Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)

(1)

PROPOSISI

1.1 PROPOSISI

1.1 PROPOSISI dan TABEL KEBENARA

dan TABEL KEBENARAN

N

1.1.1 Proposisi

Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (

tersebut dinamakan proposisi ( preposition). preposition).

Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (

Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (truetrue) atau salah () atau salah ( false false), tetapi tidak ), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (

kebenarannya (truth valuetruth value).).

Contoh berikut ini dapat mengilustrasikan kalimat yang merupakan proposisi dan mana Contoh berikut ini dapat mengilustrasikan kalimat yang merupakan proposisi dan mana yang bukan.

yang bukan.

Contoh 1.1

a)

a) 6 6 adalah adalah bilangan bilangan genapgenap b)

b) oekarno adalah Presiden !ndonesia yang pertamaoekarno adalah Presiden !ndonesia yang pertama ")

") # # $ $ # # % % && d)

d) !bukota !bukota Pro'insi Pro'insi aa aa *arat *arat adalah adalah emarangemarang e)

e) +# +#   +- +-f)

f) Kemarin Kemarin hari hari hujanhujan g)

g) uhu uhu di di permukaan permukaan laut laut adalah adalah #+ #+ derajat derajat "el"ius"el"ius h)

h) Pemuda Pemuda itu itu tinggitinggi i)

i) Kehidupan Kehidupan hanya hanya ada ada di di Planet Planet *umi*umi

emuanya merupakan proposisi. Proposisi a, b, " bernilai benar, tetapi proposisi d emuanya merupakan proposisi. Proposisi a, b, " bernilai benar, tetapi proposisi d salah karena ibukota aa *arat seharusnya *andung dan proposisi e bernilai salah karena salah karena ibukota aa *arat seharusnya *andung dan proposisi e bernilai salah karena seh

seharuarusnysnya a +# +#   +-. +-. ProProposposisi f isi f samsampai pai ! ! memmemang ang tidtidak ak dapadapat t lanlangsugsung ng ditditetaetapkanpkan kebenarannya, namun satu hal yang pasti, proposisi/proposisi tersebut tidak mungkin benar kebenarannya, namun satu hal yang pasti, proposisi/proposisi tersebut tidak mungkin benar dan

dan sasalah lah seksekalialigusgus. . KitKita a bisbisa a menemenetaptapkan kan nilnilai ai proproposposisi isi tertersebsebut ut benabenar r ataatau u salsalah.ah. 0isalnya, proposisi f bias kita andaikan benar (hari kemarin memang hujan) atau salah 0isalnya, proposisi f bias kita andaikan benar (hari kemarin memang hujan) atau salah (hari kemarin tidak hujan). Demikian pula halnya untuk proposisi g dan h. Proposisi i bias (hari kemarin tidak hujan). Demikian pula halnya untuk proposisi g dan h. Proposisi i bias benar

benar atau atau salah, salah, karena karena sampai sampai saat saat ini ini belum belum ada ada ilmuan ilmuan yang yang dapat dapat memastikanmemastikan kebenarannya.

kebenarannya.

Contoh 1.2

a)

a) am am berapa berapa kereta kereta api api 1rgo 1rgo *romo *romo tiba tiba di di 2ambir32ambir3 b)

b) erahkan uangmu sekarang4erahkan uangmu sekarang4 ")

") 5 5 $ $   % % 77 d)

d) 5 5 8 8  bukan

bukan proposisi. proposisi. Kalimat Kalimat a a adalah adalah kalimat kalimat 9a9anya, nya, sedangkan sedangkan kalimat kalimat b b adalah adalah kalimatkalimat perintah,

perintah, keduanya keduanya tidak tidak mempunyai mempunyai nilai nilai kebenaran. kebenaran. Dari Dari "ontoh "ontoh +.+ +.+ dan dan +.# +.# di di atas,atas, dapat disimpulkan baha proposisi selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan sebagai dapat disimpulkan baha proposisi selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan sebagai kalimat 9anya maupun kalimat perintah. Kalimat " dan d bukan proposisi karena kedua kalimat 9anya maupun kalimat perintah. Kalimat " dan d bukan proposisi karena kedua

(2)

kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar maupun salah sebab keduanya mengandung kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar maupun salah sebab keduanya mengandung peubah ('ariable) yang tidak dispesifikasikan nilainya. 9

peubah ('ariable) yang tidak dispesifikasikan nilainya. 9etapi kalimatetapi kalimat :;ntuk sembarang bilangan bulat

:;ntuk sembarang bilangan bulatnn  <, maka #  <, maka #nn adalah bilangan genap= adalah bilangan genap= *id

*idang ang loglogika ika yanyang g memmembahabahas s proproposposisi isi dindinamaamakankan

kalkul

kalkulus

us propo

proposisi

sisi((

propositional propositional calculus

calculus) atau) atau

logika proposisi

logika proposisi (

( propositi propositional logiconal logic).).

e"ara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf ke"il seperti

e"ara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf ke"il seperti p p,,qq,,r r , , >.>. misalnya,

misalnya, p

p? 6 adalah bilangan genap,? 6 adalah bilangan genap,

;ntuk mendefinisikan p sebagai proposisi :6 adalah bilangan genap=. *egitu juga untuk ;ntuk mendefinisikan p sebagai proposisi :6 adalah bilangan genap=. *egitu juga untuk q

q ? soekarno adalah Presiden !ndonesia yang pertama. ? soekarno adalah Presiden !ndonesia yang pertama. r r ? # $ # % &. ? # $ # % &. dan sebagainya. dan sebagainya.

