DEFINISI INTEGRAL. ' untuk

DEFINISI INTEGRAL

Dalam matematika ada beberapa istilah seperti definisi, teorema, lemma. Istilah ini penting karena menunjukan keeksistensian. Definisi adalah pernyataan yg bernilai benar karena disepakati, dan tidak perlu dibuktikan. Teorema adalah pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya. Lemma adalah teorema kecil, biasanya muncul sebagai jembatan untuk membuktikan teorema yang lebih umum.

Konsep-konsep matematika dan pengembangannya berawal dari suatu definisi. Termasuk juga dengan konsep-konsep dasar dalam kalkulus integral. Integral adalah suatu anti turunan (biasa juga disebut dengan anti derivative). Definisi suatu anti turunan dijelaskan seperti berikut

Definisi: F disebut suatu anti turunan dari f pada interval I jika

 

x f

 

x F

D_x  pada I—yakni, jika F'

 

x  f

 

x untuk semua x dalam I.

Pada definisi, lambang D_x menyatakan operasi penentu suatu turunan. Sedangkan untuk menyatakan suatu anti turunan, pada sebagian buku sumber digunakan lambang A_x. Namun yang sekarang popular digunakan adalah notasi Leibniz. Dengan mengikuti Leibniz. Anti turunan menggunakan istilah integral. Leibniz menggunakan lambang



f

 

x dx. Lambang



disebut tanda integral sedangkan

 

x

f disebut integran. Anti penurunan disebut juga mengintegralkan, sehingga definisi di atas disederhanakan menjadi

 

x dx f

 

x dx F

 

x C

F 



 



'

Mengintegralkan integran mendapatkan integral tak-tentu. Dikatakan tak-tentu karena mencakup sembarang konstanta (

C

).

A. Integral Tak-tentu

Pada pembahasan sebelumnya, telah dipelajari mengenai konsep turunan (diferensial). Dengan konsep turunan diperoleh hasil turunan dari beberapa contoh fungsi berikut,

 

 

 

 

 

x x F

 

x x F x x F x x F x x F x x F 2 ' 10 2 ' 4 2 ' 2 2 2           

Dari contoh di atas, maka dapat disimpulkan untuk

 

x x C F  2  , dimana

C

adalah suatu konstanta, maka

 

x x F' 2 .

Dengan demikian, berdasarkan contoh di atas dan definisi dari integral bahwa

 

x dx F

 

x C F  



' , maka diperoleh C x dx x  



2 2 .

Kemudian, dari contoh di atas dapat dibuat generalisasi menjadi suatu sifat integral aljabar seperti berikut

C x n a dx axn n    



1 1

Harus selalu diingat bahwa integral adalah suatu anti turunan. Konsep tersebut dapat dimanfaatkan untuk memeriksa hasil hitung integral di atas. Artinya, apabila hasil hitung integral diturunkan, maka harus sama dengan integran.





n





n n x n x n x ax n a C x n a D dx ax D         _   



1 1 1 1

Contoh A1: C x C x x dx x       





3 / 7 1 3 / 4 3 / 4 3 4 7 3 1 3 / 4 1

Pemeriksaan hasil hitung integral dapat dilakukan pada pada contoh A1 dengan melakukan penurunan. Lebih lanjut, pemeriksaan juga bisa diterapkan kembali pada hasil hitung integral fungsi aljabar lainnya seperti pada contoh A2.

Contoh A2:

C

x

x

x

C

x

x

x

x

x

























 



3

2

3

1

3

1

1

4

1

2

1

3

4

2 3 1 1 1 2 2

Akan tetapi, generalisasi sifat integral fungsi aljabar tersebut tidak berlaku untuk

n





1

. Karena ketika

n





1

, maka penyebut fungsi integral dari integran akan menjadi nol. Dalam ilmu matematika, suatu pecahan yang pembilangnya berapapun selain nol dengan penyebutnya adalah nol istilahnya tidak didefinisikan. Namun demikian, karena integral adalah anti turunan sehingga dengan konsep turunan diperoleh C x C x a dx x a dx ax dx x a      a 







  ln ln 1 1

Buktinya dapat dilihat seperti berikut.

