3 SKS
TEKNIK ELEKTRO
UDINUS
1
4. INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS
Seperti halnya dalam fungsi riil, dalam fungsi kompleks juga dikenal istilah integral fungsi kompleks serta sifat-sifatnya. Sifat keanalitikan suatu fungsi dalam suatu lintasan tertutup penting dalam perhitungan integral. Setelah membaca Bab 4, mahasiswa diharapkan dapat :
Menghitung integral lintasan kompleks.
Menggunakan teorema Cauchy Goursat dan rumus integral Cauchy dalam perhitungan integral
Menggunakan turunan fungsi analitik untuk menghitung integral
4.1 Fungsi Kompleks dari Variabel Riil
Misalkan
F
(t
)
adalah fungsi kompleks dari variabel riil t , ditulis
sebagai
F(t)u(t)iv(t)dengan
u(t)dan
v
(t
)
adalah fungsi riil. Jika
u(t)dan
v
(t
)
kontinu pada interval tertutup
a t b, maka
b
a b a b av
t
dt
i
dt
t
u
dt
t
F
(
)
(
)
(
)
.
Sifat-sifat
1.F
t
dt
b
F
t
dt
a b a
(
)
Re
(
)
Re
2.F
t
dt
b
F
t
dt
a b a
(
)
Im
(
)
Im
3.k
F
t
dt
k
bF
t
dt
a b a
(
)
(
)
4.F
t
dt
aF
t
dt
b b a
(
)
(
)
5.F
t
dt
bF
t
dt
a b a
(
)
(
)
Pembuktian sifat-sifat integral di atas menggunakan sifat-sifat integral fungsi riil.
Bukti sifat 3 :
b
a b ak
u
t
i
v
t
dt
dt
t
F
k
(
)
[
(
)
(
)]
b
a b ak
i
v
t
dt
dt
t
u
k
(
)
(
)
(sifat integral fungsi riil :
ba b a
k
f
(
x
)
dx
k
f
(
x
)
dx
b a b au
t
dt
k
i
v
t
dt
k
(
)
(
)
2
b
a b ai
v
t
dt
dt
t
u
k
(
)
(
)
b aF
t
dt
k
(
)
(terbukti). Bukti sifat 4 :
b
a b a b av
t
dt
i
dt
t
u
dt
t
F
(
)
(
)
(
)
(sifat integral fungsi riil :
ab b a
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
)
a
b a bv
t
dt
i
dt
t
u
(
)
(
)
a
b a bv
t
dt
i
dt
t
u
(
)
(
)
a
bu
(
t
)
i
v
(
t
)
dt
a bF )
(
t
dt
(terbukti).
4.2 Lintasan
Jika g dan
h
fungsi bernilai riil dan kontinu dari variabelt
dalaminterval
tertutup
a t b, maka himpunan titik-titik di bidang
xy dapat dinyatakandalam bentuk parametrik x g(t), yh(t), a t b
. Oleh karena itu,
himpunan titik-titik dalam bidang kompleks juga dapat dinyatakan dalam
bentuk parametrik.
Definisi 4.1
Kurva di bidang datar merupakan kurva mulus (smooth curve) jhj kurva tersebut dapat dinyakan dengan dua fungsi bernilai riilx g(t) , yh(t),
t
sedemikian sehinggag
' t
(
)
dt
dx
danh
' t
(
)
dt
dy
ada dan kontinu dalam interval
t
.Contoh 1
Kurva dengan bentuk parametrik2
3
0
,
sin
2
,
cos
2
t
y
t
t
x
merupakan kurva mulus.Jika
C
merupakan kurva mulus dengan bentuk parametrik :
g t y h t t x ( ) , ( ), maka titik pada
C
yang berpadanan dengant
disebut titik awalC
. titik pada
C
yang berpadanan dengan t
disebut titik akhirC
.Selanjutnya,
C
disebut lintasan (path) bilaC
terdiri dari berhingga banyak kurva mulus,3
n C C C C 1 2 dengan C1,C2,,Cn merupakan kurva mulus. Pengertian lintasan ini sangat
penting dalam integral fungsi kompleks karena berperan sebagai selang pengintegralan dalam integral fungsi riil dari satu variabel.
Catatan :
1.
