kasihNya yang tak pernah berhenti.

2. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dekan FMIPA serta dosen

pembimbing skripsi yang telah sabar dan penuh pengertian dalam membimbing dan mengarahkan penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi

ini.

4. Semua staf dan pengajar FMIPA atas ilmu dan bimbingannya selama penulis menjalani masa perkuliahan dan dalam penulisan skripsi ini.

5. Mas Tukijo dan staf skretariat FMIPA atas pelayanan yang diberikan selama

penulis menjalani masa perkuliahan dan dalam penulisan skripsi ini.

6. Mamaku (Sujilah HS) dan Papaku (Heru Sutanto) tercinta yang selalu

memberikan kebebasan, kesempatan dan pengertian serta doa demi terselesainya skripsi ini.

7. Mas Roesdy, Mbak Diniek dan Dik Ferra atas kerja sama, motivasi dan

doanya.

8. Keluarga besar Kartodimejo dan Mangun Sukarto yang telah memberikan

bantuan moril maupun material.

9. Keluarga besar Lili Rusliadi( Papa dan Mama mertua tercinta) yang selalu memberi motivasi.

10. Dian Christiana Rusliadi, S.Si. yang selalu setia menemaniku dan mendampingiku. Terimakasih atas kasih sayang, perhatian dan pengorbanan

yang telah kau berikan untukku.

11. Adik-adikku Wawan,Lina ,Tacik, gek do lulus yo. 12. Mas No, Mbak Lilik, Dik Dea dan Diaon.

13. Teman – teman seperjuanganku Hartanto, Thomas, Naga, Wondo, Antok, Andri, Nadi, Tius, Desi, Nia, Novi, Yoslin, Mike, Hebi, Kris,Fera,Lia,

Mayang dan semua angkatan “99.

15. Cah-Cah kuncinan Ebleh, Gatot, Fosil, Gawul, Anwar, Bobi, Bejo, Tobil, Ateng, Asti, Tiara,Susi,Neno dan ketua GENG Pak Jasari trimakasih atas kebersamaannya. “Hidup Kuncinan”

16. Cah-cah pasar Tole, Kiki, Ari dan semua Kru UD MAYAR

17. Dan semua orang yang telah memberikan bantuan dan belum dapat kusebut

satu persatu. Terima kasih banyak atas segala bantuannya.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dan kelemahan dalam skripsi

ini. Sehingga penulis dengan lapang dada menerima kritik dan saran serta masukan yang membangun dari pembaca, agar skripsi ini menjadi lebih baik dan

berguna bagi semua orang.

Yogyakarta, 2007

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL………..………...i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………..ii

HALAMAN PENGESAHAN………iii

HALAMAN PERSEMBAHAN...iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………..v

ABSTRAK………..vi

ABSTRACT………...vii

KATA PENGANTAR………..viii

DAFTAR ISI………...xi

BAB I PENDAHULUAN………1

A. Latar Belakang Masalah………...1

B. Rumusan Masalah………3

C. Batasan Masalah…....………...3

D. Tujuan Penulisan………..4

E. Metode Penulisan………...4

F. Manfaat Penulisan………5

BAB II DASAR-DASAR TEORI………....7

A. Analisis Data Multivariat……….7

B. Jenis-jenis Data Hasil Pengukuran………...8

C. Matriks………...12

D. Ruang-n Euclidian……….15

E. Eigennilai dan Eigenvektor………....15

F. Korelasi Sederhana……….16

G. Korelasi Ganda………...20

BAB III PENSKALAAN MULTIDIMENSI……….22

A. Proses Kerja Penskalaan Multidimensi………..24

B. Penyusunan Penskalaan Multidimensi………...28

1. Pemasukan Data………28

2. MDS Matrik………..34

3. Menguji Reliabilitas dan Validitas..………..38

4. Penentuan Banyaknya Dimensi……….39

5. Intepretasi Hasil dan Penamaan Dimensi………..42

BAB IV PENERAPAN PENSKALAAN MULTIDIMENSI………47

BABV KESIMPULAN………..72

DAFTAR PUSTAKA ...………73

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan pada permasalahan dalam mengintepretasikan hubungan antar variabel, terutama pada saat kita akan

menarik kesimpulan hubungan dari variabel tersebut. Apalagi ketika kita berhadapan dengan variabel yang cukup banyak, kita akan mengalami lebih banyak kesulitan dalam mengiterpretasikan hubungan antar variabel tersebut .

Dalam pemecahan masalah tersebut kita sangat membutuhkan suatu teknik atau metode untuk mengolah atau menganalisis data, terutama metode yang

mudah dalam penggunaannya maupun intepretasi kesimpulannya. Kita telah mengenal berbagai macam teknik atau metode dalam mengolah data yang cukup banyak, baik yang telah diajarkan dalam perkuliahan maupun yang tidak diajarkan

dalam perkuliahan. Dalam skripsi ini penulis akan memperkenalkan salah satu teknik atau metode dalam menganalisis data yaitu skala multidimensi atau sering

disebut dengan MDS (Multidimensional Scaling). Pada dasarnya MDS merupakan salah satu teknik analisis multivariat yang dapat membantu kita dalam menginterpretasikan atau menemukan hubungan antara beberapa variabel dengan

spasial yang dihasilkan yang mewakili persepsi dan preferensi responden . Selain itu MDS juga dapat membantu kita untuk mengenali (mengidentifikasi) dimensi kunci yang mendasari evaluasi objek dari responden tanpa mendeskripsikan sifat

atau atribut-atribut terlebih dahulu. Salah satu kelebihan dari MDS adalah fleksibilitasnya terhadap tipe data yang akan kita olah. Selain itu MDS juga

memiliki berbagai tipe penyelesaian, tipe tersebut dikelompokkan dalam dua kelompok yaitu tipe metrik dan tipe non-metrik, dimana tipe non-metrik lebih bersifat terbatas dari pada tipe matrik. Selain itu kelebihan MDS dibanding

dengan teknik-teknik mulivariat lainnya, MDS dapat dapat dilakukan pada tingkat responden secara individu (disebut Disaggregate Analysis) tidak harus pada

tingkat agregat(disebutAggregate Analysis)

Dengan menggunakan metode MDS solunsi yang dihasilkan lebih siap dan mudah dimengerti sehingga MDS telah digunakan dalam berbagai bidang. Salah

satu bidang yang telah menggunakan prosedur MDS adalah bidang riset pemasaran untuk membandingkan posisi relatif suatu objek dengan objek lainnya

berdasarkan persepsi konsumen, maka dengan menggunakan prosedur MDS kita dapat mengetahui apakah produk tersebut relatif sama atau berbeda dengan produk sejenis lainnya, atribut apa saja yang menjadi keunggulan dan kekurangan

produk tersebut dibandingkan dengan produk pesaingnya, sehingga kita dapat menyimpulkan suatu strategi atau keputusan yang seharusnya dilakukan agar

dapat berkompetisi dengan produk lain. Selain telah digunakan dalam bidang pemasaran MDS juga telah digunakan dalam bidang psikologi yaitu digunakan dalam pendiskripsian sifat atau ciri-ciri seseorang dan masih banyak lagi

Walaupun metode MDS bukan merupakan suatu prosedur yang terbaik dalam menganalisis suatu data, tetapi metode MDS dapat menjadi salah satu alternatif lain dari metode analisis. Dari uraian diatas metode MDS sangatlah

penting dalam membantu kita dalam menginterpretasikan dan menarik suatu kesimpulan dari data yang kita miliki. Berdasarkan hal tersebut maka penulis

tertarik untuk membahas MDS secara lebih mendalam.

B. Rumusan Masalah

Skala multidimensi merupakan salah satu metode analisis multivariat yang sangat mudah dalam penggunaannya dan dapat diterapkan dalam berbagai disiplin

ilmu. Maka penulis merumuskan masalah sebagai berikut: 1. Apa yang dimaksud dengan MDS ?

2. Bagaimana cara kerja dari metode MDS ?

3. Bagaimana mengintepretasikan suatu masalah dalam data dengan menggunakan metode MDS ?

4. Menafsirkan parameter dalam dan penafsiran bermacam-macam model MDS?

C.Batasan Masalah

Dalam penulisan yang akan dibahas adalah tipe dari MDS , maka penulis

membatasi pembahasan topik hanya sampai dengan :

2. Jenis-jenis permasalahan yang seperti apa yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode ini.

3. Tidak membahas secara khusus tipe-tipe yang terdapat dalam metode

MDS.