 





h x h x a h x h x x D h a a h x              ln lim ln ln lim ln 0 0

Karena limit independen terhadap

a

dan

x

, sehingga h x h h h _x h x a x h h x x a h x h x x a                           lim ln 1 limln 1 1 ln lim . . 1 . 0 0 0

Sepertinya fungsi logaritma adalah fungsi kontinu, maka limit dari logaritma sama seperti logaritma dari limit.

h x h h x h

_x

h

x

a

x

h

x

a











 













 

 

ln

1

ln

lim

1

lim

0 0

Pada pembahasan tentang limit, bahwa

e

x

h

h x h













 



1

lim

0 , jadi

 

x

a

e

x

a

x

h

x

a

x

D

h x h x















 





1

ln

lim

ln

ln

0 . Contoh A3: C x dx x dx x dx x 







 



  ln 5 5 5 / 5 1 1 .

Domain fungsi logaritma adalah bilangan real positif seperti didefinisikan berikut.

Definisi: fungsi logaritma asli (logaritma natural), ditulis sebagai ln, didefinisikan dengan 0 , 1 ln 1  



dt x t x x

Daerah definisinya adalah himpunan bilangan positif. Invers fungsi logaritma asli adalah fungsi eksponen asli. Suatu sifat fungsi yang memiliki invers adalah harus monoton murni, yaitu fungsi yang pada daerah definisinya adalah fungsi yang naik atau fungsi yang turun. Invers fungsi adalah bayangan reflekasi terhadap garis yx. Bayangan fungsi logaritma asli direfleksikan terhadap garis y x adalah fungsi eksponen asli. Fungsi logaritma asli dan fungsi eksponen

asli disebut dengan fungsi transenden. Bilangan pokok untuk fungsi eksponen asli adalah bilangan

e

, (e2,718281828459045).

Rumus turunan untuk

 

x x

x

e

e

D



, sehingga dari rumus tersebut dapat menghasilkan C e dx ex  x 



. Bukti, misal x e

y , dan turunannya adalah dy /dx. y

x e

y x  ln

Karena sebelumnya telah diketahui turunan fungsi logaritma, maka y dx dy dy y dx 1   . Jadi x e y dx dy   .

Konsep integral dan diferensial yang saling berkaitan ini tidak hanya berlaku pada fungsi aljabar dan fungsi transenden. Hitung integral dan turunan juga berlaku untuk fungsi trigonometri. Beberapa sifat integral fungsi trigonometri seperti berikut.

C x dx x x C x dx x C x x      







sec tan sec tan sec sin cos 2







         C x dx x x C x dx x C x dx x ec cos an cot ec cos an cot ec cos cos sin 2

Akan tetapi, untuk beberapa fungsi trigonometri sulit diintegralkan lansung dengan atuaran yang telah diketahui seperti di atas, sehingga diperlukan suatu persamaan fungsi trigonometri yang ekuivalen agar dapat diintegralkan lansung dengan atuaran yang ada.

Contoh A4:

C

x

dx

x

x

dx

x

x

x

dx

x

x

















cosec

cotan

cosec

sin

cos

.

sin

1

sin

cos

2 Contoh A5: C x x dx x dx x dx x       







2 sin 4 1 2 1 2 cos 2 1 2 1 2 2 cos 1 sin2

Semua konsep hitung integral tak-tentu akan dimanfaatkan untuk menentukan hasil hitung integral tentu.

B. Integral Tentu

Newton dan Leibniz keduannya memperkenalkan versi yang dini dari konsep integral tentu, namun Riemann yang menyempurnakannya dengan memberikan definisi modern.

Melihat definisi, maka disimpulkan ciri integral tak-tentu adalah

 

x dx f '



, sedangkan ciri integral tentu adalah



 

b

a

dx x f ' .

Kedua jenis integral ini memiliki perbedaan nyata yaitu terlihat pada

a

dan

b

dimana

a



b

. Untuk

a

disebut dengan titik ujung bawah dan

b

disebut dengan titik ujung atas untuk integral. Sebagian buku sumber menggunakan istilah batas bawah dan batas atas pengintegralan.

Ingat bahwa pada integral tentu ada batas atas dan batas bawah. Terkait dengan kedua batas ini, fungsi yang terintegralkan harus fungsi terbatas. Fungsi dikatakan terbatas apabila terdapat konstanta

M sedemikian sehingga

f

 

x



M

untuk semua

x

dalam

 

a,b . Jadi, fungsi tidak harus kontinu asalkan terbatas.

Definisi: andai f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutup

 

a,b . Jika

 



   n i i i P f x x 1 0 lim

ada, katakan f adalah terintegralkan pada

 

a,b . Lebih lanjut

 



b a

dx

x

f

disebut integral tentu (atau integral Riemann) f dari

a

ke

b

, diberikan oleh

 

_

 





 _



n i i i P b a

x

x

f

dx

x

f

1 0

lim

Beberapa fungsi terintegralkan pada setiap selang tertutup

 

a,b yaitu fungsi polinom, fungsi sinus dan cosinus, dan fungsi rasional dimana tidak ada titik yang mengakibatkan suatu penyebut nol pada selang

 

a,b .

