M00255

(1)

Penerapan Pemrograman Dinamis

dalam Perencanaan Produksi

Yugowati Praharsi

Abstrak

(2)

1. Pendahuluan

Dalam banyak permasalahan bisnis, pihak manajemen seringkali dihadapkan

pada pembuatan sederetan keputusan yang saling terkait, dengan tujuannya adalah

mengoptimalkan keseluruhan hasil dan sederetan keputusan dalam jangka waktu

tertentu. Pendekatan penyelesaian masalah manajemen seperti ini dapat

diselesaikan dengan menguraikan model matematika permasalahan yang mungkin

sulit dipecahkan ke sejumlah permasalahan yang lebih kecil sehingga dihasilkan

sederetan keputusan dalam jangka waktu tertentu disebut pemrograman dinamis.

Masing-masing permasalahan kecil ini diidentifikasikan sebagai tahapan (stage) dari prosedur solusi pemrograman dinamis. Formulasi dalam pemrograman

dinamis tidak seperti dalam pemrograman linear. Dalam permasalahan

pemrograman dinamis tidak ada formulasi matematika baku untuk prosedur

pengoptimalan. Prosedur pengoptimalan pemrograman dinamis cenderung

mengacu pada teknik komputasi umum tergantung pada keadaan permasalahan

yang akan diselesaikan. Salah satu lingkup manajemen yang menggunakan

pemrograman dinamis antara lain berkaitan dengan permasalahan perencanaan

produksi.

Seringkali proses pengambilan keputusan dibuat berurutan atau multi tahap

yang melibatkan sederetan permasalahan yang masing-masing merupakan tahapan

tunggal. Setiap permasalahan tahapan tunggal terdiri dan satu atau lebih

peubah-peubah yang nilai-nilainya harus ditentukan untuk mengoptimalkan nilai fungsi

tujuan.

2. Kajian Pustaka

(3)

2.1 Prinsip Optimalitas

Bila keputusan optimal dibuat dalam setiap tahap maka kombinasi

keputusan-keputusan akan optimal. Hal ini sesuai dengan prinsip optimalitas dari Bellman

yang menyatakan:

“Sifat dari suatu kebijakan optimal adalah apapun keadaan (state) dan keputusan awalnya, keputusan berikutnya harus menetapkan suatu kebijakan optimal dengan

memperhatikan keadaan yang dihasilkan setelah keputusan pertama”. Prinsip ini

juga disebut prinsip optimisasi rekursif.

2.2 Fungsi Tujuan

Pemrograman dinamis mempunyai fungsi tujuan maksimum atau minimum

untuk menyelesaikan masalah. Dalam setiap tahap dapat ditemukan fungsi

tujuannya, yaitu:

Optimalkan Zi = Xi + Z*i-1

dimana Xi menyatakan peubah-peubah keputusan pilihan dalam tahap ke-i

Z*i-1 menyatakan keputusan optimal dari tahap i-1.

2.3 Fungsi Transformasi

Fungsi transformasi merupakan persamaan matematika yang terikat pada

tahap-tahap dari permasalahan bersama dalam pemrograman dinamis.

Pi

Xi Xi-1

Si

Xi = Masukan ke tahap i dari tahap i + 1

Pi = Masukan (bebas) ke tahap i yang bebas dari tahap sebelumnya

(4)

Si = Keluaran dari tahap i

Xi-1 = Masukan ke tahap i - 1 dari tahap i

* 1 i

Z = Nilai optimal dari fungsi tujuan untuk tahap i-1

Zi = Fungsi tujuan untuk tahap i berkaitan dengan Xi, Pi, Si, dan Z*i 1

Keputusan pada tahap i berkaitan dengan Pi Si, atau keduanya.

