1 |
BARISAN DAN DERET
A. POLA BILANGANBerbagai jenis bilangan yang sering kita pergunakan mempunyai pola tertentu. Pola ini sering digunakan dalam menentukan urutan / letak bilangan dari sekumpulan bilangan yang ditentukan, contoh bilangan ganjil ke-5 dari bilangan : 1, 3, 5, 7,… yaitu 9.
B. BARISAN BILANGAN
Barisan adalah himpunan sembarang unsur-unsur yang ditulis secara berurutan. Barisan bilangan adalah bilangan yang disusun menurut suatu aturan tertentu.
Contoh : a. 1, 3, 5, ⋯ b. 10, 9, 8, 7, ⋯
Contoh Soal
1. Carilah 4 suku pertama dari barisan berikut, jika : a. 𝑈𝑛= 𝑛2 𝑛 + 1 b. 𝑈𝑛= 𝑛 + 1 𝑛2 − 2𝑛 + 1 c. 𝑈𝑛= 1 (4𝑛−3)(2𝑛−1)
2. Tuliskan tiga suku berikutnya dari setiap barisan berikut ini dan tentukan rumus sederhana suku ke – n !
2 | a. −8, −4, 0, ⋯
b. 1, √2, 2, ⋯ c. 4, 2, 1, ⋯
3. Tentukan rumus sederhana suku ke-n dari barisan berkut. a. −1,
−
1 2,
−
1 4, −
1 2, ⋯
b. 1 1 × 2,
1 3 × 4,
1 5 × 8,
1 7 × 16, ⋯
c. 1 2, 1 2√
2 , 1 2√
3, 1 2√
4,⋯
d. √5 − √2, √7 − √4, √9 − √6,⋯
e. 1 √2 + 1, 1 √3 − √2, 1 2 + √3, 1 √5 − 2, ⋯
4. Rumus umum suku ke-n suatu barisan adalah 𝑈𝑛= 𝑎𝑛2+ 𝑏𝑛. Suku ke-2 dan suku ke-7 barisan tersebut masing-masing 8 dan 63.
a. Hitunglah
𝑎
dan𝑏
serta rumus umum suku ke-n b. Tentukan suku ke-105. Suku ke-n sebuah barisan ditentukan dengan rumus : 𝑈𝑛= (−1)𝑛 𝑛
3 − 1 𝑛2+ 𝑛 + 1
a. Tentukan suku ke-5, suku ke-10 dan suku ke-15 b. Suku ke berapakah yang nilainya −24
C. PENGERTIAN BARISAN DAN DERET
Barisan yaitu susunan bilangan yang didapatkan dari pemetaan bilangan asli yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret.
3 |
Barisan banyak macamnya, tetapi yang akan dipelajari yaitu barisan Aritmetika dan barisan Geometri.
1. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (HITUNG) 1.1 BARISAN ARITMETIKA
Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b.
Contoh-contoh barisan Aritmetika :
1) 1,3,5,.... bedanya b = ... 2) 0,5,10,... bedanya b = ... 3) 100,97,94,... bedanya b = ... 4)
3 2
,7 2
,11 2
,... bedanya b = ... .Suku ke-n barisan aritmetika
Jika suku pertama =
U
1 = a dan beda = b, maka :
U
n
a + (n – 1) bU
n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertaman : banyak suku b : beda/selisih b =
U
n
U
n1
Contoh 1 : Tentukan beda dari :
a) 1, 5, 9 b) 10,
8
1
2
,7,... Jawab : a) ………….4 | Contoh 2 : Tentukan suku ke-50 dari barisan 2,5,8, ... !
Jawab : ………
Contoh 3 : Tentukan banyak suku dari barisan 50,47,44,...,-22 !
Jawab : …………..
Contoh 4 : Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,5,9,... !
Jawab : ……….
Contoh 5 : Pada barisan Aritmetika diketahui
U
5
21
danU
10
41
. TentukanU
15 !Jawab : ……….
