MAKALAH RANGKUMAN MATERI LOGIKA MATEMATIKA : NURHIDAYAT NIM : DBC

MAKALAH

RANGKUMAN MATERI LOGIKA MATEMATIKA

Nama : NURHIDAYAT NIM : DBC 113 055

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS PALANGKA RAYA

2013

BAB I PENGERTIAN

Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk menyampaikan pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari metode-metode dan prinsip-prinsip yang dapat dipakai untuk membedakan cara berpikir benar (correct) atau tidak benar (incorrect), sehingga dapat membantu menyatakan ide-ide tepat dan tidak mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika hanya mempelajari atau memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari penalaran, dan penarikan kesimpulan dari sebuah pernyataan atau lebih.

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang

mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.

BAB II PROPOSISI

Definisi Proposisi

Sebuah proposisi(proposition) atau statement ialah sebuah kalimat deklaratif yang memiliki tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ”Benar”(B) atau ”Salah”(S)

Beberapa contoh proposisi dan bukan proposisi:

1. Jakarta adalah ibu kota Republik Indonesia.

2. 7 merupakan sebuah bilangan prima.

3. Manusia adalah salah satu jenis makluk di Bumi.

4. Taufik Hidayat pandai main bulu tangkis atau tennes.

5. Jika 10 habis dibagi dengan 4, maka juga habis dibagi dengan 2.

6. Mudah-mudahan anda berhasil dalam meniti karier.

7. Berolahragalah secara teratur!

Kalimat deklaratif pertama, kedua dan ketiga dalam contoh tidak memuat

penghubung disebut proposisi primitip(primitif), dan dilambangkan dengan huruf kecil: p, q, r, s. Kalimat deklaratif keempat dan kelima memuat penghubung

”atau” dan ”jika...maka...” disebut proposisi majemuk(composite). Kalimat keenam dan ketujuh bukan proposisi.

BAB III PENGHUBUNG

Penghubung atau konektif(connective)

Dalam logika matematika dikenal sebanyak 5 penghubung, yaitu:

1. Negasi(Negation) 2. Konjungsi(Conjunction) 3. Disjungsi(Disjunction) 4. Implikasi(Implication) 5. Ekuivalensi(Equivalence)

Definisi Penghubung

Misalkan p dan q adalah proposisi.

1. Negasi:

Untuk sembarang proposisi, p, yang memiliki nilai kebenaran, B=S, maka negasinya ditulis sebagai, p, memiliki nilai kebenaran lawannya, S=B.

2. Konjungsi:

Konjungsi p dan q dinyatakan dengan, p ^ q, adalah sebuah proposisi yang bernilai benar jika proposisi p dan q keduanya bernilai benar.

3. Disjungsi:

Disjungsi p dan q dinyatakan dengan, p v q, adalah proposisi yang bernilai salah jika proposisi p dan q keduanya bernilai salah.

4. Implikasi (proposisi bersyarat):

Implikasi dari p ke q dinyatakan dengan, p => q, ialah proposisi yang bernilai salah jika dan hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah.

Proposisi p disebut anteseden(premis/hipotesa) dan proposisi q disebut konsekuen(konklusi/kesimpulan)

5. Ekuivalensi/Biimplikasi:

Ekivalensi dari p dan q dinyatakan dengan, p  q, adalah proposisi yang bernilai benar jika proposisi p dan q mempunyai nilai kebenaran sama.

Beberapa contoh proposisi majemuk

Misalkan p, q dan r adalah proposisi, dimana:

p : Bumi adalah satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai kehidupan. (B) q : Satu dekade sama dengan 10 tahun. (B)

r : 1 + 1 = 3. (S)

Maka:

1. p : Bumi bukan satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai kehidupan.

(S)

2. p ^ q : Satu dekade sama dengan 10 tahun dan 1 + 1 = 3. (S) 3. p v q : Satu dekade sama dengan 10 tahun atau 1 + 1 = 3. (B) 4. q → r : Jika satu dekade sama dengan 10 tahun maka 1 + 1 = 3. (S)

5. q ↔ r : Satu dekade sama dengan 10 tahun jika dan hanya jika 1 + 1 = 3. (S)

BAB IV

TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI, EKUIVALENSI LOGIKA

A. TAUTOLOGI

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang

digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh:

Lihat pada argumen berikut:

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.