4. Tidak membandingkan metode MDS dengan metode yang lainnya dalam

penyelesaian suatu masalah.

Adapun pembatasan ini bertujuan agar pembaca memahami betul tentang metode MDS dan penerapannya dalam suatu permasalahan.

D. Tujuan Penulisan

Secara umum penulisan tugas akhir ini bertujuan untuk memperkenalkan suatu teknik analisis data. Tujuan yang lebih spesifik dari penulisan ini adalah:

1. Memahami mengenai apa dan bagaimana MDS itu dapat membantu kita

dalam menginterpretasikan hubungan antar variabel. 2. Memahami langkah-langkah dalam MDS.

E. Metode Penulisan

Metode penulisan yang akan digunakan dalam menyusun tulisan ini

adalah dengan metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan judul dan segala permasalahan yang berhasil diselesaikan

F. Manfaat Penulisan

Penulisan ini dapat digunakan sebagai sarana penerapan teori dalam

perkuliahan, serta penulisan ini dapat menjadi bahan informasi bagi pembaca dan pihak lain yang membutuhkan. Hasil penulisan ini masih dapat dikembangkan

atau dapat digunakan sebagai acuan penulisan lainnya.

G.Sistematika Penulisan

Dalam penulisan skripsi ini penulis akan membagi atas beberapa bab, yaitu:

BAB I. PENDAHULUAN

Dalam bab ini diuraikan latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat serta sistematika penulisan.

BAB II. DASAR-DASAR TEORI

Dalam bab ini akan uraikan beberapa teori yang berhubungan langsung dengan isi penulisan sehingga mempermudah kita dalam memahami isi tulisan ini

BAB III. PENSKALAAN MULTIDIMENSI

Dalam bab ini akan diuraikan tentang beberapa tipe dari MDS,tipe data

BAB IV. PENERAPAN PENSKALAAN MULTIDIMENSI

Dalam bab ini akan diuraikan salah satu penerapan MDS dalam kehidupan sehar-hari. Sehingga kita lebih memahami kelebihan dan kekurangan dari MDS.

BAB V. KESIMPULAN

BAB II

DASAR-DASAR TEORI

Sebelum membahas tentang skala multidimensi, terlebih dahulu akan

dibahas beberapa syarat sebagai landasan teori yang berhubungan dengan skala multidimensi. Sehingga kita lebih mudah dalam memahami skala multidimensi .

A. Analisis Data Mutivariat

Multidimensional Scaling (MDS) adalah salah satu metode dari analisis

data multivariat. Analisis data multivariat secara sederhana dapat didefinisikan sebagai aplikasi metode-metode yang berhubungan dengan sejumlah besar

pengukuran yang dibuat untuk setiap obyek dalam satu atau lebih sempel secara simultan. Dengan kata lain, analisis data multivariat mengukur relasi simultan antar variabel. Secara umum metode-metode dalam analisis data multivariat

digolongkan menjadi dua kelompok. Kelompok pertama adalah metode-metode dependen. Metode-metode dependen terpusat pada mencari asosiasi dari dua

himpunan variabel di mana salah satu himpunan adalah realisasi dari suatu ukuran dependen. Dengan kata lain metode-metode dependen berusaha mencari atau memprediksi ukuran satu atau lebih kriteria berdasar himpunan variabel predictor.

Diskriminan, Analisis Logit, Multivariate Analysis-of-Variance (MANOVA) dan

Canonical Correlation Analysis. Kelompok kedua adalah metode-metode interdependen. Metode-metode interdependen terpusat pada asosiasi mutual antar

semua variabel tanpa membedakan tipe-tipe variabel. Secara umum, metode-metode ini tidak memberikan prediksi melainkan mencoba memberikan gambaran

mengenai struktur yang mendasari data dengan cara menyederhanakan kompleksitas atau dengan mereduksi data. Yang termasuk dalam kelompok ini adalah Principal Components Analysis, Analisis Faktor, MDS, Analisis Kluster,

Pemodelan Loglinear.

B. Jenis-jenis data hasil pengukuran

Dalam penerapan analisis data multivariat, harus sangat diperhatikan jenis-jenis data pengukuran. Suatu metode kadang tidak dapat diaplikasikan untuk

semua jenis data. Penerapan metode secara tepat dapat terjadi hanya jika pengukuran data berada pada skala yang tepat. Pada dasarnya, perbedaan skala

pengukuran data berpengaruh pada pengkategorian asumsi-asumsi dasar mengenai hubungan angka-angka yang merepresentasikan sifat-sifat obyek dan pentingnya operasi matematika terhadap angka-angka tersebut. Secara umum, jenis-jenis data

adalah:

1. Data Nominal

Suatu nilai hasil pengukuran disebut berskala nominal jika bilangan tersebut berfungsi sebagai pengidentifikasi yaitu pembeda antara satu obyek dengan obyek

sama. Selain untuk identifikasi, bilangan dapat dikatakan berada pada skala nominal apabila digunakan untuk klasifikasi atau kategorisasi. Contoh penggunaan data nominal adalah kategorisasi jenis kelamin. Jika obyek berjenis

kelamin laki-laki, obyek diberi nilai 0. Jika obyek berjenis kelamin wanita, obyek diberi nilai 1. Bilangan 0 untuk obyek laki-laki tidak menunjukkan nilai yang

lebih rendah dari bilangan 1 yang diberikan pada nilai subyek wanita. Karena fungsi pengukuran dalam hal ini adalah sebagai alat identifikasi, perubahan atau penggantian nilai nominal dapat dilakukan dengan bebas selama tidak

mengaburkan identifikasi atau kategorisasi semula. Contohnya seperti pada contoh sebelumnya, obyek laki-laki bisa diberi nilai 9 dan atau obyek wanita

diberi nilai 2 atau 7. Perubahan nilai tanpa diikuti perubahan fungsi identifikasi dan kategorisasi obyek semacam ini disebut transformasi isomorfik. Proses statistik yang diperbolehkan untuk diterapkan pada data nominal adalah

menghitung banyaknya kasus, mencari modus dan korelasi kontingensi seperti

Chi-SquaredanFisher’s exact test.

2. Data Ordinal

Suatu hasil pengukuran disebut berada pada level ordinal jika nilai berfungsi

untuk menunjukkan perbedaan jenjang kualitatif. Perbedaan nilai antar obyek tidak menunjukkan perbedaan kuantitatif tetapi hanya menunjukkan perbedaan

kualitatif. Bila terdapat jenjang kualitatif 1, 2 dan 3, dapat dikatakan 3>2 dan 2>1 serta 3>1. Akan tetapi, jarak antara 3 dan 2 dengan jarak antara 2 dan 1 tidak dapat dikatakan sama. Jarak jenjang antara dua nilai yang berurutan tidak selalu

data ordinal adalah pemberian rangking misalnya untuk siswa-siswi dalam suatu kelas. Jenjang kualitatif antara rangking pertama dengan rangking kedua belum tentu sama dengan jenjang kualitatif antara rangking kedua dengan rangking

ketiga. Karena jarak antara dua nilai yang berurutan tidak selalu sama secara kualitatif maka setiap nilai jenjang dapat diganti dengan nilai lain selama urutan

jenjang yang satu dengan jenjang yang lain tidak berubah. Penggantian ini disebut transformasi monotonik. Transformasi monotonik mengubah nilai tetapi tidak merubah urutan bilangan. Operasi statistik yang diijinkan untuk data ordinal

adalah median, persentil, korelasi rangking,Sign TestdanRun Test.

