AN ANALISIS RANCANGAN PENAWARAN DISKON
DENGAN BANYAK PELANGGAN
DAN TITIK IMPAS TUNGGAL
Oleh:
Endang Nurjamil
G05497044
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2005
ABSTRAK
ENDANG NURJAMIL. Analisis Rancangan Penawaran Diskon dengan Banyak Pelanggan dan
Titik Impas Tunggal. Di bawah bimbingan SRI NURDIATI dan FARIDA HANUM.
Penawaran diskon yang dilakukan seorang penjual untuk setiap pembelian barang yang melebihi ukuran tertentu merupakan upaya untuk meningkatkan jumlah pesanan para pelanggannya. Namun upaya yang dilakukan penjual tersebut bukan berarti tanpa kendala, karena besarnya diskon dan ukuran minimal barang yang ditawarkan menjadi faktor utama dalam menentukan kebijakannya.
Bagi para pelanggan, ukuran pesanan menjadi faktor yang harus dipertimbangkan karena berkaitan erat dengan biaya inventori (penyimpanan). Terlalu sedikit ukuran pesanan, biaya inventori kecil tetapi biaya pesanan menjadi besar akibat sering melakukan pemesanan dan tidak mendapatkan keringanan biaya dari diskon. Jika ukuran pesanan terlalu besar, pelanggan mendapatkan diskon dan biaya pesanan kecil akibat jarangnya pemesanan tetapi biaya inventori menjadi besar. Dari kedua sudut pandang itu, solusi efektif adalah dengan cara mencari nilai yang optimum sehingga kedua belah pihak saling memperoleh keuntungan.
ANALISIS RANCANGAN PENAWARAN DISKON
DENGAN BANYAK PELANGGAN
DAN TITIK IMPAS TUNGGAL
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Oleh:
Endang Nurjamil
G05497044
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2005
Judul
: ANALISIS RANCANGAN PENAWARAN DISKON DENGAN
BANYAK PELANGGAN DAN TITIK IMPAS TUNGGAL
Nama
: Endang Nurjamil
NIM : G05497044
Menyetujui,
Pembimbing I
Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc.
NIP. 131 578 805
Pembimbing II
Dra. Farida Hanum, M.Si.
NIP. 131 956 709
Mengetahui,
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S.
NIP. 131 473 999
“Bulan bersinar pada malam hari,
sementara matahari bersinar pada siang hari,
namun orang yang hatinya diliputi cinta dan kasih sayang
bersinar siang dan malam.”
(Mutiara Zen)
Kupersembahkan karya tulis ini
bagi orang-orang yang bersinar siang dan malam
PRAKATA
Alhamdulillah, segala puji penulis panjatkan hanya bagi Allah SWT, atas qudrah dan iradah-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Shalawat serta salam penulis sampaikan kepada Nabi Muhammad sebagai uswah dan rahmat bagi seluruh alam.
Amma ba’du,
Banyak faktor yang harus dihadapi penulis dalam menyelesaikan studi di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor ini sehingga diperlukan perpanjangan masa studi sampai dua semester. Adalah Ibu Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc. dan Ibu Dra. Farida Hanum, M. Si. yang bersedia menjadi pembimbing skripsi saat penulis butuhkan agar dapat memanfaatkan masa perpanjangan studi tersebut. Oleh karena itu penulis ucapkan terima kasih atas segala kebaikan dan ketulusannya.
Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Ir. Hasim, DEA. dan Bapak Dr. Ir. Muhammad Nur Aidi, M.S. atas waktu yang beliau luangkan untuk memberikan saran dan nasihat kepada penulis. Disamping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Hikmawan Abdul Hasan, Ahmad, Yana, Lukman, Andri, dan Luthfi atas bantuannya dalam penyelenggaraan seminar tugas akhir penulis. Terima kasih juga penulis ungkapkan kepada Abah, Umi, Teh Aih, A’ Hendra, Leli, Dendi, Lalis, Pras, Asti, dan Fauzy atas doa dan kasih sayangnya. Terima kasih juga penulis sampaikan kepada semua pihak yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu atas segala dukungan dan bantuannya.
Akhir kata, semoga karya ilmiah ini menjadi syahidan (saksi) amal soleh baik bagi penulis
sendiri maupun bagi orang-orang yang terlibat di dalamnya dan dapat bermanfaat bagi siapa pun yang mempunyai minat dan ketertarikan terhadap karya ilmiah ini. Amin.
Bogor, September 2005
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan pada tanggal 12 Juni 1976 sebagai anak kedua dari lima bersaudara dari Bapak Duduh Abdurrahman dan Ibu Anon Sumiyati.
Tahun 1995 lulus dari SMA Negeri 1 Cianjur dan dua tahun berikutnya diterima masuk IPB melalui jalur UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) di Jurusan Matematika (sekarang, Departemen Matematika) Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Semasa kuliah penulis pernah aktif di DPM (Dewan Perwakilan Mahasiswa) FMIPA sebagai Ketua Komisi Hubungan Eksternal dan Internal Mahasiswa periode 1997-1998 dan di Himpro Gumatika (Himpunan Profesi Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai Ketua Harian periode 1999-2000. Tahun 1998-1999 pernah menjadi Ketua Himat (Himpunan Mahasiswa Cianjur) cabang Bogor.
Selain aktif di organisasi mahasiswa penulis juga pernah menjadi asisten mata kuliah Agama pada semester genap periode 1998-1999 dan 1999-2000, asisten mata kuliah Pengantar Matematika dan Kalkulus I sejak 1998 sampai 2000.
vii
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ... viii
DAFTAR GAMBAR ... viii
DAFTAR LAMPIRAN ... viii
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan ... 1
II. LANDASAN TEORI 2.1 Economic Order Quantity (EOQ) ... 2
2.2 Kemonotan dan Kecekungan Fungsi ... 3
III. PERUMUSAN MASALAH 3.1 Model Biaya Inventori Pelanggan ... 4
3.2 Model Fungsi Keuntungan Penjual ... 6
IV. PENGOPTIMUMAN RANCANGAN PENAWARAN DISKON 4.1 Kasus 1. Tingkat diskon yang ditetapkan ... 7
4.2 Kasus 2. Titik impas yang ditetapkan ... 8
V. SIMPULAN DAN SARAN ... 9
DAFTAR PUSTAKA ... 9
viii
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Data lima pelanggan ... 7
2 Perbandingan keuntungan sebelum dan sesudah penawaran diskon ... 7
3 Ukuran pesanan dan total biaya inventori pelanggan i ... 8
4 Perbandingan keuntungan sebelum dan sesudah penawaran diskon ... 8
5 Ukuran pesanan dan total biaya inventori pelanggan i ... 8
DAFTAR GAMBAR
Halaman 1 Variasi tingkat persediaan ... 22 Fungsi biaya penjual ... 5
3 Kontribusi pelanggan i terhadap keuntungan penjual (R ditetapkan) ... 6
4 Sketsa kurva ... 16
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Penjabaran Persamaan (1) ... 11 2 Penjabaran Persamaan (5) ... 11 3 Penjabaran Persamaan (6) ... 12 4 Penjabaran Persamaan (7)... 12 5 Bukti Proposisi 1 ... 13 6 Sketsa Gambar 2 ... 19 7 Sketsa Gambar 3 ... 20 8 Bukti Proposisi 3 ... 229 Bukti F2i merupakan fungsi konkaf ... 25
10 Pencarian Titik Impas pada Kasus 1 ... 28
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam dunia usaha, banyak cara yang dilakukan penjual untuk meningkatkan pendapatan atau keuntungannya. Bagi penjual yang memproduksi barang sendiri, keuntung-an bisa diperoleh dengkeuntung-an cara meningkatkkeuntung-an kinerja manufaktur yang lebih efektif sehingga menghasilkan produk yang lebih banyak. Selain itu, keuntungan juga bisa diperoleh dengan cara mengurangi jumlah pengepakan dengan memperbanyak ukuran pengepakan yang lebih besar, serta dengan cara mengurangi biaya transportasi, misalnya dengan memuat lebih banyak jumlah pesanan yang dikirimkan. Upaya berikutnya yang dapat diharapkan penjual untuk meningkatkan keuntungannya adalah dengan meningkatkan ukuran pesanan para pembeli atau pelang-gannya. Untuk pencapaian hal itu, tidak jarang penjual menawarkan harga khusus atau diskon harga bagi yang membeli atau memesan barang dalam ukuran yang lebih besar.
