linearisasi

BAB I BAB I PENDAHULUAN PENDAHULUAN 1 1..11 LLAATTAAR R BBEELLAAKKAANNGG

Matematika berasal dari bahasa latin "mathematika" yang mulanya diambil Matematika berasal dari bahasa latin "mathematika" yang mulanya diambil da

dari ri babahahasa sa yuyunanani ni "m"matathehemamatitikeke" " yayang ng beberarartrti i mememmpepelalajajariri. . BaBanynyak ak yayangng  beranggapan

 beranggapan bahwa bahwa matematika matematika adalah adalah sesuatu sesuatu yang yang rumit. rumit. Padahal Padahal seringkaliseringkali Mat

Matemaematiktika a kitkita a jumjumpai pai di di daldalam am kehikehidupadupan n sehsehariari-ha-hari. ri. BanyBanyak ak masmasalaalah h daldalamam ke

kehihidudupan pan sesehahariri-h-harari i dadapat pat didinynyatatakakan an daldalam am sisiststem em perpersamsamaanaan. . SeSebelbelumum menyel

menyelesaikaesaikan n suatu suatu permaspermasalahan, terlebih alahan, terlebih dahulu dahulu permapermasalahasalahan n terstersebut ebut diubahdiubah menjadi model matematika yang

menjadi model matematika yang membuat sistem persamaan linier.membuat sistem persamaan linier.

Masalah yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan dalam Masalah yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan dalam  bentuk

 bentuk model model Matematika, Matematika, yaitu yaitu bentuk bentuk persamaan persamaan linear linear dan dan persamaan persamaan nonlinear.nonlinear. Se

Sebagbagiaian n besbesar ar momodel del mamatetemamatitika ka yayang ng mumuncuncul l beberbrbenentutuk k nonon n lilineanearr. . UnUntutuk k  men

mendapadapatkatkan n solsolusi usi masmasalaalah h yanyang g berberbentbentuk uk sissistem tem non non linlinear ear tidtidaklaaklah h mudmudah.ah.  amun

 amun demikian, demikian, hal hal ini ini tidak tidak menjadi menjadi masalah masalah karena karena bentuk bentuk model model matematikamatematika khus

khususnyusnya a yanyang g berberbentbentuk uk sissistem tem perpersamsamaan aan di!di!ereerensinsial al non non linlinear ear dapadapat t dildilihaihatt  perilaku

 perilaku solusinya solusinya melalui melalui sistem sistem persamaan persamaan di!erensial di!erensial linear linear dengan dengan syarat syarat bagianbagian real akar karakteristik tidak nol. inearisasi dilakukan untuk mendapatkan sistem real akar karakteristik tidak nol. inearisasi dilakukan untuk mendapatkan sistem lin

linear ear dardari i sissistem tem non non linlinearear. . #le#leh h karkarena ena itu itu penupenulis lis tertertartarik ik menmengangangkat gkat judujudull $inierisasi%.

$inierisasi%. 1

1..22 RRUUMMUUSSAAN N MMAASSAALLAAHH

&umusan masalah pada makalah ini adalah ' &umusan masalah pada makalah ini adalah '

(.

(. BagaimBagaimana pana penyeleenyelesaian saian dari dari sistsistem peem persamarsamaan lan linearinear)) *.

*. BagaimBagaimana peana penyelesnyelesaian daaian dari sri sistem istem persapersamaan nmaan nonlinonlinear)ear) 1

1..33 TTUUJJUUAANN

+ujuan dari pembuatan makalah ini adalah +ujuan dari pembuatan makalah ini adalah (.

(. Untuk Untuk mengetmengetahui peahui penyelesnyelesaian daaian dari sri sistem istem persapersamaan lmaan linearinear.. *.

*. Untuk Untuk mengetmengetahui peahui penyelesnyelesaian daaian dari sri sistem istem persapersamaan nomaan nonlinenlinear.ar. 1

Man!aat dari makalah ini adalah untuk menambah wawasan dalam linearisasi sistem persamaan nonlinear dan penyelesaian dari persamaan linear.