3. Data Interval

Suatu hasil pengukuran disebut berada pada level interval jika hasil pengukuran tersebut adalah hasil pengukuran ordinal yang memiliki jarak antarjenjang yang

tetap atau selalu sama. Bila terdapat jenjang kualitatif 1, 2 dan 3, maka secara kualitatif dan kuantitatif jarak antara 1 dan 2 adalah sama dengan jarak antara 2

dan 3. Seperti hasil pengukuran ordinal, data interval tidak memiliki harga 0 mutlak. Salah satu contoh hasil pengukuran interval adalah hasil pengukuran suhu pada thermometer. Bilangan-bilangan pada thermometer memperlihatkan jenjang

dan kadar suhu yang berinterval sama. Dapat dikatakan bahwa 360C adalah 60C lebih panas daripada 300 C. Sedangkan 120 C adalah 60 C lebih dingin daripada

180C. Akan tetapi, tidak dapat dikatakan bahwa 360C adalah tiga kali lebih panas daripada 120 C. Bilangan 0 pada pengukuran suhu tidak bersifat mutlak. Artinya suhu 00C tidak berarti tidak memiliki panas sama sekali. Perbedaan bilangan pada

interval dapat diolah dengan operasi hitung penambahan dan pengurangan. Data hasil pengukuran interval akan bersifat invariant jika dikenai transformasi linier yaitu transformasi bilangan dengan persamaan garis lurus yang dirumuskan

sebagai y=a+bx. Operasi statistik yang dapat digunakan untuk data interval adalah mean aritmatik, standar deviasi, deviasi rata-rata, korelasi product-moment, t-test

danF-test.

4. Data Rasio

Skala pengukuran rasio pada dasarnya adalah skala pengukuran interval yang memiliki nilai 0 mutlak dan bilangan-bilangannya dapat diperbandingkan secara

mutlak. Contoh data rasio adalah data hasil pengukuran berat, panjang, banyaknya benda dan lain sebagainya. Jika kita nyatakan panjang benda adalah 0 cm, artinya benda itu tidak memiliki panjang sama sekali. Nilai 0 pada skala ini memang

menunjukkan bahwa atribut yang diukur sama sekali tidak ada pada obyek yang bersangkutan. Demikian pula, dapat dikatakan bahwa obyek dengan panjang 15

cm adalah lima kali lebih panjang dari pada obyek dengan panjang 3 cm. Data berlevel rasio dapat dikenai keempat operasi hitung yaitu perkalian, pembagian, penambahan dan pengurangan. Data rasio bersifat invarian ketika dikenai

transformasi dengan rumusan Y=cX dengan c adalah bilangan konstan. Operasi statistik yang diperbolehkan untuk data rasio adalah koefisien variasi, mean

geometris dan mean harmonis.

Suatu matriks berukuran mn atau matriks mn adalah suatu jajaran

bilangan berbentuk persegi panjang yang terdiri dari m baris dan n kolom. Matriks tersebut dinotasikan dalam bentuk:

A              mn m m n n a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11

Setiap bilangan a_jk dalam matriks ini dinamakan elemen matriks. Indeks j dan

k berturut-turut menyatakan baris dan kolom dari unsur matriks tersebut.

1. Matriks Kuadrat (Square Matrix)

Suatu matriks A dapat dikalikan dengan dirinya sendiri membentuk matriks

kuadrat A jika dan hanya jika A adalah matriks bujursangkar. Hasil kali A.A

dalam kasus ini dinotasikan sebagai A2. Dengan cara yang sama didefinisikan pangkat dari suatu matriks bujursangkar yaituA3=A.A2, A4=A.A3dan seterusnya

2. Matriks Tranpos (Tranpos Matrix)

Jika baris dan kolom matriks A ditukar, matriks baru yang dihasilkan disebut transpos dari A dan dinyatakan sebagai AT. Dengan lambang ditulis jikaA= (ajk) makaAT= (akj). Untuk matriks transpos berlaku hukum:

(A+B)T=AT+BT

(AB)T=BT.AT

3. Matriks Simetris (Symetric Matrix)

Suatu matriks bujursangkar dinamakan simetris atau disebut skew-simetris jika

AT=-A. Jika semua unsur a_jk dari suatu matriks diganti sekawannya a_jk, maka

matriks yang diperoleh dinamakan kompleks sekawan dari matriks A dan

dilambangkan dengan A. Suatu matriks bujursangkar A yang sama dengan

transpos kompleks sekawannya atau A= AT dinamakan matriks Hermite. Jika

A=-AT,Adisebut matriks skew-Hermite.

4. Invers suatu Matriks

Jika untuk suatu matriks bujursangkar A terdapat suatu matriksB di manaAB=1

maka Bdisebut invers dari matriks A dan dinyatakan sebagaiA1

.Jika A adalah

matriks bujursangkar tak singular berukuran n maka terdapat tepat satu invers

A1sehingga A A1= A1A=Idi mana

A1

=

) det(

) (

A A_jk T

di mana

 

Ajk adalah matriks kofaktor dari Ajk dan

 

Ajk =

 

Ajk T

adalah

transposnya serta det(A) adalah determinan dari matriks A. Invers matriks mempunyai sifat sebagai berikut:

(AB)1=B1A1 (A1)=A

(AT)1=(A1)T

(kA)1 =

k

1



5. Determinan Suatu Matriks

Jika A adalah suatu matriks kuadrat berukuran n dan a_jk adalah elemen dari A,

suatu determinan berukuran n-1 yang diperoleh dengan menghilangkan semua

unsur pada baris ke j dan kolom ke k disebut minor a_jk dan dilambangkan dengan

M_jk. JikaM_jk dikalikan dengan (1)jkmaka hasilnya disebut kofaktor dari ajk

dan dilambangkan dengan Ajk. Nilai Determinan suatu matriks didefinisikan

sebagai jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada suatu baris atau kolom dengan

kofaktor-kofaktor yang bersesuaian. Dalam lambang ditulis:

detA=



 n k jk jk a 1 A 6. Orthogonalitas

Suatu matriks riilAdisebut matriks tegaklurus (orthogonal) jika transposnya sama

dengan inversnya yaitu jika AT =A1

atau AT

A=I. Suatu matriks kompleks A

dinamakan matriks uniter (unitary matrix) jika kompleks sekawan transposnya

sama dengan inversnya yaitu jikaAT A1 atau ATAI

JikaAdanBadalah vektor kolom dengan

A=           3 2 1 a a a ,B=           3 2 1 b b b

makaATB = a₁b₁ + a₂b₂+ a₃b₃.ATBdisebut produk skalar dariAdanB. Jika

D. Ruang-n Euclidean

Definisi 2.4.1 Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, sebuah ordered-n-tupel

adalah sebuah urutan dari n bilangan riil yaitu (a1,a2,…,an). Himpunan dari semua

ordered-n-tupeldisebut ruang-n Euclidean dan dinyatakan sebagai n.

Teorema 2.4.1Jikau=(u₁,u₂,….,u_n)danv = (adalah vektor-vektor yang berada di n, maka:

a. Perkalian dalam Euclidean (Euclidean inner product) antar vektor u dan

vektorvdinyatakan sebagai

n nv u v u v u v

u.  _{1 1} _{2 2} ...

b. Panjang Euclidean vektorudi dalam n dinyatakan sebagai

2 2 2 2 1 2 1 ... ) .

(uu u u un

u     

E. Eigennilai dan Eigenvektor

Jika A(a_jk)adalah suatu mariks bujursangkar berukuran nn dan X adalah

suatu vektor kolom, persamaan

X AX

di manaλadalah suatu bilangan, dapat ditulis sebagai:

                      0 ) ( ... ... ... ... ... ... 0 ... ) ( 0 ... ) ( 2 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 n nn n n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a    (2.2)

Persamaan tersebut akan mempunyai penyelesaian tak-trivial jika dan hanya jika

0 ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11        nn n n n n a a a a a a a a a (2.3)

yang dapat ditulis sebagai



AI



det (2.4)

yang merupakan suatu persamaan suku banyak berderajat n dalam λ. Akar dari persamaan suku banyak ini disebut eigennilai atau nilai karateristik dari matriks

A. Untuk setiap eigennilai akan ada penyelesaian X0 yang merupakan suatu penyelesaian tak-trivial yang dinamakan eigenvektor atau vektor karateristik dari

nilai eigennya.

F. Korelasi Sederhana

Didalam kehidupan sehari-hari, kejadian ekonomi dan kejadian lainnya saling berhubungan atau mempengaruhi. Kejadian-kejadian tersebut bisa

dinyatakan sebagai perubahan variabel X dan varibel Y. Dimana variabel Y adalah variabel tak bebas (dependent variable) dan X adalah variabel bebas (Independent variable), artinya X berhubungan dengan Y . Apabila variabel X dan

X dikatakan mempengaruhi Y, jika perubahan nilai X akan menyebabkan perubahan nilai Y. Untuk mengetahui kuat tidaknya hubungan antara X dan Y, kita harus menghitung koefisien korelasi atau r yaitu:









 









        n i n i i i n i i i Y Y X X Y Y X X r 1 1 2 2 1 (2.5) Dimana n X X n i i



  1

, perkiraan _x

n Y Y n i i



  1

, perkiraan y

Jika r 0, maka X dan Y tidak berkorelasi.