1.1.2 Ta!l K!!naran

@ilai

@ilai kebenaran kebenaran dari dari proposisi proposisi majemuk majemuk ditentukan ditentukan oleh oleh nilai nilai kebenaran kebenaran dari dari proposisiproposisi atomiknya dan "ara mereka dihubungkan oleh operator logika.

atomiknya dan "ara mereka dihubungkan oleh operator logika. •

•

"isalkan

"isalkan p

_p

dan

_q_q

adalah proposisi.

•

Kon#ungsi p $ % !rnilai !nar #ika

Kon#ungsi p $ % !rnilai !nar #ika p

_p

dan

dan q

q k!duan&a !nar' s!lain itu nilain&a

k!duan&a !nar' s!lain itu nilain&a

salah

•

(is#ungsi p ) % !rnilai salah #ika

(is#ungsi p ) % !rnilai salah #ika p

_p

dan

dan q

q k!duan&a salah' s!lain itu nilain&a !nar

k!duan&a salah' s!lain itu nilain&a !nar

N!gasi

N!gasi p

p' &aitu *

' &aitu *

p p' !rnilai !nar #ika

' !rnilai !nar #ika p

p salah' dan s!alikn&a

salah' dan s!alikn&a

0isalkan

0isalkan p

p? +A adalah bilangan prima? +A adalah bilangan prima q

q? bilangan prima selalu ganjil? bilangan prima selalu ganjil jelas baha

jelas baha p p bernilai benar dan bernilai benar danqq bernilai salah sehingga konjungsi bernilai salah sehingga konjungsi p

p B B qq? +A adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil adalah salah.? +A adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil adalah salah. at

atu u "ar"ara a yanyang g prapraktiktis s untuntuk uk menmenententukan ukan nilnilai ai kebkebenarenaran an proproposposisi isi majmajemuemuk k adaladalahah men

menggunggunakaakan n tabtabel el kebekebenaranaran. n. 99ababel el kebkebenarenaran an menmenampampilkilkan an hubhubungaungan n antantara ara nilnilaiai kebenaran dari proposisi atomik. 9abel +.+ menunjukkan tabel kebenaran untuk konjungsi, kebenaran dari proposisi atomik. 9abel +.+ menunjukkan tabel kebenaran untuk konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Pada tabel

disjungsi, dan ingkaran. Pada tabel tersebut, 9%tersebut, 9%truetrue(benar), dan %(benar), dan % false false(salah).(salah).

Ta!l 1.1

(3)

Contoh soal? ika

Contoh soal? ika p, q, r p, q, r adalah proposisi. *entuklah tabel kebenaran adalah proposisi. *entuklah tabel kebenaran dari ekspresi logikadari ekspresi logika (p B ) ' (E B r)

(p B ) ' (E B r) Penyelesaian? Penyelesaian? 1d

1da a   bubuah ah prpropopososisisi i atatomomi" i" di di daldalam am ekekspspreresi si lologigika ka dadan n sesetitiap ap prpropooposisisi si hanhanyaya mempunyai # kemungkinan nilai, sehingga jumlah kombinasi dari semu proposisi tersebut mempunyai # kemungkinan nilai, sehingga jumlah kombinasi dari semu proposisi tersebut adalah

adalah buah. 9abuah. 9abel kebenaran dari proposisi (p B ) ' (E B r) ditunjukkan pada tabel +.#.bel kebenaran dari proposisi (p B ) ' (E B r) ditunjukkan pada tabel +.#.

Proposisi majemuk dapat selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai Proposisi majemuk dapat selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing/masing proposisi atomiknya, atau selalu bernilai salah untuk berbagai kebenaran masing/masing proposisi atomiknya, atau selalu bernilai salah untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing/masing proposisi atomiknya. adi, sebuah proposisi kemungkinan nilai kebenaran masing/masing proposisi atomiknya. adi, sebuah proposisi ma

majejemumuk k didisesebubutt

tautologi

jjiikka a iia a bbeennaar r uunnttuuk k sseemmuua a kkaassuuss, , sseebbaalliikknnyyaa disebut

disebut

kontradiksi

kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.

jika ia salah untuk semua kasus. F

Faang ng dimdimaksaksud ud dendengan gan :se:semua mua kaskasus= us= di di daldalam am defdefiniinisi si si si ataatas s adaadalah lah semsemuaua kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya. Proposisi tautologi di"irikan pada kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya. Proposisi tautologi di"irikan pada kol

kolom om terterakhiakhir r padpada a tabtabel el kebkebenarenarannyannya a hanyhanya a memmemuatuat

Tru!

Tru!.

. ProProposposisisi i kontkontradradiksiksii di"irikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat

di"irikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat

+als!

