PROSIDING : Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNY,9
Nov,2013
ISBN:978-979-16353-9-4,
hal. MT
–
207-214
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
PENGGUNAAN ALGORITMA GENETIK DALAM
MENGOPTIMALKAN KANDUNGAN KARBOHIDRAT DAN
PROTEIN PADA MOCORIN
Ruth Kristianingsih 1, Hanna Arini Parhusip 2, Tundjung Mahatma 3 1
Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2,3
Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponegoro No. 52-60, Salatiga
1
ruthkristianingsihh@yahoo.co.id, 2hannaariniparhusip@yahoo.co.id, 3
t.mahatma@staff.uksw.edu
Abstrak
Makalah ini merupakan hasil penelitian tentang pengoptimalan kandungan karbohidrat dan protein pada mocorin. Data yang digunakan adalah kandungan kadar ka rbohidrat terhadap massa dan absorbansi, serta kandungan kadar protein terhadap absorbansi. Selanjutnya dibuat pemodelan data dan dicari masing -masing parameter dengan metode kuadrat terkecil. Masing-masing para meter diu ji dengan menga mati n ila i e igen matriks Hessian residual. Setelah para meter fungsi tujuan optima l, fungsi tujuan dioptimalkan dengan menggunakan Algorit ma Genetik (A G). Dipero leh kadar karbohidrat ma ksima l pada penambahan bekatul sebanyak 12,5% dan kadar protein ma ksima l pada penambahan bekatul sebanyak 50%.
Kata kunci: Mocorin, Algorit ma Genetik, Metode Kuadrat Terkecil, matriks Hessian
A. PENDAHULUAN
Mocorin merupakan hasil fermentasi dari jagung dengan penambahan bekatul. Latar belakang dari pembuatan mocorin ini adalah upaya pemenuhan kebutuhan makanan pokok khususnya untuk orang Indonesia dalam mengurangi ketergantungan masyarakat pada beras, sehingga digali potensi lokal yang berbasis non beras yaitu jagung. Salah satu varietas unggul jagung yang dipilih sebagai benih adalah Bisi 2 (Silvia, 2012). Hasil penelitian Silvia dianalisa secara statistik dalam menentukan dan membandingkan nilai gizi mocorin antar berbagai perbandingan jagung kuning varietas Bisi 2 untuk mengoptimalkan kandungan proksimat (kadar karbohidrat, protein, air, abu, lemak, dan serat). Ada lima macam proporsi penambahan bekatu l yang digunakan, yaitu 0%, 12,5%, 25%, 37,5%, dan 50%. Namun, kelemahan perhitungan secara statistik ini adalah tidak dapat dicari nilai-nilai kadar kandungan proksimat yang optimal yang terbentuk dari para pengoptimalnya. Oleh karena itu, akan dilakukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui nilai kandungan proksimat optimal dari hasil hubungan nilai-nilai pengoptimalnya dengan menggunakan algoritma genetik (AG).
PROSIDING ISBN : – – – –
penelitian ini karena algoritma ini termasuk teknik pencarian yang telah terbukti robust
(tangguh), adaptif, dan efisien (Goldberg, 1989).
B. MODEL DAN ALGORITMA YANG DIGUNAKAN
Di bawah ini adalah fungsi-fungsi yang digunakan untuk memodelkan fungsi tujuan untuk karbohidrat dan protein.
Karbohidrat
Model yang akan digunakan dalam memodelkan fungsi tujuan untuk karbohidrat adalah fungsi eksponensial:
= �− �− � (1) Fungsi ini digunakan untuk menyatakan karbohidrat sebagai fungsi massa dan absorbansi dimana , , pada persamaan (1) dicari dengan menggunakan metode kuadrat
Sebagaimana prosedur dalam kalkulus, titik kritis
R
yang diperoleh harus memenuhi kondisi R0 atauPersamaan (3) merupakan sistem persamaan tak linier yang perlu diselesaikan secara numerik. Algoritma yang digunakan adalah metode Newton (Peressini, 1988). Penyelesaian yang diperoleh merupakan penyelesaian kritis untuk R, sebutlah ( ∗, ∗, ∗). Untuk menyelidiki sifat ( ∗, ∗, ∗) perlu diamati sifat Hessian R di ( ∗, ∗, ∗) (Parhusip, 2012) , yaitu peminimum R (Peressini, 1988). Setelah diketahui parameter optimal, dilakukan perhitungan dengan menggunakan algoritma genetik.