Jika 0<r<0,5, maka hubungan X dan Y lemah positif.

-0,5<r<0, maka hubungan X dan Y lemah negatif.

Jika 0,5r<0,75, maka hubungan X dan Y cukup kuat positif.

-0,75<r-0,5, maka hubungan X dan Y cukup kuat negatif. Jika 0,75r<0,9, maka hubungan X dan Y kuat positif.

-0,9<r-0,75, maka hubungan X dan Y kuat negatif.

Jika 0,90r<1, maka hubungan X dan Y sangat kuat positif. -1<r-0,90, maka hubungan X dan Y sangat kuat negatif.

Untuk mengetahui seberapa besar kontribusi dari X terhadap naik turunnya nilai Y

kita harus menghitung suatu koefisien yang disebut koefisien determinasi atau r2

yaitu









 









           _{ }  _n i n i i i n i i i Y Y X X Y Y X X r 1 1 2 2 1 2 (2.6) 2

r merupakan sumbangan (share) dari X terhadap variasi (naik turunnya) Y, tingkat variasi ditunjukkan oleh besarnya nilai varian Y.

Contoh 1

Dalam contoh ini kita ingin mengetahui seberapa besar hubungan lama tinggal seseorang dikota ‘K’ dengan sikap orang tersebut terhadap kota “K”.

Misal:

X= lamanya tinggal di kota “ K”

Y= sikap terhadap kota”K” bernilai antara 1 sampai 11. Nilai 11= sangat senang dan 1 = tidak senang.

n= 12

Data yang diperoleh sebagai berikut:

X 10 12 12 4 12 6 8 2 18 9 17 2

Y 6 9 8 3 10 4 5 8 2 11 10 2

Jawab:





12 2 17 9 18 2 8 6 12 4 12 12 10 12 12

1            





i

i X X





12 2 10 11 2 8 5 4 10 3 8 9 6 12 12

1            





i

i Y Y 6,583









    12 1 i i i X Y Y

X (10-9,33)(6-6,583)+(12-9,33)(9-6,583)+(12-9,33)(8-6,583) + (4-9,33)(3-6,583)+(12-9,33)(10-6,583)+(6-9,33)(4-6,583) + (8-9,33)(5-6,583)+(2-9,33)(2-6,583)+(18-9,33)(11-6,583) + (9-9,33)(9-6,583)+(17-9,33)(10-6,583)+(2-9,33)(2-6,583) = 179,6668.







   12 1 2 i i X

X (10-9,33)2 + (12-9,33)2+ (12-9,33)2+ (4-9,33)2+ (12-9,33)2

+ (6-9,33)2+ (8-9,33)2+ (2-9,33)2+ (18-9,33)2+ (9-9,33)2 + (17-9,33)2+ (2-9,33)2

= 304,6668.







   12 1 2 i i Y

Y (6-6,58)2+ (9-6,58)2+ (8-6,58)2+ (3-6,58)2+ (10-6,58)2

+ (4-6,58)2+ (5-6,58)2+ (2-6,58)2+ (11-6,58)2+ (9-6,58)2 + (10-6,58)2+ (2-6,58)2

= 120,9168

karena 0,9r<1 maka hubungan antara X dan Y sangat kuat, artinya makin lama seseorang tinggal dikota “K” maka orang tersebut cenderung sangat mencintai kota tersebut.

Dan nilai r2 



0,9361



2 0,87628 artinya sikap seseorang terhadap kota “K” 87% dijelaskan oleh lamanya seseorang tinggal dikota tersebut.

G. Korelasi Ganda

Dalam pembahasaan sebelumnya kita telah membahas mengenai korelasi

yang mencakup dua variabel yaitu Y (variabel tak bebas) dan X (variabel bebas). Manfaat dari analisis korelasi adalah untuk mengetahui besarnya pengaruh X terhadap Y. Sebenarnya faktor penyebab perubahan nilai Y bukan hanya

dipengaruhi oleh X tetapi masih banyak faktor lain yang bisa mempengaruhi Y. Untuk memperhitungkan pengaruh lebih dari satu variabel bebas X, kita dapat

menggunakan analisis korelasi ganda.

Prosedur yang digunakan dalam korelasi ganda sama dengan prosedur yang digunakan dalam korelasi sederhana, bedanya hanya terletak pada

banyaknya variabel bebas X yaitu lebih dari satu.

Untuk mengetahui seberapa kuat hubungan antara Variabel Y dengan

beberapa variabel X (X₁,X₂,...,X_n) dapat diukur dengan R2 (koefisien determinasi) atau sering disebutR-squareyaitu:

Dimana





Y nilai Y berdasarkan persamaan regresi ganda

n Y Y

n

i i





 1

Dalam konteks MDS nilai R Square mengindikasikan proporsi varian data yang

BAB III

PENSKALAAN MULTI DIMENSI

Penskalaan multidimensi (Multi Dimensional Scaling, MDS) adalah metode analisis multivariat yang menggunakan representasi grafis untuk

mendapatkan informasi dari data. Secara garis besar MDS menampilkan kedekatan (proximity) antar obyek secara spasial dalam bidang multi dimensi. Yang dimaksud dengan kedekatan adalah semua himpunan bilangan yang

melambangkan tingkat kemiripan atau perbedaan antara sepasang obyek. Dengan demikian, tujuan utama MDS adalah memetakan obyek-obyek dalam suatu bidang

multidimensi sehingga posisi relatif obyek-obyek dalam bidang tersebut menggambarkan tingkat kedekatan antar obyek yang sebenarnya. Untuk data besar, MDS memberikan gambaran data yang mudah dipahami dan lebih

informatif dibandingkan metode lain sebab hasil akhir MDS berupa gambaran visual. Karena alasan ini, metode MDS banyak digunakan dalam riset pemasaran

untuk membandingkan posisi relatif obyek (produk, merk, perusahaan) dengan obyek lainnya berdasar persepsi konsumen. Riset semacam ini menghasilkan peta persepsi (perceptual map) yang menggambarkan pandangan konsumen terhadap

obyek-obyek yang diperbandingkan. Dalam peta ini dapat diketahui apakah produk yang diteliti tersebut relatif sama atau beda dengan produk

pembandingnya, atribut apa saja yang menjadi keunggulan dan atribut apa saja yang menjadi kekurangan suatu produk dibandingkan dengan produk pesaingnya. Pada akhirnya, analisis ini menghasilkan suatu strategi atau keputusan yang

dengan produk lain.

Peta persepsi disusun dengan menempatkan beberapa obyek pada bidang multidimensi sedemikian rupa sehingga jarak antar obyek berkorelasi dengan nilai

kedekatan yang dipersepsikan konsumen. Dua obyek yang mirip (nilai kedekatan besar) direpresentasikan sebagai dua titik yang berdekatan. Sedang dua obyek

yang relatif berbeda (nilai kedekatan kecil) direpresentasikan sebagai dua titik yang berjauhan..

MDS telah banyak digunakan dalam berbagai macam penelitian. Beberapa

contoh penelitian yang memanfaatkan MDS adalah:

Contoh 1

Schiffman (1977) merancang penelitian untuk memperoleh persepsi konsumen apakah 10 jenis minuman cola cukup berbeda berdasarkan kualitas rasa minuman menggunakan MDS. Kesepuluh minuman ini adalah Diet Pepsi, RC

Cola, Yukon, Dr. Pepper, Shasta, Coca Cola, Diet Dr. Pepper, Tab, Pepsi dan Diet Rite. Sepuluh subyek, lima pria dan lima wanita, berpartisipasi dalam eksperimen.

Mereka diminta memberikan nilai antara 0 (bila rasanya sama) sampai 100 (bila rasanya sangat berbeda) untuk tiap-tiap pasangan minuman cola. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa subyek cenderung membandingkan minuman ini berdasar

apakah minuman tersebut termasuk minuman diet atau non diet serta berdasar apakah minuman tersebut mengandung rasa cherry atau rasanya regular.

