F´
ormulas de Cuadratura Optimales
en Variedades Integrales
Optimal Quadrature Formulas in Integral Varieties
Yohan D´ıaz Ferrer (ydiazf@yahoo.es)
Lelis Ra´
ul Vaillant Pascual
Departamento de Matem´atica, Facultad de Matem´atica y Computaci´on Universidad de Oriente, Patricio Lumumba S/N
Santiago de Cuba, CP 90500, Cuba.
Abel Vel´azquez Pratts
Departamento de Matem´atica, Facultad de Ingenier´ıa El´ectrica Universidad de Oriente, Santiago de Cuba, Cuba.
Resumen
En este trabajo se da un m´etodo para obtener f´ormulas de cuadra-tura optimales en clases de funciones diferenciables con una estruccuadra-tura dada.
Palabras y frases clave:Integraci´on num´erica, f´ormulas de cuadra-tura.
Abstract
In this paper we present a method to obtain optimal quadrature formula in a class of differentiable function with a given structure. Key words and phrases: Numerical integration, quadrature formu-las.
1
Planteamiento del Problema
Sean el intervalo [0, T] deR1yF(0, T) el conjunto de funciones que satisfacen en [0, T] la ecuaci´on diferencial
n
X
i=0
aif(i)(t) =ξ(t) (1)
donde ai, i = 0,1,· · ·, n−1 son constantes conocidas, an = 1, n ≥ 1 y
ξ(t) es una funci´on desconocida de un conjuntoE ⊂L2(0, T). Para algunas funciones f ∈Fse conocen valores aproximados de las mismas en los puntos
t1, t2,· · ·, tN, o sea,
f(ti)∼=yi, i= 1,2,· · ·, N, (2)
donde 0< t1< t2<· · ·< tN < T. Supongamos tambi´en que se cumplen las
desigualdades
n
X
i=0
|f(ti)−yi|2≤ε2,
Z T
0
ξ2(t)dt≤ζ2. (3)
Para los datos{ai}ni=0,{yi, ti}Ni=1, ε, ζ, se exige calcular la integral
I(f) =
Z T
0
ρ(t)f(t)dt (4)
dondeρ(t)∈L2(0, T) es una funci´on de peso dada, no id´enticamente nula. Pa-ra el c´alculo de la integPa-ral (4) usualmente se utiliza una f´ormula de cuadPa-ratuPa-ra del tipo
Z T
0
ρ(t)f(t)dt∼=
N
X
k=1
Ckyk (5)
en la que la suma de la derecha aproxima con cierta precisi´on a la integral de la izquierda. Ahora bien, definiendo el error de la aproximaci´on como
R(C1,· · · , CN) = sup f∈F
¯ ¯ ¯ ¯ ¯
Z T
0
ρ(t)f(t)dt−
N
X
k=1
Ckyk
¯ ¯ ¯ ¯ ¯
, (6)
podemos plantearnos el problema de hallar los coeficientes
Ck, k= 1,2,· · ·, N,
para los cualesR(C1,· · · , CN) =RN(C) sea m´ınimo, o sea,
RN(C) = m´ın Ck
R(C1, C2,· · · , CN). (7)
2
Problema Conjugado
Tomemos una funci´on arbitraria ψ(t), la cual tiene en el intervalo (tj, tj+1)
derivada hasta el ordenninclusive
(t0= 0, tN+1=T, j= 0,1,· · ·, N).
Integrando por partes obtenemos
Z tj+1
tj
ψf(i)dt=
i−1
X
ν=0
³
−1)νψ(ν)f(i−ν−1)¯¯ ¯
tj+1−0
tj+0
+ (−1)i
Z tj+1
tj
ψ(i)f dt. (8)
Debido a las relaciones (1) y (2) se cumplen las identidades
Z T
0
ψ(t)
à n X
i=0
aif(i)(t)−ξ(t)
!
dt≡0,
(9)
N
X
k=1
Ci(yi−f(ti) +εi)≡0.