LATIHAN SOAL
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut ! a) 3.5.7,... c) 20,17,14,... b) 1,
1
1
2
,2,... d)5 2
,4 2
,3 2
,... 2. Tentukan suku yang diminta !a) 4,10,16,... suku ke-25
b)
20 3
,18 3
,16 3
,... suku ke-403. Tentukan unsur yang diminta pada barisan Aritmetika berikut : a) b = 4,
U
6
21
, a = ... b) a = -5,U
20
33
, b = ... c) a = 9, b = -2,U
n 19
, n = ... d)U
4
1
,U
7
8
, a = ... , b = ... e)U
37
1
2
,U
6
15
,U
10...
5 |
4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 280, maka tentukan ketiga bilangan itu !
5. Tentukan x jika x+1, 2x, x+7 membentuk barisan aritmetika !
6. Ali pada bulan Januari 1999 menabung Rp. 100.000. Tiap awal bulan Ali menabung Rp.25.000. Tentukan jumlah tabungan Ali pada bulan April 2000 jika bunganya tidak diperhitungkan !
1.2 DERET ARITMETIKA
Jika pada barisan aritmetika tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret aritmetika. Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan.
Jumlah n suku pertama deret aritmetika
a
b
a
b
a
b
U
b
U
U
S
U
b
U
b
U
b
a
b
a
a
S
U
U
U
U
U
S
n n n n n n n n n n n
)
(
)
2
(
...
)
2
(
)
(
)
(
)
2
(
...
)
2
(
)
(
...
1 3 2 1 +)
(
2
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2
n n n n n n n n nU
a
n
S
U
a
U
a
U
a
U
a
U
a
U
a
S
S
n
n a
U
n1
2
(
)
, karenaU
n
a
(
n
1
)
b
, maka :[
2
(
1
)
]
2
1
b
n
a
n
S
n
S
n : jumlah n suku pertama
U
n
S
n
S
n1 Contoh 1: Hitunglah jumlahnya !a) 1+3+5+...sampai 50 suku b) 2+5+8+...+272
6 | b) ……….
Contoh 2: Tentukan
𝑥
jika 5+7+9+……+ x = 192Jawab : ………
Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan antara 0 sampai 100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 !
Jawab : Yang habis dibagi 4 yaitu 4 + 8 + 12 + ……….. + 100 =
S
1=……..Yang habis dibagi 4 dan 5 atau habis dibagi 20 yaitu 20 + 40 + 60 + 80 + 100 =
S
2 = ……Jadi jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 = 1
S
-S
2 = ……..Contoh 4: Tentukan
U
10 jikaS
n
n
2 Jawab : …………LATIHAN SOAL
1. Tentukan jumlah dari :
a) 3+6+9+ ... sampai 20 suku b) 18+14+10+ ... sampai 20 suku c) -7-3+1+ ... + 53 d) 25+21+17 + ... + 1 2. Tentukan x jika ; a) 1+3+5+ ... + x = 441 b) 1+5+9+ ... + x = 561
3. Tentukan unsur yang diminta dari deret aritmetika berikut : a) a = 2,
S
22
737
,
b
...
b) b=5,
U
10
46
,
S
15
...
c)U
4
9
,
U
7
18
,
S
10
...
4. Tentukan jumlah bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 3
7 | 6. Tentukan
U
8 jikaS
n
n
2
2
n
2. BARISAN DAN DERET GEOMETRI (UKUR) 2.1 BARISAN GEOMETRI
Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r.
Contoh 1: Tentukan rasio dari barisan 1,2,4,8,...
Jawab : …………
Suku ke-n barisan geometri
Jika suku pertama
u
1
a
dan rasio = r, maka :
n1 nar
U
Dimana 1
n nU
U
r
Contoh 1: Tentukan suku ke-8 dari barisan :1,2,4,....
Jawab : ……….
Contoh 2: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3,6,12,...
8 |
Contoh 3: Pada barisan geometri diketahui
U
3
4
danU
5
16
. TentukanU
8 !Jawab : ……….