Contoh 2

persepsi orang mengenai kedekatan antara negara-negara. Obyek yang diambil adalah 12 negara dari seluruh penjuru dunia yaitu: Brazil. Kongo, Kuba, Mesir, Perancis, India, Israel, Jepang, Cina, Rusia, Amerika Serikat dan Yugoslavia.

Penelitian ini menghasilkan peta persepsi dua dimensi. Peneliti membuat garis sumbu khayal vertikal dan horizontal pada peta persepsi yang membagi

Negara-negara tersebut dalam empat kuadran. Yang mengejutkan adalah bahwa pemetaan ini menyimpulkan bahwa orang cenderung mempersepsikan kedekatan negara-negara berdasarkan afiliasi politik mereka (pro Barat atau pro Komunis) dan

kemajuan ekonomi mereka (Negara maju atau Negara berkembang). Orang tidak begitu memperhitungkan kedekatan geografis atau persamaan rasial antar

Negara-negara tersebut.

Dari dua contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa tujuan analisis MDS adalah menghasilkan peta persepsi yang menunjukkan posisi relatif keseluruhan

obyek yang diteliti sesuai dengan nilai kedekatan antar obyek tersebut.

Pada pembahasan selanjutnya, istilah obyek dapat diganti stimuli karena

makna keduanya hampir sama. Obyek adalah setiap benda atau kejadian sedangkan stimuli menunjukkan bagian atau sifat dari obyek.

A. Proses Kerja Penskalaan Multi Dimensi

Konsep dasar MDS adalah proses menentukan koordinat posisi dari tiap

obyek dalam suatu peta multi dimensi sehingga jarak antar obyek pada bidang pemetaan (derived distance) akan sesuai dengan nilai kedekatan dalam input datanya. Ukuran kedekatan berupa nilai kemiripan (similarity) atau nilai

ukuran kedekatan adalah nilai kemiripan, semakin besar nilainya maka semakin sama atau mirip dua objek tersebut. Jika yang dipakai adalah nilai ketidakmiripan, semakin besar nilainya maka kedua obyek semakin tidak mirip.

Pada MDS, nilai kedekatan antara obyek i dan j dari input data (Sij),

diubah menjadi jarak d_ij pada bidang multi dimensi. Bidang multi dimensi di sini

dapat berupa bidang eukledian maupun non eukledian. Pada bidang eukledian

jarak antar obyek dihitung menggunakan ukuran jarak eukledian (eucledian distance). Jika koordinat stimulus 1 pada bidang 2 dimensi adalah (X11,X12) dan

koordinat stimulus 2 adalah (X21,X22), jarak antara stimulus 1 dan stimulus 2 pada bidang tersebut ditentukan menggunakan rumus:



 







2

1 2 22 12 2 21 11

12 X X X X

d     _(3.1)

dengan d12adalah jarak eukledian

Jika nilai kemiripan antar stimuli i dan j di mana i,j =1,2,3,4 adalah

S23>S12>S34>S13>S24>S14 maka jarak antar obyek akan sesuai dengan nilai kedekatan jika jarak antar stimuli memenuhi sifat monoton sempurna (perfect

monotonicity) yaitu jikad₂₃ d₁₂ d₃₄ d₁₃ d₂₄ d₁₄ Sifat ini terlihat jelas dengan menggunakan diagram Sheppard.yaitu plot di mana nilai kemiripan berada

Gambar 3.1

Terlihat bahwa data keenam nilai di atas membentuk segmen garis yang bergerak dari kiri ke kanan secara menurun yang berarti memenuhi sifat monoton sempurna.

Dapat dilihat bahwa nilai kemiripan berbanding terbalik dengan nilai jarak. Nilai kemiripan yang besar berkorespondensi dengan nilai jarak yang kecil.

Begitu pula sebaliknya, nilai kemiripan kecil berkorespondensi dengan nilai jarak yang besar.

Jika untuk menentukan nilai jarak digunakan nilai ketidakmiripan, segmen

garis dalam diagram Sheppard monoton naik dari kiri ke kanan atau dengan kata lain nilai ketidakmiripan berbanding lurus dengan nilai jarak.

Pada kasus tertentu dapat terjadi sifat monoton sempurna tidak terpenuhi.

Misalnya jika hubungan antar stimuli berbentuk d₂₃ d₃₄ d₁₂ d₁₃ d₁₄ d₂₄

di mana hubungan antara d₃₄ dan d₁₂ serta antara d₁₄ dan d₂₄ tidak berkorespondensi dengan nilai kedekatan sebenarnya dari tiap stimuli seperti

Gambar 3.2

Terlihat bahwa plot nilai similarities dan jarak tidak memenuhi sifat monoton sempurna. Dari kiri ke kanan, garis tidak selalu menurun. Untuk

mengatasi hal ini, dibuat jarak penyesuaian baru yang dilambangkan dengandij(*) 

. Jarak baru ini diambil dari rata-rata jarak yang tidak memenuhi aturan

monotonitas sempurna. Untuk kasus di atas jarak baru untuk d₁₂ dan d₃₄

adalah.d₁₂(*) d₃₄(*) (d₁₂ d₃₄)/2 Setelah ditentukan jarak penyesuaian yang baru, prinsip monotonitas terpenuhi di mana (*)

34 (*) 24 (*) 13 (*) 34 (*) 12 (*)

23 d d d d d

d          

maka diagram Sheppard setelah dihitung jarak penyesuaian adalah:

Gambar 3.3

B. Penyusunan Penskalaan Multi Dimensi

langkah-langkah seperti yang akan diuraikan dibawah ini. .

1. Pemasukan Data

Data yang dimasukkan untuk diolah oleh MDS berupa nilai proximities

yang berupa nilai-nilai kemiripan (similarity) atau ketidakmiripan (dissimilarity) antara semua atau hampir semua pasangan antara setiap anggota himpunan obyek.

Menurut cara memperolehnya, data dibedakan menjadi:

a. Similaritas langsung

Data similaritas langsung diperoleh dengan meminta subyek untuk

memberikan penilaian mengenai kemiripaan antara pasangan-pasangan stimuli. Subyek disodori sepasang stimuli dan diminta menaksir kemiripan dua stimuli itu.

Proses diulangi sampai semua pasangan yang ada telah dinilai. Ada banyak metode untuk mengumpulan data similaritas langsung. Tiga metode yang paling sering dipakai adalah:

1. Penandaan Garis (Line Marking). Subyek diberi sejumlah kertas sebanyak jumlah pasangan yang ada. Penilaian dicatat dengan membuat tanda pada sebuah

garis yang pada kedua ujungnya telah diberi label. Biasanya ujung kiri ditandai label ‘Persis Sama’ dan ujung sebelah kanan diberi label ‘Sangat berbeda’. Semakin tanda diletakkan ke kanan semakin rendah nilai kemiripan pasangan.

Penilaian juga bisa dikodekan, misalnya dari angka 0 sampai 100, dengan skala disesuaikan dengan panjang garis.

kelompok dapat ditentukan oleh peneliti atau dapat juga dibiarkan bebas ditentukan oleh subyek. Setelah penyortiran, peneliti mencatat banyaknya stimulus untuk tiap-tiap subyek. Kemudian disusun sebuah matriks bujursangkar

untuk setiap subyek. Entri-entri matriks dikode 0 untuk pasangan yang disortir menjadi satu kelompok dan dikode 1 jika pasangan berada pada kelompok yang

berbeda. Nilai kemiripan diperoleh dengan menjumlah matriks dari semua subyek.

3. Pemeringkatan terkondisi (Conditional Rank Orders). Pada metode ini, masing-masing stimulus secara bergiliran dijadikan standar perbandingan. Subyek

diminta memperingkatkan stimulus-stimulus lain berdasarkan kemiripannya dengan standar perbandingan tersebut. Kemudian, disusun suatu matriks di mana

masing-masing baris dari matriks tersebut menunjukkan nilai kemiripan atau ketidakmiripan stimulus terhadap standar perbandingan. Metode Pemeringkatan lainnya adalah dengan meminta subyek untuk mengurutkan semua kemungkinan

pasangan obyek dari yang paling mirip sampai yang paling tidak mirip.