C
disebut lintasan tertutup jika titik akhirC
berhimpit dengan titik awalC
. 2.C
disebut lintasan terbuka jika titik akhirC
tidak berhimpit dengan titik awalC
. 3.C
disebut lintasan sederhana jika lintasan tidak memotong dirinya sendiri. 4.C
disebut lintasan berganda jika lintasan memotong dirinya sendiri.Contoh 2
C
1C
2 C3 a. Lintasan tertutupC
2 1C
C3 b. Lintasan terbukac. Lintasan sederhana d. Lintasan berganda
Teorema 4.1
( Kurva Jordan )
Jika
C
lintasan tertutup sederhana di bidang datar, maka bidang datar itu dibagi olehC
menjadi 3 bagian, yaitu1. kurva
C
.2. bagian dalam
C
, ditulisInt
(C
)
, yang merupakan himpunan terbuka dan terbatas.3. bagian luar
C
, ditulisExt
(C
)
, yang merupakan himpunan terbuka dan tidak terbatas.Kurva
C
merupakan batas dari himpunan Int(C) danExt
(C
)
.4.3 Integral Garis
Misalkan kurva mulus
C
disajikan dengan x g(t), yh(t), a t b.
) (t
g dan h(t) kontinu di a t b
.
g' t( ) danh
' t
(
)
kontinu di a t b. Kurva
C
mempunyai arah dari titik awalA
(
g
(
a
),
h
(
a
))
ke titik akhirB
(
g
(
b
),
h
(
b
))
dan ), (x y
4
Teorema 4.2
1. Jika P(x,y)kontinu diC
, maka
C P(x,y)dx dan
CP
(
x
,
y
)
dy
ada dan
b a CP
(
x
,
y
)
dx
P
[
g
(
t
),
h
(
t
)
]
g
'
(
t
)
dt
b a CP
(
x
,
y
)
dy
P
[
g
(
t
),
h
(
t
)
]
h
'
(
t
)
dt
2.
B
A A BP
x
y
dx
dx
y
x
P
(
,
)
(
,
)
3. Jika P(x,y)dan Q(x,y) kontinu di
C
, maka
C
P
(
x
,
y
)
dx
CQ
(
x
,
y
)
dx
CP
(
x
,
y
)
dx
Q
(
x
,
y
)
dx
.Teorema 4.3
Jika P(x,y)dan Q(x,y) serta turunan parsial tingkat pertamakontinu pada seluruh daerah tertutup R yang dibatasi lintasan
tertutup
C
, maka
dxdy y P x Q dy Q dx P R C
.Contoh 3
Tentukan integral garis fungsi M(x,y)xy sepanjang lintasan
C
K
denganC
: garis dari (0,0) ke (2,0) dan K : garis dari (2,0) ke (2,2).Penyelesaian :
(2,2) C : y 0 , 0 x2 K
K
:
x
2
,
0
y
2
Pada kurva
C
: dy0 dan pada kurva K :dx
0
. (0,0)C
(2,0)
C K K C C dx y x dx y x M dx y x M dx y x M ) ( ) , ( ) , ( ) , (
2 0x
dx
= 2.
K K K C C dy y x dy y x M dy y x M dy y x M ) ( ) , ( ) , ( ) , (
2
0(
2
y
)
dx
= 6.5
4.4 Integral Lintasan Kompleks
Diberikan lintasan
C
dalam bentuk parametrik x g(t), yh(t) denganb t
a
.
g(t) dan h(t) kontinu di a t b.
g' t( ) danh
' t
(
)
kontinu dib t
a
. Jika
z xiy, maka titik-titik z terletak C
. Arahpada kurva C
))( ), (
(g a h a ke (g(b),h(b))atau dari z
sampai z
dengan
(g(a),h(a)) dan
(g(b),h(b)).Definisi 4.2
Diberikan fungsif
(
z
)
u
(
x
,
y
)
i
v
(
x
,
y
)
dengan u dan v fungsidari
t
yang kontinu sepotong-potong pada a t b.
Integralfungsi f(z) sepanjang lintasan
C
dengan arah dari z
sampai z
adalah
b af
g
t
i
h
t
g
t
i
h
t
dt
dz
z
f
(
)
(
)
(
)
'
(
)
'
(
)
Sifat-sifat
1.
f
z
dz
dz
z
f
(
)
(
)
2.
C C k f(z)dz k f(z)dz 3.
