BAB V MODEL SEDERHANA DISTRIBUSI TEMPERATUR DAN SIMULASINYA

BAB V

MODEL SEDERHANA DISTRIBUSI TEMPERATUR

DAN SIMULASINYA

Model matematika yang terdapat pada bab sebelumnya merupakan model umum untuk injeksi uap pada reservoir dengan bottom water. Model tersebut merupakan model yang cukup kompleks karena terdapat dua persamaan konveksi difusi di daerah air dan di daerah minyak. Oleh karena itu, sebagai langkah awal untuk mencari solusi persamaan tersebut diasumsikan bahwa panjang reservoir (L) lebih besar bila dibandingkan dengan ketebalannya (h) sehingga rasio h

L akan

menuju nol. Jadi, difusi panas dalam arah x dapat diabaikan sehingga panas hanya berdifusi dalam arah y saja. Dengan demikian, persamaan konveksi difusi pada bab sebelumnya menjadi persamaan difusi di sepanjang garis dengan syarat Dirichlet, yaitu:

Dengan syarat awal dan syarat batasnya:

Dimana

( )

,0 1,

(

5.2 i T y =

)

(

)

(

)

( )

1 1 1 ,0, _B , 5.3 T x t H T T y ∂ _{= − −} ∂

(

)

(

)

( )

2 2 2 , , _B . 5.4 T x l t H T T y ∂ _{= − −} ∂

( )

2 1 2 2 , 1, , 1, 2. 5.1 i i i i T h T T W C C C D i t L x y ⎛ ⎞ ∂ ₊ ∂ ₌ ∂ _{= = =} ⎜ ⎟ ∂ ∂ _⎝ ∂ _⎠ 1 1, 2

C = C = sedangkan kondisi batas pada y = 1 masih sama seperti D kondisi batas pada bab sebelumnya, yaitu:

Sekarang definisikan peubah baru x W ht, t, dan y L

η = − τ = µ= untuk

Dengan syarat awal dan syarat batasnya:

an kondisi batas pada

mentransformasi Persamaan (5.1). Lalu substitusikan peubah tersebut ke dalam Persamaan (5.1)-(5.6) sehingga diperoleh

d µ =1 adalah

maan difusi biasa namun kondisi batas dan kondisi awalnya bukanlah kondisi yang homogen. Selanjutnya definisikan

ah baru U =

Persamaan (5.7) merupakan persa

lagi peub ₁ T T₁− dan ₀ U₂ = − untuk mereduksi persamaan (5.7)-T₂ T₀ (5.12). Substitusi nilai U tersebut ke dalam persamaan (5.7) dan (5.12) sehingga diperoleh:

(

,1,

)

(

,1, ,

)

( )

5.5 T x t₁ =T x t₂

(

)

2

(

_{x t,1, .}

)

y

( )

1 _{,1, 5.6} T T x t D y ∂ ₌ ∂ ∂ ∂

( )

2 1 2 2 , 1, , 1, 2. 5.7 i i i T T C C C D i τ µ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = _{⎜ ⎟} = = = ∂ _⎝∂ _⎠

(

,0

)

1,

( )

5.8 i T µ =

( )

(

)

( )

1 1 1 0, _B , 5.9 T H T T τ µ ∂ _{= − −} ∂

( )

(

)

(

)

2 2 2 , _B , 5.10 T l τ H T T µ ∂ = − − ∂

( )

1,

( )

1, ,

(

5.11

)

T₁ τ =T₂ τ

( )

( )

(

)

1 2 T T ∂ ∂ 1,τ D 1, .τ 5.12 µ = µ ∂ ∂

2 1 1 U U ⎧∂ ∂

(

)

Kondis

Dengan kondisi awal

2 2 2 2 2 0, 0 1, 0, 5.13 0, 1 , 0. U U D l µ τ τ µ µ τ τ µ − = < < > ⎪ ∂ ∂ ⎪ ⎨ ∂ ∂ ⎪ _{− = < < >} ⎪ ∂ ∂ ⎩ i batasnya adalah

( )

( )

(

)

Pada kondisi batas pada µ =1 memenuhi

olusi dari Per

S samaan (5.16) diatas dapat dicari dengan menggunakan metode pemisahan peubah. Misalkan U y t_i

( )

, =g y j t i_i

( )

