BEBERAPA SIFAT QUASI-IDEAL MINIMAL
PADA RING TRANSFORMASI LINEAR
1K a r y a t i
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta e-mail : yatiuny@yahoo.com
Abstrak. Misalkan R adalah ring, Q R disebut quasi-ideal dari R jika RQ QR Q,
dengan Q adalah subring. Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X R adalah
irisan semua quasi-ideal dari R yang memuat X, yang selanjutnya dinotasikan dengan X q.
Quasi-ideal Q disebut quasi-ideal minimal jika dan hanya jika Q x q untuk semua
0 \ Q
x .
Misalkan V dan W adalah ruang vektor atas lapangan F dan LF V,W menotasikan himpunan semua transformasi linear :V W. Misalkan k adalah bilangan kardinal tak
hingga dan LF V,W,k LF V,W rank k . Himpunan LF V,W,k, membentuk
grup abelian terhadap operasi jumlah biasa pada transformasi linear. Selanjutnya, untuk suatu LF W,V tertentu didefinisikan suatu operasi pada LF V,W,k , yaitu:
untuk semua , LF V,W,k . Himpunan LF V,W,k bersama operasi
„+‟ dan „*‟ tersebut membentuk ring, yang selanjutnya dinotasikan dengan LF V,W,k , , .
Dalam tulisan ini akan diselidiki sifat-sifat quasi-ideal minimal pada ring LF V,W,k, , .
Diperoleh hasil sebagai berikut :Misal LF V,W sedemikian sehingga Ran Fu untuk
suatu u W, Jika , LF W,W sedemikian sehingga u u maka dan
Jika LF W,W sedemikian sehingga u au untuk suatu a F maka a . Hasil
lain yang berhasil diselidiki adalah: Misal , LF V,W,k , jika q dalam ring ,
, , ,W k V
LF maka Ran Ran . Misal LF V,W,k sedemikian sehingga
memenuhi Ran Ker dan Ran Ker . Jika rank 1, maka q F dalam
, , , ,W k V
LF . Misal LF V,W,k sedemikian sehingga memenuhi Ran Ker
dan Ran Ker . Jika rank 1, maka q adalah quasi- ideal minimal dalam
, , , ,W k V
LF .
Kata Kunci: ring, quasi-ideal, quasi – ideal minimal
1. Pendahuluan
membentuk sub semigrup terhadap operasi perkaliannya. Himpunan Q R disebut quasi-ideal dari R jika RQ QR Q, dengan Q adalah subring. Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X R adalah irisan semua quasi-ideal dari R yang memuat X. Selanjutnya, quasi-ideal demikian dinotasikan dengan X q. Quasi-ideal Q disebut quasi-ideal minimal jika dan hanya jika Q x q untuk semua x Q\ 0 .
Diberikan V dan Wadalah ruang vektor atas lapangan F dan LF V,W menotasikan himpunan semua transformasi linear :V W. Misalkan kadalah bilangan kardina tak hingga dan LF V,W,k LF V,W rank k . Diketahui bahwa
rank rank
rank untuk semua , LF V,W . Himpunan LF V,W,k , membentuk grup abelian terhadap operasi jumlah biasa pada transformasi linear ( [1]: p. 318 ). Selanjutnya, untuk suatu LF W,V tertentu didefinisikan suatu operasi pada
k W V
LF , , , yaitu: untuk semua , LF V,W,k . Terhadap operasi ini, k
W V
LF , , membentuk semigrup ( [3]: p.619 ). Juga berlaku distributif kiri dan kanan. Selanjutnya himpunan demikian dinotasikan dengan LF V,W,k, , ( [1]: p.317 ). Jelas bahwa himpunan ini membentuk ring. Perlu diingat bahwa semua quasi-ideal minimal dalam suatu ring adalah ideal utama ( [1]: p.318 ). Dalam tulisan ini akan diselidiki karakterisasi semua quasi-ideal minimal dalam suatu ring LF V,W,k, , dan mengindikasikan bilamana ring tersebut mempunyai quasi-ideal minimal.
2. Kajian Teori
Pada bagian ini akan diberikan beberapa istilah dan sifat-sifat yang mendukung dalam pembahasan artikel ini.
Definisi 1. ( [2] : p.1 ) Himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan operasi biner “ ”
dikatakan semigrup jika bersifat asosiatif yaitu : x,y,z S (x y) z x (y z)
Definisi 2. ( [2] : p.1 ) Misalkan S suatu semigrup, P S disebut sub semigrup jika terhadap
operasi yang didefinisikan pada S, Pmembentuk semigrup.
Definisi tersebut ekuivalen dengan P tertutup terhadap operasi yang didefinisikan pada S.