C C C f(z) g(z) dz f(z)dz g(z)dzContoh 4
Hitung
z
e
dz
z2 jika
: garis lurus dari1 0 z ke
z
1
2
i
. Penyelesaian : 1 0 zz
1
2
i
(0,1) (2,1)Persamaan garis
: y1 dan mempunyai bentuk parametrik : 1 ) ( ) ( t h y t t g x , t[0,2] ( 4.1 ) Dari (4.1) diperoleh : i t t h i t g z ( ) ( ) dz
g
'
(
t
)
i
h
'
(
t
)
dt
1
.
dt
Karena f(z) zez2maka f
g(t)ih(t)
f(ti)(ti) e(ti)2. Sehingga,
2
0 ) (1
)
(
2 2dt
e
i
t
dz
e
z
z t i
2t
i
e
tidt
0 ) ( 2)
(
(gunakan subtitusi : u(ti))6
3 4 1
2
1
e
ie
.4.5 Pengintegralan Cauchy
Teorema 4.4
( Teorema Cauchy)
Jika f(z) analitik dan f' z( ) kontinu di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana
C
, maka
C
f
(
z
)
dz
0
.
C
f(z) analitik dan f' z( )kontinu
Contoh 4
Misalkan diberikan
C
sebarang lintasan tertutup dalam bidang kompleks. 1. f(z)z2
C z dz 0 2.
2.f
(
z
)
1
C dz 0.
Teorema 4.5
( Teorema
Cauchy-Goursat)
Jika f(z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana
C
, maka
C f(z)dz 0.C
f(z) analitikContoh 5
Diketahui C: z 1. Hitunglah
C f(z)dz jika3
1
)
(
z
z
f
. Penyelesaian : 2 ) 3 ( 1 ) ( ' z zf , f(z) tidak analitik di
z
3
danz
3
terletak di luarC
. Oleh karena itu, f(z) analitik di dalam dan pada lintasanC
, sehingga0
)
3
(
1
dz
z
C .Teorema 4.6
(Bentuk lain
Teorema Cauchy
Goursat )
Jika fungsi f(z)
analitik di seluruh domain terhubung
sederhana
D, maka untuk setiap lintasan tertutup C di
dalam
D, berlaku
C f(z)dz 0
.
Teorema 4.7
(Teorema Cauchy
Diberikan suatu lintasan tertutup
C
, sedangkann
C C
7
Goursat yang
diperluas)
di interior
C
sedemikian sehingga C1,C2,,Cn tidak saling berpotongan. Jika fungsi f(z)analitik di dalam daerah tertutup yang terdiri dari titik-titik padaC
dan titik-titik di dalamC
, kecuali titik-titik interior C1,C2,,Cn, maka
C f(z)dz C1 f(z)dz C2 f(z)dz Cn f(z)dz.C
C
1 f(z) tidak analitik f(z) analitikContoh 6
Hitung
C z dz ) 3 ( , jika C : z2 2. Penyelesaian :3
1
)
(
z
z
f
tidak analitik diz
3
yang berada di dalam interiorC
. Dibuat lintasan tertutupC
1 di dalamC
berpusat diz
3
yaitu2
1
3
:
1z
C
. Diperolehz
e
it2
1
3
,0
t
2
dandz
e
itdt
2
1
.Menurut Teorema Cauchy Goursat yang diperluas,
C Cz
dz
z
dz
1(
3
)
)
3
(
2 0 2 1 2 1 t i t i e dt e i
2 0dt
i
2
i.4.6 Integral Tak Tentu dan Integral Tentu
Jika fungsi
f
analitik di dalam domain terhubung sederhana D, maka
z zf
d
z
F
0)
(
)
(
mempunyai turunan untuk setiap titikz
di dalam D dengan) ( ) (
' z f z
F , asalkan lintasan pengintegralan dari z0 ke
z
seluruhnya terletak didalam D. Jadi F(z) juga analitik di dalam D.
Teorema 4.8
Jika
dan
di dalam D, maka
8
D
f(z)
analitik
Contoh 7
i i i z dz z i i 2 2 2 2 1 2 2
.
(Karena
f
(
z
)
z
merupakan fungsi utuh, maka dapat dibuat sebarang domain terhubung sederhana D yang memuat lintasan pengintegralan dari z i kei
z
2
).4.7 Rumus Integral Cauchy
Teorema 4.9
(Rumus
Integral
Cauchy )
Jika
f
(z
)
analitik di dalam dan pada lintasan tertutup C dan
0
z
sebarang titik di dalam C , maka
C z z dz z f i z f 0 0 ) ( 2 1 ) (
atau
( ) 2 . ( 0) 0 z f i dz z z z f C
.