Secara umum, terdapat dua tipe diskon harga yang ditawarkan penjual, yaitu diskon untuk semua unit barang yang dibeli atau dipesan dan diskon untuk setiap tambahan pesanan dalam ukuran tertentu. Pada tipe yang kedua, biasanya ditawarkan terhadap para pelanggan yang memiliki permintaan setiap unit waktunya dalam ukuran yang cukup besar, sehingga diharapkan dapat mening-katkan jumlah pesanannya.
Upaya yang ditawarkan penjual ini tidak begitu saja dapat diterima oleh para pelanggannya, karena bagi para pelanggan sendiri ukuran pesanan berkaitan erat dengan masalah biaya inventori atau penyimpanan. Semakin banyak pesanan yang dipesan para pelanggan, semakin besar biaya inventori yang harus dikeluarkan. Akibatnya, para pelanggan berupaya untuk melindungi biaya inventorinya.
Berkenaan dengan upaya penjual yang ingin meningkatkan keuntungannya dengan menawarkan diskon tersebut dan para pelanggan yang berupaya untuk melindungi biaya inventorinya, ada hal yang menarik untuk dikaji, yaitu bagaimana si penjual dapat
merancang penawaran diskon tersebut dengan melibatkan sudut pandang para pelanggannya. Kim dan Hwang (1988) mencoba membuat model permasalahan di atas. Kedua penulis ini mula-mula memformulasi fungsi biaya pelanggan dan fungsi keuntungan penjual serta membuat prosedur dalam pengambilan keputusan keduanya, kemudian membangun algoritme untuk mendapatkan nilai optimum bagi penjual maupun pelanggan untuk tiga kasus berikut ini:
a. Jika tingkat diskon ditetapkan, bagaimana
mencari titik impas yang optimum.
b. Jika titik impas ditetapkan, bagaimana
mencari tingkat diskon yang optimum.
c. Jika tingkat diskon dan titik impas tidak
diketahui, bagaimana mencari nilai yang optimum untuk keduanya.
1.2Tujuan
Tulisan ini bertujuan mempelajari dan membahas artikel karya Kim dan Hwang (1988) di atas. Oleh karena itu, sebagian besar materi yang disajikan merupakan hasil karya keduanya dengan pokok bahasan disesuaikan dengan yang terdapat pada tulisan tersebut. Berikut adalah pokok-pokok bahasannya:
• Pada Bab II diberikan landasan teori yang
mencakup penjelasan beberapa istilah dan teorema yang dipergunakan dalam tulisan ini.
• Bab III membahas formulasi masalah yang
dilengkapi dengan bukti-bukti proposisi yang ada.
• Bab IV, membahas tentang konsep
pengoptimuman diskon yang meliputi dua permasalahan pertama di atas, dan melengkapinya dengan contoh kasus.
• Pada Bab V diberikan simpulan dan saran
sebagai usulan topik yang menarik untuk diteliti lebih lanjut.
Qi/Di Waktu (t) Qi 0 2Qi/Di 3Qi/Di Tingkat Persediaan Qi-Dit
BAB II
LANDASAN TEORI
Sebagai pengantar untuk memahami tulisan Kim dan Hwang (1988) di bawah ini diberikan landasan teori dan penjelasan beberapa istilah dan notasi yang digunakan:
2.1 Economic Order Quantity (EOQ) Definisi 1 [Economic Order Quantity atau
EOQ]
Inventori atau persediaan merupakan hal penting dalam sistem produksi dan kegiatan pemasaran karena terhambatnya persediaan berarti terhambat pula kegiatan produksi dan pemasaran, sehingga mengakibatkan kerugian
bagi perusahaan. Akan tetapi inventori yang
berlebihan juga bukan berarti suatu keuntungan karena banyak biaya perawatan yang harus dikeluarkan dan barang yang disimpan berpeluang mengalami kerusakan atau ketinggalan jaman.
Dengan demikian diperlukan strategi untuk meminimumkan kedua efek negatif di atas. Tujuannya adalah untuk menentukan
berapa banyak produk yang harus dipesan
(diproduksi) dan berapa sering pemesanan
(produksi) harus dilakukan agar biaya yang dikeluarkan perusahaan atau pelanggan menjadi minimum.
Permasalahan ini dari sisi permintaan
disebut sebagai economic order quantity
problem (EOQ) atau economic production lot-size problem bila dilihat dari sisi produksi; dan seringkali cukup disebut sebagai model persediaan.
Ada beberapa macam klasifikasi dari model persediaan ini jika ditinjau dari sifat permintaannya, yaitu:
• Permintaan bersifat deterministik, dapat
bersifat statis dengan laju permintaan tetap sepanjang waktu, atau dinamis dengan laju permintaan diketahui dengan pasti tetapi bervariasi satu periode ke periode berikutnya.
• Permintaan bersifat probabilistik, yang
memiliki dua klasifikasi serupa: kasus stasioner, dengan fungsi kepadatan peluang permintaan tetap sepanjang waktu, dan kasus nonstasioner, dengan fungsi kepadatan peluang bervariasi sepanjang waktu.
Selain jenis permintaan yang merupakan faktor utama dalam perancangan model persediaan, faktor-faktor berikut juga dapat mempengaruhi cara perumusan model yang bersangkutan:
• tenggang waktu pengiriman (lag/lead
time), yaitu waktu antara pengajuan
pesanan dan penerimaannya; dapat bersifat deterministik atau probabilistik,
• pengisian kembali persediaan, dapat
terjadi dengan segera ataupun dengan sebagian demi sebagian,
• horison waktu, mendefinisikan perioide
dengan tingkat persediaan dikendalikan,
• banyaknya produk, dapat melibatkan lebih
dari satu produk atau komoditas,
serta masih banyak lagi kriteria yang dapat dipakai.
