Materi Logika Matematika Lengkap

(1)

LOGIKA MATEMATIKA LOGIKA MATEMATIKA

Logika adalah ilmu yang mempelajari cara – cara yang meliputi kaidah dan aturan untuk membuat penarikan kesimpulan yang Logika adalah ilmu yang mempelajari cara – cara yang meliputi kaidah dan aturan untuk membuat penarikan kesimpulan yang beralasan denga

beralasan dengan menggunakan penalan menggunakan penalaran yang logis.ran yang logis.

1.

1. NilaNilai Kei Kebenbenaraaran dan dari sri suatuatu peu pernyrnyataataanan Nilai benar a

Nilai benar atau salah dari tau salah dari suatu pernyataan suatu pernyataan disebut nilai kedisebut nilai kebenaran.benaran. Nilai kebenaran

Nilai kebenaran dari suatu dari suatu pernyataan dinotasikan dengan pernyataan dinotasikan dengan huruf Yhuruf Yunani, yaitu unani, yaitu ““  _{” (dibaca}_{” (dibaca tau}_{tau yang berasal dari kata asing yaitu}_{ yang berasal dari kata asing yaitu}

““truthtruth” berarti kebenaran.” berarti kebenaran.

!uatu pernyataan yang benar

!uatu pernyataan yang benar memiliki nilai kebenaranmemiliki nilai kebenaran B (Benar)B (Benar).. !uatu pernyataan yang salah

!uatu pernyataan yang salah memiliki nilai kebenaranmemiliki nilai kebenaran SS (Salah)(Salah)..

"isalkan

"isalkan p p # $asil kali % dan & adalah '&. # $asil kali % dan & adalah '&. ernyataan

ernyataan p p bernilai benar, sebab bernilai benar, sebab %%&& '&'&_{. )engan demikian pernyataan}_{. )engan demikian pernyataan p}_{p memiliki nilai kebenaran}_{memiliki nilai kebenaran B}_{B (benar, maka ditulis #}_{(benar, maka ditulis #}

  

p p



 * * BB..

)itinjau dari nilai kebenarannya, suatu kalimat dapat dikelompokkan atas + jenis, yaitu # )itinjau dari nilai kebenarannya, suatu kalimat dapat dikelompokkan atas + jenis, yaitu #

a.

a. aalimlimat dekat deklarlaratiatif (erf (ernyanyataataan - ropon - roposissisii alimat deklaratif (

alimat deklaratif ( pernyataan pernyataan adalah kalimat yang dapat ditentukan kebenarannya, yakni dapat dinilai benar atau adalah kalimat yang dapat ditentukan kebenarannya, yakni dapat dinilai benar atau salahnya.

salahnya. ontoh # ontoh #

// rreessiiddeen n ppeerrttaamma a nneeggaarra a 00nnddoonneessiia a aaddaallaah h 00rr. . !!ooeekkaarrnnoo ((benar)benar) // 1a1akakartrta ada adalalah iah ibubukokota nta negegarara 0na 0ndodonenesisiaa (benar)(benar) // )a)ananau 2u 2oboba ta tererleletatak dk di 3i 3alali.i. (salah)(salah) b.

b. alimat non/alimat non/deklaratif deklaratif

alimat non/deklaratif (

alimat non/deklaratif (bukan pernyataanbukan pernyataan adalah kalimat yang tidak dapat dipastikan kebenarannya. adalah kalimat yang tidak dapat dipastikan kebenarannya. ontoh #

ontoh #

// 4p4pa ba beenanar ir ia pa penengugusasahaha55 // 22eemmuuiillaah ph paammaannmmuu66

// aasisihahan, n, kukururus bs benenar ar ananak ak ititu.u.

)i dalam matematika, kita mengenal dua

)i dalam matematika, kita mengenal dua jenis kalimat, yaitu kalimat terbuka dan jenis kalimat, yaitu kalimat terbuka dan kalimat tertutup.kalimat tertutup. 