Penggunaan definisi integral Riemann untuk menghitung integral tentu suatu fungsi pada selang tertentu dapat dilihat pada contoh berikut. Contoh B1:







  3 2 3 dx x

Selang tutup



2,3



dipartisi menjadi

n

bagian yang sama, dengan masing-masing panjang



x



5

/

n

. Dalam tiap selang bagian



x ,i1 xi



gunakan

x

_i



x

_i sebagai titik sampel. Jadi, pada



x₀, x₁



, titik sampelnya x₁, sehingga f

 

x₁ x₁32

 

5/n 31

 

5/n .

Sedangkan pada selang



x₁, x₂



, titik sampelnya adalah x₂, sehingga.

 

x x

 

n

 

n

f ₂  ₂ 322.5/ 312 5/ . Demikian selanjutnya sampai dengan titik sampel x_n dengan f

 

x_n 1n.

 

5/n .

 

 

 

 

5/ 2 5 3. . 2 ... , / 5 . 2 ... , / 5 . 2 2 , / 5 2 2 , 2 2 1 0                       n n x n i x n x n x x x n i

Dengan demikian, f

 

xi xi 31i



5/n



, dimana i1,2,...,n. Kemudian dirumuskan

 

 

 



 

 





                  











     n n n n n n i n n n n i x x f x x f n i n i n i n i i i n i i i 1 1 2 25 5 2 1 . 25 5 25 1 5 / 5 / 5 1 2 1 2 1 1 1 1

Karena P menyatakan suatu partisi tetap, dan disini dipartisi sampai dengan

n





, sehingga,





 

2 35 1 1 2 25 5 lim lim 3 1 0 3 2                        





n x x f dx x n n i i i P

Hasil hitung integral tentu tersebut apabila dipadankan dengan hasil hitung luas trapezium pada gambar, jelas tidak akan berbeda. Untuk suatu fungsi linear seperti contoh B1, hasil hitung integral boleh saja dihitung dengan luas trapezium, tetapi tidak untuk fungsi selain fungsi linear.

Menghitung integral tentu dengan jumlah Riemann secara lansung dapat praktis karena didukung oleh rumus jumlah

n

bilangan asli yang ditemukan oleh Gauss. Biasanya, hitung integral tentu dengan cara ini sukar dan kadang-kadang tidak mungkin. Untungnya temuan kalkulus oleh Newton dan Leibniz secara bersamaan dan saling bebas pada konsep garis singgung telah dikenal lebih dahulu, sehingga hitung integral tentu dengan mudah menggunakan teorema berikut.

Teorema: andai f kontinu (karenanya terintegralkan) pada

 

a,b dan andaikan F sembarang anti turunan dari f disana. Maka,

 

 

 



b





a

a

F

b

F

dx

x

f

. Bukti

Misal selang

 

a,b dipartisi menjadi ax₀ x₁ ...x_n1  x_n b, sehingga

 

 

 

 

 





 

 

 

 





. ... 1 1 0 1 2 1 1



               n i i i n n n n x F x F x F x F x F x F x F x F a F b F

Pada tiap selang bagian



x ,_i1 x_i



 

 

 

_

 

_{ }

i i



 

i



i i



_i i i i i i i x x F x x x x x x F x F x F x F _{1 1} 1 1 1 .  ' .     _       dan

 

x

i



x

i

x

i



f

 

x

i

x

i

F

'

.



_1



'

.



.

Untuk semua selang dalam

 

a,b ,

 

 

_

 

    n i i i x x f a F b F 1 . . Sesuai definisi integral Riemann, maka diperoleh

   





_

 





_

 

  b a i n i i P

f

x

x

f

x

dx

a

F

b

F

lim

1 0 .

Teorema di atas dinamakan teorema dasar kalkulus yang merupakan hubungan erat antara anti turunan dan integral tentu. Hubungan tersebut adalah hubungan yang memungkinkan untuk menghitung secara mudah nilai yang sebenarnya dari banyak integral tentu tanpa perlu memakai jumlah Riemann.

Contoh B2:





2

35

6

2

9

2

9

]

3

2

1

3

3 2 2 3 2

-















 









_



x

dx

x

x

.