Protein
Model yang akan digunakan dalam memodelkan fungsi tujuan untuk protein adalah fungsi eksponensial :
�= �− � (5)
Fungsi ini digunakan untuk menyatakan protein sebagai fungsi karbohidrat dimana a
dan b pada persamaan (5) dicari dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, yaitu
Sebagaimana prosedur dalam kalkulus, titik kritis
R
PROSIDING ISBN : – – – –
Jika matriks �� semi positive definite yaitu dimana nilai eigen λ pada ≥ 0, maka ( ∗, ∗) merupakan peminimum R (Peressini, 1988). Setelah diketahui parameter optimal, dilakukan perhitungan dengan menggunakan algoritma genetik.
Prosedur Umum Algoritma Genetik
Algoritma genetik adalah teknik pencarian dan optimasi yang meniru proses evolusi dan perubahan genetika pada struktur kromosom makhluk hidup (Goldberg, 1989). Algoritma genetik (AG) mulai bekerja pada sekumpulan solusi yang dinamakan solusi awal. Populasi awal ini dibangkitkan secara acak. Setiap individu yang ada dalam populasi awal dinamakan kromosom. Kromosom yang biasanya berbentuk bilangan biner (kode 0 dan 1), dikembangbiakkan oleh operator-operator genetik melalui beberapa generasi (iterasi). Dalam setiap generasi, masing-masing kromosom dievaluasi untuk mengukur nilai kebugaran atau nilai fitness.
Untuk mencetak generasi berikutnya, dipilih beberapa kromosom-kromosom hasil evaluasi untuk disilangkan atau dimutasikan. Kromosom-kromosom yang terpilih disebut kromosom induk (parents), sedangkan kromosom-kromosom baru yang terbentuk disebut kromosom anak (offsprings). Proses penyilangan dan mutasi dilakukan oleh operator-operator genetik, yaitu operator penyilangan (crossover) dan operator mutasi (mutation). Setelah melewati beberapa generasi, nilai fitness kromosom akan membaik menuju suatu nilai optimum. Nilai optimum inilah yang diharapkan menjadi solusi masalah yang hendak diselesaikan. AG dapat menemukan solusi optimum walaupun fungsi tujuannya sangat ekstrim dan mempunyai beberapa titik optimum lokal (Yang, 2005).
Komponen-komponen Algoritma Genetik
Berikut ini adalah komponen-komponen dari algoritma genetic. Representasi Kromosom
Untuk dapat mengaplikasikan AG, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengkodekan (encoding) calon solusi ke dalam suatu bentuk representasi kromosom. Representasi kromosom yang pertama kali diperkenalkan oleh Holland adalah representasi bilangan biner (Goldberg, 1989). Sebuah kromosom terdiri dari beberapa elemen yang disimbolkan dengan angka nol (0) dan satu (1). Jika setiap calon solusi atau variabel desain
�,�= 1, 2,… dikodekan dalam kromosom sebanyak q, maka vektor desainnya
direpresentasikan dalam kromosom dengan panjang nq (Rao, 2009). Setiap untaian elemen memiliki arti khusus yang menunjukkan nilai fitness kromosom yang bersangkutan. Himpunan solusi-solusi ini disebut populasi.
Seleksi dan Reproduksi
Seleksi adalah pemilihan beberapa kromosom untuk dijadikan sebagai kromosom induk lagi bagi generasi berikutnya. Kromosom terpilih kemudian akan digandakan (d ireproduksi) lalu hasilnya ditempatkan di mating pool, yaitu tempat berkumpulnya kromosom-kromosom induk yang akan mengalami penyilangan maupun mutasi. Proses seleksi ini juga meniru proses seleksi alam dalam cara kerjanya, yaitu kromosom dengan nilai fitness lebih baik akan memiliki peluang bertahan hidup (survival of fittest) yang lebih baik pada generasi berikutnya, dan sebaliknya.