.. KaKalili!a!at Tt Teerbrbu"u"aa

alimat terbuka adalah suatu kalimat yang nilai kebenarannya belum ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah karena alimat terbuka adalah suatu kalimat yang nilai kebenarannya belum ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah karena masih mengandung 7ariabel. !uatu kalimat terbuka dilambangkan oleh

masih mengandung 7ariabel. !uatu kalimat terbuka dilambangkan oleh f(x) f(x),, p(x) p(x),, q(x)q(x),, r(x)r(x) dan sebagainya karena masih mengandung dan sebagainya karena masih mengandung 7ariabel

7ariabel x x. alimat terbuka dapat . alimat terbuka dapat disebut juga kalimat non/deklaratif.disebut juga kalimat non/deklaratif. ontoh #

ontoh #

// _p_p

  

_x_x ##++_x_x''&&_,, _x_x____ 4pabila 7ariabel

4pabila 7ariabel x x pada pada p(x) p(x) diganti dengan bilangan +, maka # diganti dengan bilangan +, maka #



 

++

 

##++

 

++ ''&&

p

p (benar(benar

alimat terbuka

alimat terbuka p(x) p(x) menjadi pernyataan yang menjadi pernyataan yang bernilai benarbernilai benar.. 4pabila 7ariabel

4pabila 7ariabel x x pada pada p(x) p(x) diganti dengan bilangan %, maka # diganti dengan bilangan %, maka #



 

%%

 

##++

 

%% ''&& p

p (salah(salah

alimat terbuka

alimat terbuka p(x) p(x) menjadi pernyataan yang menjadi pernyataan yang bernilai salah..bernilai salah.. a.

a. ##arariaiabebel dl dan an "$"$nsnstatantntaa ersamaan

ersamaan ++_x_x''&&_{. ersamaan ini akan bernilai benar atau salah apabila nilai}_{. ersamaan ini akan bernilai benar atau salah apabila nilai} _x_x _{kita ganti dengan sebuah bilangan.}_{kita ganti dengan sebuah bilangan.} _x_x

inilah yang disebut sebagai

inilah yang disebut sebagai variabelvariabel atauatau peubah peubah.. 8ntuk menentukan nilai pengganti

8ntuk menentukan nilai pengganti x x , kita harus menentukan semesta pembicaraan untuk nilai, kita harus menentukan semesta pembicaraan untuk nilai x x , misalnya himpunan semesta, misalnya himpunan semesta itu kita tetapkan untuk himpunan bilangan real (

itu kita tetapkan untuk himpunan bilangan real ( , maka , maka perspersamaaamaann ++_x_x''&&_{dapat ditentukan nilai kebenarannya. 1ika}_{dapat ditentukan nilai kebenarannya. 1ika} _x_x

digan

diganti dengan + maka kalimatti dengan + maka kalimat ++

  

++ '' && _menj_{menjadi benar}_{adi benar, tetapi jika diganti dengan bilan}_{, tetapi jika diganti dengan bilangan %}_{gan % maka kalim}_{maka kalimat}_at ₊₊

  

_%_% _'_'_&_&

menjadi salah. 3ilangan pengganti 7ariabel yaitu + dan % dalam persamaan itu disebut

menjadi salah. 3ilangan pengganti 7ariabel yaitu + dan % dalam persamaan itu disebut konstantakonstanta. )an konstanta yang menjadikan. )an konstanta yang menjadikan suatu pernyataan yang bernilai benar disebut

suatu pernyataan yang bernilai benar disebut penyelesaian kalimat terbuka penyelesaian kalimat terbuka..

ontoh # ontoh #

2

2entukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian dari entukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian dari kalimat berikut ini #kalimat berikut ini # // _x_x++ ''&& dengan dengan _x_x

// %%_x_x  _y_y 99_dengan_dengan

x

x,,

y



_{bilangan bulat,}_{bilangan bulat,} _:_: _x_x ₊₊_{, dan}_{, dan} :: _y_y 99_..

enyelesaia enyelesaian n ##

%% _x_x++ ''&&  _x_x++ ** &&'' ;;

+ +

x

x ** 

+

enyelesaian dari

enyelesaian dari _x_x++ ''&& adalah adalah 

+

atau +. atau +. $impunan penyelesaian * $impunan penyelesaian *

 