. ( ),_i =1, 2, diperoleh

dan

Kondisi batasnya adalah

1 2 1 1 0, , U U H U τ µ µ ∂ ∂ 2 2 , , 0. 5.14 l τ H U τ = − = − > ∂ ∂

( )

( )

( )

( )

(

)

1 2 1 2 1, 1, , 0, 5.16 U U U U τ τ τ τ τ τ ⎧ = > ⎪ ∂ ∂ ⎨ = >

( )

1, D 1, , 0. µ µ ⎪ ∂ ∂ ⎩

( )

'' _{0, 0 1,} g µ λg µ µ ⎧ + = < < ⎪

( )

( )

(

)

1 1 '' 2 2 5.17 0, 1 , g µ λDg µ µ l ⎨ + = < < ⎪⎩

( )

0 1 1,

( )

2 2, 0.

(

5.19

)

g H U l H U τ µ ∂ = − = − > ∂ ∂

(

,0

)

1, 0 .

(

5.15

)

i U µ = < <µ l 1 2 g ∂

( )

(

)

' 0, 1, 2, 0. 5.18 i i j t −λj = i= τ >

1 2 0

H =H =

Selanjutnya akan diasumsikan nilai artinya tidak ada perbedaan temperatur pada batas antara minyak dan lapisan atas reservoir dan tidak ada perbedaan temperatur pada batas antara air dan lapisan bawah reservoir

ubtitusi nilai H1 dan H2 ke dalam Persamaan (5.13) sehingga diperoleh kondisi

rikan oleh

ogen pada S

batas homogen yang dibe

Syarat batas hom µ =1 adalah

Solusi dari Persamaan (5.17) dapat diperoleh dengan mencari nilai λ. Ada tiga nilai λ yang mungkin, yaitu: λ<0,λ=0, dan λ>0

aan (5.17) maka ak

. Jika nilai-nilai λ tersebut disubstitusi ke dalam Persam an diperoleh tiga buah matriks

erukuran 4 x 4. Nilai λ yang memenuhi Persamaan (5.17) dan (5.18) adalah λ

lebih jelasnya lihat lampiran). Setelah dilakukan perhitungan nilai dari

b

yang menghasilkan matriks dengan deteminan sama dengan nol agar solusi yang diperoleh tidak trivial (untuk

λ yang memenuhi adalah λ< . Dengan demikian, solusi 0 dari persamaan g1(µ ) dan g2(µ ) adalah

kemudian diferensialkan g1(µ ) dan g2(µ ) terhadap µ , didapat

( )

( )

(

)

1 _{0 0,} 2 _{0, 0. 5.20} g g l τ µ µ ∂ ₌ ∂ _{= >} ∂ ∂

( )

( )

( )

( )

1 _{1 D} 2 _{1 ,} µ _0. µ = µ > ⎪ ∂ ∂

( )

(

)

1 1 2 1 , 0, 5.21 g g g g µ ⎧ = > ⎪ ∂ ∂ ⎨ ⎩

( )

( )

( )

(

)

1 1cos 1sin , 0 1, 5.22 g µ A λµ B λµ µ λ λ ⎧ _{= + < <} ⎪⎪ ⎨ _{⎛ ⎞ ⎛ ⎞} ⎪ ⎪⎩g2 µ =A2cos⎜⎜_⎝ Dµ⎟⎟_⎠+B2sin⎜_⎝⎜ Dµ⎟⎟_⎠, 1< <µ l.

( )

_{( )}

_{( )}

( )

(

)

1 1 1 2 2 2 cos sin 0 1, 5.23 cos sin ,1 . g A B g A B l D D D D µ λ λµ λ λµ µ µ λ _µ λ λ _µ λ _µ µ ∂ ⎧ = − + < < ⎪ ⎪ ⎨ _{⎛ ⎞ ⎛ ⎞} ∂ ⎪ _{= − ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ < <} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ∂ _{⎝ ⎠ ⎝ ⎠} ⎩ , µ ∂

Substitusi kondisi batas homogen pada Persamaan (5.20) ke dalam Persamaan (5.23), didapat

( )

1

1 . Jadi, diperoleh 1 0 dan

Aλ A − = 0 0 g µ ∂ _{= =} ∂

( )