Penyilangan (Crossover)
Operator ini adalah operator utama atau primer dalam algoritma genetik. Operator ini bekerja pada sepasang kromosom induk untuk menghasilkan dua kromosom anak dengan cara menukarkan beberapa elemen (gen) yang dimiliki masing-masing kromsom induk. Probabilitas
crossover digunakan dalam memilih kromosom induk yang akan disilangkan. Dengan demikian hanya 100% kromosom dalam mating pool yang akan digunakan dalam operasi penyilangan, sementara itu 100% (1− ) kromosom akan tetap bertahan (tidak berubah) dalam generasi baru.
Mutasi (Mutation)
PROSIDING ISBN : – – – –
sebelumnya. Operator ini mengubah bilangan biner 1 menjadi 0 dan sebaliknya. Dipilih bilangan acak antara 0 dan 1, jika bilangan tersebut lebih kecil dari maka bilangan biner diubah dan sebaliknya. Dalam mencari solusi optimum, mutasi sangat diperlukan yaitu untuk : (1) mengembalikan gen-gen yang hilang pada generasi-generasi sebelummnya, dan (2) memunculkan gen-gen yang belum pernah muncul pada generasi-generasi sebelumnya.
Fungsi Fitness (Fungsi tujuan)
Fungsi fitness adalah fungsi yang mengukur tingkat kebugaran suatu kromosom dalam suatu populasi. Semakin besar nilai fitness, semakin bugar pula kromosom dalam suatu pupulasi sehingga semakin besar kemungkinan kromosom tersebut untuk tetap bertahan pada generasi berikutnya. Suatu fungsi fitness dapat sama atau hasil modifikasi terhadap fungsi tujuan masalah yang akan diselesaikan.
Secara ringkas, proses komputasi menyangkut memaksimalkan fungsi fitness
)
,...,
,
(
x
1x
2x
nF
dalam AG dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : (Rao, 2009) 1) Dipilih panjang kromosom yang tepat l = nq untuk menyatakan variabel desainsebanyak n dari vektor desain X. Asumsikan nilai-nilai parameter : ukuran populasi m, probabilitas crossover pc, probabilitas mutasi
p
m, nilai-nilai yang diijinkan untukstandar deviasi dari nilai-nilai fitness populasi
maxj
s untuk menggunakan kriteria
konvergen, dan iterasi maksimum
imax .2) Dibuat populasi acak dengan ukuran m, setiap populasi terdiri dari suatu kromosom dengan panjang l=nq. Nilai-nilai fitness
F
i,
i
1
,
2
...,
m
dengan string sebanyak mdievaluasi. 3) Proses reproduksi.
4) Operasi crossover menggunakan probabilitas crossover pc
5) Operasi mutasi menggunakan probabilitas mutasi
p
m6) Nilai-nilai fitness
F
i,
i
1
,
2
...,
m
dari m string dari populasi yang baru dievaluasi. Dicari standard deviasi dari nilai-nilai fitness yang sebanyak m.7) Test konvergensi dari algoritma atau proses. Jika
maxj
j s
s , kriteria konvergen terpenuhi dan oleh karena itu proses dapat berhenti. Sebaliknya menuju langkah 8. 8) Test untuk bilangan generasi (iterasi). Jika
i
i
max , komputasi telah dibentuk untukbanyaknya generasi maksimum yang diijinkan dan oleh karena itu proses dapat dihentikan. Sebaliknya , membuat banyaknya generasi adalah i = i + 1 dan menuju langkah 3.
C. METODE PENELITIAN
PROSIDING ISBN : – – – –
D. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Sesuai dengan tujuan pada penelitian ini, maka masing-masing kadar karbohidrat dan protein dioptimasi dengan tahapan sebagai berikut :
Karbohidrat
Diasumsikan bahwa kadar karbohidrat dipengaruhi oleh massa sampel dan absorbansi. Menurut persamaan (1), , , dicari berdasarkan data.
Sesuai persamaan (2) untuk mencari parameter , , maka perlu meminimalkan :
�= [ �− (�) − (�)2− (�)2]2
�=1 (9)
Pencarian parameter tersebut dilakukan dengan menggunakan Matlab dengan menggunakan fungsi lsqnonlin.m.