2.4 Fungsi Rekursif

Fungsi rekursif diberikan oleh persamaan berikut:

fn(X) = max {rn(xn) + fn-1(X-xn)} n = 2,3,...

fn(X) = Total keuntungan dari tahap n

xn = Jumlah sumber daya yang dialokasikan pada tahap n

rn(Xn) = Return function dari tahap n

X = Total sumber daya yang tersedia untuk n tahap

Persamaan rekursif diatas dapat digunakan untuk dua penghitungan yaitu

backward dan forward recursions.

Secara khusus notasi yang digunakan dalam makalah ini sebagai berikut

(Anderson, et.al. 1994):

N : Jumlah tahap (tahap-tahap dalam perumusan pemrograman dinamis)

Dn : Permintaan produk khusus dalam tahap n.

xn : Status keputusan yang menyatakan banyaknya persediaan awal pada

tahap n.

dn : Peubah keputusan yang menyatakan jumlah unit barang yang diproduksi

dalam tahap n

Pn : Kapasitas produksi dalam tahap n.

Wn : Kapasitas penyimpanan pada akhir tahap n.

Cn : Biaya produksi per unit dalam tahap n

Hn : Biaya perawatan per unit yang berkaitan dengan perawatan sejumlah

barang pada persediaan akhir untuk tahap n.

(5)

3. Hasil dan Pembahasan

Model Pemrogramannya pada setiap tahap yaitu:

Minimalkan rn(xn, dn) + fn-1(xn-1)

Adapun kendala-kendala yang harus dipenuhi (Anderson, et all. 1994):

1) Persediaan akhir harus lebih kecil atau sama dengan kapasitas

3) Persediaan awal dan jumlah unit barang yang diproduksi harus lebih besar

atau sama dengan permintaan produk khusus.

Ditulis: xn + dn ≥ Dn

Tabel 1 menunjukkan data kasus pengendalian produksi dan penyimpanan sebuah

perusahaan selama tiga bulan (Anderson,et.al. 1994)

Tabel 1: Data Kasus Pengendalian Produksi dan Penyimpanan

Bulan Permintaan Kapasitas Biaya tiap unit

Produksi Penyimpanan Produksi Perawatan

Januari

Persediaan awal untuk bulan Januari adalah 1 unit

Dari data dalam tabel di atas dapat dibuat skema perumusan pemrograman

dinamis. Ada 3 tahap dimana penomeran tahap dilakukan secara mundur. Tahap

(6)

Gambar 1: Tiga Tahap Pengendalian Produksi dan Penyimpanan

Tahap transformasi fungsi mengambil bentuk:

Persediaan akhir = persediaan awal + jumlah unit barang yang diproduksi -

permintaan

x2 = x3 + d3 - D3 = x3 + d3 - 2 (Persediaan akhir tahap 3)

x1 = x2 + d2 - D2 = x2 + d2 - 3 (Persediaan akhir tahap 2)

x0 = x1 + d1– D1 = x1 + d1- 3 (Persediaan akhir tahap 1)

Adapun return function masing-masing tahap menyatakan jumlah dan biaya produksi dan biaya perawatan.

Tahap 1 (Maret)

Minimalkan r1(x1,d1) = 200 d1 + 40 (x1 + d1– 3)

Kendala-kendala :

x1 + d1≤ 5 kendala kapasitas penyimpanan

d1 ≤ 3 kendala kapasitas produksi

(7)

Tabel 2: Hasil Penghitungan pada Tahap 1

kapasitas gudang adalah 3 dari tahap 2

(8)

persediaan awal bulan Januari adalah 1 unit

- M 1280 1315

Tabel 5: Kebijakan Optimal untuk Produksi dan Penyimpanan

Bulan Persediaan

(1). Anderson, D.R., Sweeney, D.J. & Williams, T.A. 1994. An Introduction to Management Science: Quantitative Approaches to Decision Making. 7th edition, New York: West Pub.Co.

(2). Taha, H.A. 1996. Operations Research: An Introduction. 5th edition, NewYork: MacMillan Pub.Co.