x
ba
d c
k
R
)
,
(
x
ky
kz
y
BAHAN AJAR KALKULUS LANJUT
Oleh: ENDANG LISTYANI
KALKULUS LANJUT
A. INTEGRAL RANGKAP DUA
1. Integral Rangkap Dua Atas Daerah Persegi Panjang
Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat kita perluas untuk
fungsi dua variabel. Integral untuk fungsi dua variabel disebut integral integral
rangkap dua. Untuk integral rangkap dua dari fungsi dua variabel daerah
batasnya terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2. Berikut ini apabila
fungsi dua variabel terdefinisi pada daerah persegi panjang.
Gambar 1
Misalkan R berupa daerah persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar
suatu partisi dengan cara membuat garis-garis sejajar sumbu x dan y. Ini
membagi R menjadi n persegi panjang kecil , yang ditunjukkan dengan k =
1,2,...n. Tetapkan
Δx
k danΔy
k adalah panjang sisi-sisiR
k danΔA
k=
Δx
k .Δy
k adalah luas. PadaR
k ambil sebuah titik misal(
x
k, y
k)
dan bentuk penjumlahan Riemann
∑
k=1n
f(xk, yk)ΔAk .
Definisi :
Integral Rangkap dua
Andai suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi
panjang tertutup R, jika :
lim
IpI→0
∑
k=1n
f(xk, yk)ΔAk
ada . maka f dapat diintegralkan pada R, lebih lanjut
∬
R
f(x , y)dA
, yang disebut integral rangkapdua dan pada R diberikan oleh
∬
R
f(x , y)dA
= IpIlim→0
∑
k=1n
f(xk, yk)ΔAk
Sifat-sifat Integral Rangkap Dua :
1. Jika f(x,y) dan g(x,y) masing-masing kontinu dalam daerah R maka:
∬
R
kf(x , y)dA=k
∬
R
f(x , y)dA
∬
R[f(x , y)+g(x, y)]dA=
∬
R
f(x , y)dA+
∬
R
g(x, y)dA
2.
∬
R
f(x , y)dA=
∬
R1
f(x , y)dA+
∬
R2
3. Sifat pembanding berlaku jika f(x,y) ¿ g(x,y) untuk semua (x,y) di R,
maka :
∬
Rf(x , y)dA≤
∬
R
g(x , y)dA
Contoh Soal
1. Misalkan f didefinisikan sebagai berikut
f(x,y) =
1,0≤x≤3,0≤y≤1 2,0≤x≤3,1≤y≤2 3,0≤x≤3,2≤y≤3
¿
{¿{¿ ¿¿
¿
hitung
∬
Rf(x , y)dA
dengan R = { (x , y): 0≤¿ ¿x≤3,0≤y≤3
jawab :
misal persegi panjang R1, R2, R3
R1 = {
(x , y): 0≤x≤3,0≤y≤1 ¿ ¿
R2 = {
(x , y): 0≤x≤3,1≤y≤2 ¿ ¿
R3 = {
(x , y): 0≤x≤3,2≤y≤3
¿ ¿ ,
gunakan sifat penjumlahan di integral rangkap dua, diperoleh :
∬
R
f(x , y)dA=
∬
R1
f(x , y)dA +
∬
R2
f(x , y)dA +
∬
R3
f(x , y)dA
= 1.A(R1) + 2. A(R2) + 3.A(R3)
= 1.3 + 2.3 + 3.3
2. Tentukan
∬
Rf(x , y)dA
dengan f(x , y)=
64−8x+y2
16 ,
R = { (x , y): 0≤x¿ ¿≤4,0≤y≤8 , dengan menghitung jumlah Riemann
Jawab :
Penjumlahan Riemann yang diperoleh dengan membagi atas 8 bujur sangkar
yang sama dengan tiap-tiap pusat bujur sangkar sebagi titik. Titik-titik contoh
yang diperlukan dan nilai-nilai yang berpadanan dari fungsi itu adalah :
(
x
1, y
1)
= (1,1), f(
x
1, y
1)
= 1716(
x
2, y
2)
= (1,3), f(
x
2, y
2)
=65 16
(
x
3, y
3)
= (1,5), f(
x
3, y
3)
= 8116(
x
4, y
4)
= (1,7), f(
x
4, y
4)
=105 16
(
x
5, y
5)
= (3,1), f(
x
5, y
5)
= 4116(
x
6, y
6)
= (3,3), f(
x
6, y
6)
= 4916(
x
7, y
7)
= (3,5), f(
x
7, y
7)
= 6516(
x
8, y
8)
= (3,7), f(
x
8, y
8)
= 89164
8
(4,8)
(0,8,8)
(4,8,6)
(4,0,2)
(0,0,4)
x
Jadi karena
ΔA
k = 4,ΔA
k =Δx
kΔy
k = 2.2 = 4∬
Rf(x , y)dA
≈
∑
k=1 8f(xk, yk)ΔAk
= 4
∑
k=1 8f(xk, yk)
=
4(57+65+81+105+41+49+65+89 16
= 138
2 3
Soal
Hitung :
a.