Pada penelitian ini, dilakukan pengolahan data dengan mencari rata-rata dari masing-masing data (kasus 1) dan dibandingkan jika penelitian dilakukan dengan mengolah semua data tanpa mencari rata-rata (kasus 2). Hasilnya ditunjukkan pada Tabel 1 berikut :
Tabel 1. Hasil Pencarian paremeter dengan menggunakan lsqnonlin.m
Penelitian Kasus 1 Kasus 2
Error 3,3238 % 16,2568 %
Parameter = 1.1162, =−0.6109, = 1.5724 =0.7883, =-0.3661, , =1.2490
Fungsi Tujuan = 1.5724 −1,1162 2+0 ,6109 2
= 1,2490 −0,7883 2+0 ,3661 2
Matriks Hessian R
1,6555 1,8262 −1,1614
1,8262 2,0104 −1,2798
−1,1614 −1,2798 0,8122
0,3115 0,6199 −0,5176
0,6199 1,2770 −1,0480
−0,5176 −1,0480 0,9057
Nilai Eigen
Matriks Hessian [−0,0019−0,0017 4,4817]′ [0.0077 0.0272 2.4593 ]′
Dari tabel 1, dapat diketahui hasil untuk masing-masing kasus, sebagai berikut : Kasus 1
Tabel 1 menunjukkan bahwa walaupun error untuk penelitian pada kasus 1 cukup kecil yaitu sebesar 3,3238 % yang berarti nilai kadar karbohidrat pada data tidak jauh berbeda dengan nilai kadar karbohidrat pendekatan. Namun berdasarkan dari nilai eigen matriks hessian R pada
∗, ∗, ∗, menunjukkan bahwa matriks Hessian tidak semi positive definite, sehingga nilai
parameternya tidak optimal. Oleh karena itu, kita tidak dapat menggunakan rata-rata data untuk mewakili penelitian dari semua data.
Kasus 2
Sedangkan error pada kasus 2 menunjukkan bahwa error cukup kecil yaitu 16,2568% dan nilai eigen matriks Hessian pada ∗, ∗, ∗ menunjukkan bahwa matriks Hessian residual
positive definite, sehingga nilai paremeter optimal. Untuk tahap selanjutnya, dilakukan pengoptimalan kadar karbohidrat untuk kasus 2 dengan menggunakan AG.
Diperoleh hasil kadar karbohirat maksimum yaitu pada sekitar = 60,5871% dengan pemaksimum massa 0,1187 dan pemaksimum absorbansi 0,6266. Dapat disimpulkan bahwa diperoleh hasil karbohidrat maksimum adalah pada penambahan bekatul 0%, yang artinya karbohidrat akan maksimum jika tidak ada penambahan bekatul. Namun, diinginkan karbohidrat maksimum dengan ditambahkannya bekatul. Oleh karena itu, selanjutnya akan dilakukan penghitungan untuk menentukan pada proporsi penambahan bekatul berapakah kandungan karbohidrat akan maksimal.
PROSIDING ISBN : – – – –
51,4269% dengan pemaksimum massa 0,1230 dan pemaksimum absorbansi 0,6482. Dicari nilai eigen matriks Hessian fungsi tujuan w yaitu �� = [0,2535 0,0242]′ yang menunjukkan bahwa nilai x dan y optimal. Dapat disimpulkan karbohidrat maksimum diperoleh pada proporsi penambahan bekatul sebanyak 12,5% yang sesuai dengan hasil statistik.
Protein
Protein tergantung pada nilai absorbansi. Namun, pada penelitian ini, protein dinyatakan sebagai fungsi karbohidrat, karena keduanya tergantung pada nilai absorbansi. Data protein diinterpolasi dan diketahui hubungan antara karbohidrat dan protein, seperti ditunjukkan pada gambar 1. Proses ini menggunakan interp() pada Matlab. Dengan interpolasi fungsi tidak perlu didefinisikan secara eksplisit. Interpolasi ini bermanfaat untuk menyatakan data protein sebagai fungsi karbohidrat.
Gb.1 Hasil interpolasi karbohidrat dengan protein
Selanjutnya hubungan keduanya dianggap memenuhi fungsi eksponensial :
� = − +
dengan P(x) merupakan fungsi protein dan x karbohidrat, sehingga P(x) tergantung oleh karbohidrat. Gambar 2 menunjukkan grafik perbandingan data interpolasi dengan pendekatannya.