BAB II

2.1 PERSAMAAN LINIER 

Suatu persamaan linier yang mengandung n  peubah  x1, x2, … , xn dinyatakan dalam bentuk '

a1 x1+a2 x2+…+a_n x_n=b

dengan a1, a2, … , an,b  _{adalah konstanta riil. alam hal ini peubah yang dimaksud}  bukan !ungsi trigonometri, !ungsi logaritma atau !ungsi eksponensial. amun, apabila

diketahui sistem persamaan linier dengan m  buah persamaan linier dan n  peubah maka bentuk umumnya sebagai berikut '

a11 x1

+

a12 x2

+

…

+

a1n xn

=

b1

a₂₁ x₁

+

a₂₂ x₂

+

…

+

a_2n x_n

=

b₂

⋮

a_m1 x1

+

am2 x2

+

…

+

amn xn

=

bm

Sistem persamaan linier di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu '  A

 ´

 x

=´

b

[

a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_m1 am2 … amn

]

[

 x1  x₂ ⋮  x_m

]

=

[

b1 b₂ ⋮ b_m

]

Untuk menyelesaikan persamaan linier tersebut dilakukan eliminasi menggunakan metode eliminasi auss-ordan.

Prosedur umum untuk metode eliminasi auss-ordan adalah '

a. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.  b. akukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi

[

 A

∨´

b

]

  untuk 

mengubah matriks / menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi. 0ontoh sistem persamaan linier dengan tiga 123 peubah '

2 _x+4 _y−2 _z=12

 x

+

5 y

+

3 z

=

8

−3 _x+ y+3 _z=−4

Penyelesaian '

(. Ubah sistem persamaan linier di atas menjadi matriks augmentasi '

[

2 4

−

2 12

1 5 3 8

−

3 1 3

−

4

]

*. 4alikan baris pertama dengan 5,6

[

1 2

−

1 6

1 5 3 8

−

3 1 3

−

4

]

2. Baris pertama dikalikan dengan 1-(3 lalu tambahkan dengan baris kedua

[

1 2

−

1 6

0 3 4 2

−

3 1 3

−

4

]

[

1 2 ₋1 6 0 3 4 2 0 7 0 14

]

6. Baris kedua dikalikan dengan (82

[

1 2

−

1 6 0 1 0,33 0,67 0 7 0 14

]

9. Baris kedua dikalikan dengan 1-*3 lalu tambahkan dengan baris pertama

[

1 2

−

3,67 4,67 0 1 0,33 0,67 0 7 0 14

]

:. Baris kedua dikalikan dengan 1-:3 lalu tambahkan dengan baris ketiga

[

1 0

−

3,67 4,67 0 1 0,33 0,67 0 0

−

9,33 9,33

]

;. Baris ketiga dikalikan dengan -(8<,22

[

1 0

−

3,67 4,67 0 1 0,33 0,67 0 0 1

−

1

]

<. Baris ketiga dikalikan 2,9: lalu tambahkan dengan baris pertama

[

1 0 0 1 0 1 0,33 0,67 0 0 1

−

1

]

(5. Baris ketiga dikalikan 1-5,223 lalu tambahkan dengan baris kedua

[

1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1

−

1

]

Setelah langkah ke-(5 maka matriks ini telah dalam bentuk baris eselon tereduksi. ari matriks terakhir ini dapat disimpulkan bahwa nilai  x

=

1, y

=

2  dan  z

=−

1 .

Pendekatan linier dari sistem nonlinear, untuk memperoleh model matematik  yang linier dari suatu sistem nonlinier, dianggap bahwa =ariable hanya mengalamide=iasi yang kecil dari titik kerjanya. +injau suatu sistem yang mempunyai masukan >1t3 dan keluaran y1t3. ?ubungan antara y1t3 dan >1t3 diberikan oleh '

y @ !1>3

ika kondisi kerja normal dinyatakan dengan  x

, dan  y

, maka persamaan di atas dapat diuraikan menjadi deret +aylor di sekitar titik kerja, sebagai berikut'

y @ !1>3 @ !1  x 3 A  x dx df   1 - x 3 A . . . . 3 1 B * ( _* + − _x  x dx df   imana turunan-turunan df  dx , d2f  d x2 , .... , dihitung pada > @  x . Cka =ariasi > - x

 adalah kecil, dengan mengabaikan suku-suku 1>- x

3 berorde tinggi. Selanjutnya persamaan dapat ditulis dengan lebih sederhana, berikut'

 y= ´ y

+

 K ( x

−´

 x) dimana  y  @ ! 1  x 3 dan 4 @ dx df   untuk > @ ´  x

Persaman di atas dapat diubah menjadi, berikut' y -  y

´

@ 4 1 > -  x´ 3

yang menunjukkan bahwa y - y

 sebanding dengan > - x

D persamaan ini akan memberikan suatu model matematik linier dari sistem nonlinier yang diberikan  persamaan sebalumnya melalui pendekatan deret +aylor.