Model Persediaan Statis Satu Produk
Asumsi-asumsi yang digunakan adalah sebagai berikut:
• hanya ada satu jenis produk,
• laju permintaan produk adalah tetap
sepanjang waktu,
• continuous review, pesanan dapat segera dilakukan kapan saja bila waktu telah
menunjukkan reorder point (waktu
pemesanan kembali),
• lead time tetap,
• pengisian kembali persediaan terjadi
dengan segera, tidak terjadi kekurangan produk pesanan.
Gambar 1 berikut mengilustrasikan variasi tingkat persediaan dari model persediaan ini
(notasi i = 1, 2, 3, ..., n digunakan untuk
menyatakan perusahaan atau pelanggan i).
Gambar 1 Variasi tingkat persediaan. Tingkat persediaan tertinggi terjadi ketika
3
Misalkan laju permintaan adalah Di per unit
waktu, sehingga tingkat persediaan akan
berada pada titik nol setelah Qi/Diunit waktu
dari waktu pemesanan. Qi/Didisebut sebagai
panjang cycle, yaitu tenggang waktu antara
dua pemesanan.
Semakin kecil ukuran pesanan Qi, akan
menyebabkan semakin sering pemesanan harus dilakukan. Ini bisa berarti biaya akan
lebih besar karena adanya biaya pesananyang
harus dikeluarkan setiap kali melakukan pemesanan. Akan tetapi ini juga bisa berarti biaya akan lebih kecil karena akan menyebabkan rata-rata tingkat persediaan menurun (lebih sedikit biaya yang harus dikeluarkan untuk penyimpanan). Sebaliknya ukuran pesanan yang besar akan mengakibatkan rata-rata tingkat persediaan lebih tinggi, dan tenggang waktu antar pemesanan lebih panjang. Sehingga diperlukan upaya untuk menentukan ukuran
pesanan Qi yang meminimumkan total biaya
inventori per unit waktu.
(Setiawan, 2002)
Definisi 2 [Titik impas atau price break point
atau break even point]
Titik impas adalah titik (level) operasi perusahaan sedemikian sehingga total biaya produksi dengan total pendapatan sama besar, biasanya dinyatakan dalam bentuk ukuran unit barang atau unit uang (dollar).
(Thacker,1978)
Definisi 3 [Ukuran lot]
Ukuran lot adalah banyaknya persediaan barang baik melalui pembelanjaan atau hasil produksi dalam jumlah yang cukup untuk mengantisipasi permintaan.
(Lewis, 2004)
Definisi 4 [Biaya set-up]
Biaya set-up adalah biaya yang
dikeluarkan berkenaan dengan ukuran lot. (Kim & Hwang, 1988)
2.2 Kemonotan dan Kecekungan Fungsi Definisi 5 [Kemonotonan Fungsi]
Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang I
(terbuka, tertutup, atau tak satupun). Dikatakan bahwa:
i. f adalah naik pada I jika untuk setiap
pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,
)
(
)
(
1 2 2 1x
f
x
f
x
x
<
⇒
<
ii. f adalah turun pada I jika untuk setiap
pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,
)
(
)
(
1 2 2 1x
f
x
f
x
x
<
⇒
>
iii.f monoton murni pada I jika ia naik pada I
atau turun pada I
(Purcell & Varberg, 1999)
Definisi 6 [Kecekungan Fungsi]
Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang
terbuka I = (a, b). Fungsi (dan grafik) f
dikatakan :
i. konveks atau cekung ke atas jika
f
′
naikpada I.
ii. konkaf atau cekung ke bawah jika
f
′
turun pada I.(Purcell & Varberg, 1999)
Teorema 1 [Kemonotonan Fungsi]
Andaikan f kontinu pada selang I dan
dapat didiferensialkan pada setiap titik-dalam dari I.
i. Jika f′(x)>0untuk semua titik-dalam x
dari I, maka f naik pada I.
ii. Jika f′(x)<0untuk semua titik-dalam x
dari I, maka f turun pada I.
(Purcell & Varberg, 1999)
Teorema 2 [Kecekungan Fungsi]
Andaikan f terdiferensialkan dua kali pada
selang terbuka (a, b).
i. Jika f ′′(x)>0untuk semua x dalam (a, b),
maka f konveks atau cekung ke atas pada
(a, b).
ii. Jika f ′′(x)<0untuk semua x dalam (a, b),
maka f konkaf atau cekung ke bawah pada
(a, b).
BAB III
PERUMUSAN MASALAH
Dalam matematika, model merupakan tiruan dari suatu permasalahan sedemikian rupa sehingga operasi matematis bisa diterapkan padanya. Konstruksi model dilaku-kan dengan cara memasukdilaku-kan serangkaian asumsi awal sebagai penyederhanaan, tanpa terlalu menyederhanakan permasalahan itu sendiri.
Berikut adalah asumsi-asumsi yang dipergunakan dalam pemodelan masalah ini:
1) Pelanggan tidak tunggal.
2) Penjual menawarkan diskon dengan titik
impas tunggal.
3) Dalam menentukan ukuran pesanan, setiap
pelanggan mengikuti model Economic
Order Quantity (EOQ) statis satu produk.
4) Banyaknya pelanggan dan total
permintaan per unit waktu tetap, tidak bergantung pada perancangan diskon.
5) Banyaknya unit barang diperlakukan
sebagai variabel kontinu.
6) Biaya pesanan dan biaya inventori
pelanggan diberitahukan kepada penjual. Jika salah satu diketahui, yang lain dapat diturunkan dengan menggunakan asumsi ketiga.
Pemodelan ini dibangun dari dua sudut. Pertama dari sudut pelanggan yang berupaya meminimumkan biaya inventori dan kedua dari sudut penjual yang berupaya memaksi-mumkan keuntungan.
3.1 Model Biaya Inventori Pelanggan
• Misalkan
C1i = biaya pesanan pelanggan i
(i = 1, 2, 3, ..., n)
C2i = biaya inventori, dinyatakan
sebagai persentase dari harga barang.
Pi = fungsi harga (biaya) pembelian
pelanggan i
R = tingkat diskon (0 < R < 1)
Q = titik impas
• Misalkan harga per unit barang yang
diberikan oleh penjual adalah P untuk Qi <
Q, dan P(1–R) untuk unit barang di atas Q,
maka total biaya pembelian yang
dikeluarkan pelanggan i menjadi PQi untuk
Qi < Q, dan PQ+P(1–R)(Qi–Q) untuk Qi≥
Q.