2 2 2 0 cos g l A l B D D D λ λ λ µ ⎛ ⎞ ∂ _{= = − +} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ 2 2

sin sehingga nilai

sin adalah , cos l A D B l D l D λ λ λ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

kemudian substitusi nilai A1 dan A ke dalam Persamaan (5.19) sehingga diperoleh 2

dengan A=A dan ₂

( )

( )

( )

(

)

(

)

1 cos , 2 cos , 5.24 g A g B l D µ = λµ µ = ⎛_⎜⎜ λ µ− ⎞_⎟⎟ ⎝ ⎠ 2 _. sin B B l D λ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Gunakan kondisi batas pada µ = 1 sehingga diperoleh persamaan

(

)

(

)

cos cos 1 0, (5.25) sin sin 1 0. (5.26) A B l D A B D l D λ λ λ λ λ λ ⎡ ⎤ − _⎢ − _⎥= ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ − + _⎢ − _⎥= ⎣ ⎦

(

)

cos 1 cos B l D A λ λ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ =

Kemudian dari Persamaan (5.26) diperoleh nilai . Substitusi nilai A tersebut ke dalam Persamaan (5.26) diperoleh

atau dapat juga dituliskan dengan

Solusi umum dari persamaan U_i

(

µ τ,

)

dapat direpresentasikan dengan enggunakan transformasi Fourier dalam bentuk

m

(

)

( )

_{( )}

1 1 1 , k k , k k U µ τ ∞ A e−λ τg µ = =

∑

(

)

( )

_{( )}

2 2 (5.28) U B e λ τg 1 k , k k . k µ τ ₌

∑

∞ − µ _(5.29) dimana = k

λ dan _g( )k

( )

_{y adalah nilai-nilai eigen dan fungsi eigen dari masalah} (5.18) - (5.21). A dan _k B merupakan koefisien deret Fourier yang diturunkan dari _k kondisi awal distribusi temperatur pada persamaan (5.11), yaitu

(

)

( )

_{( )}

1 1 1 ,0 k k 1 k U µ ∞ A g µ = =

∑

= (5.30)

(

)

( )

_{( )}

2 2 1 , 0 k k 1 k U µ ∞ B g µ = =

∑

= (5.31)

( )

(

)

(

)

tan Dtan 1 l 0. 5.27 D λ λ ⎡ ⎤ − + _⎢ − _⎥= ⎣ ⎦

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

cos 1 sin

bagi dengan cos 1 ,

sin 1 sin diperoleh - 0, cos cos 1 B l D B l D l D D l D λ _{λ λ} λ λ λ λ λ λ λ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + = ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ sin 1 0, cos D B λD ⎡ λ l ⎤ ⎣ ⎦ − + _⎢ − _⎥=

Sehingga diperoleh koefisien-koefisien deret Fouriernya

( )

(

)

,

(

5.32

)

2 sin 2 k k k A λ λ = + 4sin λ_k

(

)

(

)

(

)

4 sin 1 , 5 2 2 sin 2 1 k k k k k D l D B l D l D λ λ λ λ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ − − _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ .33

Kemudian substitusi nilai A_kdan B dari persamaan (5.30) dan (5.31) ke dalam _k ersamaan (5.25) dan (5.26) dan diperoleh

p

( )

(

)

₍

(

₎

)

1 1 cos , , (5.34) 2 sin 2 k k _{k k} U λ τ _{λ µ} µ τ λ λ − = = +

∑

∞ 4sin λk e k

(

)

(

)

(

)

(

)

2 1 4 sin 1 2 2 sin 2 1 k _k k k D l e l D D l D µ λ λ λ ∞ = − − ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ = ⎛ − − cos , . (5.35) k k k U l D λ τ λ λ µ τ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎝ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

Diketahui t = ater, h

Substitusi nilai-nilai di atas ke dalam Persam sehingga diperoleh persamaan

Ketebalan reservoir, h 172f Tinggi bottom w =34.4 ft Difusivitas minyak, 2 2 1 / D ft hr Difusivitas air, 2 2 1.5 / D = ft hr 1 = aan (5.28), (5.34), dan (5.35)

( )

(

)

(

tan 1.5 tan 1 5 0, 5.36 1.5 λ λ ⎡ ⎤ − + _⎢ − _⎥= ⎣ ⎦

)

(

)

( )

(

)

( )

2 1 2 2 4 sin 4 cos 3 3 , . 2 2 8 sin 4 3 3 k k k k _k k e l D U λ τ λ _{λ µ} µ τ λ λ − ∞ = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ − ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠

∑

(5.38)

Persamaan (5.36) dapat diilustrasikan dalam grafik pada Gambar (6).