Contoh 4: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 13 dan hasilkalinya 27, tentukan ketiga bilangan itu !
Jawab : Misal ketiga bilangan itu
x
xr
r
x
,
,
maka3
27
27
.
.
x
xr
x
3
x
r
x
Jadi9
,
3
,
1
3
1
,
3
,
9
3
1
0
)
3
)(
1
3
(
0
3
10
3
13
3
3
3
2a
bilanganny
r
a
bilanganny
r
r
r
r
r
r
x
r
r
Contoh 5: Tentukan x jika x-1, x+2 dan 3x membentuk barisan geometri !
Jawab : ………..
LATIHAN SOAL
1. Tentukan suku yang diminta dari barisan : a) 1,3,9,... suku ke-7
b) 3,6,12,....suku ke-8 c) 16,8,4, ... suku ke-10
2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan : a)
1
4
1
2
1
, , ,....
9 | b)
2 2 2 4
,
, ,....
3. Tentukan unsur yang diminta dari barisan geometri berikut : a)
a
4
,
U
4
32
,
U
6
...
b)
b
1
U
a
3
,
53
,
...
c)U
3
8
,
U
6
64
,
U
5
...
d)U
3
1
,
U
5
25
,
U
2
...
4. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 216, tentukan ketiga bilangan itu !
5. Tentukan x jika x-4, x, 2x membentuk barisan geometri !
6. Suatu bakteri pada pukul 20.00 jumlahnya 4. Tiap 10 menit sekali tiap-tiap bakteri membelah menjadi 2. Tentukan banyaknya bakteri sampai pukul 21.20 !
2.2 DERET GEOMETRI
Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret geometri.
Jumlah n suku pertama deret geometri
n n n n n n n n
ar
ar
ar
ar
ar
ar
rS
r
x
ar
ar
ar
ar
ar
a
S
1 2 3 2 1 2 3 2...
...
....
...
- n n nrS
a
ar
S
1
,
1
)
1
(
1
)
1
(
r
r
r
a
r
r
a
S
n n n dimanaU
n
S
n
S
n110 | Contoh 1: Tentukan jumlah 8 suku pertama dari 1+2+4+....
Jawab : ………
Contoh 2 : Tentukan jumlah dari 1+3+9+...+243
Jawab : ………
Contoh 3: Tentukan n jika
1 2
2
2....
2
n255
Jawab : ………
LATIHAN SOAL
1. Tentukan jumlah dari : a)
1
4
1
2
1
10
....
S
...
b) 36+18+9+....S
6...
c)2
2
2 2
...
S
8
...
2. Tentukan jumlah dari : a) 1/3+1+3=....+81 b) 32+16+8+....+1/8
3. Tentukan n jika :
a)
3 3
23
3...
3
n363
b)2
2
2
2
3...
2
n1
1022
4. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut : a)
U
1
50
,
U
3
200
,
S
5
...
11 | b)
a
1
,
r
3
,
S
n
29524
,
n
...
c)S
815
r
a
5
6
1
2
,
,
...
5. Jumlah penduduk suatu kota setiap 3 tahun menjadi dua kali lipat. Setelah 27 tahun jumlah penduduk menjadi 6,4 juta jiwa. Hitung jumlah penduduk semula !
2.3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA
S
a
r
r
a
r
r
r
n n n
(
1
)
1
1
1
Untukn
maka :
S
n
Lim
)
1
1
(
r
r
r
a
n
Untuk –1 < r < 1 maka :
S
r
r
a
1
0
1
sehinggaS
r
a
1
syarat –1 < r < 1Jadi suatu deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah) jika –1 < r < 1 Contoh 1: Hitung
....
4
1
2
1
1
Jawab : ………Contoh 2: Hitung 1 + 3 + 9 + …. (Beri alasannya !)
12 |
Contoh 3: Suku pertama deret geometri adalah 6. Jika jumlah sampai tak hingga sama dengan 9, maka tentukan rasionya !
Jawab : ……….