Dengan demikian, fungsi harga untuk pelanggan i menjadi: Pi = P untuk Qi<Q,
danuntuk Qi≥ Q, Pi=P(1−R)+PRQ/Qi
(lihat Lampiran 1). Secara umum dapat ditulis sebagai berikut:
⎩ ⎨ ⎧ + − = , / ) 1 ( , i i P R PRQ Q P P selainnya Q Qi < (1)
• Biaya pemesanan per cycle sejumlah Qi
pesanan adalah C1i+PiQi; dengan panjang
cycleQi/Di maka biaya pemesanan per unit
waktu sejumlah Qi unit pesanan adalah
C1iDi/Qi+PiDi,
• Karena tingkat persediaan tertinggi adalah
Qi (ketika pemesanan dilakukan) dan
tingkat terendah adalah nol (setelah Qi/Di
unit waktu dari waktu pemesanan), maka
rata-rata tingkat persediaan adalah Qi/2 dan
biaya penyimpanan per unit waktu adalah
C2iPiQi/2, sehingga total biaya inventori
per unit waktu sejumlah Qi pesanan adalah:
Ei(Qi) ≈ biaya pemesanan + biaya
penyimpanan
= C1iDi/Qi+PiDi+ C2iPiQi/2
= C1iDi/Qi+Pi(C2iQi/2+ Di) (2)
Misalkan Ei(Qi) dinotasikan dengan
E1i(Qi) untuk Qi < Q dan E2i(Qi) untuk Qi≥
Q. Maka untuk mendapatkan nilai economic
order quantity atau Qi yang
meminimum-kan setiap Ei(Qi) tersebut digunakan konsep
diferensial, yakni menurunkan Ei(Qi)
terhadap Qi, dan menyamakannya dengan
nol.
Dengan cara tersebut diperoleh Qi yang
meminimumkan Ei(Qi) untuk kedua kondisi
di atas:
• Ukuran pesanan optimum pada kondisi tanpa diskon
Misalkan Qi yang meminimumkan
E1i(Qi) dinotasikan dengan Qai. Karena
harga Pi = P untuk Qi < Q, maka i i i i i i i iQ C D Q C PQ PD E1( )= 1 / + 2 /2+ , (3) sehingga diperoleh : 2 / / ) ( 2 2 1 1 i i i i i i i C D Q PC dQ Q dE =− +
,
5 dan ( ) 2 13 0 2 1 2 > = i i i i i i Q D C dQ Q E d , ∀Qi>0.
Jadi E1i(Qi) merupakan fungsi konveks
untuk setiap Qi >0. Dengan demikian
diperoleh Qai yang meminimumkan E1i(Qi)
diperoleh dari: 0 ) ( 1 = i i i dQ Q dE , 0 2 / / 2 2 1 + = − ⇔ CiDi Qi PCi i i i i PC D C Q 2 1 2=2 ⇔ , sehingga P C D C Q i i i i 2 1 2 = ,
atau yang dinotasikan dengan
P C D C Q i i i ai 2 1 2 = . (4) Dengan demikian, diperoleh:
i i i i ai i Q C C PD PD E1( )= 2 1 2 + . (5) (lihat Lampiran 2)
• Ukuran pesanan optimum pada kondisi terdapat diskon ) 1 ( ) ( 2 2 1 R P C D RPQ C Q i i i bi − + = , atau ) 1 ( 2 2 2 2 R C RQD C Q Q i i i ai bi − + = (6)
(lihat Lampiran 3), dan
(
i)
i(
)
i bi i Q C RPQC P RD E2( )= 2 1 + 2 1− +C2iPRQ/2+P(1−R)Di(7) (lihat Lampiran 4) Proposisi 1 Misalkan Qci= i i i i ai C D C D Q R R 2 2 2 2 ) 1 1 ( 2 ⎟⎟− ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − (8) maka Qai ≤ Qci ≤Qbi dan E1i(Qai) ≥ E2i(Qbi) untuk Q ≤Qci, E1i(Qai) < E2i(Qbi) untuk Q > Qci.
Bukti. (lihat Lampiran 5) ■.
Proposisi 1 menyatakan bahwa untuk R
yang diberikan, pesanan optimal Qi* dari
pelanggan i bergantung pada titik impas Q,
yakni: . untuk , untuk * ci ci ai bi i Q Q Q Q Q Q Q > ≤ ⎩ ⎨ ⎧ = (9)
Gambar 2 di bawah ini mengilustrasikan
kurva biaya pelanggan i dan Qi* yang
bergantung pada posisi antara Q dan Qci (lihat
Lampiran 6). Ei(Qi) E1i (Qai) E2i (Qbi) QaiQ Qci Qbi E1i i Q E2i (a) Q ≤Qci Ei(Qi) E2i(Qbi) (b) Q >Qci E1i (Qai) QaiQci Q Qbi E1i i Q E2i
6
3.2 Model Fungsi Keuntungan Penjual
Misalkan Si adalah biaya set-up per
pesanan oleh pelanggan i dan C adalah biaya
variabel per unit barang, maka biaya yang dikeluarkan penjual per unit waktu dari pelanggan i dinyatakan dengan Si(Di/Qi)+CDi.
Dengan demikian total keuntungan penjual per unit waktu adalah:
∑ − −
= n
i1[PiDi Si(Di Qi) CDi] (10)
Dengan adanya rencana diskon (R,Q),
maka suku terakhir pada (10) tidak menjadi variabel keputusan, sehingga penjual hanya dihadapkan pada masalah memaksimumkan keuntungan yang dinyatakan oleh fungsi:
F(R,Q)=∑ = − n i i i i i i Q D S D P 1 )] ( [ (11)
Misalkan Fi(R,Q) adalah kontribusi
pelanggan i terhadap keuntungan penjual per
unit waktu. Dari persamaan (11) diperoleh,
Fi(R,Q)= PiDi –SiDi/Qi. (12)
Misalkan diberikan nilai (R, Q), maka
para pelanggan dapat dibagi ke dalam dua kelompok berikut ini:
(i) G1 ={i|Qci< Q}.
Jika i
∈
G1, maka Qi*= Qai dan Fi= F1i,dengan F1i = PDi–SiDi/Qai (13)
(ii) G2={i|Qci ≥ Q}.
Jika i
∈
G2, maka Qi*= Qbidan Fi= F2i,dengan bi i i i bi i Q D S D Q RPQ R P F ⎟⎟ − ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = (1 ) 2 i bi i D Q S RPQ R P ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − = (1 ) ( ) (14)
Pelanggan yang termasuk pada G1 adalah
pelanggan yang ukuran pesanannya tidak dipengaruhi oleh rencana diskon. Tetapi
pelanggan pada G2 mengubah ukuran
pesanannya dari Qai menjadi Qbi ketika
terdapat penawaran diskon. Dengan demikian
F(R,Q) pada persamaan (11) dapat ditulis
kembali sebagai ∑ ∑ = = ∈ 2 1 ( , ) ) , ( j i Gj ji Q R F Q R F (15)
Kontribusi pelanggan i terhadap
keun-tungan penjual ditunjukkan pada Gambar 3 (lihat Lampiran 7).
Keuntungan maksimum diperoleh pada
ci
Q
Q= atau pada Q > Qci. Dalam hal ini,
pada kasus Q > Qci, berarti penjual tidak
mengharapkan pelanggan i memanfaatkan
diskonnya. Fi Qci Qai Qbi F2i Q F1i Qci F1i Qai Qbi F2i Q Fi
Gambar 3 Kontribusi pelanggan i
BAB IV
PENGOPTIMUMAN RANCANGAN
PENAWARAN DISKON
Pada bab ini akan dianalisis bagaimana penjual mengoptimumkan rancangan pena-waran diskonnya sehingga kedua permasalah-an ypermasalah-ang telah dirumuskpermasalah-an pada Bab III itu masing-masing mencapai nilai optimum, penjual dapat memaksimumkan keuntungan-nya sedangkan pelanggan dapat meminimum-kan biaya inventorinya.