Gambar–9 Grafik untuk mencari nilai λ yang memenuhi.

h merupakan grafik fungsi

Garis berwarna mera −tan

( )

λ dan garis berwarna biru merupakan grafik fungsi 1 tan

(

1 5

)

1.5 1.5 λ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦.

bar 9, nilai λ yang memenuhi adalah yang memenuhi persamaan (5.36) bisa diketahui yaitu dengan mencari titik potong dari garis yang berwarna biru dengan garis yang berwarna merah. Untuk mencari solusi Persamaan (5.37)

(

)

( )

(

)

(

)

1 1 4sin cos , , (5.37) 2 sin 2 k k k k _{k k} e λ τ λ λ µ µ τ λ λ − ∞ = = +

∑

U Dari Gam

dan (5.38), akan dipilih sepuluh titik potong pertama dari titik nol pada Gambar 9 yang akan memberikan sepuluh nilai λ yang berbeda.

Tebakan nilai λk yang memenuhi persamaan (5.36) adalah

Substitusi ke-10 nilai eigen di atas ke dalam Persamaan (5.37) dan (5.38) untuk mendapatkan nilai U y t₁

( )

, dan U₂

( )

y t . Setelah mengetahui solusi dari ,

)

maka akan diperoleh nilai dari

( )

(

1 , dan U2 ,

U y t y t

(

,

)

(

,

)

0, 1, 2,

i i

T µ τ =U µ τ +T i= yang didefinisikan pada Bab V. Diketahui nilai dari T0 adalah 100 0F sehingga T_i

(

µ τ,

)

=U_i

(

µ τ,

)

+100,i=1, 2,. Kemudian plot

persamaan T_i

(

µ τ,

)

=U_i

(

µ τ,

)

+100,i=1, 2, terhadap ketebalan setiap waktu.

Berikut ini adalah plot 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10 0 13.74 0.57 19.64 2.18 26.38 4.76 34.48 8.6 44.12 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ = = = = = = = = = =

(

,

)

,i=1, 2, terhadap ketebalan reservoir setiap waktu i

T µ τ

eratur pada air terhadap ketebalan reservoir. Gambar-10 Ilustrasi perubahan temp

Gambar-11 Ilustrasi perubahan temperatur pada minyak terhadap ketebalan reservoir

Dari Gambar (10) dan Gambar (11) terlihat bahwa pada awal injeksi temperatur dari minyak dan air naik namun akan turun dengan sangat cepat. Temperatur pada daerah air akan konstan setelah sepuluh jam di angka 104 sedangkan temperatur pada daerah minyak akan konstan pada angka 96 setelah sepuluh jam juga. Untuk

lebih jelasnya akan diperlihatkan grafik distribusi temperatur terh

ambar-12 Grafik Distribusi Temperatur di Air terhadap ketebalan Reservoir.

Gambar-13 Grafik Distribusi Temperatur Minyak terhadap ketebalan Reservoir. Garis berwarna hijau adalah distribusi temperatur terhadap ketebalan reservoir

adap ketebalan reservoir pada waktu-waktu tertentu.

pada saat t = 0, merah pada saat t = 1, hitam pada saat t = 5, dan biru pada saat t = 10.

Gambar-14 nyak pada ketebalan

reservoir sama dengan ½ (kanan).

Grafik distribusi temperatur di daerah mi dengan 0 (kiri) dan ketebalannya sama

Grafik distribusi temperatur di daerah mi reservoir sama dengan 5

Gambar-15 nyak pada ketebalan

.

dan air pada saat t = 10 akan turun secara cepat dan akan konstan di nilai 104. Gambar (14) dan Gambar (15) menyatakan bahwa temperatur dari minyak

Panas yang dihasilkan oleh uap berdifusi secara cepat ke air dan minyak sehingga temperatur uap tersebut aan terus turun sampai akhirnya hampir sama dengan temperatur reservoir (100 0F). Kurva yang dihasilkan berbeda dengan kurva yang dihasilkan oleh injeksi uap pada reservoir tanpa bottom water.