∫
0 4[
∫
1 3
(
x
+
4
y
)
dx
]
dy
b.
∫
1 3[
∫
0 2
(
2
x
+
y
)
dy
]
dx
c.
∫
0 4∫
0 2
(
32
−
4
x
+
y
2)
dxdy
Volume dengan Integral Rangkap dua
Jika f(x , y)≥0 pada R sehingga dapat kita tafsirkan integral lipat dua sebagai volume dari benda pejal dibawah permukaan gambar 1
V =
∬
Rf(x , y)dA
, R = { (x , y):a≤x¿ ¿≤b , c≤y≤d .
b
a
a
b
Gambar 2
Dibuat Irisan pada benda pejal itu menjadi kepingan-kepingan sejajar terhadap bidang xz (gb. 3)
Irisan bidang y = k, kepingan volume yang berpadanan ≈ A(y)
Δy
Volume Δv dari kepingan secara aproksimasi diberikan oleh Δv ≈ A(y)
Δy
, diintegralkan ,V =
∫
c dA(y)dy
, untuk y tetap kita hitung A(y) dengan integral tunggal biasa :
LA(y)
Δy
x
y
z
y
Gb. 3Gb. 1
A(y) =
∫
a bf(x, y)dx
, sehingga : V =
∫
c d[
∫
a b
f(x, y)dx]dy
…….. (2)
Dari (1) dan (2) :
∬
R
f(x , y)dA
=
∫
c d[
∫
a b
f(x, y)dx]dy
begitu juga
∬
Rf(x , y)dA =
∫
a b [∫
c df(x, y)dy]dx
Contoh
Hitung volume V dari benda pejal diatas yang dibatasi oleh z = 4 – x2 –y dan
dibawah persegi panjang R = { (x , y): 0≤¿ ¿x≤1,0≤y≤2
Jawab :
Jawab :
V =
∬
Rf(x , y)dA
=
∬
R(4−x2−y)dA
=
∫
0 2∫
0 1
(4−x2−y)dxdy
=
∫
0 2[[4x−1
3x
3−yx] 0 1]dy
=
∫
0 2(4−1
3−y)dy
= 16
3 satuan volum
Soal
1. Misalkan R = { (x , y): 1≤x¿ ¿≤4,0≤y≤2 .
, 1≤x≤3 ,
0
≤
y
≤
2
, 3≤x≤4 ,0
≤
y
≤
2
Hitung
∬
Rf(x , y)dA
2. Misalkan R =
(x , y): 0≤x≤2
¿ ¿
¿ ,
0
≤
y
≤
2
}
(x , y):
¿
R1=¿
¿ 0≤x≤2 ,
0
≤
y
≤
1
}
(x , y):
¿
R2=¿
¿ 0≤x≤2 ,
1
≤
y
≤
2
}Jika
∬
Rf(x , y)dA
= 3,
∬
Rg(x, y)dA =5,
∬
R1
g(x, y)dA
= 2, tentukan :
a.
∬
R[3f(x , y)−g(x , y)]dA
2 3
¿ f(x , y)=¿{¿ ¿ ¿
b.
∬
R1
2g(x , y)dA+
∬
R1
3dA
c.
∬
R2
g(x, y)dA
3. Hitung :
a.
∫
−1 4∫
1 2
(x+y2)dydx
b.
∫
0π
∫
0 1
(xsiny)dxdy
4. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal
Soal-soal
1. Hitung
∬
R(x2+y2)dA
jika R = { (x , y):−1≤¿ ¿x≤1,0≤y≤2 !
2. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang z =