+als!..

1.1., -uku / -uku Proposisi

Propos

Proposisi, dalam isi, dalam kerangkerangka ka hubungahubungan n eki'aleki'alen en logikalogika, , memenumemenuhi hi sifatsifat/sif/sifat at yangyang dinyatakan dalam sejumlah hukum pada tabel di baah.*eberapa hukum tersebut mirip dinyatakan dalam sejumlah hukum pada tabel di baah.*eberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada system bilangan riil, misalnya a(b $ ") % ab $ a", yaitu hukum dengan hukum aljabar pada system bilangan riil, misalnya a(b $ ") % ab $ a", yaitu hukum

(4)

dis

distritributibutif, f, sehsehingingga ga kadakadang/ng/kadkadang ang hukhukum um loglogika ika proproposposisi isi dindinamaamakan kan jugjugaa

huku0

huku al#aar proposisi

. .

Hukum/

Hukum/hukum logika hukum logika di di atas bermanfaat untuk membuktikaatas bermanfaat untuk membuktikan n ke/ekike/eki'alenan dua'alenan dua buah

buah proposisi. proposisi. elain elain menggunakan menggunakan tabel tabel kebenaran, kebenaran, ke/eki'alenan ke/eki'alenan dapat dapat dibuktikandibuktikan deng

dengan an hukuhukum/hm/hukum ukum loglogikaika, , khuskhususnyusnya a pada pada proproposposisi isi majmajemuemuk k yanyang g memmempunypunyaiai banyak

banyak proposisi proposisi atomik. atomik. *ila *ila suatu suatu proposisi proposisi majemuk majemuk mempunyai mempunyai n n buah buah proposisiproposisi atomi", maka t

atomi", maka table kebenarannya terdiri able kebenarannya terdiri dari dari baris. ;ntukbaris. ;ntuknnyang besar jelas tidak praktisyang besar jelas tidak praktis men

menggunggunakaakan n tabtabel el kebkebenaenaran, ran, mismisalnalnya ya untuntukukn=+< n=+< teterdrdapapat at babariris s di di dadalalam m tatabebell kebenarannya.

(5)

2.1 TATO

2.1 TATOLOI (AN

LOI (AN KONTRA(IKSI

KONTRA(IKSI

2.1.1

2.1.1 Ta

Ta

utologi

9

9aaututolologogi i adadalalah ah peperrnynyatataaaan n mamajejemmuk uk yyanangg selalu selalu benar benar ununttuk uk sesemmuaua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan/pernyataan komponennya. ebuah 9autologi kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan/pernyataan komponennya. ebuah 9autologi yang

yang memuat pernyatamemuat pernyataan an !mpli!mplikasi disebut !mplikasi Gogis. ;ntuk kasi disebut !mplikasi Gogis. ;ntuk membukmembuktikan apakahtikan apakah suatu pernyataan 9autologi, maka ada dua "ara yang digunakan. Cara pertama dengan suatu pernyataan 9autologi, maka ada dua "ara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai * (benar) maka disebut menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai * (benar) maka disebut 9autologi, dan "ara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan 9autologi, dan "ara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari +# hukum/hukum kui'alensi Gogika.

menerapkan sebagian dari +# hukum/hukum kui'alensi Gogika.

Contoh: Contoh:

Gihat pada argumen berikut? Gihat pada argumen berikut?

ika 9ono pergi kuliah, maka 9ini juga pergi kuliah. ika iska tidur, maka 9ini pergi ika 9ono pergi kuliah, maka 9ini juga pergi kuliah. ika iska tidur, maka 9ini pergi kuliah. Dengan de

kuliah. Dengan demikian, jika 9ono pergi kuliah atau iska tidur, maka 9ini pergi kulah.mikian, jika 9ono pergi kuliah atau iska tidur, maka 9ini pergi kulah. Diubah ke 'ariabel proposional?

Diubah ke 'ariabel proposional? 1

1 9ono 9ono pergi pergi kuliahkuliah *

* 9ini 9ini pergi pergi kuliahkuliah C

C iska iska tidur tidur Diu

Diubah bah laglagi i menmenjadi jadi ekseksprepresi si loglogika ika yang yang terterdirdiri i dardari i prepremismis/pr/premiemis s dan dan keskesimimpilpilan.an. ks

ksprepresi si loglogika ika + + dan dan # # adaladalah ah prepremismis/pr/premiemis, s, sedsedangangkan kan ekseksprepresi si loglogika ika   adaadalahlah kesimpulan. kesimpulan. (+) (+) 1 1 I I * * (Premis)(Premis) (#) (#) C C I I * * (premis)(premis) () (1 J C) I * (kesimpulan) () (1 J C) I * (kesimpulan) 0aka sekarang

0aka sekarang dapat ditulis? dapat ditulis? ((1 ((1 I *) I *) (C I ʌʌ (C I *)) I *)) I ((1 ((1 J C) J C) I *I *

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan baha pernyataan majemuk ? Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan baha pernyataan majemuk ?

(6)

((1

((1 I *) I *) (C I ʌʌ (C I *)) I *)) I ((1 ((1 J J C) I C) I * adalah* adalah

s!ua !nar

s!ua !nar (9autologi)

(9autologi)#L#L.. Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran?