Data ditampilkan dalam bentuk tabel atau matriks. Di bawah ini

ditampilkan tampilan data hasil dari beberapa metode dalam bentuk tabel.:

Contoh 3

Metode line marking. Semakin kecil nilai data, menunjukkan semakin kecilnya

nilaiproximityantar obyek.

Tabel 3.1

Contoh 4

Metode penyortiran. Nilai 0 menunjukkan bahwa obyek berada dalam satu

kelompok. Nilai 1 menunjukkan bahwa obyek berbeda kelompok. Data yang diolah adalah penjumlahan matriks untuk semua subyek. Contoh tampilan untuk

satu subyek.

Stimulus A B C D E

A - 0 0 1 1

B 0 - 0 1 1

C 0 0 - 1 1

D 1 1 1 - 0

E 1 1 1 0

-Tabel 3. 2

Contoh 5

Metode pemeringkatan, semakin kecil nilai data menunjukkan semakin besar nilai A - 20 50 80 100

B 20 - 50 30 40

C 50 50 - 70 50

D 80 30 70 - 20

-proximityantar obyek

Stimulus A B C D E

A - 1 6 9 10

B 1 - 7 3 4

C 6 7 - 8 5

D 9 3 8 - 2

E 10 4 5 2

-Tabel 3.3

Permasalahan yang sering muncul dari pengumpulan data similaritas langsung

adalah terlalu banyaknya data yang dikumpulkan. Untuk setiap n stimulus diperlukan penilaian terhadap pasangan sebanyak:

(3.2)

di mana C = banyaknya pasangan stimuli

n = banyaknya stimuli

Untuk mengatasi permasalahan ini, dapat dilakukan pembatasan jumlah stimuli. Akan tetapi, dalam praktek, sedapat mungkin diusahakan jumlah stimuli yang

besar. Jumlah stimuli yang sedikit dalam dimensi kecil akan menghasilkan penyelesaian yang tidak stabil. Selain itu, semakin banyak stimuli berarti semakin

banyak pula dimensi yang bisa dieksplorasi. Jika stimuli sedikit,

informasi-2

informasi yang diperoleh tidak akan didapat. Beberapa sumber menganjurkan minimal ada 12 stimuli untuk penyelesaian dua dimensi dan 18 stimuli untuk penyelesaian tiga dimensi.

Selain dengan meminimalisasi stimuli, permasalahan ini juga dapat diatasi dengan menggunakan desain data tak lengkap. Pada desain ini, satu subyek tidak menilai

seluruh pasangan yang ada melainkan hanya beberapa pasangan saja. Sementara pasangan-pasangan sisanya dinilai oleh subyek (atau subyek-subyek) yang lain. Meski pengumpulan data menjadi lebih mudah, desain data tak lengkap

membutuhkan lebih banyak subyek.

b. Data Similaritas Turunan

Istilah lain untuk data similaritas turunan adalah data similaritas tak langsung. Penyebutan ini didasarkan bahwa kemiripan tidak diukur dengan memperbandingkan obyek dengan obyek melainkan dengan mengevaluasi obyek

berdasar deskriptor-deskriptor verbal. Formatnya adalah dengan meminta subyek untuk menilai sejauh mana suatu deskriptor verbal, biasanya berupa kata sifat,

mampu menjelaskan atau mendeskripsikan obyek-obyek. Penilaian diukur misalnya dengan memberikan bilangan antara 1 (jika deskriptor verbal mampu menjelaskan obyek dengan baik) sampai 100 (jika deskriptor sama sekali tidak

menjelaskan stimulus). Nilai proximity berdasarkan hasil pengukuran jarak. Model pengukuran jarak yang biasa digunakan pada kasus ini adalah model

r p k r jk ik

ij

X

X

d

1/

1



















 (3.3)

di mana d_ij= jarak antara stimulus i dan stimulus j

ij

X = nilai respon stimulus i terhadap deskriptor ke- k

jk

X = nilai respon stimulus j terhadap deskriptor ke-k

p = banyaknya deskriptor verbal

Jarak Eukledian diperoleh dari model metrik Minkowski untuk r = 2. Persamaannya 2 / 1 1 2



















 p k jk ik

ij

X

X

d

(3.4)

Model lain adalah modelcity-block metrik yang diperoleh dari model Minkowski

untuk r =1.

Berdasar substansinya, data dibedakan menjadi:

a. Data persepsi. Yang diukur adalah persepsi atau evaluasi subyektif terhadap obyek.

b. Data preferensi.Yang diukur adalah peringkat obyek yang lebih disukai subyek.

2. MDS Metrik

jenis prosedur yang bisa digunakan. Prosedur-prosedur ini berbeda satu sama lain berdasarkan jenis data yang diolah.

MDS metrik mengasumsikan bahwa data yang dimasukkan ada pada skala

interval atau rasio. Prosedur MDS metrik secara langsung menghubungkan jarak dan ukuran proximity secara linear. Jika matriks data kemiripan memiliki

entri-entri yang sebenarnya (jarak antar stimulus dalam skala rasio), maka penggunaan MDS metrik akan memberikan penyelesaian berupa jarak dalam bidang turunan memiliki rasio yang sama dengan jarak sebenarnya yang digunakan sebagai data.

Proximity metrik memiliki skala interval yang diperoleh dari skala kemiripan bipolar di mana pasangan stimuli telah dinilai satu kali dalam satu kesempatan.

Inti dari MDS metrik adalah metode rekonstruksi aljabar untuk menemukan suatu konfigurasi titik-titik dari data kemiripan skala interval yang menunjukkan jarak Euclidean secara tepat atau secara penaksiran.

Langkah-langkah MDS Metrik :

a. Mentransformasikan nilai kedekatan kedalam bentuk matriks.

Data kemiripan skala interval diubah menjadi nilai jarak yang dinotasikan. d_ij

Transformasi dari nilai kemiripan menjadi jarak didasarkan pada asumsi-asumsi

sebagai berikut.

a. Positivitas yaitu bahwa semua nilai jarak adalah non negatif



d_ij 0



b. Non-degeneracy yaitu bahwa jarak bernilai nol untuk stimuli yang bernilai

d. Triangular inequality



dij+ djl



dil



Karena MDS metrik mengasumsikan bahwa bidang pemetaan adalah bidang Eukledian, jarak yang dimaksud adalah jarak Eukledian. Jarak-jarak ini disusun

menjadi matriksDberukuran nxn dengan n adalah banyaknya stimuli.

Contoh 6

Dalam sebuah penelitan tentang persepsi orang mengenai koran-koran yang

terkenal dikota Boston dan New York mendapatkan data sebagai berikut:

PASANGAN KORAN NILAI KEMIRIPAN

BOSTON HERALD-NEW YORK POST 2

BOSTON HERALD-NEW YORK TIMES 6

BOSTON HERALD-BOSTON GLOBE 5

NEW YORK POST-NEW YORK TIMES 5

NEW YORK POST-BOSTON GLOBE 4

NEW YORK TIMES-BOSTON GLOBE 3

Dari data diatas kita akan mentransformasikan data tersebut kedalam bentuk

matriks yaitu:

D=

   

 

   

 

0 3 4 5

3 0 5 6

4 5 0 2

b. Membuat matriks product skalar dengan proses double-centering.

Dengan Asumsi bahwa semua jarak adalah Eucledian, langkah berikutnya adalah menentukan matriks product skalar Bdengan cara mendekomposisikan matriksD

melalui prosesdouble-centering.MatriksBmempunyai elemen-elemen:



2



.. 2 . 2 . 2

2

/

1

d

d

d

d

b

ij





ij



i



j



( 3.5) dengan





j ij

i

n

d

d

2_.

1

/

2_'





i ij

j

n

d

d

2

' 2

.

1

/





j i ij

d

n

d

, 2 ' 2

..

1

/

Persamaan (3.1) bila ditulis dalam bentuk matriks menjadi

              

 I V D I V

B n n 1 1 2 1 2 (3.6) dimana

I = matriks identitas dengan ukuran

n



n

V = matriks berukuran

n



n

dengan entri V_ij 1 untuk

semua i,j

2

D = matriks kuadrat jarak berukuran

n



n

dengan elemen d_ij2

Contoh 7

matriks product skalar Bdengan memasukkan kepersamaan 3.6 sehingga matriks Badalah:

























































































































































































1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

4

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

9

16

25

9

0

25

36

16

25

0

4

25

36

4

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

4

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

2

1

B

                       6875 , 4 3125 , 3 3125 . 3 3125 , 5 3125 , 3 3125 , 10 3125 , 5 3125 , 8 3125 , 3 3125 , 5 0625 , 4 5625 , 4 3125 , 5 3125 , 8 5625 , 4 0625 , 9 B

c. Setelah matriks B terbentuk, untuk menempatkan matriks koordinat dalam bidang turunan digunakan analisis eigennilai-eigenvektor untuk matriks B.

