k = populasi pelanggan Nilai-nilai default (biasanya tidak dimunculkan) :

(1)

Model

Model Loss

Loss Sistem

Sistem

Anhar

Prodi Teknik Elektro S1

UR

Topik Bahasan

Topik Bahasan....

Notasi Model Antrian (Kendall)

Model Poisson (

∞

customers,

∞

servers)

Model Erlang (

∞

customers, n <

∞

servers)

Binomial model (k <

∞

customers, n = k

servers)

Engset model (k <

∞

customers, n < k

servers)

(2)

Notasi Model Antrian (Kendall)

A/B/n/p/k

– A menyatakan proses kedatangan

Interarrival time distribution:

M= exponential (memoryless) D= deterministic

G= general

– B menyatakan waktu pelayanan (service times)

Service time distribution:

M= exponential (memoryless) D= deterministic

G= general

– n = jumlah server

– p = jumlah tempat dalam sistem = jumlah server + tempat menunggu

3

Notasi Model Antrian (Kendall)

(cont.)

◦ k = populasi pelanggan

◦ Nilai-nilai default (biasanya tidak dimunculkan) :

p = ∞, k = ∞ ◦ Contoh: M/M/1 M/D/1 M/G/1 G/G/1 M/M/n M/M/n/n+m M/M/∞(Poisson model) M/M/n/n (Erlang model) M/M/k/k/k (Binomial model) M/M/n/n/k (Engset model, n < k)

(3)

Model Poisson (M/M/

∞

))

Model Poisson didefinisikan menggunakan model teletraffic

berikut :

– Kedatangan panggilan acak (random arrival/Pure Chance Traffic) dan independent satu sama lain

– Selang waktu antar kedatangan terdistribusi eksponensial negatif

– Jumlah sumber panggilan (customer) tak terhingga (k= ∞) – Laju rata-rata datangnya panggilan konstan (a=λ)

Tak tergantung jumlah pendudukan yang sudah ada karena sumber panggilan tak terhingga

– Jumlah server yang melayani tak terhingga

Setiap panggilan yang datang selalu dapat dilayani (lossless)

– Pola waktu pelayanan/pendudukan terdistribusi exponensial negatif dengan waktu pelayanan/pendudukan (service time) rata-rata = h = 1/µ

– Harga rata-rata trafik sama dengan harga variansinya

– Tidak ada buffer

– Intensitas trafik = a = λ/µ

5

Diagram Transisi Kondisi

Misalnya X(t) menyatakan jumlah customer di dalam sistem

pada saat t

Asumsikan bahwa X(t) = i pada suatu waktu t, dan kita lihat

apa saja kemungkinan yang terjadi di dalam selang waktu yang

sangat pendek (t, t+dt] :

◦ dengan peluang sebesar λdt + o(dt), bisa terdapat seorang pelanggan baru datang (transisi kondisi n →n+1)

◦ jika i > 0, dengan peluang sebesar iµdt + o(dt) bisa terdapat seorang pelanggan yang meninggalkan sistem (transisi kondisi n →n−1)

X(t) merupakan suatu proses Markov dengan diagram transisi

kondisi sebagai berikut

(4)

•

Persamaan kesetimbangan lokal

•

Normalisasi

•

Maka distribusi dalam kondisi setimbang adalah Poisson

7

.

0,1,2,3,..

n

,

!

)

1 (

)

1 (

)

1 (

0 1 1

=

+

=

+

=

+

=

+ +

p

n

a

p

n

a

p

n

p

n

p

n i i i n n n

µ

λ

µ

λ

a a n n n n n n

e

n

a

p

n

a

p

− − − ∞ = ∞ = ∞ =

=













=

∑

1 1 0 0 0 0 0

)

(

!

1 !

.

0,1,2,3,..

n

,

!

}

{

=

−a

=

n i

e

n

a

p

i

X

P

Sifat penting distribusi Poisson

◦ E [X] = a, D

2

_{[X] = a}

◦ Seluruh trafik yang ditawarkan akan dapat diolah

oleh server, artinya tidak ada trafik yang hilang

(lossless)

Oleh karena itu trafik yang ditawarkan akan sama dengan

trafik yang dimuat atau A = Y

(5)

Model Erlang (M/M/n/n)

Model Erlang didefinisikan menggunakan model teletraffic

berikut

– Jumlah sumber panggilan tak terhingga (k=∞)

– Selang waktu antar kedatangan terdistribusi eksponensial negatif dengan rata-rata 1/λ

Pola kedatangan panggilan terdistribusi Poisson dengan laju rata-rata datangnya panggilan konstan (λ)

Kedatangan panggilan acak (random arrival) dan independent satu sama lain Tak tergantung jumlah pendudukan yang sudah ada karena sumber panggilan tak terhingga

– Jumlah server terbatas (n < ∞) dan tidak ada buffer

Tidak setiap panggilan yang datang selalu dapat dilayani; panggilan yang datang pada saat semua server sibuk akan tidak dapat dilayani

panggilan-panggilan yang tidak dapat dilayani akan dihilangkan (lossy) : sistem rugi murni