Diubah ke variabel proposional:

A Tono pergi kuliah B Tini pergi kuliah C Siska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

(1) A → B (Premis) (2) C → B (premis) (3) (A V C) → B (kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B

A B C A → B C → B (A → B) ʌ (C → B) A V C (A V C)

→ B

((A → B) ʌ (C → B))

→ ((A V C) → B B

B B B S S S S

B B S S B B S S

B S B S B S B S

B B S S B B B B

B B S B B B S B

B B S S B B S B

B B B B B S B S

B B S S B B S B

B B B B B B B B

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk : ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:

1. (p ʌ ~q) p Pembahasan:

p q ~q (p ʌ ~q) (p ʌ ~q) p

B B S S

B S B S

S B S B

S B S S

B B B B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q) p selalu benar.

2. [(p q) ʌ p] p q Pembahasan:

p q (p q) (p q) ʌ p [(p q) ʌ p] p q B

B S S

B S B S

B S B B

B S S S

B B B B (1) (2) (3) (4) (5)

Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk [(p q) ʌ p] p q selalu benar. Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.

Contoh:

a. (p ʌ q) q Penyelesaian:

(p ʌ q) q ~(p ʌ q) v q ~p v ~q v q ~p v T

T ...(Tautologi)

Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari (p ʌ q) q adalah tautologi karena hasilnya T (true) atau benar.

Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk (p ʌ q) q yaitu:

P q (p ʌ q) (p ʌ q) q B

B S S

B S B S

B S S S

B B B T

Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q) q merupakan Tautologi.

b. q (p v q) penyelesaian:

q (p v q) ~q v (p v q) ~q v (q v p) T v p

T ...(Tautologi)

B. KONTRADIKSI

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh dari Kontradiksi:

1. (A ʌ ~A) Pembahasan:

A ~A (A ʌ ~A)

B S

S B

S S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.

2. P ʌ (~p ʌ q) Pembahasan:

p q ~p (~p ʌ q) P ʌ (~p ʌ q) B

B S S

B S B S

S S B B

S S B S

S S S S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).

C. Ekuivalensi Logika

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “ dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan- pernyataan komponen-komponennya.

Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika:

1. Hukum komutatif:

p ʌ q q ʌ p p v q q v p

2. Hukum asosiatif:

(p ʌ q) ʌ r p ʌ (q ʌ r) (p v q) v r p v (q v r) 3. Hukum distributif:

p ʌ (q v r) (p ʌ q) v (p ʌ r) p v (q ʌ r) (p v q) ʌ (p v r) 4. Hukum identitas:

p ʌ T p p v F p

5. Hukum ikatan (dominasi):

P v T T

P v F F

6. Hukum negasi:

P v ~p T P ʌ ~p F

7. Hukum negasi ganda (involusi):

~(~p) p

8. Hukum idempoten:

P ʌ p p p v p p

9. Hukum de morgan:

~( p ʌ q) ~p v ~q

~(p v q) ~p ʌ ~q

10. Hukum penyerapan (absorpsi):

p v (P ʌ q) p P ʌ (p v q) p 11. Hukum T dan F:

~T F

~F T

12. Hukum implikasi ke and/or:

P q ~p v q[5]

Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.

Dengan menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan, seperti contoh berikut:

1. Buktikan ekuivalensi berikut: ~(p v ~q) v (~p ʌ ~q) ~p Jawab:

~(p v ~q) v (~p ʌ ~q) (~p ʌ q) v (~p ʌ ~q) ~p ʌ (q v ~q)

~p ʌ T

~p ...(terbukti) 2. Tunjukkan bahwa: ~(p v q) (~p ʌ ~q)

Tabel kebenaran ~(p v q) dan (~p ʌ ~q) yaitu:

p q ~p ~q p v q ~(p v q) (~p ʌ ~q)

B B S S

B S B S

S S B B

S B S B

B B B S

S S S B

S S S B (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Dari tabel diatas pada kolomk (6) dan (7), jelas bahwa ~(p v q) (~p ʌ ~q).

Jadi, ~(p v q) (~p ʌ ~q).

BAB V

VALIDITAS PEMBUKTIAN

A. PREMIS DAN ARGUMEN

Logika berkenaan dengan penalaran yang dinyatakan dengan pernyataan verbal. Suatu diskusi atau pembuktian yang bersifat matematik atau tidak, terdiri atas pernyataan-pernyataan yang saling berelasi. Biasanya kita memulai dengan pernyataan-pernyataan tertentu yang diterima kebenarannya dan kemudian berargumentasi untuk sampai pada konklusi (kesimpulan) yang ingin dibuktikan.

Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut premis, sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya.

Sedang yang dimaksud dengan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu (satu) konklusi. Konklusi ini selayaknya (supposed to) diturunkan dari premis- premis.

Konklusi selayaknya diturunkan dari premis-premis atau premis-premis selayaknya mengimplikasikan konklusi, dalam argumentasi yang valid, konklusi akan bernilai benar jika setiap premis yang digunakan di dalam argumen juga bernilai benar. Jadi validitas argumen tergantung pada bentuk argumen itu dan dengan bantuan tabel kebenaran.

Bentuk kebenaran yang digeluti oleh para matematikawan adalah

kebenaran relatif. Benar atau salahnya suatu konklusi hanya dalam hubungan dengan sistem aksiomatik tertentu. Konklusi itu benar jika mengikuti hukum- hukum logika yang valid dari aksioma-aksioma sistem itu, dan negasinya adalah salah. Untuk menentukan validitas suatu argumen dengan selalu mengerjakan tabel kebenarannya tidaklah praktis. Cara yang lebih praktis banyak bertumpu pada tabel kebenaran dasar dan bentuk kondisional. Bentuk argumen yang paling sederhana dan klasik adalah Modus Ponens dan Modus Tolens.

Kaidah metode-metode inferensi pada dasarnya adalah sebuah tautologi.

Kaidah inferensi bermacam-macam, seperti Modus ponen

Modus tollen Silogisme Simplifikasi Penambahan Konjungsi

B. MODUS PONEN

C. MODUS TOLLENS

D. SILOGISME HIPOTESIS

E. SILOGISME DISJUNGTIF

F. SIMPLIKASI

G. ARGUMEN

Argumen dikatakan valid jika konklusi benar bilamana semua hipotesisnya benar, sebaliknya argumen dikatakan invalid

Adalah sederetan proposisi yang dituliskan sebagai : p1

p2 . .pn

Kesimpulan q

BAB VI Himpunan

Definisi

Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

HMTI adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.

Cara Penyajian Himpunan

Enumerasi

Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci.

Contoh 1.

- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.

- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.

- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}

- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } - C = {a, {a}, {{a}} }

- K = { {} }

- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 } - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Keanggotaan

x  A : x merupakan anggota himpunan A;

x  A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

Contoh 2.

Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } K = {{}}

maka 3  A

{a, b, c}  R c  R {}  K

{}  R

Contoh 3. Bila P₁ = {a, b}, P₂ = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}, maka

a  P1

a  P2

P1  P2

P1  P3

P2  P3

Simbol-simbol Baku

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3,5}.

Notasi Pembentuk Himpunan

Contoh 5.

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},

A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Kardinalitas

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi: n(A) atau A 

Contoh 6.

(i) B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8 (ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5

(iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3

BAB VII KESIMPULAN

Mata Kuliah Logika Matematika mempelajari beberapa hal yang berkaitan dengan logika, seperti logika secara kalimat, logika dalam pemrograman dan logika dalam rangkaian digital. Logika dalam kalimat dinyatakan sebagai proposisi dan pola-pola argumen/pernyataan logis dengan hukum-hukum logika.Logika dalam pemrograman diperlihatkan dengan struktur dasar dari pemrograman dan aliran/kontrol program dengan flow chart. Logika dalam rangkaian digital diperlihatkan dengan logika biner dan gerbang-gerbang logika serta penyederhanaan dalam rangkaian.

DATAR PUSTAKA

Nur Hadi. 2013. Logika Matematika.

http://blog.uny.ac.id/nurhadi/2013/09/16/logika-matematika/ 18/10/2013

Author . 2013. Logika Matematika.

http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_matematika 18/10/2013

Author. 2013. Logika Matematika.

oc.its.ac.id/ambilfile.php?idp=148 18/10/13

Dedek Yohana. 2012. TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI, EKUIVALENSI LOGIKA. http://dedekyohana93.blogspot.com/2012/11/tautologi-kontradiksi- dan-ekuivalensi_4667.html 18/10/13

Erizal. 2009. Validitas Pembuktian – Bagian I.

http://erizal.wordpress.com/2009/10/22/validitas-pembuktian-%E2%80%93- bagian-i/ 18/10/2013