Dengan asumsi, misalnya, penyelesaian bersifat dua dimensi, 1 dan 2 menjadi

dua eigennilai pertama B, dengan matriks eigenvektor dilambangkan dengan X= (X(1),X(2)) dimana kolom matriks X adalah eigenvektor untuk eigennilai 1 dan 2. Koordinat stimuli dalam bidang dua dimensi turunan adalah baris dari matriks X

yaitu

X’(1)= (X11, X21, ….,Xn1)

X’(2)= (X12, X22,…...,Xn2)

Dengan kata lain (X11,X12)adalah posisi titik P1 yang mewakili stimulus 1 pada bidang turunan dua dimensi.

Setelah koordinat stimuli pada bidang pemetaan bisa diperoleh, koordinat-koordinat tersebut diuji validitasnya, apakah koordinat-koordinat-koordinat-koordinat itu benar-benar merepresentasikan posisi obyek yang sebenarnya. Uji validitas MDS pada

hakikatnya adalah proses optimasi di mana validitas tidak hanya diuji tapi juga dikoreksi melalui beberapa kali iterasi sampai nilai validitasnya relatif terpenuhi.

Ukuran yang menunjukkan validitas pengukuran disebut STRESS yang dirumuskan sebagai:

































  n j i ij n j i ij ij

d

d

d

S

2 2 ^ (3.7)

dimana, dij adalah jarak antara stimuli i dan j dihitung dari koordinat stimulus

dalam bidang turunan dengan iterasi tertentu. Dan d_ij adalah dispariti yaitu

transformasi monoton data yang dibuat semirip mungkin dengan jarak (dalam hal ini least squarenya) untuk setiap langkah. Semakin kacil nilai STRESS,

semakin penelitian dianggap valid. Dalam praktek, proses diawali dengan konfigurasi awal titik-titik (koordinat stimulus), mungkin dilakukan secara acak,

untuk suatu dimensi tertentu. Konfigurasi ini dengan iterasi digerakkan sedemikian rupa untuk meminimalkan nilai STRESS dengan tetap mempertahankan monotonitas dispariti dengan proximity mula-mula. Proses

berakhir ketika nilai STRESS setelah suatu iterasi tidak lebih baik dari nilai

STRESS sebelumnya atau hanya berubah terlalu kecil dibanding nilai STRESS

4. Penentuan Banyaknya Dimensi

Keputusan untuk memilih banyaknya dimensi (dimensionalitas) yang akan

diambil dapat diatasi secara mudah dengan memilih dimensionalitas dengan nilai

STRESS terkecil. Meski begitu, sejumlah hal harus dipahami sebelum orang

memanfaatkan nilai STRESS sebagai indikator apakah dimensionalitas yang diambil tepat.

Ada dua pendekatan dasar untuk memanfaatkan nilai STRESS untuk

menentukan jumlah dimensi yang digunakan. Pendekatan pertama disebut metode obyektif karena berdasar pada argumen-argumen statistik. Pendekatan lain disebut

subyektif karena terutama mengandalkan intuisi dan pengalaman.Selain menggunakan dua pendeketan diatas kita juga dapat menggunakan nilaiR-sequare

atau sering disebut RSQ.

a. Metode Obyektif

Nilai STRESS dihasilkan dari penskalaan data pada penyelesaian dalam berbagai dimensionalitas. Kemudian nilaiSTRESSdiplotkan dengan dimensionalitas. Lalu,

data sintesis dibuat dengan komponen kesalahan acak tertentu dan dimensionalitas yang diketahui. Data sintetis diolah menggunakan analisis MDS dan

penyelesaiannya dibandingkan dengan penyelesaian untuk data yang sebenarnya. Proses berlanjut sampai ditemukan data sintetis yang memiliki plot STRESS

sebenarnya.

b. Metode subyekif

Pendekatan subyektif menggunakan kriteria scree-elbow. Dengan asumsi bahwa dimensionalitas yang benar bukan satu dan bahwa komponen galat dalam data

tidak besar, plot STRESS dengan dimensionalitas, pada umumnya plot tersebut akan mebentuk pola cembung. Titik dimana suatu siku atau bengkokkan tajam terjadi, menunjukkan banyaknya dimensi yang tepat. Karena STRESS sangat

sensitif terhadap banyaknya stimuli dan dimensi, metode ini harus digunakan dengan hati-hati.

Contoh 8

Dalam sebuah penelitian tentang persepsi orang mengenai koran yang terkenal di

kota Jakarta(Bilson Simamora.2005.Analisis Multivariat Pemasaran), data yang diperoleh adalah

BISNIS

INDONESA KOMPAS

KORAN TEMPO

LAMPU

MERAH PEMBARUAN POS KOTA

RAKYAT

MERDEKA REPUBLIKA BISNIS

INDONESIA 0 6 6 1 4 1 1 4

KOMPAS 6 0 1 6 6 1 1 4

KORAN TEMPO 6 6 0 1 7 1 1 5

LAMPU MERAH 1 1 1 0 1 6 5 1

PEMBAHARUAN 4 6 7 1 0 1 3 2

POS KOTA 1 1 1 6 1 0 5 3

RAKYAT

MERDEKA 1 1 1 5 3 5 0 1

REPUBLIKA 4 4 5 1 2 3 1 0

berikut: untuk satu dimensi nilai STRESS= 0,50849 , untuk dua dimensi nilai

STRESS = 0,32138 dan untuk tiga dimensi nilai STRESS=0,20249 Model berapa dimensi yang paling baik? Dengan menggunakan metode subyektif ketiga nilai

STRESSdibuat grafik dalam sistem koordinat sebagai berikut:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1 2 3

Jumlah Dimensi

S

tre

s

s

Garis Stress

Gambar 3.4

Dari gambar 3.4 dapat kita lihat bahwa siku (elbow) dari garis STRESS bila

diproyeksikan kesumbu koordinat akan menghasilkan bilangan dua (dua dimensi). Jadi dapat kita simpulkan bahwa model terbaik adalah model dua dimensi.

c. R-square (RSQ)

Dalam menentukan banyaknya dimensi kita juga dapat menggunakan nilai RSQ,

rumus dari RSQ dapat dilihat dalam BAB II. Dimana nilai RSQ dalam MDS mengindikasikan proporsi varians data yang dapat dijelaskan oleh MDS,semakin besar nilai RSQ yang kita dapat semakin baik pula model yang akan kita peroleh.

Contoh 9

Selain mendapatkan nilai STRESS pada saat interasi terakhir pada contoh 8 kita

0.12649 sedangkan untuk tiga dimensi RSQ = 0,31039. Dapat kita lihat bahwa nilai RSQ terbesar adalah nilai RSQ satu dimensi yaitu sebesar 0.8620 ini artinya model terbaik adalah model satu dimensi.