Gb. 2 Perbandingan hasil interpolasi dengan pemodelan
Diperoleh error sebesar 33,2679% dengan nilai parameter a = 22,2143, b = 11,8467, dan c = 0,3946. Untuk menguji optimalitas parameter, dicari matriks Hessian R untuk P(x) dan nilai eigen matriks Hessian, didapatkan hasil nilai eigen [0 0 2]’ yang merupakan semi positive definite sehingga parameter optimal.
Dengan menggunakan parameter tersebut, nilai optimal kadar protein dicari dengan menggunakan AG, dan diperoleh hasil nilai optimal pada nilai sekitar 38,0104% dengan
pemaksimum karbohidrat sebesar 19,9167 %. Dicari
2
2 diperoleh 0,3946 yang berarti nilai ∗
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.1
PROSIDING ISBN : – – – –
bukan pemaksimal dari p. Hal inilah yang menyebabkan error cukup besar, sehingga protein yang diperoleh belum optimal. Namun diketahui bahwa nilai proporsi penambahan bekatul agar protein optimal adalah 50% yang sudah sesuai dengan hasil statistik.
E. PENUTUP
Pada makalah ini ditunjukkan optimasi karbohidrat dan protein pada mocorin dengan menggunakan AG. Tujuan untuk mendapatkan kadar karbohidrat optimal dicapai pada penambahan bekatul 12,5%. Nilai dari kadar karbohidrat optimal yaitu sebesar 51,4269% dengan pemaksimum massa 0,1230 dan pemaksimum absorbansi 0,6482. Sedangkan kadar protein optimal pada penambahan bekatul 50%. Nilai dari kadar protein optimal yaitu 38,0104% dengan pemaksimum karbohidrat sebesar 1,9167 %.
F. DAFTAR PUSTAKA
Dawid, Herbert and Kopel, Michael. 1998. On economic applications of genetic algorithm : a model of cobweb-type. J Evol Econ 8 : 297-315.
Goldberg, D.E., 1989. Genetic Algorithm in Search, Optimization, and Machine Learning. Canada: Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
Gunawan, H. 2003. Aplikasi Algoritma Genetik untuk Optimasi Masalah Penjadwalan Flow-Shop. Skripsi. FTP. Institut Pertanian Bogor, Bogor.
Hofler, Alicia. Terzic, Balsa. Kramer, Matthew. Zvezdin, Anton. Morozov, Vasiliy. Roblin, Yves. Lin, Fanglei and Jarvis, Colin. 2013. Innovative applications of genetic algorithms to problems in accelerator physics. Phys. Rev. ST Accel. Beams 16. Mokeddem, D. and A. Khellaf. 2010. Multicriteria Optimization of Multiproduct Batch
Chemical Process Using Genetic Algorithm. Journal of Food Process Engineering. Vol. 33 Issue 6, pages 979-991.
Nugraha, I. 2008. Aplikasi Algoritma Genetik untuk Optimasi Penjadwalan Kegiatan Belajar Mengajar. Jurnal. ITB: Sekolah Teknik Elektro dan Informatika, Program Studi Teknik Informatika. Bandung.
Parhusip, H.A dan Martono, Y.2012. Optimization Of Colour Reduction For Producing Stevioside Syrup Using Ant Colony Algorithm Of Logistic Function, proceeding of The Fifth International Symposium on Computational Science. ISSN:2252-7761,Vol1, pp91-101, GMU.
Peressini, A.L,et.all, 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming, Springer Verlag, New York, Inc.
Rao, S. S. 2009. Engineering Optimization, John Wiley & Sons, Inc, Canada.
Silvia,L., 2012. Mocorin ( Modifikasi Tepung Jagung Kuning (Zea Mays L.) Varietas Bisi 2 – Bekatul) Ditelaah Dari Nilai Gizi Dan Uji Organoleptik, Skripsi, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.
Katare, S., A. Bhan, J. M. Caruthers, W. N. Delgass and V. Venkatasubramanian. 2004. A hybrid genetic algorithm for efficient parameter estimation of large kinetic models. Computers and chemical engineering, Vol. 28, pp. 2569–2581.