C
z0
f(z)
analitik
Turunan
Fungsi
Analitik
C z z dz z f i z f 2 0 0 ) ( ) ( 2 1 ) ( '
( ) 2 . '( ) ) ( 0 2 0 z f i dz z z z f C
C z z dz z f i z f 3 0 0 ) ( ) ( 2 ! 2 ) ( ''
2! . ''( ) 2 ) ( ) ( 0 3 0 z f i dz z z z f C
C n n dz z z z f i n z f 1 0 0 ) ( ) ( 2 ! ) (
! . ( ) 2 ) ( ) ( 0 1 0 z f n i dz z z z f n C n
Contoh 8
1. Hitung
Cz
dz
3
dengan C: z2 2. Penyelesaian :Diambil :
f
(
z
)
1
(f
(z
)
analitik di dalam dan padaC
) z0 3 di dalamC
.9
f(z0) f(3)1Menggunakan rumus integral Cauchy, diperoleh
i
i
z
f
i
z
dz
C
3
2
.
(
0)
2
.
1
2
. 2. Hitung
C z z dz 2 3 ) 2 ( dengan C : z3 2. Penyelesaian : Diambil : 31
)
(
z
z
f
( f(z) analitik di dalam dan padaC
) z0 2 di dalamC
. 43
)
(
'
z
z
f
16
3
)
2
(
'
)
(
'
z
0
f
f
.Menggunakan turunan fungsi analitik, diperoleh
i i z f i z z dz C
8 3 ) 16 3 .( 1 2 ) ( . ! 1 2 ) 2 ( 2 0 3
.4.8 Teorema Morera dan Teorema Lionville
Teorema 4.10
(Teorema Morera)
Jika f(z) kontinu dalam domain terhubung D dan untuk
setiap lintasan tertutup
C
dalam D berlaku
C
f
(
z
)
dz
0
,maka f(z) analitik di seluruh D.
Teorema 4.11
(Teorema
Lionville)
Jika
f
(z
)
analitik dan f(z) terbatas di seluruh bidang kompleks, makaf
(z
)
adalah suatu fungsi konstan.4.9 Teorema Modulus Maksimum
Jika f(z) analitik dan M nilai maksimum dari f(z) untuk
z
di dalam daerah D
z: zz0 r
, dan jika f(z0) M , maka f(z) konstan di seluruh daerah D. Akibatnya, jika f(z) analitik dan tidak konstan pada D, makaM z
f( 0) .
Prinsip Modulus
Maksimum
Jika fungsi tak konstan
f
(z
)
analitik di z0, maka di setiapkitar dari z0, terdapat titik
z
dan f(z0) f(z).Teorema 4.12
(Teorema
Modulus
Maksimum)
Jika f(z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana
C
, dan f(z) tidak konstan, maka f(z) mencapai nilai maksimum di suatu titik padaC
, yaitu pada perbatasan daerah itu dan tidak di titik interior.10
Teorema 4.13
(Ketaksamaan
Cauchy)
Jika f(z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C : zz0 r, dan f(z) terbatas pada
C
,C z M z f( ) , maka
(
0)
!
,
n
0
,
1
,
2
,
r
M
n
z
f
n n .Ringkasan
Sifat keanalitikan fungsi kompleks di dalam dan pada suatu lintasan tertutup merupakan hal yang harus diperhatikan dalam perhitungan integral fungsi kompleks.
11
Soal-soal
1. Hitung
z
e
dz
z2
jika
: kurva y x2 dari z0 0 kez
1
1
i
. 2. Hitung
C f(z)dz jika
3
) (z z
f dengan
C
:
setengan lingkaran z 2 darii
z
2
kez
2
i
.3. Hitung integral fungsi f(z) sepanjang lintasan tertutup
C
berikut :a. 2 ) 4 ( ) ( i z e z z f z
, C : z 1 (counterclockwise). b. ) 4 ( ) 1 ( ) ( 2 2 2 z z e z f z , C: ellips x2 4y2 4 (counterclockwise). c. 2 ) 1 ( cos ) 3 ( ) ( z z z Ln zf , C: segiempat dengan titik-titik sudut z 2 dan
z
2
i
(counterclockwise). d. 2 3 ) 1 ( 3 2 ) ( i z z z z f , C: terdiri dari z 2 (counterclockwise) dan z 1 (clockwiswe). e. 2 ) 1 2 ( sin ) 1 ( ) ( z z z z f , C: zi 2 (counterclockwise). f. 2
)
2
(
)
(
2i
z
z
e
z
f
z
, C : segiempat dengan titik-titik sudut z33i (counterclockwise) dan z 1 (clockwiswe).g. 3 3 ) ( sin ) ( i z z z z f
, C: segitiga dengan titik-titik sudut z 2, z2i (counterclockwise).