5. Intepretasi Hasil dan Penamaan Dimensi

Setelah dimensionalitas yang sesuai ditentukan, konfigurasi stimuli pada bidang pemetaan harus diinterpretasikan. Interpretasi dapat dengan mudah dilakukan dengan melihat posisi stimuli dalam bidang (pendekatan subyektif) atau

melakukan pendekatan yang lebih obyektif baik itu dengan memetakan apa yang disebut vektor sifat ke dalam bidang pemetaan atau dengan menjalankan analisis

korelasi kanonik.

a. Pendekatan Subyektif

Pendekatan subyektif untuk menginterpretasikan bidang turunan hanya didasarkan

pada posisi obyek stimulus dalam bidang. Langkah pertama adalah melihat sifat-sifat stimulus yang berada pada posisi ekstrem dalam bidang pemetaan Untuk

stimuli ini kita mencoba mengidentifikasi sifat atau atribut yang dapat menjelaskan posisi relatif stimuli pada bidang pemetaan. Sifat-sifat atau atribut stimuli inilah yang menjadi petunjuk untuk menentukan nama dimensi.

b. Property fitting

dicari suatu arah melalui bidang stimulus yang berhubungan dengan naiknya jumlah atribut terpilih. Garis semacam ini disebut vektor atribut. Jika atribut yang dicari sangat dekat hubungannya dengan bidang pemetaan, nilai atribut yang

sebenarnya akan sangat dekat dengan proyeksi stimulus. Jika atribut yang dicari tidak terlalu dekat hubungannya dengan bidang pemetaan, korelasi antara nilai

aktual atribut dengan proyeksi stimulus akan rendah. Prosedur untuk menemukan arah vektor atribut menggunakan analisis regresi ganda. Prosesnya adalah seperti berikut,

1. Menentukan rata-rata untuk tiap obyek pada karakteristik atribut yang dicari. 2. Meregresi vektor rata-rata peringkat atribut untuk atribut pada koordinat

bidang pemetaan dan memperlakukan koordinat sebagai variabel independen. Andaikan ai melambangkan nilai spesifik stimulus i untuk atribut a, di mana i = 1,2,…,n dan X1, X2,…,Xnmerupakan koordinat i untuk masing-masing dari

r dimensi maka persamaan regresi ganda yang biasa adalah

ir r

i

b

X

X

b

b

a

a



^



₀



_{1 1}



...



1

1

3. Nilai b1, b2,…, br disebut koefisien regresi dan bo disebut intersep. Nilai ai adalah penduga terbaik untuk proyeksi stimulus i pada vektor atribut dari

koordinat stimulus Xit, t=1,2,…,r dan nilai atribut ai.

4. Koefisien korelasi ganda menunjukkan korelasi antara proyeksi stimulus dengan nilai atribut. Jika nilai koefisien rendah, maka dengan aman dapat

disimpulkan bahwa subyek tidak menggunakan atribut dalam pertanyaan pada waktu subyek mengadakan penilaian kemiripan.

terstandar. Koefisien ini dinotasikan dengan ₁,₂,...,_r.Selanjutnya dicari titik pada bidang turunan stimulus yang koordinatnya_i. Titik ini disebut*. Terakhir, dengan asumsi bahwa rata-rata koordinat adalah nol untuk tiap dimensi, tarik garis melalui titik pusat bidang turunan stimulus dan melalui

*

 dan dinamakan L. Biasanya panjang garis dibuat proporsional dengan

kuadrat koefisien dan diberi anak panah di ujungnya.

c. Analisis korelasi kanonik

Jika ada banyak himpunan data, bisa diaplikasikan vektor atribut yang biasa dan model titik ideal untuk setiap atribut. Kedua analisis terpisah ini akan

menghasilkan satu vektor atribut untuk masing-masing atribut. Meski begitu, pendekatan ini mengabaikan hubungan antar atribut itu sendiri. Dengan kata lain, yang kita inginkan adalah suatu prosedur yang membuat kita bisa secara

bersamaan (simultan) banyak himpunan rating atribut dengan bidang turunan stimulus hanya dengan satu analisis.

Prosedur semacam itu disebut analisis korelasi kanonik,jika kita memiliki

dua himpunan variabel, katakan Y=(Y1,Y2,....,Y_p) dan X=(X1,X2,...Xq), atau

dapat disusun menjadi:

Y=a₁Y₁ a₂Y₂ ...a_pY_p

X=b₁X₁ b₂X₂ ...b_qX_q

Analisis korelasi kanonik berusaha menentukan asosiasi linear antara kedua himpunan. Sasarannya adalah menentukan dua kombinasi linear, satu untuk

product-moment antara kedua kombinasi linear bernilai sebesar mungkin.Pembahasan tentang analisis korelasi kanonik dapat dilihat pada Yunida(2005). Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Menentukan Vektor Random

                                           q p x q p X X X Y Y Y . . . . 2 1 2 1 1 _X Y X

2. Mencari Vektor rata-rata

   

 

 

 

                            2 1 1    X Y X E E E x q p

3. Mencari matrik kovarians

   







' 1      



E X X

=                        qxq qxp pxq pxp 22 21 12 11 : ... : ... :

4. Mencari matrik 12

22 12 1 11 21 2 1 22        

5. Mencari eigennilai dan eigenvektor dari 12

22 12 1 11 21 2 1 22        

Dalam konteks analisis MDS, variabel-variabel Y mewakili peringkat

masing-masing stimulus untuk berbagai skala sifat dan variabel-variabel X merupakan nilai-nilai tiap stimuli pada bidang pemetaan. Korelasinya adalah jumlah koefisien dari atrbut-atribut dan proyeksi-proyeksi stimuli ke dalam vektor

atribut kanonik. Untuk tiap vektor atribut kanonik (bisa lebih dari satu) terdapat satu koefisien untuk setiap atribut yang menunjukkan seberapa kuat atribut

BAB IV

PENERAPAN PENSKALAAN MULTIDIMENSI

Pada bab ini akan dibahas tentang beberapa penerapan MDS di bidang ekonomi. Penyelesaian masalah ini akan dibahas secara bertahap dengan

menggunakan teori yang dibahas dalam bab 3 dan diselesaikan dengan menggunakan program SPSS versi 11.

Aplikasi dari MDS berikut ini meneliti tentang persepsi seseorang

mengenai 11 merk mobil. Penelitian ini dilakukan terhadap 55 orang respoden (diambil dari Green dan Tull, 1975). Responden diminta memberikan nilai

peringkat pada pasangan merk mobil, dimana angka 1 untuk pasangan yang paling mirip dan 55 untuk pasangan yang paling tidak mirip. Di asumsikan bahwa responden memberikan penilaian berdasarkan kemiripan yang menggunakan

konsep jarak berskala rasio. Dengan pengidentifikasian stimuli sebagai berikut: 1. Ford Mustang 6

2. Mercury Cougar V8 3. Lincoln Continental V8 4. Ford Thunderbird V8

5. Ford Falcon 6

6. Chrysler Imperial V8

7. Jaguar

8. AMC Javelin V8

9. Plymouth Barracuda V8

11. Chevrolet Covair

Dari penelitian tersebut diperoleh data hasil pemberian nilai peringkat sebagai berikut:

Stimuli 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 - 8 50 31 12 48 36 2 5 39 10

2 8 - 38 9 33 37 22 6 4 14 32

3 50 38 - 11 55 1 23 46 41 17 52

4 31 9 11 - 44 13 16 19 25 18 42

5 12 33 55 44 - 54 53 30 28 45 7

6 48 37 1 13 54 - 26 47 40 24 51

7 36 22 23 16 53 26 - 29 35 34 49

8 2 6 46 19 30 47 29 - 3 27 15

9 5 4 41 25 28 40 35 3 - 20 21

10 39 14 17 18 45 24 34 27 20 - 43

11 10 32 52 42 7 51 49 15 21 43

-Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa pasangan paling mirip adalah stimuli 1 dan 6 dengan nilai peringkat 1, diikuti pasangan 1 dan 8 pada nilai peringkat 2. Selain

itu, pasangan yang paling tidak mirip adalah stimuli 3 dan 5 dengan nilai peringkat 55.

Penyelesaian masalah dengan menggunakan program SPSS.

Langkah pertama mengubah data tersebut kedalam bentuk matrik yaitu: D=                                   0 43 21 15 49 51 7 42 52 32 10 43 0 20 27 34 24 45 18 17 14 39 21 20 0 3 35 40 28 25 41 4 5 15 27 3 0 39 47 30 19 46 6 2 49 34 35 39 0 26 53 16 23 22 36 51 24 40 47 26 0 54 13 1 37 48 7 45 28 30 53 54 0 44 55 33 12 42 18 25 19 16 13 44 0 11 9 31 52 17 41 46 23 1 55 11 0 38 50 32 14 4 6 22 37 33 9 38 0 8 10 39 5 2 36 48 12 31 50 8 0

Setelah kita melakukan interasi pertama, didapat koordinat stimuli yaitu: 1. Koordinat pada penyelesaian satu dimensi yaitu:

Stimuli 1 1,0758 Stimuli 2 0,1741 Stimuli 3 -1,4682

Stimuli 4 -0,7527 Stimuli 5 1,3109

Stimuli 6 -1,3752 Stimuli 7 -0,8312 Stimuli 8 0,6971

Stimuli 9 0,5513 Stimuli 10 -0,6419

Stimuli 11 1,2601