 ++,,++



_.. // %%_x_x  _y_y 99  _x_x  _:_:  _y_y  99 ' '   x x  y y  %% + +   x x  y y  :: enyelesaian dari

enyelesaian dari %%_x_x  _y_y 99_adalah_adalah



 

_:_:_,,₉₉

 

_,,

 

_'_'_,,_%_%

 

_,,

 

₊₊_,,_:_: _.. $impunan penyelesaian *

(2)

&. Kali!at Tertutup ('ernyataan)

alimat tertutup adalah kalimat yang nilai kebenarannya dapat dipastikan secara langsung (benar atau salah. alimat tertutup disebut juga kalimat deklaratif (pernyataan.

Nilai kebenaran suatu pernyataan bernilai benar atau salah dapat ditunjukkan dengan bukti. ontoh #

2entukan benar atau salah pernyataan – pernyataan berikut # a. 1umlah semua sudut suatu segitiga sembarang adalah

'<:

: . b. 4da bilangan bulat x dan y yang memenuhi _x _y ':

c. 8ntuk setiap _a, maka _x+  _a mempunyai akar – akar real. enyelesaian #

a. enyataan (a bernilai benar karena pernyataan ini merupakan dalil dalam geometri Euclides. b. ernyataan (b bernilai benar karena untuk _x  +_dan y ' maka x y ':.

c. ernyataan (c bernilai salah karena ada _a yang tidak memenuhi _x+  _a yaitu _a  '_{sehingga persamaan tersebut}

mempunyai akar/akar yang kompleks.



x  _'i



Nilai kebenaran suatu pernyataan “ p” dilambangkan dengan

 

p (dibaca# “Tau p”.

. Kali!at Ber"uant$r (Quantifier)

!uatu kalimat terbuka dapat diubah menjadi suatu pernyataan #

/ )engan mengganti 7ariabel dari suatu kalimat dengan suatu nilai tertentu (konstanta. ( pada pembahasan sebelumnya / )engan menggunakan kuantor.

ontoh #

/ _x %&

)alam hal ini, $ *

 

+ .

3agaimana jika di depan kalimat terbuka _x  %&, kita cantumkan kata/kata yang menyatakan jumlah (kuantor seperti “!emua” atau “4da”, sebagai berikut #

/ 8ntuk semua nilai x berlaku _x  % & _{(pernyataan !alah “S”} / 4da nilai x yang memenuhi _x % &_{(pernyataan 3enar “B”}

ernyataan pertama yang mengandung kata semua disebut pernyataan berkuantor uni7ersal (umum, sehingga kata “SEMA” disebut kuantor universal .

!edangkan, pernyataan kedua yang mengandung kata ada disebut pernyataan berkuantor eksistensial (khusus dan kata “A*A” disebut kuantor eksistensial.

a. Kuant$r ni+ersal

ata – kata yang sering dipakai untuk kuantor uni7ersal adalah #

/ !emua / 8ntuk tiap/tiap / 2anpa terkecuali

/ 8ntuk setiap / !eluruh

Si!b$l !ate!atis untu" "edua "ata tersebut adalah , - _

   

 x p x dibaca # 8ntuk semua x berlaku p

 

x



 xS

  

p x _{dibaca # 8ntuk semua x anggota ! berlaku} _p

 

_x _. b. Kuant$r E"sistensial

ata – kata yang sering dipakai untuk kuantor eksistensial #

/ 4da / aling sedikit satu

/ 3eberapa / !ekurang – kurangnya satu Si!b$l !ate!atis untu" "uant$r e"sistensial adalah , - _

   

 x p x dibaca # 4da x berlaku p

 

x



 xS

  

p x _{dibaca # 4da x anggota ! berlaku} _p

 

_x _. A. INGKA/AN (NEGASI) (

0

)

0ngkaran ( negasi  dari suatu pernyataan adalah suatu pernyataan baru yang diperoleh dari pernyataan semula seemikian sehingga jika pernyataan semula bernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah, dan jika pernyataan semula bernilai salah, maka ingkarannya bernilai benar.

