Lampiran A. Diagram Alir Penelitian. Mulai. Penelusuran literatur. Sudah siap. Penurunan solusi soliton DNA model PBD. Aplikasi maple 11 dan MATLAB

(1)

(2)

Lampiran A. Diagr am Alir Penelitian

Selesai Mulai

Penelusuran literatur

Sudah siap

Penurunan solusi soliton DNA mode l PBD

Analisa hasil perhitungan solusi soliton DNA mode l PBD dengan menggunakan

maple 11 dan MATLA B

Aplikasi maple 11 dan MATLAB

(3)

Lampiran B. Solusi Soliton DNA Model PBD Bentuk u mu m Ha miltonian

……….………...(A.1) Transformasi koordinat pusat massa

, ………...………(A.2) Bentuk persamaan (A.1) s etelah di transformasi ke koordinat pusat massa

...(A.3) dan

……….……….(A.4) Mencari persamaan gera k dengan menggunakan Lagrangian untuk xn

………...……(A.5) dengan

………(A.6a) ………..(A.6b) Substitusi persamaan (A.6a) dan (A.6b) ke persamaan (A.5)

………...(A.7) Persamaan untuk mencari persa maan gerak dengan menggunakan Euler Lagrange

………..………(A.8) Substitusi persamaan (A.7) ke persa maan (A.8)

(4)

……….……..(A.9) menga mbil asu msi

………...………..(A.10) Substitusi persamaan (A.10) ke persamaan (A.9) dipero leh persamaan linear

………..(A.11) Mencari persamaan gera k dengan menggunakan lagrangian untuk yn ke mbali ke persa maan (A.5)

dengan

………..………..…………..………(A.12a)

………(A.12b) Substitusi persamaan (A.12a) dan (A.12b) ke persamaan (A.5) dip ero leh

.……(A.13) Persamaan untuk mencari persa maan gerak dengan menggunakan Euler Lagrange untuk yn

………..……….(A.14) Substitusi persamaan (A.13) ke persamaan (A.14)

...…….(A.15) dengan mengambil asumsi

………...………...(A.16) Substitusi persamaan (A.16) ke persamaan (A.15) diperoleh persa maan nonlinear

….(A.17) Melakukan transformasi untuk osilasi dengan amplitudo sang at kecil

(5)

atau ………....………(A.18) Substitusi persamaan (A.18) ke persamaan (A.17)

...(A.19) Ekspansi Deret Taylor untuk ponensial morse pada persamaan (A.19)

………(A.20) ………...………(A.21)

………...(A.22)

……….……(A.23)

Kurangkan persamaan (A.22) dengan persamaan (A.23)

(6)

Kalikan persamaan (A.24) dengan

………(A.25)

Substitusi persamaan (A.25) ke persamaan (A.19)

………...………...(A.26)

dimana , , ,dan ………..….………(A.27)

substitusi persamaan (A.27) ke persamaan (A.26)

………..……….….(A.28) Pendekatan solusi gelo mbang soliton DNA model PBD

...(A.29) dan

(7)

Lampiran C. Penurunan Persamaan NLS Soliton DNA Model PBD Transformasi diterapkan untuk kasus kontinu

, ………..………...(B.1) Fungsi F untuk kasus k ontinu

………...……….(B.2) Berdasarkan persa maan (A.28) ma ka harus dicari

….(B.

3a)

………...(B.3b) ….(B.3c) (B.3d) ………(B.3e) ……..…..(B.3f) …....….(B.3g) ma ka

(8)

……….(B.3h) ………..…..(B.3i) Ke mbali ke persa maan (B.3a) na mun konjugat ko mple ksnya diperhitungkan

……….……….(B.3j) ……….………….(B.3k)

.……..(B.3l) ………...…………...…(B.3m) Substitusi persamaan (B.3a- (B.3m) ke persamaan (A.28) ma ka dipero leh , ,

untuk koefisien

.(B.4a)

…….………...(B.4b)

(9)

Persamaan (B.3h ) dan persamaan (B.3i) untuk kasus semi diskrit mengacu ke persamaan (B.2)

……….(B.5a)

………..….(B.5b) Substitusi persamaan (B.5), (B.4) dan (B.3c) ke pe rsamaan (A.28)

……….………...…………(B.6) Persamaan (B.6) dapat di pecah menjad i dua persamaan antara koefisien , dan

Untuk koefisien

(10)