Selanjutnya, tinjau suatu sistem yang keluarannya, y, merupakan !ungsi dari dua buah masukan >(dan >*, sedemikian rupa sehingga berlaku'

y @ ! 1>(, >*3

/nalog, dengan cara yang sama seperti diatas akan diperoleh hasil model linier, sebagai berikut'

y -  y

´

@ 4 ( 1 >( -  x

´

1 3 A 4 * 1>* -  x

´

2  3 dimana,  y @ ! 1 (  x , *  x 3 4 ( @ ( dx df    untuk >( @

´

 x1  dan >* @

´

 x2 4 * @ * dx df    untuk >( @ ´  x1  dan >* @

´

 x2

Untuk mempelajari perilaku sistem dinamik non linear dilakukan melalui linearisasi di sekitar titik ekuilibrium. iberikan sistem

1 , 3 1 , 3 dx  f x y dt  dy  g x y dt  = = 1(3 dengan titik ekuilibrium

1 , 3D 1 , 3 a b f a b = g a b1 , 3 5=

. Pendekatan linear !ungsi  f 1 x,y3 di sekitar 1a,b3 diperoleh dengan menderetkan !ungsi f 1 x,y3 sebagai berikut

f 

 (

 x , y

)

f 

 (

a , b

)

+

 f 

 x

 (

a , b

) (

 x

−

a

)

+

f 

 y

 (

a ,b

) (

 y

−

b

)

+

Qf  1*3

Sedangkan eret +aylor !ungsi g 1 x,y3 di sekitar 1a,b3 adalah

g

(

 x , y

)

g

(

a , b

)

+

 g

 x

 (

a ,b

) (

 x

−

a

)

+

 g

dengan  f   Q  dan  g  Q

 suku-suku non linear yang selanjutnya dapat dihilangkan. ari 1(3 dan 1*3 diperoleh pendekatan linear untuk Sistem 1(3, yakni

dx dt 

 =

 f   x

 (a , b

) ( x

−

a

)

+

 f   y

 (

a ,b

) ( y

−

b

)

dy dt 

 =

g  x

 (

a , b) ( x

−

a

)

+

 g  y

 (

a , b

) ( y

−

b

)

173

Persamaan 173 dapat dituliskan sebagai matriks

dx dt  dy dt  =

(

 f   x

 (

a , b

)

f   y

 (

a , b

)

g  x

 (

a , b

)

g  x

 (

a , b

)

)

(

(

 x−a

)

(

 y−b

)

)

163 Substitusi u = x a -  dan v = -y b

diperoleh persamaan yang lebih sederhana, yaitu du dt  dv dt  =

(

 f   x

 (

a , b

)

f   y

 (

a , b

)

g  x

 (

a ,b

)

g  x

 (

a , b

)

)

(

u v

)

193 dengan J 

=

(

 f   x

 (

a , b) f   y

 (

a ,b

)

g  x

 (

a , b) g  x

 (

a , b)

)

 dikenal sebagai matriks acobian Sistem 1(3  pada titik 1a,b3.

iberikan

( *

1 , ,..., 3 x x x_n =

x

=ariabel bebas dan u merupakan !ungsi yang

 bergantung pada =ariabel

( , ,...,* n

 x x x

. Sistem persamaan dua =ariabel orde satu  berbentuk sebagai berikut'

( ( (1 3 u u  f    x t  ∂ ∂ + = ∂ ∂ u * * *1 3 u u  f    x t  ∂ ∂ + = ∂ ∂ u 1:3 ⋮ 1 3 n n n u u  f    x t  ∂ ∂ + = ∂ ∂ u .

engan u

=(

u1,u2, … , un

)

_{dan nilai awal} u0

=(

u01,u02, … , u0n

)

_{. Solusi}

Sistem 1:3 dengan nilai awal u0

=(

 x ,t 0

)

_{dinyatakan sebagai}

u

(

 x ,t 

)=

u

(

u0, x , t  

)

_.

Eektor u

¿

₍

 x

)

 _{disebut distribusi umur steady state Sistem 1:3, jika} u¿

(

 x

)

memenuhi Sistem berikut.

( )

F ( ( 1 3 G H du x  f x dx = * u

( )

F * * 1 3 G H du x  f x dx = * u 1;3 '

( )

F 1 3 G H n n du x  f x dx = * u

/ndaikan Sistem 1;3 dengan nilai awal yang diberikan misal u ¿

(

0

)

=

u0 ¿ , memiliki solusi u ¿

₍

 x

)

_{, kestabilan distribusi umur steady state tersebut dapat}

Selanjutnya, linearisasi sistem persamaan di sekitar kondisi  steady state

u¿

(

 x

)=

[

u1 ¿

(

 x

)

, u2 ¿

(

 x

)

]