2abel kebenarannya #

P ~p

B S

S B

0ngkaran pernyataan p dapat diperoleh dengan cara menambahkan kalimat “ tidak benar bahwa” di depan pernyataan p, atau dengan menyisipkan perkataan “tidak ” atau “bukan” di dalam pernyataan p.

(3)

B. INGKA/AN 'E/NATAAN BE/KANTO/ ,

'. 0ngkaran pernyataan berkuantor semua p adalah ada/beberapa/terdapat ~p.

(1ika pernyataannya berkuantor uni7ersal maka ingkarannya adalah pernyataan yang berkuantor eksistensial "isalkan p # Semua orang asing berkulit putih.

"aka ~p # Tidak benar bahwa semua orang asing berkulit putih. ~p # Ada orang asing yang tidak berkulit putih.

~p # eberapa orang asing tidak berkulit putih. +. 0ngkaran pernyataan berkuantor ada/terdapat p adalah semua ~p.

(1ika pernyataannya berkuantor uni7ersal maka ingkarannya adalah pernyataan yang berkuantor eksistensial "isalkan p # Ada laki – laki yang tidak berkumis.

"aka ~p # Tidak benar bahwa ada laki – laki yang tidak berkumis. ~p # Semua laki – laki berkumis.

2$nt$h ,

'. alimat ingkaran dari kalimat # “!emua sis=a mengerjakan tugas ketika guru memberikannya” adalah > "isalkan p # !emua sis=a mengerjakan tugas ketika guru memberikannya.

"aka ~p # Tidak benar bahwa semua sis=a mengerjakan tugas ketika guru memberikannya. ~p # Ada sis=a yang tidak mengerjakan tugasketika guru memberikannya.

+. 0ngkaran dari # “3eberapa jenis burung tidak dapat terbang” adalah > "isalkan p # 3eberapa jenis burung tidak dapat terbang.

"aka ~p # Tidak benar bahwa beberapa jenis burung tidak dapat terbang. ~p # Semua !enis burun" dapat terban".

(4)

'E/NATAAN MA3EMK4 BENTK EKI#ALEN *AN INGKA/ANNA

A. 'E/NATAAN MA3EMK

ernyataan majemuk adalah suatu pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal dengan menghubungkan kata penghubung seperti #

#. dan $. atau

%. !ika>>maka&& '. !ika dan hanya !ika&&

)alam matematika, ada beberapa pernyataan majemuk yang dikenal, yaitu # kn!un"si, dis!un"si, implikasi, biimplikasi

.

Kata 'en5hubun5 L$5i"a Istilah !ate!ati"a La!ban5 6 N$tasi >>dan>>

>>atau>> jika>>maka>> >>jika dan hanya jika>>

onjungsi )isjungsi 0mplikasi 3iimplikasi    

1.

K$n7un5si

onjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung -dan. / N$tasi # pq_{(dibaca “ p dan q”}

/ Nilai "ebenaran "$n7un5si#

 pq benar, jika p benar dan q benar.

 pq salah, jika salah satu p atau q bernilai salah, atau keduanya bernilai salah.

/

2abel ebenaran #

p q pq 3 3 ! ! 3 ! 3 ! B S S S

.

*is7un5si

)isjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung -atau. / N$tasi # pq_{(dibaca “ p atau q”}

/ Nilai "ebenaran "$n7un5si#

 pq benar, jika salah satu pernyataan p atau q benar, atau jika p dan q keduanya bernilai benar.  pq salah, jika p dan q keduanya bernilai salah.

/ Tabel Kebenaran , p q pq 3 3 ! ! 3 ! 3 ! B B B S

&.

I!pli"asi

0mplikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata -7i"a8!a"a8. / N$tasi # p  q _{,dibaca #}

a. 1ika p maka q b. p berimplikasi q

c. q hanya jika p

d. p syarat cukup untuk q e. q syarat perlu untuk p / Nilai "ebenaran "$n7un5si#

 p  q benar, jika kedua pernyataan bernilai benar atau salah, atau pernyataan p bernilai salah dan q bernilai benar.  p  q salah, jika pernyataan p bernilai benar dan q bernilai salah.

/

2abel ebenaran #

p q p  q 3 3 ! ! 3 ! 3 ! B S B B

.