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran? +. (p

+. (pʌʌ E) p E) p Pembahasan? Pembahasan?

!ni

!ni adaadalah lah tabetabel l kebkebenarenaran an yang yang menmenunjuunjukkakkan n 9a9autoutologlogi i dengdengan an alaalasan san yaiyaitu tu semsemuaua pernyataannya

pernyataannya bersifat bersifat benar benar atau atau 9rue 9rue (9). (9). maka maka dengan dengan perkataan perkataan lain lain pernyataanpernyataan majemuk (p

majemuk (p ʌʌE) E) pp

s!lalu !nar.

#. #. (p (p )) ʌʌpL pL p p  Pembahasan? Pembahasan? +) +) (#) (#) () () (&) (&) (M)(M)

*erdasrkan tabel diatas pada kolom M, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah *erdasrkan tabel diatas pada kolom M, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah ****.

****. Dengan Dengan perkataan perkataan lain, lain, pernyataan pernyataan majemuk majemuk (p (p ) ) pLʌʌ pL p p 

s!lalu !nar

Pe

Pembmbuktuktiaian n dedengngan an "ar"ara a kekedudua a yayaititu u dendengagan n pepenjanjababararan n atatau au penpenururununan an dedengangann menerapkan sebagian dari +# hukum/hukum ekui'alensi logika.

menerapkan sebagian dari +# hukum/hukum ekui'alensi logika. Contoh? Contoh? + +.. ((ppʌʌ ) )  Penyelesaian? Penyelesaian? (p ) (p )ʌʌ  E(p  E(p ) ʌʌ ) ' '  Ep ' E '  Ep ' E '  Ep ' 9 Ep ' 9

(7)

Dari pembuktian diatas telah nampaklah baha pernyataan majemuk dari (p

Dari pembuktian diatas telah nampaklah baha pernyataan majemuk dari (pʌʌ ) )  adalah adalah

tautologi karena hasilnya 9 (true) atau

tautologi karena hasilnya 9 (true) atau benar.benar. Pembukt

Pembuktian dengan ian dengan menggunmenggunakan tabel akan tabel kebenarkebenaran an dari pernyataadari pernyataan n majemmajemuk uk (p(pʌʌ ) ) 

yaitu? yaitu?

Pada

Pada tabel tabel diatas diatas nampaklah nampaklah baha baha kalimat kalimat majemuk majemuk (p (p )ʌʌ )  m merupakan 9erupakan 9autologi.autologi. # #..   ((p p ' ' )) penyelesaian? penyelesaian?   (p (p ' ' ) ) E E ' ' (p (p ' ' )) E ' ( ' p) E ' ( ' p) 9 ' p 9 ' p

2.1.2 Kontradiksi

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai "ontoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah mempunyai "ontoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala

dalam segala hal tanpa hal tanpa memandmemandang ang nilai kebenaran dari nilai kebenaran dari komponekomponen/kompn/komponennya. ;nonennya. ;ntuk tuk mem

membuktbuktikaikan n apaapakah kah suasuatu tu perpernyanyataataan n tertersebsebut ut kontkontradradiksiksi, i, makmaka a ada ada dua dua "ar"ara a yangyang diguna

digunakan. Cara kan. Cara pertampertama a dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihasemua pilihann bernilai

bernilai   atau atau salah salah maka maka disebut disebut kontradiksi, kontradiksi, dan dan "ara "ara kedua kedua yaitu yaitu dengan dengan melakukanmelakukan penjabaran

penjabaran atau atau penurunan penurunan dengan dengan menerapkan menerapkan sebagian sebagian dari dari +# +# hukum/hukumhukum/hukum kui'alensi Gogika.

kui'alensi Gogika. Contoh dari Kontradiksi? Contoh dari Kontradiksi? +

+.. ((11ʌʌ E1) E1)

Pembahasan? Pembahasan?

Da

Dari ri tatabebel l kekebebenanararan n didiatatas as dadapapatltlah ah didisisimpmpululkakan n babahha a pepernrnyayatataan an mamajejemumuk k (1

(1 ʌʌ E1) E1)

s!lalu salah.

#

(8)

Pembahasan? Pembahasan?

!ni adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua !ni adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah ().

pernyataan bernilai salah ().

,.1 EKI3ALENSI (AN LOIKA

Du

Dua a atatau au lelebibih h pepernyrnyatataaaan n mamajejemumuk k yanyang g memempmpunyunyai ai ninilalai i kebkebenenararan an sasama ma didisesebubutt ekui'alensi logika dengan notasi : dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekui'alen, jika ekui'alensi logika dengan notasi : dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekui'alen, jika ke

kedua dua pepernyrnyatataaaan n mamajejemumuk k ititu u memempmpunyunyai ai ninilalai i kekebebenanaran ran yayang ng sasama ma untuntuk uk semsemuaua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan/pernyataan komponen/komponennya.

kemungkinan nilai kebenaran pernyataan/pernyataan komponen/komponennya.