_{sebagai berikut. iperhatikan dua persamaan awal pada}

Sistem 1:3, yakni ( ( ( 1 , 3( * u u  f u u  x t  ∂ ∂ + = ∂ ∂ * * * 1 , 3( * u u  f u u  x t  ∂ ∂ + = ∂ ∂ . 1<3 iberikan trans!ormasi F F ( * ( ( * * 1 , 3 G 1 , 3, 1 , 3H G 1 , 3  x t = v x t v x t = u x t −u x u x t 1 3, 1 , 3 −u x1 3H v   engan

mengambil deret +aylor f ( dan f * Sistem 1<3, diperoleh

F F ( ( ( ( ( ( ( * * ( ( * 1 3 1 3G H 1 3G H v v f f      f u u u u  x t u u ∂ ∂ ∂ ∂ + ≅ + − + − + Θ ∂ ∂ ∂ ∂ * * * u u u , ( ( ( * ( * 1 3 1 3  f f   v v u u ∂ ∂ ≅ + ∂ ∂ * * u u , F F * * * * * ( ( * * * ( * 1 3 1 3G H 1 3G H v v f f      f u u u u  x t u u ∂ ∂ ∂ ∂ + ≅ + − + − + Θ ∂ ∂ ∂ ∂ * * * u u u * * ( * ( * 1 3 1 3  f f   v v u u ∂ ∂ ≅ + ∂ ∂ * * u u ,

dengan Θ1, Θ2 _{suku suku non linear sehingga dapat diabaikan. ?asil}

linearisasi Sistem 1<3, yakni

( ( ( ( ( * ( * 1 3 1 3 v v f f     v v  x t u u ∂ ∂ ∂ ∂ + = + ∂ ∂ ∂ ∂ * * u u

BAB III PENUTUP

3.1 KESIMPULAN

Adapun kesimpulan dari makala ini se!a"ai !eriku#$

(. untuk memperoleh model matematik yang linier dari suatu sistem nonlinear, maka model persamaan nonlinear harus dilinearisasi dengan menggunakan bantuan deret taylor dan juga matriks jacobian. /dapun bentuk persamaan setelah dilinearisasi adalah sebagai berikut'

( ( ( ( ( * ( * 1 3 1 3 v v f f     v v  x t u u ∂ ∂ ∂ ∂ + = + ∂ ∂ ∂ ∂ * * u u

*. m%del persamaan linear memiliki !en#uk

a1 x1

+

a2 x2

+

…

+

an xn

=

b

&an dapa# pula diselesaikan den"an men""unakan me#%de "auss- '%rdan. &en"an men"u!a persamaan linier men'adi ma#riks au"men#asi.

Kemudian lakukan %perasi !aris elemen#er un#uk men"u!a ma#riks au"men#asi ke !en#uk !aris esel%n (an" #ereduksi

3.) SA*AN

Adapun saran un#uk pem!a+a adala men+ari re,erensi lain #erkai# pen(elesaian sis#em persamaan linier selain den"an me#%de "auss-'%rdan dan 'u"a pen(elesaian dari linearisasi dari persamaan sis#em n%nlinear

&ATA* PUSTAKA

/nonim. Sistem persamaan linear. *5(*

http'88ocw.stikom.edu8course8download8*5(*8(58Sistem-Persamaan-inier.pd! 

Dia!"! #a$a %a&''a( ) &*v"+,"- 21/

/nonim. Model State Space.

a-research.upi.edu/operator/upload/s_mat_060849_chapter3.pdf 

Dia!"! #a$a %a&''a( ) &*v"+,"- 21/

Brauer . dkk Mathematical Epidemiology, *55;, Springer-Eerlag, Berlin-?eidelberg- ew Iork 

Les#ari de/i. Linearisasi sis#em persamaan di,erensial parsial pada m%del epidemi sir !erdasarkan kel%mp%k umur. )01).

https'88www.google.co.id8url) sa@tJrct@jJK@Jesrc@sJsource@webJcd@*Jcad@rjaJuact@;J=ed@5ahU4L wiNpi99j/hO4Po;4?Qp/rgRgggM/LJurl@http2/*R *Rseminar.uny.ac.id*Rsemnasmipa*Rsites *Rseminar.uny.ac.id.semnasmipa*R!iles*Rpaper*RMatematika*Rwi *6*5estari-makalah*6*5semnas*6*5MCP/-UI *6*5*5(*.doc>Jusg@/Rj0R:BpO;#bP/-/<<UMBCttEIsgJsig*@Bua4lgLUubkP6djE:I

Dia!"! #a$a %a&''a( ) &*v"+,"- 21/

Sibaroni, Iuliant. *55*. Buku /jar /ljabar inear. S++ +elkom