Aqu´ı los Ci son n´umeros arbitrarios,εi =f(ti)−yi son errores desconocidos
de los datos (2). Sumando formalmente las identidades (9), usando la relaci´on (8) y la identidad (4) y luego igualando los coeficientes de f(ν), t ∈ [0, T],
ν = 0,· · ·, n−1, obtenemos las siguientes condiciones para la funci´onψ(·) :
ψ(n)+
n−1
X
ν=0
(−1)n−νa
νψ(ν)= (−1)n−1ρ(t), t∈(ti, ti+1), i= 1, N (10)
ψ(ν)(0) =ψ(ν)(T) = 0, ν= 0, n−1
ψ(ν)(ti+ 0) =ψ(ν)(ti−0), ν= 0, n−2, i= 1, N (11)
ψ(n−1)(t
i+ 0)−ψ(n−1)(ti−0) = (−1)nCi, i= 1, N (12)
si tal funci´on ψ(t) existe, entonces la integral (4) toma la forma
I(f) =
N
X
i=1
Ci(yi+εi)−
Z T
0
De este modo, llegamos a la siguiente f´ormula de cuadratura
I(f) =
Z T
0
ρ(t)f(t)dt∼=
N
X
i=1
Ciyi≡SN(y) (13)
el error de la cual tiene la expresi´on
I(f)−SN(y)≡R(f, C, ε) = N
X
i=1
Ciεi−
Z T
0
ψ(t)ξ(t)dt (14)
El problema de frontera (10)−(12) se llama problema conjugado del problema de b´usqueda de la f´ormula de cuadratura (13), la que es exacta en el conjunto de soluciones de la ecuaci´on homog´enea de (1)(ξ = 0). Para la existencia de la soluci´on del problema conjugado es suficiente queN ≥n. Es f´acil calcular, para las condiciones (3) el valor exacto del error (6) de (14).
|R(f,{Ci})| ≤ε
v u u t
N
X
i=1
C2
i +ξ
s Z T
0
ψ2(t)dt≡R(C). (15)
De esta forma, la soluci´on del problema sobre la b´usqueda de la forma de cuadratura optimal (13), se reduce a la soluci´on del problema
m´ın
C1,···,CN
R(C) (16)
con las condiciones (10)−(12).
3
Soluci´
on del Problema Conjugado
Usando el sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea de (10)(ρ(t) = 0), el problema de frontera (10)−(12) se puede reducir a un sistema de ecuaciones lineales relativo a las inc´ognitasC1, C2,· · ·, CN, a trav´es
de las cuales se puede expresar el valor de R(C). Denotemos por ψ1(t) la
soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea (10) con las condiciones nulas
ψ(i)(0) = 0, i= 0,1,· · ·, n−1. (17) Ahora seaψ2(t) la soluci´on de la ecuaci´on homog´enea de (10) con condiciones
iniciales
Entonces, la soluci´on de la ecuaci´on (10) con condiciones iniciales (17) y con-diciones de saltos (11) y (12) tiene la forma
ψ(t) =ψ1(t) +
N(t)
X
i=1
Ciψ2(t−ti)≡ψ(t;C1, C2,· · ·, CN)≡ψ(t;C), (19)
dondeN(t) = m´axj:tj< t. De este modo, el problema de frontera (10)−(12)
se reduce a la b´usqueda de las constantesC1, C2,· · ·, CN de las condiciones
0 =ψ(j)(T) =ψ1(j)(T) +
N
X
i=1
Ciψ(2j)(T−ti), j= 0,1,· · ·, n−1. (20)
Ahora, la soluci´on del problema (16) consiste en la b´usqueda del m´ınimo de la funci´on suave convexa R(C), definida por la f´ormula (15) para las relaciones (19) y (20). Este problema se puede resolver con ayuda de los multiplicadores de Lagrange. Para ello formemos el funcional de Lagrange
L(C, l) =R(C) +
n−1
X
j=0
ljψ(j)(T, C),
hallando su primera variaci´on tenemos
δL=γ0
N
X
i=1
Ciδi+γ1
Z T
0
ψ(t, C)δψ(t, C)dt+
n−1
X
j=0
ljδψ(j)(T, C) (21)
donde l = (l0, l1,· · ·, ln−1) es el vector de multiplicadores de Lagrange. De
acuerdo a (19) tenemos
δψ(j)(t, C) =
N(t)
X
i=1
δCiψ(2j)(t−ti), j= 0,1,· · · , n−1 (22)
γ0=ε/
ÃN X
i=1
Ci2
!1/2
, γ1=ζ/
à Z T
0
ψ2(t)dt
!1/2
. (23)
Poniendo la expresi´on (22) en (21) e igualando a cero los coeficientes de δCi,
obtenemos la condici´on necesaria de extremo del problema (16)
γ1bi+γ0Ci+γ1
N
X
s=1
Csbis=− n−1
X
j=0
donde
bi=
Z T
ti
ψ1(t)ψ2(t−ti)dt, b= (b1, b2,· · ·, bN)
y
bis=
Z T
tis
ψ2(t−ti)ψ2(t−ts)dt, tis= m´ax{ti, ts}.