LATIHAN SOAL
1. Hitunglah jumlahnya dari :
a. 32+16+8+…. e. 0,1+0,01+0,001+….
b. 125+5+1+…. f. 8+2+1/2+….
c. 12+8+16/3+…. g. 1+1+1+….
d. 1/2+1/3+2/9+…. h.
2
2
1
....
2. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut : a. r = -2/5,
S
15 maka a = …. b. a = 2,8
1
3
U
makaS
…. c.27
1
,
9
7 2
U
U
makaS
…. d.8
1
,
2
9
5 3 1
U
U
U
makaS
….3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 m . Bola memantul 3/5 dari tinggi semula. Hitung jarak seluruhnya yang ditempuh bola sampai bola berhenti
4.
Jika sisi bujur sangkar terbesar pada gambar di samping 8 cm, maka tentukan jumlah luas
keseluruhan bujur sangkar jika diteruskan hingga tak terhingga jumlahya.
13 |
5. NOTASI SIGMA
Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat keteraturan digunakan notasi sigma yang dilambangkan dengan
"
"
b a i i
x
dimana I sebagai indeks dengan batas bawah a dan batas atas b sedangkani
x
adalag rumus sigma sesuai dengan indeks yang digunakan. Indeks menggunakan huruf kecil.
ba i
x
1 dibaca “sigma darix
i untuk harga i dari a sampai b”.Contoh 1 : Tentukan bentuk penjumlahan dan nilainya dari
5 1)
1
2
(
kk
Jawab :
5 1)
1
2
(
kk
= ……… = …………Contoh 2 : Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan 1 + 4 + 7 + ……. + 28
Jawab : 1 + 4 + 7 + ……. + 28 = …………..
Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. Jadi rumus sigma sifatnya tidak unik.
k c c n c n k n nx
x
014 | Contoh 3 : Ubahlah
5 0)
3
4
(
kk
menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 !Jawab :
12 7 7 5 7 5 0)
25
4
(
3
)
7
(
4
)
3
4
(
k k kk
k
k
LATIHAN SOAL1. Tulislah dalam bentuk penjumlahan dari :
n k k n k ki i kx
e
n
n
d
k
c
i
b
k
a
1 6 0 10 1 7 3 2 7 12
.
2
.
3
)
1
(
.
.
)
4
5
(
.
2. Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan berikut :
144
...
9
4
1
.
56
...
6
4
2
.
256
...
4
2
1
.
20
21
...
3
4
2
3
2
.
101
...
26
17
10
.
41
...
9
5
1
.
74
...
8
5
2
.
g
f
e
d
c
b
a
15 |
n i x x n ki
i
d
c
n
b
k
a
0 10 7 10 3 8 02
1
.
2
.
)
2
10
(
.
)
4
3
(
.
6. INDUKSI MATEMATIKAInduksi matematika adalah salah satu bentuk pembuktian suatu rumus dalam matematika dengan menggunakan pola bilangan asli.
Misalkan Pn suatu pernyataan dan nAsli sedemikian sehingga : 1.
P
n benar untuk n = 12. Misal
P
k benar dimana k sembarang bilangan antara 1 dan nsehingga menyebabkan
P
k1 benar pula, makaP
n benar untuk nAsli.
Hal ini bisa digambarkan dengan penataan kartu berdiri yang dijajarkan dengan jarak yang sama sehingga jika kartu yang pertama jatuh maka semua kartu akan jatuh pula. Contoh 1 : Buktikan
(
1
)
2
...
3
2
1
n
n
n
dengan menggunakan induksi matematika !Jawab : Untuk n = 1 (suku pertama) maka 1 =
(
1
1
)
2
1
benar.Misal untuk sembarang n = k maka
(
1
)
2
...
3
2
1
k
k
k
benar. Sehingga untuk n = k+1 :16 |
)
2
(
2
1
2
)
1
(
2
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
...
3
2
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
benar. Jadi(
1
)
2
...
3
2
1
n
n
n
benar untuk nAsli.LATIHAN SOAL
Buktikan dengan induksi matematika !