Pengoptimuman rancangan penawaran diskon tersebut dianalisis untuk dua kasus berikut ini:
a.menentukan titik impas yang dapat
mengoptimumkan keuntungan jika tingkat diskon ditetapkan.
b.menentukan tingkat diskon yang dapat
mengoptimumkan keuntungan jika titik impas ditetapkan.
4.1 Kasus 1. Tingkat diskon ditetapkan
Pada kasus ini penjual dihadapkan pada masalah bagaimana menentukan titik impas yang optimum sehingga kedua belah pihak baik pelanggan maupun penjual itu sendiri mendapat keuntungan. Misalkan tingkat diskon yang ditentukan dinotasikan dengan
Rp, maka Qci dapat ditentukan untuk semua
pelanggan. Dalam hal ini misalkan terdapat
paling banyak n nilai Qci yang berbeda, sebab
beberapa pelanggan dapat memiliki Qci yang
sama. Andaikan nilai-nilai Qci yang berbeda
dinotasikan dengan Xi, i = 0, 1, 2, 3,..., r≤ n,
dan disusun kembali dalam urutan naik dengan: X0 = 0 dan Xr = maxi Qci. Untuk setiap
selang (Xi, Xi+1] pada Q, G1 dan G2 ditentukan
secara tunggal, yaitu pelanggan k dengan Qck
≤ Xi, k∈G1 dan Qck ≥ Xi+1, k∈G2. Dengan
demikian, setiap pelanggan termasuk pada G1
untuk Q∈(Xr,∞).
Proposisi 2
Nilai maksimum dari F(Rp,Q) terjadi pada
ck
Q
Q= untuk beberapa k, atau pada
sembarang Q yang lebih besar dari Xr.
Bukti
F2i(Rp,Q) monoton naik pada Q∈(Xk, Xk+1]
untuk k < r sedangkan F1i konstan (lihat
Gambar 3). Pada (Xr,∞), F(Rp,Q) menjadi
konstan dan sama dengan F(0,0).
Dengan kata lain untuk mendapatkan Q
yang memaksimumkan F(Rp,Q), evaluasi
F(Rp,Q) pada Q = Qci dan pada Q>Xr untuk
setiap pelanggan i, kemudian pilih nilai Q
yang memaksimumkan F. ■
Contoh kasus
Misalkan diberikan data lima pelanggan beserta data yang relevan pada Tabel 1.
Tabel 1 Data lima pelanggan Plgg. (i) Permintaan per waktu (Di) Ukuran Pesanan (Qi) Total Inventori Ei(Qi) ($) 1 50 10 265 2 300 20 1530 3 250 22 1283 4 200 30 1045 5 350 40 1810
Harga per unit (P) = $5
Biaya tetap (Si) = $25
Biaya inventori (C2i) = 0.3
Keterangan: Plgg. menyatakan pelanggan Misalkan penjual menawarkan tingkat
diskon (R) sebesar 0.3. Dengan merujuk
prosedur di atas, diperoleh titik impas yang optimum sebesar 172.18 (lihat Lampiran 10). Tabel 2 Perbandingan keuntungan sebelum
dan sesudah penawaran diskon
Tanpa diskon Dengan (R=0.3, Q=172.18) Total frekuensi pemesananplgg. 46.8 14 Total keuntungan ($) 4580.5 4651.4
Pada Tabel 2, ditunjukkan nilai optimum
penawaran diskon (R=0.3 , Q=172.18) dan
keuntungan yang diharapkan penjual. Total frekuensi pemesanan pelanggan berkurang dari 46.8 menjadi 14 kali per unit waktu sebagai akibat dari pelanggan yang mengubah ukuran pesanannya menjadi lebih besar karena adanya penawaran diskon tersebut.
8 Tabel 3 Ukuran pesanan dan total biaya
inventori pelanggan i
Ukuran pesanan Total biaya
Plgg.
(i) Tanpa
diskon Dengan(R*,Q*) diskonTanpa Dengan(R*,Q*)
1 10 10 265 265
2 20 384.9 1530 1323
3 22 351.7 1283 1125
4 30 30 1045 1045
5 40 417.7 1810 1521
Pada Tabel 3, setiap pelanggan merespon penawaran diskon secara optimal. Pelanggan 2, 3, dan 5 memanfaatkan penawaran diskon tersebut dan mendapatkan keuntungan, sementara pelanggan 1 dan 4 tidak melakukannya.
4.2 Kasus 2. Titik impas ditetapkan
Dalam kasus ini, penjual dihadapkan pada masalah bagaimana mendapatkan tingkat
diskon yang optimum untuk nilai Q yang telah
ditetapkan (Qp).
Proposisi 3
(i) Qci merupakan fungsi monoton naik
terhadap R.
(ii)Untuk pelanggan i yang memenuhi
Qai<Qp<2Qai+2Di/C2i, maka berlaku Qci= Qp, pada 2 2 2 ) / 2 ( ) )( / 2 ( 4 i i p ai p i i ai i C D Q Q Q C D Q R + − + = (16) Bukti (lihat Lampiran 8)■
Proposisi 3 berimplikasi bahwa bila R
berkurang, maka Qci juga berkurang. Dalam
proses ini, beberapa perubahan pada Gk terjadi
bila Qci = Qp untuk beberapa i dan kemudian
menjadi lebih kecil dari Qp.
Andaikan terdapat sebanyak t nilai Ri yang
berbeda yang diperoleh dari Persamaan (16)
dan disusun dengan urutan naik menjadi Yi, i
= 0, 1, 2, ..., t ≤ n, dengan Y0 = 0 dan Yt+1 = 1.
Misalkan Ii= [Yi,Yi+1), i = 0, 1, 2, ..., t. Pada
setiap Ii, Gk ditentukan secara unik serta tidak
mengalami perubahan jika R∈Ii. Dengan
demikian, pelanggan j dengan Rj >Yi, maka
j∈G1, dan jika Rj ≤Yi, maka j∈G2.
Untuk pelanggan i yang memiliki Ri tak
fisibel (Ri ≤ 0 atau Ri≥ 1) maka pelanggan
tersebut masuk ke dalam kelompok G2 jika
Qai≥Qp, dan ke dalam kelompok G1jika Qp≥
2Qai + 2Di/C2i.
Dapat ditunjukkan bahwa d2F
2i/dR2 negatif
(lihat Lampiran 9), maka F(R,Qp) yang
terdefinisi pada Ii adalah konkaf, sehingga
) , ( max max ) , (R* Qp i R I F RQp F i ∈ = Contoh Kasus
Misalkan diberikan data yang sama seperti pada Tabel 1. Misalkan penjual menetapkan
titik impas (Q) sebesar 50 unit.
Dengan merujuk prosedur di atas, diperoleh tingkat diskon yang optimum sebesar 0.065 (lihat Lampiran 11).