,.1.1 -uku0-uku Ekui)al!nsi Logika

1. -uku Koutati45

p p ʌʌ   pʌʌ p p '   ' p p '   ' p

2. -uku Asosiati45

(p ) r (p ) r ʌ ʌ ʌʌ p p (ʌʌ (ʌʌ r)r) (p ' ) (p ' ) ' r ' r p ' ( p ' ( ' r)' r)

,. -uku (istriuti45

p p ( ' r)ʌʌ( ' r) (p (p ) ʌ ʌ ) ' ' (p (p r)ʌʌ r) p ' ( p ' ( r)ʌʌ r) (p (p ' ' ) ) (p ʌʌ (p ' ' r)r)

6. -uku Id!ntitas5

p p 9ʌʌ9 pp p '  p '  pp

7. -uku Ikatan 8(oinasi95

P P ' ' 9 9 99 P P ' '   

:. -uku N!gasi5

P P ' ' Ep Ep 99 P P ʌʌ Ep Ep 

;. -uku N!gasi anda 8In)olusi95

E(Ep) p E(Ep) p

<. -uku Id!pot!n5

P P pʌʌ p pp p ' p p ' p pp

=. -uku (! "organ5

E( E( p p )ʌʌ) Ep Ep ' ' EE E(p

E(p ' ' ) ) EpEp ʌʌ E E

1>. -uku P!n&!rapan 8Asorpsi95

p ' (P p ' (P )ʌʌ ) pp P P (p ʌʌ (p ' ' )) pp

11. -uku T (an +5

E9 E9  E E 99

12. -uku Iplikasi

K! And?Or5

P

(9)

Dengan adanya hukum/hukum diatas, penyelesaian soal/soal baik yang bersifat Dengan adanya hukum/hukum diatas, penyelesaian soal/soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekui'alensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran tautologi, kontradiksi dan ekui'alensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan +# namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan +# (dua belas) hukum/hukum ekui'alensi logika tersebut.

(dua belas) hukum/hukum ekui'alensi logika tersebut.

6.1 AL@ABAR PROPOSISI

etiap proposisi yang saling eki'alen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan etiap proposisi yang saling eki'alen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya.

yang lainnya.

Hukum-hukum aljabar Proposisi adalah sebagai beri Hukum-hukum aljabar Proposisi adalah sebagai berikut:kut:

a. -uku Id!pot!n 8Id!9

•

• _p_p_∨_∨_{p ek p}_{p ek p} •

• _p_p_∧_∧_{p ek p}_{p ek p}

. -uku Asosiati4 8As9

•

• _(p_(p_∨_∨_)_)_∨_∨_{r ek p}_{r ek p}_∨_∨_(_(_∨_∨_r)_r) •

• _(p_(p_∧_∧_)_)_∧_∧_{r ek p}_{r ek p}_∧_∧_(_(_∧_∧_r)_r)

.

. -uku

-uku

Koutati4

Koutati4 8Ko9

8Ko9

•

• _∨_∨_{ ek }_{ ek }_∨_∨_p_p •

• _p_p_∧_∧_{ ek }_{ ek }_∧_∧_p_p

d. -uku (istriuti4 8(ist9

•

• _p_p_∨_∨_(_(_∧_∧_{r) ek (p}_{r) ek (p}_∨_∨_)_)_∧_∧_(p_(p_∨_∨_r)_r) •

• _p_p_∧_∧_(_(_∨_∨_{r) ek (p}_{r) ek (p}_∧_∧_)_)_∨_∨_(p_(p_∧_∧_r)_r)

!. -uku Id!ntitas 8Id9

• • _p_p_∨_∨_{ ek p}_{ ek p} • • _p_p_∨_∨_{9 ek 9}_{9 ek 9} • • _p_p_∧_∧_{ ek }_{ ek } • • _p_p_∧_∧_{9 ek p}_{9 ek p}

4. -uku Kopl!!n 8Kop9

• • _p_p_∨∼_∨∼_{p ek 9}_{p ek 9} • • _p_p_∧∼_∧∼_{p ek }_{p ek } • • _∼_∼₍₍_∼_∼_{p) ek p}_{p) ek p} • • _∼_∼_{9 ek }_{9 ek }

g. -uku

g. -uku Tr

Tr

ansposisi 8

ansposisi 8Tr

Tr

ans9

•

• _p_p_⇒_⇒_{ ek}_{ ek}_∼_∼___⇒∼_⇒∼_p_p

h. -uku Iplikasi 8Ip9

•

• _p_p_⇒_⇒_{ ek}_{ ek}_∼_∼_p_p_∨_∨__

i. -uku Eki)al!nsi 8Eki9

•

• _p_p_⇔_⇔_{ ek (p}_{ ek (p}_⇒_⇒_)_)_∧_∧_(_(_⇒_⇒_p)_p) •

• _p_p_⇔_⇔_{ ek (p}_{ ek (p}_∧_∧_)_)_∨_∨₍₍_∼_∼___∧∼_∧∼_p)_p)