Untuk koefisien

………...(B.7b) Untuk koefisien

………(B.7c) Berdasarkan persa maan (B.7a) untuk koefisien F1

………..…….…….(B.7d) Asumsikan dan ………...…...………(B.7e) .………...……..…………..….(B.7f) ma ka ………...………....……....(B.7g) Asumsikan untuk koefisien

(11)

………...……..…...(B.7h)

dengan ………...………(B.7i)

………...………….………….(B.7j) Asumsikan untuk koefisien

………...…...…….…(B.7k) Substitusi persamaan (B.7i) ke persa maan (B.7j)

………..………..……....…..(B.7l)

dengan ………....………(B.7m)

………..……….……….(B.7n) Substitusi persamaan (B.7g) dan (B.7i) ke pe rsamaan (B.4a ) sampa i (B.4c )

………...…...(B.8a)

(12)

………..……...(B.8b)

………...………(B.8c) Substitusi persamaan (B.8a), (B.8b) dan (B.8c ) ke persa maan (B.7a)

………...(B.9) Persamaan (B.9) dengan mentransformasi

……….………(B.10) Berdasarkan persa maan (B.10) ma ka persa maan (B.9) dapat di ubah

……….………..……….(B.11a) ……….(B.11b)

(13)

Substitusi persamaan (B.11b) dan (B.11c ) ke persa maan (B.9)

………...…....(B.12) dengan mengambil orde O( 3)= O( 4)=0 art inya

………..……….…….(B.13) Persamaan (B.12) men jadi bentuk

……….. (B.14) Kalikan persamaan (B.14) dengan diperoleh persamaan NLS

………... (B.15) Agar terbentuk persamaan NLS ma ka harus dipenuhi

……….(B.16) Substitusi persamaan (B.16) ke persa maan (B.15) maka d iperoleh

(14)

misalkan

……….…(B.18a) ……….…………(B.18b) ……….….……...(B.18c) Substitusi persamaan (B.18a ), (B.18b ) dan (B.18c ) ke persa maan (B.17)

……….………..….…(B.19) Persamaan (B.19) me rupakan persamaan NLS k ubik -kuintik untuk fungsi F1.

(15)

Lampiran D. Penur unan Solusi Persamaan NLS Soliton DNA Model PB D Persamaan anzats traveling dari persamaan NLS k ubik -k uintik tersebut diberikan

………...………...(C.1) Substitusi persamaan (C.1) ke persa maan (B.19)

………..………...…(C.2) Selanjutnya ka likan persamaan (C.2) dengan

………...………….(C.3) Persamaan (C.3) dapat dituliskan ke mba li dala m bentuk:

………...…….…..(C.4) yang mengindikasikan bahwa:

……….………...………....(C.5) dimana c merupakan sebuah konstanta. Selanjutnya kita kemba li me mbatasi diri pada solusi yang me miliki kondisi 0 dan u 0 pada S ±∞ dan mengimplikasikan c = 0.

Persamaan (C.5) dapat diatur ke mbali menjadi:

………..………...…(C.6) atau ………..………..(C.7)

(16)

Integrasikan persamaan (C.7) untuk mencari solusi

………..……….…………....(C.8) Untuk menyelesaikan ruas kiri dari persamaan (C.8) harus menggunakan pemisalan

atau ………...……….………..……..(C.9a)

………..……….(C.9b) Substitusi persamaan (C.9a) dan (C.9b) ke persamaan (C.8)

………..………..…(C.10) Persamaan (C.10) untuk ruas kiri dapat diubah men jadi

………...….…………..(C.11a) Ruas kanan Persamaan (C.11a ) adalah

………...………(C.11b)

dengan ………...…….……...(C.11c)

ma ka persa maan (C.11a) menjadi

………...(C.11d) Integrasikan persamaan (C.8) ruas kanan terhadap S

……….……….….………(C.11e) Substitusi persamaan (C.11d) dan (C.11e ) ke persa maan (C.8)

(17)

Untuk menghilangkan fungsi logarit ma natural pada persamaan (C.12) maka kedua rusa harus di eksponensialkan

……….…(C.13) Agar tanda akar pada persamaan (C.13) h ilang ma ka kedua ruas harus di kuadratkan

………..………….…….(C.14)

(18)

……….………....(C.15)

Substitusi persamaan (C.15) ke persa maan (C.1) ma ka dipero leh solusi F1(S, )