Tabel 4 Perbandingan keuntungan sebelum dan sesudah penawaran diskon
Tanpa diskon (R=Dengan 0.065, Q=50) Total frekuensi pemesananplgg. 46.8 17.8 Total keuntungan ($) 4580.5 5155.1
Pada Tabel 4, ditunjukkan nilai optimal
penawaran diskon (R=0.065 , Q=50) dan
keuntungan yang diharapkan penjual. Total frekuensi pemesanan berkurang dari 46.8 menjadi 17.8 kali per unit waktu sebagai akibat dari pelanggan yang mengubah ukuran pesanannya menjadi lebih besar karena adanya penawaran diskon tersebut.
Pada Tabel 5, setiap pelanggan merespon penawaran diskon secara optimal. Pelanggan 2, 3, 4, dan 5 memanfaatkan penawaran diskon tersebut dan mendapatkan keuntungan, sementara pelanggan 1 tidak melakukannya. Tabel 5 Ukuran pesanan dan total biaya
inventori pelanggan i
Ukuran pesanan Total biaya
Plgg.
(i) Tanpa
diskon Dengan(R*,Q*) diskon Tanpa Dengan(R*,Q*)
1 10 10 265 265
2 20 85.9 1530 1325
3 22 79.4 1283 1283
4 30 74.8 1045 1042
BAB V
SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
Dari contoh kasus yang diujikan dapat disimpulkan bahwa keuntungan penjual meningkat tanpa membebankan biaya kepada para pelanggannya. Pada fakta tersebut biaya inventori yang dikeluarkan beberapa pelanggan menjadi lebih kecil dibanding dengan kondisi sebelum adanya penawaran diskon. Dengan kata lain penjual dan pelanggan saling berbagi keuntungan.
5.2 Saran
Sebagai saran untuk penelitian lebih lanjut, beberapa hal di bawah ini dapat dijadikan bahan pertimbangan:
1 Kasus tingkat diskon dan titik impas tidak
ditetapkan.
2 Sistem diskon dengan titik impas tidak
tunggal.
3 Jumlah unit barang diperlakukan sebagai
variabel diskret.
DAFTAR PUSTAKA
Kim KH, Hwang H. 1988. An incremental discount pricing schedule with multiple customers and single price break.
European Journal of Operational Research 35:71-79.
Lewis CJ. 2004. Economic Order Quantity.
[terhubung berkala].
http://fozzy.wvsc.edu/~lewis/handouts/eoq .html [14 Maret 2005].
Purcell J, Varberg D. 1999. Kalkulus dan
Geometri Analitis. Susila IN et al, penerjemah. Jilid 1. Ed. Ke-4. Airlangga. Jakarta.
Setiawan MI. 2002. Analisis Biaya Inventori dan Transportasi pada Network Terkendala [Skripsi]. Bogor. Institut Pertanian Bogor.
Thacker RJ. 1978. Accounting Principles.
11
Lampiran 1. Penjabaran Persamaan (1)
Total biaya yang dikeluarkan pelanggan untuk Qi≥ Q adalah PQ + P(1–R)(Qi–Q), sehingga
harga barang per unit sama dengan total biaya dibagi ukuran pesanan, Qi.
Dengan demikian diperoleh:
Pi = i i Q Q Q R P PQ+ (1− )( − ) = i i Q Q Q R Q P( +(1− )( − )) = i i Q Q R Q R Q P( +(1− ) −(1− ) ) = i i Q RQ Q Q R Q P( +(1− ) − + ) = i i Q RQ Q R P((1− ) + ) = i i Q PRQ Q R P(1− ) + Pi =P(1−R)+PRQ/Qi, Qi≥ Q.
Lampiran 2 Penjabaran Persamaan (5)
Diketahui untuk Qi < Q,E1i(Qi)=C1iDi/Qi+C2iPQi/2+PDi, maka i ai i ai i i ai iQ C D Q C PQ PD E1( )= 1 / + 2 /2+ .
Dari Persamaan (5) diketahui Qai = 2C1iDi/C2iP, sehingga diperoleh:
i i i i i i i i i i ai i C D C P PD P C P C D C D C Q E = + 2 1 2 + 2 1 1 1 2 / 2 / 2 ) ( i i i i i i i i i i i i i PD P C D C P C P C D C P C D C D C + + = 2 1 2 2 1 2 1 1 / 2 2 / 2 / 2 i i i i i i i i i PD P C D C P C P C D C P C + + = 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 i i i i i PD P C D C P C + = 2 1 2 2 i i i i i PD P C P C D C + = 2 2 2 1 ( ) 2 i i i iDC P PD C + = 2 1 2 . Jadi, E1i(Qai)= 2C1iC2iPDi+PDi.
12
Lampiran 3 Penjabaran Persamaan (6)
Misalkan Qi yang meminimumkan E2i(Qi) dinotasikan dengan Qbi. Karena
(
)
(
i)
i P R PRQ Q P = 1− + / untuk Qi ≥ Q,maka(
)
(
i)
i(
(
)
i)
i i i i i i i Q C D Q C P R PRQ Q Q P R PRQ Q D E2( )= 1 / + 2 1− + / /2+ 1− + / i i i i i i i i iD Q C P RQ C PRQ P R D PRQD Q C1 / + 2 (1− ) /2+ 2 /2+ (1− ) + / =(
i i i)
i i i i i i iQ C D PRQD Q C P RQ C PRQ P RD E2( )= 1 + / + 2 (1− ) /2+ 2 /2+ (1− ) , sehingga diperoleh(
)
/ (1 )/2 ) ( 2 2 1 2 C D PRQD Q C P R dQ Q dE i i i i i i i i =− + + − .(
)
0 2 ) ( 3 0 1 2 2 2 > + = > i i i i i i i Q PRQD D C dQ Q E d,∀Qi >0. Jadi E2i(Qi) merupakan fungsi konveks untuk
setiap Qi > 0.
Dengan demikian diperoleh Qbi yang meminimumkan E2i(Qi):
0 ) ( 2 = i i i dQ Q dE
(
)
/ 2 2 (1 )/2 0 1 + + − = − ⇔ CiDi PRQDi Qi C iP R 2 1 2 2 ) 1 ( i i i i i Q PRQD D C R P C − = + ⇔(
)
) 1 ( 2 2 1 2 R P C PRQD D C Q i i i i i − + = ⇔(
)
) 1 ( 2 2 1 R P C D PRQ C Q i i i i − + = ⇔ ) 1 ( / ) ( 2 2 1 R C P D PRQ C i i i − + = ) 1 ( / 2 / 2 2 1 R C P PRQD P D C i i i i − + = ) 1 ( 2 / 2 2 2 2 1 R C RQD P C C D C i i i i i i − + = .Dari Persamaan (4) diketahui Qai2 =2C1iDi/PC2i, sehingga (12 )
2 2 2 R C RQD C Q Q i i i ai bi − + = .