– Pola waktu pelayanan/pendudukan terdistribusi exponensial negatif dengan waktu pelayanan/pendudukan rata-rata = h = 1/µ

– Intensitas trafik = a = λ/µ

9

Rumus Rugi Erlang

Dapat digunakan untuk menghitung prosentase

panggilan yang hilang bila trafik yang ditawarkan

dan jumlah server (ingat, server bisa berupa

berkas saluran keluar, timeslot dsb.) diketahui

Penurunan rumus menggunakan diagram transisi

kondisi dan persamaan kesetimbangan

–

Koefisien kelahiran =

λ

(konstan)

–

Koefisien kematian = n

µ

(6)

λP(0) = 1µP(1) A.P(0) = 1.P(1) A.P(1) = 2.P(2) A.P(2) = 3.P(3) .. . A.P(n-1) = n.P(n) . . . A.P(N-1) = N.P(N) 11 0 1 2 λ λ λ λ (N-1)µ 3µ 2µ µ N-1 N λ Nµ

• Dari persamaan kesetimbangan tersebut bisa kita peroleh

P(n) = P(n-1) = P(n-2)= P(n-3)= … = P(0) • Jadi P(n) = P(0), dengan n = 0,1,2,…,N • Mencari P(0) : – 1 = P(n) = P(0) { 1+A+ + + … + } – Jadi P(0) = A n A2 n(n-1) A3 n(n-1)(n-2) An n! An n! An n!

Σ

n=0 N

Σ

n=0 N A2 2! A2 2! A3 3! A3 3! AN N! AN N! 1

Σ

n=0 N

Σ

n=0 N An n! An n!

(7)

• Sehingga

• Untuk n = 0,1,2,3,…, N

(A)

◦ B (Blocking)

◦ Rumus Rugi Erlang

◦ Rumus Erlang-B

◦ B(N,A)

◦ Grade of Service (GOS)

Dari segi nilai, GOS = Blocking

Dari segi pengertian, GOS merupakan komplemen dari

Blocking

(8)

Jadi

15

P(N) = E

_1,N

(A) = E

_N

(A) = B =

A

N

N!

1+A+ + … +

A

2

2!

A

N

N!

Ditabelkan

Kongesti Waktu dan Kongesti Panggilan

Probabilitas kondisi adalah lamanya waktu suatu

kondisi berlangsung selama satu jam pengamatan

(jam sibuk), maka

P(N) dapat diartikan sebagai lamanya waktu

dimana semua server (=N) sibuk berlangsung

dalam jam jam sibuk sehingga P(N) disebut pula

sebagai Kongesti Waktu (Time Congestion)

Dapat pula dikatakan :

(9)

17

• Pengertian Kongesti Panggilan = R(N)

• Atau dengan kata lain :

R(N) adalah bagian panggilan yang ditolak

• Untuk kedatangan yang acak P(N) = R(N)

R(N) =

Jumlah panggilan yang ditolak

Jumlah panggilan selama 1 jam

Efisiensi dan Kepekaan

Efisiensi (= A/N)

◦ Untuk B tertentu, dengan bertambahnya A, akan

diperlukan N yang lebih besar pula

◦ Makin besar A, makin besar (baik) efisiensinya

B = 1%

N

A

A/N

2 0,15

0,075

4 0,87

0,215

(10)

Kepekaan

◦ Seberapa besar pengaruh perubahan A terhadap

perubahan B untuk N tetap

◦ Makin besar A, makin besar kepekaaannya (perubahan

B-nya)

19

B = 1%

N A 1,1A (A naik 1%) Trafik 1,1A dan dengan N

tetap; B berubah menjadi

2 0,15 0,165 0,012 (=1,2 %) 4 0,87 0,957 0,013 (=1,3 %) 10 4,46 4,906 0,015 (=1,5 %) 50 37,90 41,690 0,030 (=3,0 %)

Model Erlang dapat diterapkan pada trafik

telepon di dalam suatu berkas saluran trunk

dimana jumlah user yang menggunakannya

sangat banyak

◦ customer = call

−λ

= call arrival rate (calls per time unit)

◦ h = 1/µ = average call holding time (time units)

◦ a =

λ

/µ = traffic intensity

(11)

21

• Harga rata-rata trafik yang dimuat oleh berkas

saluran (pada rumus Erlang)

– Merupakan jumlah saluran rata-rata yang diduduki

(selama waktu 1 jam sibuk)

Σ

j=0 N

Σ

j=0 N Aj_/j! -B ₁

Jadi :

◦ Y = A[1-B] atau

◦ A = Y + AB

A = Trafik yang ditawarkan (rata-rata)

Y = Trafik yang dimuat (rata-rata)

AB = R = Trafik yang ditolak (hilang)

(12)

1+A+ A

2

2!

A

n

n!

+…+

A

n+1

_/(n+1)!