Berikut diberikan definisi quasi-ideal suatu ring:
Definisi .3. ( [1]: p.317 ). Misalkan R adalah ring, maka Q R disebut quasi-ideal dari R
Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X R adalah irisan semua quasi-ideal dari R yang memuat X. Selanjutnya, quasi-ideal demikian dinotasikan dengan X q. Quasi-ideal Q disebut quasi-ideal minimal jika dan hanya jika Q x q untuk semua x Q\ 0 . Beberapa sifat yang berlaku bahwa:
Proposisi .1. ( [1] : p.317). Misal Q suatu quasi-ideal ring R, maka berlaku:
i. Jika Q quasi-ideal minimal maka Q adalahsubringnol atausubringpembagi dari R.
ii. Jika Q subringpembagi dari R, maka Q adalah quasi-ideal minimal dari R.
Proposisi.2. ( [1] : p.318). Untuk suatu himpunan tak kosong X R, maka berlaku
XR RX ZX
X q , dengan Z adalah himpunan semua bilangan integer.
Dari Proposisi 2 diperoleh akibat sebagai berikut:
Akibat 1. ( [1] : p.318). Dalam LF V,W,k, , , berlaku:
Bukti:
Selanjutnya, diperoleh bahwa Ran :cu cu cu sehingga berlaku
Ran
Ran . Hal ini mempunyai konsekuensi :
Untuk sebarang v V berlaku v v cu cu v v .
Sebagai akibatnya berlaku
( ii ). Dapat dipandang bahwa a a1 dengan W 1 W adalah pemetaan identitas di
Lemma berikut memberikan hubungan antara suatu transformasi dalam quasi-ideal minimal dengan transformasi pembangun quasi-idealnya:
Lemma 2. ( [1] : p.318). Misal , LF V,W,k , jika q dalam ring
Selanjutnya ambil w Ran , maka terdapat v V sedemikian sehingga berlaku:
Akibatnya w Ran . Dengan demikian Ran Ran
■
Bukti: memuat u. Selanjutnya didefinisikan suatu transformasi linear sebagai berikut:
u Berdasarkan definisi tersebut juga diperoleh:
Dari (i) dan (ii) maka terbukti q F
■
Sebagai hasil akhir dari penelitian ini diperoleh hasil suatu kondisi yang dapat menjamin bilamana q membentuk quasi- ideal minimal dalam LF V,W,k , , .
Lemma 4. ( [1]: p.318). Misal LF V,W,k sedemikian sehingga memenuhi kondisi
Ran Ker dan Ran Ker . Jika rank 1, maka q adalah quasi- ideal minimal
dalam LF V,W,k, , .
Bukti:
Menurut Lemma 3, kondisi ini berakibat q F . Ambil q \ o , maka a untuk suatu a F, a 0
Akibatnya Ker Ker , sebab:
0 0
0
0 v a va va v
v Ker
v v Ker
0 '
' Ker v
v , tetapi v' av" untuk suatu v" V. Akibatnya : 0
" "
" v a v
av , sehingga v" Ker dan karena v' av" sehingga a 1v' Ker atau a 1v' 0 atau a 1 v' 0. Diketahui a 0, sehingga a 1 0. Dengan demikian
0 '
v atau v' Ker
Akibat lain adalah Ran Ran , sebab:
Ambil w Ran , sehingga terdapat v V yang memenuhi v w, akibatnya va
a v
w . Disimpulkan bahwa w Ran .
Ambil w' Ran , sehingga terdapat v' V yang memenuhi, v' w'. Karena v' V, maka terdapat a F, a 0 dan v V sedemikian sehingga v' av. Akibatnya
v a v av
w' . Dengan kata lain w' Ran
Karena Ran Ran , maka rank 1 (sebab rank 1). Menurut Lemma 3, berakibat
q F , sehingga berlaku juga F F a Fa F . Akibatnya q= q. ■ 4. Simpulan
Berdasarkan hasil penyelidikan di atas dapat disimpulkan bahwa:
i. Misal LF V,W sedemikian sehingga Ran Fu untuk suatu u W, maka berlaku: a. Jika , LF W,W sedemikian sehingga u u maka
ii. Misal , LF V,W,k , jika q dalam ring LF V,W,k, , maka Ran
Ran .
iii. Misal LF V,W,k sedemikian sehingga memenuhi Ran Ker dan Ker
Ran . Jika rank 1, maka q F dalam LF V,W,k, , .
iv. Misal LF V,W,k sedemikian sehingga memenuhi Ran Ker dan Ker
Ran . Jika rank 1, maka q adalah quasi- ideal minimal dalam ,
, , ,W k V
LF .
Daftar Pustaka
[1] Chinram, R., Kemprasit, Y. 2002. Minimal Quasi-Ideals of Generalized rings of Linear Transformations. PU.M.A Vol. 13, No. 3, p: 317 – 324.
[2] Howie, J.M, 1976. An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press, Ltd, London [3] Kemprasit, Y. 2002. Regularity and Unit-Regularity of Generalized Semigroup of Linear