Lampiran 4 Penjabaran Persamaan (7)
Dari Lampiran 3 diketahui
(
i i i)
i i i i i i i Q C D PRQD Q C P RQ C PRQ P RD E2( )= 1 + / + 2 (1− ) /2+ 2 /2+ (1− ) , maka(
i i i)
bi i bi i i bi i Q C D PRQD Q C P RQ C PRQ P RD E2( )= 1 + / + 2 (1− ) /2+ 2 /2+ (1− ) , dengan(
)
) 1 ( 2 2 1 R P C D PRQ C Q i i i bi − + = , sehingga diperoleh:(
)
(
)
(
)
i i i i i i i i i i i i bi i C P R C PRQ P R D D PRQ C R P C R P C D PRQ C PRQD D C Q E /2 /2 (1 ) ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) ( 2 2 1 2 2 1 1 2 − + + − + − + − + + =13
(
)
(
)
(
)
(
)
i i i i i i i i i i i i i i i bi i D R P PRQ C R P C D PRQ C R P C R P C D PRQ C D PRQ C PRQD D C R P C Q E ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 ) 1 ( ) ( 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 − + + − + − + − + + + − = ⇒(
)
(
)
i i i i i i i i i i C PRQ P RD R P C D PRQ C R P C R P C D PRQ C R P C ) 1 ( 2 / ) 1 ( 2 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 1 2 2 1 2 + + − − + − + − + − =(
)
i i i i i i C P R C PRQ P RD D PRQ C R P C /2 (1 ) ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 1 2 − + + − + − =(
)
i i i i i i C PRQ P RD R P C D R P C PRQ C ) 1 ( 2 / ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 1 + + − − − + = , sehingga(
i)
i i i i bi iQ C PRQC P RD C PRQ P RD E2( )= 2 1 + 2 (1− ) + 2 /2+ (1− ) .Lampiran 5 Bukti Proposisi 1
• Pertama akan ditunjukkan bahwa Qai ≤ Qbi.
P C D C Qai = 2 1i i/ 2i dan Qbi= (2(C1i+RPQ)Di)/(C2iP(1−R)) = (2C1iDi+2RPQDi)/(C2iP(1−R) = 2C1iDi/C2iP(1−R)+2RPQDi/C2iP(1−R) = 2C1iDi/C2iP(1−R)+2RQDi/C2i(1−R). Karena C1i, C2i, P, Q, dan Di bernilai positif,0< R < 1, maka
P C D C1i i/ 2i
2 <2C1iDi/C2iP(1−R). Nilai 2RQDi/C2i(1−R) positif, sehingga
P C D C1i i/ 2i 2 < 2C1iDi/C2iP(1−R)+2RQDi/C2i(1−R). Jadi Qai < Qbi.
Jika R = 0 (tanpa diskon), maka Qai = Qbi. Dengan demikian Qai ≤ Qbi □
• Misalkan E2i(Qai|Q = Qai) menyatakan fungsi dari E2i(Qai) dengan Q = Qai dan
E2i(Qbi|Q = Qbi) menyatakan fungsi dari E2i(Qbi) dengan Q = Qbi.
Akan ditunjukkan bahwa E2i(Qai|Q = Qai) = E1i(Qai) dan E2i(Qbi|Q = Qbi) = E1i(Qbi).
o Akan ditunjukkan E2i(Qai|Q = Qai) = E1i(Qai):
Dari Lampiran 3 diketahui bahwa
(
i)
i(
i)
i i i i i i iQ C D Q C P R PRQ/Q Q/ P R PRQ/Q D E( )= 1 / + 2 (1 − )+ 2+ (1− ) + , maka i ai ai ai ai ai i ai i i ai ai iQ Q Q C D Q C P R PRQ /Q Q / P R PRQ /Q D E2( = )= 1 / + 2( (1− )+ ) 2+( (1− ) + ) i ai i ai i iD Q C P R PRQ / P R PRD C1 / + 2( (1− )+ ) 2+( (1− ) + ) = i ai i ai i iD Q C PQ / PD C + + = 1 / 2 2 .Dari Lampiran 2 diketahui E1i(Qai) =C1iDi/Qai+C2iPQai/2+PDi, sehingga
14
o Akan ditunjukkan E2i(Qbi|Q =Qbi) = E1i(Qbi):
Dengan cara yang sama diperoleh
i i i i i i i i i i Q C D Q C P R PRQ/Q Q/ P R PRQ/Q D E( )= 1 / + 2( (1− )+ ) 2+ (1− ) + ) , sehingga i bi bi bi bi bi i bi i i bi bi iQ Q Q C D Q C P R PRQ /Q Q / P R PRQ /Q D E2( = )= 1 / + 2( (1 − )+ ) 2+( (1− ) + ) i bi i bi i iD Q C P R PRQ / P R PRD C1 / + 2( (1− )+ ) 2+( (1− ) + ) = i bi i bi i iD Q C PQ / PD C + + = 1 / 2 2 .
Dari Lampiran 2 diketahui
E1i(Qbi) =C1iDi/Qbi+C2iPQbi/2+PDi, sehingga E2i(Qbi|Q =Qbi) =E1i(Qbi)
Karena Qai meminimumkan E1i untuk setiap Q dan Qbi meminimumkan E2i untuk setiap Q,
maka:
E1i(Qai) ≤E1i(Qbi) = E2i(Qbi|Q =Qbi), dan E2i(Qbi|Q =Qai)≤ E2i(Qai|Q = Qai)= E1i(Qai) sehingga
E2i(Qbi|Q =Qai)≤ E1i(Qai)≤ E2i(Qbi|Q =Qbi) □
• Akan ditunjukkan E2i(Qbi) monoton naik terhadap Q
Dari Lampiran 4 diketahui
(
i)
i i i ibi
iQ C PRQC P RD C PRQ P RD
E2( )= 2 1 + 2 (1− ) + 2 /2+ (1− ) .