#. -uku Eksportasi 8Eksp9

• • _(p_(p_∧_∧_)_)_⇒_⇒_{r ek p}_{r ek p}_⇒_⇒_(_(_⇒_⇒_r)_r)

k. -uku (! "organ 8("9

• • _∼_∼_(p_(p_∨_∨_{) ek}_{) ek}_∼_∼_p_p_∧∼_∧∼__ • • _∼_∼_(p_(p_∧_∧_{) ek}_{) ek}_∼_∼_p_p_∨∼_∨∼__

(10)

7.1 I"PLIKASI

LOIK 8LOICAL I"PLICAT

ION9

7.1.1 Iplikasi 8Proposisi B!rs&arat9

•

•_!m_!mpl_plik_ikas_asi_{i ad}_adal_alah_{ah 0i}_0isa_salk_lkan_{an ad}_ada_{a #}_{# pe}_pern_rnya_yata_taan_{an p}_{p da}_dan_{n ,}_{, unt}_untuk_{uk me}_menu_nunju_njukk_kkan_{an at}_atau_au

me

membmbuktuktikikan an bahbaha a jijika ka p p bebernrnililai ai bebenar nar akakan an memenjnjadiadikakan n   berberninilalai i bebenar nar jujuga,ga, dil

diletaetakkan kkan katkata a :!:!K1= K1= sebsebeluelum m perpernyanyataataan n perpertamtama a lallalu u dildiletaetakkan kkan katkata a :01:01K1=K1= sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan :implikasiNpernyataan, bersyaratNkondisionalNhypotheti"al dengan notasi :

dengan :implikasiNpernyataan, bersyaratNkondisionalNhypotheti"al dengan notasi :◊◊_{=. notasi}_{=. notasi}

p

p◊◊_{ dapat diba"a ?}_{ dapat diba"a ?} •

•_{+. ika p maka }_{+. ika p maka } •

•_{#.  jika p}_{#.  jika p} •

•_{. p adalah syarat "ukup untuk }_{. p adalah syarat "ukup untuk } •

•_{&.  adalah syarat perlu untuk p}_{&.  adalah syarat perlu untuk p} •

•

ontoh !mplikasi ": ontoh !mplikasi ":

•

• _{p ? Pak 1li adalah seorang haji.}_{p ? Pak 1li adalah seorang haji.} •

• _{ ? Pak 1li adalah seorang muslim.}_{ ? Pak 1li adalah seorang muslim.}

•

• p O  ? ika Pak 1li adalah seorang haji maka pastilah dia seorang musl p O  ? ika Pak 1li adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim.im.

•

• _{!mplikasi dari p ke  dinyatakan dengan, p8, ialah proposisi yang bernilai salah}_{!mplikasi dari p ke  dinyatakan dengan, p8, ialah proposisi yang bernilai salah}

jika

jika dan dan hanya hanya jika jika p p bernilai bernilai benar benar dan dan   bernilai bernilai salah. salah. Proposisi Proposisi p p disebut disebut antesedenanteseden (premisNhipotesa) dan proposisi  disebut k

(premisNhipotesa) dan proposisi  disebut konsekuen(konklusiNkesimpulan).onsekuen(konklusiNkesimpulan).

• •

ontoh !mplikasi ": ontoh !mplikasi ":

•

•_{a. ika adik lulus ujian, maka ia mendapat hadiah dari ayah.}_{a. ika adik lulus ujian, maka ia mendapat hadiah dari ayah.} •

•_{b. ika suhu men"apai 7<C, maka alarm berbunyi.}_{b. ika suhu men"apai 7<C, maka alarm berbunyi.} •

•_{". ika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri}_{". ika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri} •

•_{Pernyataan berbentuk :jika p, maka = sema"am itu disebut proposisi bersyarat atau}_{Pernyataan berbentuk :jika p, maka = sema"am itu disebut proposisi bersyarat atau}

kondisional atau implikasi. kondisional atau implikasi.

• •

•

_{:.1 +NSI PROPOSISI (AN -I"PNAN KEBENARAN}

•

• _{0isalkan P(5) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung 'ariabel 5 dan D}_{0isalkan P(5) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung 'ariabel 5 dan D}

adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap 5 di D, P(5) adalah proposisi.

proposisi (dalam D) jika untuk setiap 5 di D, P(5) adalah proposisi.

•

• ontoh :ontoh :

+.

+. 0i0isasalklkan an P(P(n) n) adadalalah ah pepernyrnyatataanaan, , n n adadalalah ah bibilalangangan n gaganjnjil il dadan n D D adadalalah ah hihimpmpununanan bilangan bulat positif. 0aka

bilangan bulat positif. 0aka P adalah fungsi proposisi dengan dP adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembi"araan Daerah asal pembi"araan D karena untuk setiap n di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa karena untuk setiap n di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa bernilai

bernilai benar benar atau atau salah salah tetapi tetapi tidak tidak keduanya). keduanya). ika ika n%+, n%+, dapat dapat diperoleh diperoleh proposisi. proposisi. ++ adalah bilangan ganjil bernilai benar. ika n%#, diperoleh proposisi # adalah bilangan adalah bilangan ganjil bernilai benar. ika n%#, diperoleh proposisi # adalah bilangan ganjil bernilai salah.

(11)

#.