Bii!pli"asi

(5)

3iimplikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata -87i"a dan hanya 7i"a8.

/ N$tasi # p  q ,dibaca # a. p jika dan hanya jika q

b. 1ika p maka q dan jika q maka p / Nilai "ebenaran "$n7un5si#

 p  q benar, jika kedua pernyataan p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama.



   

_p  _q



 p  q salah, jika kedua pernyataan p dan q memiliki nilai kebenaran yang tidak sama.



   

_p  _q



/

2abel ebenaran #

p q p  q 3 3 ! ! 3 ! 3 ! B S S B

B. BENTK EKI#ALEN 'E/NATAAN MA3EMK

)ua buah pernyataan majemuk dikatakan ekui7alen jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Notasi # “  ” (dibaca ekui7alen

3eberapa pernyataan majemuk yang ekui7alen #

/ pq _ q p _/ _p



_q_r



_



_p_q

 

 _p_r



/ pq 

q



p

_/ _p_



_q__r



_



_p__q

 

_ _p__r



/ p  q  ? pq _/ p



pq







? p? q



? p / p  q  ? q? p / p  q 



pq

 

 q p



/ p ? q  q? p /

2.

INGKA/AN *A/I 'E/NATAAN MA3EMK 1. In5"aran K$n7un5si

0ngkaran konjungsi pq_adalah ? p ?q_{, ditulis #}



pq



?  ? p ? q . In5"aran *is7un5si

0ngkaran disjungsi pq adalah ? p ? q_{, ditulis #}



pq



?  ? p ? q

&. In5"aran I!pli"asi

0ngkaran implikasi p  q_adalah p ? q_{, ditulis #}



pq



?  p ? q . In5"aran Bii!pli"asi

0ngkaran biimplikasi p  q_adalah



_p ?_q

 

 _q?_p



_{, ditulis #}



pq



(6)

KON#E/S4 IN#E/S *AN KONT/A'OSISI

)ari suatu implikasi p  q dapat dibentuk implikasi lain yaitu # '. q  p disebut kon7ers dari p  q

+. ? p ? q disebut in7ers dari p  q

%. ? q ? p disebut kontraposisi dari p  q

Tu5as Sis9a ,

Buat tabel "ebenaran dari i!pli"asi4 "$n+ers4 in+ers4 dan "$ntrap$sisi :

Kesi!pulan ,

EKIVALENSI PENTING :

I!pli"asi

;

K$ntrap$sisi

q p   ? q ? p

K$n+ers

;

In+ers

p q   ? p? q q p q p  ? 

(7)

TATOLOGI *AN KONT/A*IKSI

/ Taut$l$5i adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenaran dari pernyataan komponennya selalu benar untuk semua. ontoh #

Yang merupakan tautologi dari pernyataan majemuk berikut adalah >

B.



p ? q



 p ).



p ? q



q @.



p ? q



 p

2.



p ? q



 p @.



p ? q



q

/ K$ntradi"siadalah pernyataan majemuk yang nilai kebenaran dari pernyataan komponennya selalu salah untuk semua. ontoh #

Yang merupakan kontradiksi dari pernyataan majemuk berikut adalah >

B.

p



? pq



_. p



? pq



_@. p



? pq



2.

p



? pq



_). p



? pq



*.

p



? pq



'ENA/IKAN KESIM'LAN ,

)alam penarikan kesimpulan-konklusi diperlukan beberapa pernyataan (premis. 4pabila premis – premisnya bernilai benar maka kesimpulan - konklusi yang diperoleh juga bernilai benar. )engan kata lain, proses penarikan kesimpulannya dikatakan sah.

1. M$dus'$nens . M$dusT$llens

q p  _{>>remis '} p  q _{>>remis '}

p

_{>>remis +}

?

q _{>>remis +} q  >>kesimpulan-konklusi 

?

p

>>kesimpulan-konklusi







pq  p



q merupakan tautl"i.





pq



? q



? p merupakan tautl"i.

&. Sil$5is!e q p  _{>>remis '} r q  >>remis + r p   _{>>kesimpulan-konklusi}