1+A+ A

2

2!

A

n+1

(n+1)!

+…+

A

(n+1) 1+

(13)

Rumus Rekursif Erlang (3)

25

E

_n+1

(A)=

A

n+1

_/(n+1)!

1+A+ A

2

2!

A

n

n!

+…+

A.E

_n

(A)

(n+1) 1+

A

(n+1)

=

E

_n

(A)

A.E

_n

(A)

(n+1) 1+

A

(n+1)

Rumus Rekursif Erlang (4)

E

_n+1

(A)=

PABX A ke PABX B adalah 25 erlang,

demikian pula sebaliknya. Bila blocking

pada berkas saluran penghubung

diinginkan 1%, tentukan :

◦ Hitung jmlh saluran yg harus disediakan bila

digunakan sirkuit one way.

◦ Hitung jmlh saluran yg harus disediakan bila

digunakan sirkuit two way.

(15)

Suatu berkas saluran terdiri dari 18

saluran. Ditawari trafik dng laju

kedatangan panggilan 480 panggilan/jam

dan rata-rata waktu pendudukan selama

105 detik. Bila kedatangan panggilan

terdistribusi Poisson, hitung trafik yg

ditawarkan, time congestion, call

congestion dan jumlah panggilan yg ditolak

rata-rata perjamnya.

29

Model Binomial (M/M/k/k/k)

Model Binomial didefinisikan oleh model

teletraffic berikut :

–

Jumlah sustomer terbatas tapi independen satu sama

lain (k <

∞

)

on-off type customers (alternating between idleness and activity)

–

Idle times terdistribusi eksponensial negatif dengan mean

1/

υ

–

Jumlah server sama dengan jumlah customer (n = k)

–

Waktu pelayanan terdistribusi eksponensial negatif

dengan mean 1/µ

–

Tidak ada buffer

(16)

On

On--off tye customer

off tye customer

Misalkan X

_j

(t) menyatakan kondisi dari customer j ( j =

1,2,…,k ) pada waktu t

State 0 = idle, state 1 = active = dalam pelayanan

Kita lihat peristiwa yang terjadi selama selang waktu yang

sangat singkat (t, t+h]:

◦ Jika Xj(t) = 0, customer menjadi aktif (terjadi transisi dari 0 ke 1)

dengan peluang sebesar υh + o(h),

◦ Jika Xj(t) = 1, customer menjadi idle (terjadi transisi dari 1 ke 0)

dengan peluang sebesar µh + o(h)

Proses X

_j

(t) merupakan proses Markov dengan diagram

transisi kondisi sebagai berikut

31

Persamaan kesetimbangan lokal :

• Normalisasi :

• Dengan demikian distribusi pada kondisi setimbang dari seorang

customer adalah distribusi Bernoulli dengan peluang sukses

sebesar

υ

/(

υ

+µ)

• offered traffic adalah

υ

/(

υ

+µ)

• Dari sini kita bisa mengambil deduksi bahwa distribusi pada kondisi

setimbang dari kondisi sistem secara keseluruhan (yaitu jumlah

(17)

Diagram Transisi Kondisi

Misalnya X(t) menyatakan jumlah customer yang aktif

◦ Asumsikan bahwa X(t) = i pada saat t, dan kita perhatikan kejadian selama selang waktu yang sangat singkat (t, t+h]:

Jika i < k, seorang customer yang idle menjadi aktif (terjadi transisi kondisi dari i ke i+1) dengan peluang sebesar (k−i)υh + o(h)

Jika i > 0, seorang customer yang aktif menjadi idle (terjadi transisi kondisi dari i ke i-1) dengan peluang iµh + o(h), Proses X(t) adalah proses Markov dengan diagram transisi kondisi sebagai berikut

33

Persamaan kesetimbangan lokal

(18)

Jadi distribusi dalam kondisi setimbang adalah

binomial

35

Model Engset (M/M/n/n/k)

Model Engset didefinisikan oleh model teletraffic

berikut :

–

Jumlah pelanggan terbatas tetapi independen satu sama

lain (k <

∞

)

on-off type customers (alternating between idleness and activity)

–

Idle times terdistribusi eksponensial negatif dengan mean

1/

υ

–

Jumlah server lebih kecil daripada jumlah customer (n <

k)

–

Waktu pelayanan terdistribusi eksponensial negatif dengan

mean 1/µ

–

Tidak ada buffer

(19)

Diagram Transisi Kondisi

Misalnya X(t) menyatakan jumlah customer yang

aktif

◦ Asumsikan X(t) = i pada saat t, dan kita perhatikan apa

yang terjadi selama selang waktu yang sangat singkat (t,

t+h]:

Jika i < n, seorang customer yang idle menjadi aktif (terjadi transisi kondisi dari i ke i+1) dengan peluang sebesar (k−i)υh + o(h)

Jika i > 0, seorang customer yang aktif menjadi idle (terjadi transisi kondisi dari i-1 ke i) dengan peluang iµh + o(h),