#. ungungsi proposi proposissisi :5$#8Ai :5$#8A= = yang didyang didefiefinisnisikaikan n padpada a @, yakni himp@, yakni himpunan bilunan bilangaangan n aslasli.i. 0aka Q5 R 5

0aka Q5 R 5



@, 5$#8AS % Q6,A,7,>Sadalah himpunan kebenarannya. @, 5$#8AS % Q6,A,7,>Sadalah himpunan kebenarannya.

• •

•

;.1 PENKR @"LA- NI3ERSAL

•

• _0isalkan_0isalkan_#_# _{sebuah peny}_{sebuah penyataan, dan}_{ataan, dan}_$_$ _{menyatakan suatu 'ariabel. ika kita ingin}_{menyatakan suatu 'ariabel. ika kita ingin}

menunj

menunjukkan bahaukkan baha # # bernilai bena bernilai benar untuk r untuk semua kesemua kemungkinan mungkinan nilainilai $ $, kita tuliskan, kita tuliskan ∀∀55 # #..

∀

∀ $ $ disebut pengukur jumlah uni'ersal (disebut pengukur jumlah uni'ersal (universal quantifier universal quantifier ), dan), dan # # dikatakan sebagai ruangdikatakan sebagai ruang li

lingkungkup p (( scope scope) ) dardari i pengpengukur jumlaukur jumlah h tertersebsebut. ut. JJaariariabelbel $ $ dikatadikatakan kan menjamenjadi di 'ariab'ariabelel terbatas (

terbatas (bound bound ) dari pengukur jumlah tersebut. imbol) dari pengukur jumlah tersebut. imbol∀∀ diba"a :;ntuk semua=. diba"a :;ntuk semua=.

•

• _;nt_;ntuk_{uk pe}_perny_rnyat_ataa_aan_{n :e}_:emu_mua_{a ku}_ku"i_"ing_{ng pu}_puny_nya_{a ek}_ekor_or=_{= dap}_dapat_{at ki}_kita_{ta ny}_nyat_atak_akan_{an dal}_dalam_am

kalkulus predikat sebagai ?

kalkulus predikat sebagai ?∀∀5 (Ku"ing(5)5 (Ku"ing(5)⇒⇒Punyakor(5))Punyakor(5))

• • •

•

<.1 PENKR @"LA- EKSISTENSIAL 8

_∃_∃

9

•

• _{0isalkan 1 sebuah penyataan, dan 5 menyatakan suatu 'ariabel. ika kita ingin}_{0isalkan 1 sebuah penyataan, dan 5 menyatakan suatu 'ariabel. ika kita ingin}

menunjukkan baha 1 bernilai benar untuk sedikitnya satu nilai 5, kita tuliskan

menunjukkan baha 1 bernilai benar untuk sedikitnya satu nilai 5, kita tuliskan ∃∃5 1, yang5 1, yang diba"a :1da satu 5 yang memenuhi 1=.

diba"a :1da satu 5 yang memenuhi 1=.∃∃5 disebut pengukur jumlah eksistensial (e5istential5 disebut pengukur jumlah eksistensial (e5istential uanti

uantifierfier), ), dan 1 dikatakan sebagai dan 1 dikatakan sebagai ruang lingkup ruang lingkup (s"ope(s"ope) ) dari pengukur dari pengukur jumljumlah ah terstersebut.ebut. Ja

Jariabel 5 dikatakan riabel 5 dikatakan menjadi 'ariabel terbatas (boumenjadi 'ariabel terbatas (bound) dari pengukur nd) dari pengukur jumlah tersebut.jumlah tersebut.

•

• _Contoh_{Contohnya, jika}_{nya, jika domain berupa sekumpula}_{domain berupa sekumpulan}_{n benda, maka}_{benda, maka}_∃_∃_{5*lue(5) menyatakan}_{5*lue(5) menyatakan}

baha :1da benda yang berarna biru=. baha :1da benda yang berarna biru=.

•

• _em_emua_{ua pen}_penguku_gukur_{r jum}_jumlah_{lah ter}_terseb_sebut_{ut dip}_diperl_erlaku_akukan_{kan sep}_sepert_erti_{i oper}_operato_ator_{r uner}_uner,_{, yang}_yang

mempunya tingkat presedensi lebih tinggi daripada operator biner. ebagai "ontoh, misalkan mempunya tingkat presedensi lebih tinggi daripada operator biner. ebagai "ontoh, misalkan P(5) meakili per

P(5) meakili pernyataan :5 hidup= dan T(nyataan :5 hidup= dan T(5) 5) untuk :5 mati= muntuk :5 mati= makaaka

•

• _∀_∀_{5 (P(5)}_{5 (P(5)} _∨_∨_{T(5)) diartikan baha :semua hidup}_{T(5)) diartikan baha :semua hidup atau mati= tetapi}_{atau mati= tetapi} •

• _∀_∀_{5 P(5)}_{5 P(5)}_∨_∨_{T(5) diartikan :semua hidup atau 5 mati=}_{T(5) diartikan :semua hidup atau 5 mati=} •

• _{Jariabel 5 dalam suatu pengukur jumlah dapat digantikan dengan 'ariabel lain tanpa}_{Jariabel 5 dalam suatu pengukur jumlah dapat digantikan dengan 'ariabel lain tanpa}

meruba

merubah h arti dari seluruh pernyataarti dari seluruh pernyataan yang an yang diakidiakilinyalinya. . 0isal0isalkankan ∀∀5P(5P(5) denga5) dengann ∀∀yP(y)yP(y) adal

adalah ah hal hal yanyang g samsamaU aU dan dan se"se"ara ara loglogika ika kedukeduanyanya a ekieki'ale'alen. n. PerPernyanyataataann ∀∀yP(y) disebutyP(y) disebut sebagai 'ariant dari

sebagai 'ariant dari∀∀5P(5).5P(5).