Sin perder generalidad puede considerarse que γ0 = 1, entonces el sistema
(24) puede escribirse en forma matricial como
(E+γ1B)C=−Ψl−γ1b,
dondeE es la matriz identidad y las matrices
B=B={bis}Ni,s=1
y
Ψ ={ψ2(j)(T−ti)}N,ni=1,j−1=0
son transformaciones conocidas del sistema param´etrico (24). Como γ1 ≥0,
entonces la matriz (E+γ1B) es no singular por lo que
C=−(E+γ1B)−1(Ψl+γ1b). (25)
Como la condici´on (22) en forma matricial toma la forma
ΨtC=−ψ1T.
Poniendo en ella la ecuaci´on (25), hallamos la ecuaci´on para los multiplicado-res de Lagrange
Ψt(E+γ1B)−1(Ψl+γ1b) =ψ1T. (26)
Aqu´ı denotamosψ1T =
³
ψ1(T), ψ(1)1 (T),· · · , ψ (n−1) 1 (T)
´
. Para resolver el pro-blema debemos escoger el par´ametroγ1apropiado. Esto puede hacerse a trav´es
de un m´etodo iterativo aplicado a la ecuaci´on que resulta de dividir las rela-ciones de (23)
γ0
γ1
= 1
γ1
= εkψk
ζkCk, (27)
donde la norma de ψ se toma sobre el espacio L2(0, T) y la de C es la
nor-ma euclidiana. El vector C y la funci´onψ(·) se consideran dependientes del par´ametro γ1 a trav´es de la f´ormula (25) y la soluci´onl del sistema (26). De
esta forma, resolviendo la ecuaci´on
kCk −γ1
εkψk
ζkCk = 0,
4
F´
ormulas de Cuadratura Particulares
Consideremos que el polinomio caracter´ıstico de (10)
λn+
n−1
X
k=0
(−1)n−ka
kλk = 0 (28)
tiene ra´ıces reales distintas λ1, λ2,· · ·, λn y supongamos adem´as que ρ(t) =
1. Entonces ψ2(t) como soluci´on de la ecuaci´on homog´enea con condiciones
iniciales
ψ(2k)(0) = 0, k= 0, n−2, ψ (n−1)
2 (0) = (−1)n
se expresa en la forma
ψ2(t) =
n
X
i=1
gieλit, k= 0, n−1,
como ψ2(k)(t) = Pn
i=1giλkietλi, k = 0, n−1 entonces g = (g1, g2,· · ·, gn) se
determina como soluci´on del sistema de ecuaciones
ψk
2(0) =
n
X
i=1
giλki = 0, k= 0, n−2, ψ
(n−1) 2 (0) =
n
X
i=1
giλni−1= (−1)n (29)
de aqu´ı obtenemos que
gi =
(−1)n+i i−1
Y
k=1
(xi−xk) n
Y
k=i+1
(xk−xi)
, i= 1, n (30)
ahoraψ1(t) es la soluci´on particular de la ecuaci´on (10) con condiciones
ini-ciales
ψ(k)(0) = 0, k= 0, n−1 (31) y puede escribirse como
ψ1(t) =
n
X
i=1
gietλi+K
y es evidente que K= −1a
0, teniendo en cuenta las condiciones (31)
ψ1(0) =
n
X
i=1
gi+
−1
a0 = 0, ψ (k) 1 (0) =
n
X
i=1
b= (b1, b2,· · ·, bn),
ahora tenemos que
Referencias
[1] Andersson, J. E. Optimal quadrature of Hp functions, Math. Z. 172 (1980), 55–62.
[2] Andersson, J. E., Bojanov, B. D. A note on the optimal quadrature in
Hp, Numer. Math.44(1984), 301–308.
[3] Bajvalov, N. S.M´etodos num´ericos, edit. Mir, Mosc´u, 1973.
[4] Bojanov, B. D. Best quadrature formula for a certain class of analytic functions, Zastosowania Mathematyki Applications Mathematicae, XIV, 3 (1974), 441–447.
[5] Rabinowitz, P., Davis, P. J.Methods of numerical integration, Academic Press, New York, 1978.
[6] Gansca, I.On an optimal quadrature formula with high degree of exact-ness, Rev. Roum. de Mathematiques Pures et Appliquees, XXI(2) (1976).
[7] Issacson, E., Keller, H. B.Analysis of numerical methods, John Wiley & Sons, New York, 1966.
[8] Kirin, N. E. Valoraci´on de sistemas en problemas de teor´ıa de control, Edit. FAN, Taskent, 1990.
[9] Korneichuk, N. P. Splines en teor´ıa de aproximaci´on, Edit. Ciencias, Mosc´u, 1984.
[10] Krylov, V. I. C´alculo aproximado de integrales, Edit. Ciencias, Mosc´u, 1982.
[11] Nikolski, S.F´ormulas de cuadratura, Edit. MIR, Mosc´u, 1990.