………...……….(C.16a)

Artinya untuk konjugat ko mple knya adalah

………...………….(C.16b)

Untuk me mpe roleh fungsi gelombang ( ) hanya dalam fungsi F1 maka la kukan substitusi

persamaan (B.7f), (B.7i) dan (B.7m) ke persa maan (B.3a)

………..(C.17) Substitusi persamaan (C.16a ) dan (C.16b) ke persa maan (C.17)

(19)

(20)

…………(C.18)

misal ……….(C.19)

Persamaan (C.19) dapat disederhanakan menjadi

………...……….……..(C.20)

Persamaan (C.20) men jadi lebih sederhana

……….……….(C.21) untuk kasus amplitudo yang besar

………...……...(C.22) Persamaan (C.22) me rupakan Solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD untuk a mplitudo yang besar.

(21)

Lampiran E. Progr am Analisa Solusi Gel ombang Soliton Traveling DNA Model PBD

clear all

clc

%Definisi nilai parameter

tau=0; T2=40e-8; n1=200; k=24; K=8; h=4; N=1000; a=3e-2; m=5.1e-13;

e2=0.01; % untuk ekspansi hingga orde-4 dan e2=0.001 untuk ekspansi potensial morse hingga orde-3

sigma=1e10; T0=tau/e2; D = 0.1*1.6e5; wg =2*a*sqrt(D/m); l=340; lamda=10*l; q=2*pi/lamda; t1=1e-8;

%Definisi hubungan dispersi

w=sqrt(wg+(2*k*(1-cos(q*l))+2*K*(cos(q*l*h)+1))/m);

%Definisi koefisien orde-1 sampai orde-4

alfa =(-3*a)/sqrt(2); beta =7*a^2/3;

gamma=0; % solusi hingga orde-3

gamma =(-(sqrt(2)*31*(a^3))/12); % solusi hingga orde-4

%Definisi hubungan F1 dengan F0, F2 dan F3

miu=-2*alfa/(1+4*K/(m*wg.^2));

delta=(wg.^2)*alfa/(4*w^2+2*k*(cos(2*q*l-1)/m-2*K*(cos(2*h*q*l)+1)/m-wg^2));

eta=((2*(wg.^2)*alfa*delta)/((2*k*(cos(3*q*l)-1)/m)-(2*K*(cos(3*q*h*l)+1)/m)+9*(w^2)));

%Definisi kecepatan group

Vg=(l*(k*sin(l*q)-K*h*sin(l*q*h))/(m*w));

%Definisi koefisien dispersi(P) dan koefisien nonlinear(Q dan R)

Q=(-wg.^2*(2*alfa*(miu+delta)+3*beta)/(2*w)); R=(-wg.^2*e2*delta*2*gamma)/w;

P=((((l^2)*(k*cos(l*q)-K*(h^2)*cos(l*q*h))/m)-Vg^2)/(2*w));

%Definisi kondisi awal dan inkrimen

nmax=abs(Vg*t1/l); counter=0; n0=-nmax; n2=-2*n0; dT=(T2-T1)/N; dn=(n2-n1)/N;

(22)

%Running program for i=1:N counter=counter+1 n(i)=n0+(i-1)*dn; for j=1:N T(j)=T0+(j-1)*dT; S(i,j)=e2*n(i)*l-Vg*T(j); Psi(i,j)=sqrt((4*sigma)/(sqrt(((16*sigma*R)/3)+Q^2)*cosh(-2*(S(i,j))*sqrt(sigma/P))+Q)); theta(i,j)=n(i)*l*q-(w*T(j)/e2); yn(i,j)=e2*Psi(i,j)*(2*cos(((sigma*e2*T(j))+theta(i,j)))) +(e2^2)*(Psi(i,j)^2)*(miu+2*delta*cos(2*((sigma*e2 *T(j))+theta(i,j)))+(2*e2*eta*Psi(i,j))*cos(3*((si gma*e2*T(j))+theta(i,j)))); end end un=yn; t=T*1e7;

%Grafik 3 dimensi gelombang DNA Traveling

figure surf(t,n,yn); view(90,-90); colorbar shading interp xlabel ('T(ps)'); ylabel ('nl(pm)'); zlabel ('Yn(pm)');

%Grafik hubungan yn terhadap nl

figure

plot(S,e2*(yn(:,1)));

xlabel ('nl(pm)');

ylabel ('Yn(pm)');