•

• _{Pengukur jumlah (uantifier) mungkin terjadi se"ara bersarang. Dimana ada suatu}_{Pengukur jumlah (uantifier) mungkin terjadi se"ara bersarang. Dimana ada suatu}

pengukur

pengukur jumlah jumlah dalam dalam satu satu pernyataan pernyataan yang yang didalamnya didalamnya mengandung mengandung suatu suatu pengukur pengukur jumlah yang lain.

jumlah yang lain.

• •

=.1 NEASI INKARAN

•

• _{Kalimat ingkaran ( @egasi ) adalah suatu pernyataan yang diperoleh dari suatu}_{Kalimat ingkaran ( @egasi ) adalah suatu pernyataan yang diperoleh dari suatu}

pernyataan

pernyataan sebelumnya sebelumnya dan dan mempunyai mempunyai nilai nilai kebenaran kebenaran yang yang berlaanan berlaanan dengandengan pernyataan sebelumnya.

pernyataan sebelumnya.

•

(12)

• • •

• _9a_{9abel nilai kebenaran}_{bel nilai kebenaran @egasi ?}_{@egasi ?}

• •

•

• ontoh :ontoh :

•

• _9e_{9entukan ingkaran dari pernyataan}_{ntukan ingkaran dari pernyataan berikut, kemudian tentukanlah nilai kebenarann}_{berikut, kemudian tentukanlah nilai kebenarannya.}_ya. +.

+. ( + ) p ? !( + ) p ? !bukbukota ota aa *aa *araarat adat adalah lah uraurabaybaya.a. #

#.. s s ? ? # # $ $ # # % % MM .

. t t ? ? PiPingunguin in adadalalah ah *u*ururungng •

• _{aab ?}_{aab ?} +.

+. p ? !p ? !bukobukota ta aa aa *ar*arat aat adaldalah uah urabrabayaaya.. •

• _{Ep ? !bukota aa *arat *ukan urabaya.}_{Ep ? !bukota aa *arat *ukan urabaya.} •

• _{p bernilai  ( salah ) dan Ep bernilai * ( benar )}_{p bernilai  ( salah ) dan Ep bernilai * ( benar )} #.

#. ( ( # # ) ) s s ? ? # # $ $ # # % M% M •

• _{Es ? # $ # V M}_{Es ? # $ # V M} •

• _{s bernilai  ( salah ) dan Es bernilai * ( benar )}_{s bernilai  ( salah ) dan Es bernilai * ( benar )} .

. t t ? ? PiPingunguin in adadalalah ah burburungung.. •

• _{Et ? Pinguin bukan burung.}_{Et ? Pinguin bukan burung.} •

• _{t bernilai * ( benar ) dan Et bernilai  ( salah )}_{t bernilai * ( benar ) dan Et bernilai  ( salah )} • • • • • •

Su!r5

• • _{https?NNmuthiashri.ordpress."omN#<+&N<&N#-Nartikel/+6N}_{https?NNmuthiashri.ordpress."omN#<+&N<&N#-Nartikel/+6N} • • _{http?NNnurha'ida.blogspot."o.idN#<+N<&Nmakalah/hukum/hukum/aljabar/}_{http?NNnurha'ida.blogspot."o.idN#<+N<&Nmakalah/hukum/hukum/aljabar/} proposisi.html proposisi.html • • _{http?NNmiamia.blogspot."o.idN#<<-N+<Nmakalah/tentangimplikasi/logik/logi"al.html}_{http?NNmiamia.blogspot."o.idN#<<-N+<Nmakalah/tentangimplikasi/logik/logi"al.html} • • _{https?NNindahkardani.ordpress."omN#<+&N<6N#7NlogikaN}_{https?NNindahkardani.ordpress."omN#<+&N<6N#7NlogikaN} •

• _{http?NNjessioimeliojor}_{http?NNjessioimeliojor}_dy.blogspot_dy.blogspot_{."o.idN#<+&N+<Nsap/6/matematika/sistem/inform}_{."o.idN#<+&N+<Nsap/6/matematika/sistem/inform}_asi/_asi/ +.html +.html • • _{https?NNsu"ilaksmi+A<&.ordpress."omNmateri/smu/kelas/5iNlogika/}_{https?NNsu"ilaksmi+A<&.ordpress."omNmateri/smu/kelas/5iNlogika/} matematikaNkalimat/ingkaran/negasiN matematikaNkalimat/ingkaran/negasiN

(13)

• •