Dari Teorema 1 diketahui fungsi f naik pada I jika f′(x)>0untuk semua titik dalam x
dari I, sehingga diperoleh:
(
)
0 2 0 2 1 0 2 2 2 /2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 ) ( > > > + − + − = C PR D R P C PRQ C D R R P C dQ Q dE i i i i i i bi i 0 ) ( 2 > ⇒ dQ Q dEi bi , artinya E2i(Qbi) monoton naik terhadap Q □
Dengan demikian terdapat Qci dengan Qai ≤Qci ≤Qbi yang memenuhi E1i(Qai)= E2i(Qbi)
pada saat Q = Qci atau ditulis dengan E1i
( )
Qai =E2i(
QbiQ=Qci)
. Akibatnya jika Q < Qci maka E1i(Qai) > E2i(Qbi)
jika Q > Qcimaka E1i(Qai) < E2i(Qbi)□
Nilai Qci diperoleh dengan cara sebagai berikut:
( )
ai i(
bi ci)
i Q E Q Q Q E1 = 2 =(
bi ci)
i( )
ai i Q Q Q E Q E2 = = 1 ⇔ i i ci i RPQ C P RD C ) (1 ) ( 2 1 + 2 − ⇔ + C2iRPQci/2 + P(1-R)Di= 2C1iC2iPDi +PDi i i ci i RPQ C P RD C ) (1 ) ( 2 1 + 2 − ⇔ = 2C1iC2iPDi +RPDi−C2iRPQci/2 (i)Dengan menguadratkan kedua ruas Persamaan (i) dan mengatur Qci sedemikian rupa
15
(
)
2 2 1 ) (1 ) ( 2 ( Ci+RPQci C iP −RDi ⇔ =(
2C1iC2iPDi +RPDi−C2iRPQci /2)
2 i i ci i RPQ C P R D C ) (1 ) ( 2 1 + 2 − ⇔ =2C1iC2iPDi+(
RPDi) (
2+ C2iRPQci /2)
2−RPDiC2iRPQci(
2)
(
/2)
2 C1iC2iPDi RPDi−C2iRPQci +(
)
i i(
)
i ci i iC P RD C P RRDQ C − + − ⇔2 1 2 21 2 2 1(
)
2 2 1 2CiC iPDi+ RPDi = i i i ci i i i i i ci i i ci iRPQ R P DC Q C C PD RPD C RPQ C C PD C 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎟⎟⎠ − + − ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ci i i ci i i i i i i i iC PD C C PRD C P RDQ C P R DQ C1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − + − ⇔(
i)
i ci i i ci i i i Q C P R DQ RP C RPD PD C C 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ⎟⎟ − ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = i i i ci i i i i i C C PD C RPQ C C PD RPD 2 1 2 2 2 1 2 2 − + ci i i i i ci i i ci i i ci iRP Q C P RDQ C P R DQ C RP C C PD Q C 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎟⎟⎠ − + − ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⇔ i i i i i i iC PRD RPD C C PD C1 2 2 2 1 2 2 + + = 0(
)
(
)
(
i i i i i i)
ci ci iRP Q C RP PD PRD C C PD Q C 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ⎟⎟⎠ − − + ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⇔(
2 1 2 + +2 1 2)
=0 +PDiR CiC i PDiR CiC iPRDiPersamaan di atas dapat disederhanakan menjadi: 0 2+ + = ⇔XQci YQci Z (ii) dengan , ) 2 / ( 0 2 2 > = C RP X i }, 2 2 ){ (C2iRP PDi PRDi C1iC2iPDi Y=− − + ( )
{
(
1)
2}
, 0 2 1 0 2 > > + + − − = CiRP RPDi PDi CiCiPDi 0 2 1 2 1 2 2 } 2 { > + + =PDiR CiC i PDiR CiC iPDi Z .Misalkan Q10 dan Q20 adalah solusi dari (ii) dengan
X XZ Y Y Q 2 4 2 0 2 , 1 =− ± − . Nilai Q10 dan 0 2 Q ada jika Y2−4XZ≥0.
(
)
{
}
(
)
(
i)
{
i i i i i i}
i i i i i i i PD C C R PD C C R PD RP C PD C C PRD PD RP C XZ Y 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − = −16
(
C iRP) (
{
PDi PRDi)
(
PDi PRDi)
CiC iPDi CiC iPDi}
XZ Y2−4 = 2 2 2 − 2+22 − 2 1 2 +2 1 2(
C2iRP) (
2 PDiR)
{
2C1iC2i+PDiR+2 2C1iC2iPDi}
−(
)
(
(
)
(
)
)
⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + − + − + + − = i i i i i i i i i i i i i i i i i i PD C C R PD C C R PD PD C C PD C C R PD PRD R D P D P RP C 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4(
)
(
)
⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − + − + + − = i i i i i i i i i i i i i PD C C R R PD C C PD C C R R PD R PD PD PD RP C 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4(
C iRP)
PD{
PDi(
−R) (
+ − R− R)
CiC iPDi + CiC i(
−R)
}
= 2 2 4 1 4 2 2 2 1 2 2 1 2 1(
)
{
4(
1) (
41)
2 2(
1)
}
0 0 2 1 2 1 0 2 2 − + − + − > = > > C iRP PD PDi R R CiC iPDi CiC i R .Dengan demikian Persamaan (ii) mempunyai solusi, yaitu:
X XZ Y Y Q 2 4 2 0 1 − − − = dan X XZ Y Y Q 2 4 2 0 2 − + − = . o Y2−4XZ >0 sehingga Q10<Q20
.
o X XZ Y Y Q 2 4 2 0 2 − + − = X XZ Y X Y Q 2 4 2 2 0 2 − + − = ⇔ . Karena Y < 0, X > 0 dan 0 4 2− XZ> Y , maka 0 2 > − X Y dan 0 2 4 2 > − X XZ Y , sehingga Q20 >0.
o Misalkan ruas kanan Persamaan (i) ditulis sebagai
2 / 2C1iC2iPDi RPDi C2iRPQci
k= + − (iii)
Misalkan ruas kiri Persamaan (i) ditulis sebagai
i i ci i RPQ C P R D C k= 2( 1 + ) 2 (1− ) i i ci i RPQ C P R D C k2 =2( 1 + ) 2 (1− ) ⇔ i ci i i i iC P R D C P R RQ D C (1 ) 2 (1 ) 2 1 2 − + 2 2 − = (iv)
Sketsa kedua kurva tersebut diperlihatkan pada Gambar 4.
Persamaan (iii) merupakan persamaan
garis lurus dengan variabel bebas Qci dan variabel
takbebas k yang mempunyai kemiringan negatif
yaitu −C2iRP/2.
Persamaan (iv) merupakan persamaan
parabola dengan variabel bebas Qci yang terbuka
ke arah kanan.
Titik potong kurva (iii) dengan sumbu k
diperoleh dari Qci = 0 ⇒k1= 2C1iC2iPDi +RPDi. k1 0 2 Q 0 1 Q k k2 Qci Pers. (iii) Pers. (iv)
17
Titik potong kurva (iv) dengan sumbu k diperoleh dari
Qci = 0 ⇒k2 = 2C1iC2iP(1−R)Di . Perhatikan bahwa
(
)
1 2 1 2 2 2 1 2CiC iPDi 2PRDi 2CiC iPDi PRDi k = + + i i i i i i i i iC P R D C C PD C C PRD C k22=2 1 2 (1− ) =2 1 2 −2 1 2 , akibatnya k12>k22.Karena k1 dan k2 positif maka k1>k2. Persamaan (iii) monoton turun, sedangkan
persamaan (iv) monoton naik sehingga perpotongan kedua kurva tersebut terjadi di sebelah kanan sumbu k. Ini berarti Q10>0
.
Jadi solusi dari Persamaan (1) adalah minimum dari{ , 0}
2 0 1 Q Q , yaitu: ) 2 /( ) 4 ( 2 0 1 Q Y Y XZ X Q = ci = − − − .
Dengan mensubtitusikan kembali , ) 2 / ( 2 2RP C X= i } 2 2 ){ (C2iRP PDi PRDi C1iC2iPDi Y=− − + , dan } 2 2 2 { 1i 2i i 1i 2i i iR C C PDR C C PD PD Z= + + ke dalam persamaan ) 2 /( ) 4 ( Y Y2 XZ X Qci = − − − , diperoleh:
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 / 2 2 2 2 2 / 4 2 2 2 2 RP C PD C C R PD C C R PD RP C PD C C PRD PD RP C PD C C PRD PD RP C Q i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ci + + − + − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = .Karena 2C1iDi/C2iP=Qai, maka persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:
