Kovinska razmerja : študijsko gradivo : zgodovina matematike

Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Katedra za matematiko in didaktiko matematike. Marko Razpet. KOVINSKA RAZMERJA Študijsko gradivo Zgodovina matematike. Ljubljana, avgust 2016.

Vsebina Seznam slik. 3. Predgovor. 5. 1 Dogovor o zapisih. 6. 2 Kovinsko razmerje. 6. 3 Fibonaccijevi in Lucasovi polinomi. 21. 4 Hiperbolični sinus in kosinus. 31. 5 Diferencialni enačbi. 37. 6 Matrični zapis in nekaj enakosti. 39. 7 Potence kovinskih razmerij. 43. 8 Ekvivalenčna relacija. 53. 9 Kovinski pravokotniki. 54. 10 Srebrni trapez. 58. 11 Pellova enačba. 64. 12 Samopodobnost. 67. Za konec. 76. Literatura. 80. Oznake. 81.

Seznam slik 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31. Evklid iz Aleksandrije. . . . . . . . . . . . . Hipatija iz Aleksandrije. . . . . . . . . . . . Leonardo da Vinci. . . . . . . . . . . . . . . Johannes Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . Mysterium Cosmographicum, detajl . . . . . Pravilni ikozaeder. . . . . . . . . . . . . . . Pravilni dodekaeder. . . . . . . . . . . . . . Delitev daljice v zlatem razmerju. . . . . . . Luca Pacioli. . . . . . . . . . . . . . . . . . Martin Ohm. . . . . . . . . . . . . . . . . . Pentagon in pentagram. . . . . . . . . . . . Vera Martha Winitzky de Spinadel. . . . . . Preslikave γn . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pitagora s Samosa. . . . . . . . . . . . . . . Preslikave ϑn . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leonardo iz Pise. . . . . . . . . . . . . . . . François Édouard Anatole Lucas. . . . . . . François Viète. . . . . . . . . . . . . . . . . Grafa karakterističnih korenov. . . . . . . . Jacques Philippe Marie Binet. . . . . . . . . Blaise Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . Fibonaccijeva števila in Pascalov trikotnik. . Fibonaccijevi polinomi in Pascalov trikotnik. Leonhard Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . Grafa funkcij sh in ch. . . . . . . . . . . . . Johann Heinrich Lambert. . . . . . . . . . . Vincenzo Riccati. . . . . . . . . . . . . . . . Delne rešitve prve enačbe. . . . . . . . . . . Delne rešitve druge enačbe. . . . . . . . . . Giovanni Domenico Cassini. . . . . . . . . . Eugène Charles Catalan. . . . . . . . . . . . 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6 7 9 9 10 10 11 12 12 14 15 16 17 18 20 22 23 23 24 26 30 32 32 33 34 35 37 39 39 41 42.

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61. Philbert Maurice d’Ocagne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kovinski pravokotnik reda n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zlati pravokotnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Srebrni pravokotnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bronasti pravokotnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Delitev kovinskega pravokotnika reda 4. . . . . . . . . . . . . Pravokotno sekajoči se diagonali. . . . . . . . . . . . . . . . . Še en kovinski pravokotnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Delitev kvadrata s stranico ψ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Srebrni trapez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvadratni okvir, sestavljen iz srebrnih trapezov. . . . . . . . . Pravilni osemkotnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pravilni osemkotnik, včrtan kvadratu. . . . . . . . . . . . . . . Prvi prepogibi papirja do pravilnega osemkotnika. . . . . . . . Pravilni osemkotnik s prepogibanjem papirja. . . . . . . . . . Pravilni osemkotnik, razdeljen na dva kvadrata in štiri rombe. Lesen izdelek, ki ima za prečen presek pravilen osemkotnik. . . Prisekana kocka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tlakovanje ravnine s kvadrati in pravilnimi osemkotniki. . . . John Pell (1611–1685) – angleški matematik. . . . . . . . . . . Nazorna interpretacija števil T8 in Q6 . . . . . . . . . . . . . . Zaporedje srebrnih pravokotnikov. . . . . . . . . . . . . . . . . Krogi v zaporedju srebrnih pravokotnikov. . . . . . . . . . . . Dvojna srebrna spirala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gaußova preslikava. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Johann Carl Friedrich Gauß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Joseph-Louis Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anicius Manlius Torquatus Severinus Boëthius. . . . . . . . . Platon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aristotel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 42 55 55 55 56 56 57 58 58 59 59 60 60 61 61 62 62 63 63 64 66 67 68 68 70 71 74 76 78 79.

Predgovor Pojem kovinskega razmerja je posplošitev bolj znanega pojma zlatega razmerja. Kovinskih razmerij je neskončno mnogo, vsakemu naravnemu številu lahko priredimo enega. Kovinska razmerja so iracionalna števila, ki zadoščajo preprosti kvadratni enačbi. Nekatera kovinska razmerja so med seboj povezana, večinoma pa ne. Z njimi se matematiki intenzivneje ukvarjajo zadnjih dvajset let. Pomembno vlogo pri študiju kovinskih razmerij igrajo Fibonaccijevi in Lusasovi polinomi, s katerimi lahko izrazimo bolj znana Fibonaccijeva in Lucasova števila. Zanje velja veliko zanimivih relacij, od katerih bomo izpeljali le najnujnejše. Pri raziskavi kovinskih razmerij pride v poštev osnovno znanje o diferenčnih enačbah in verižnih ulomkih. Videli bomo, da veliko relacij lahko izpeljemo že na podlagi znanja o kvadratni enačbi in pripadajočih Viètovih pravil. Gaußova preslikava pa poskrbi za imenitne povezave med verižnimi ulomki in kovinskimi razmerji. V hvalevredno pomoč pri raziskavi kovinskih razmerij nam je računalniški program Derive. Z njim udobno poenostavljamo matematične izraze in jih preverjamo. Kovinska razmerja imajo pomembno mesto tudi v geometriji. Z njimi so povezani kovinski pravokotniki in njihove delitve na kvadrate in manjše kovinske pravokotnike. Zlato razmerje je tesno povezano s pravilnim petkotnikom ali pentagonom, s petkrako zvezdo ali pentagramom, s katerima se pa ne bomo prav posebej ukvarjali, srebrno pa s pravilnim osemkotnikom, o katerem bomo povedali nekaj več. Z vsem dostopnim računalniškim programom GeoGebra lahko sami izdelamo slike, s katerimi laže pojasnimo marsikatero trditev o kovinskih razmerjih. Podobe oseb so vzete s svetovnega spleta. Vseh izrazov grškega izvora ne bomo pojasnjevali, zlasti ne geometrijskih. O tem je več napisanega v [6]. V razpravi bomo mimogrede rešili tudi nekaj Pellovih enačb, ki imajo dolgo in zanimivo zgodovino, in odgovorili na običajno vprašanje, kako poiskati trikotniška števila, ki so kvadratna. Zahvaljujem se prof. dr. Milanu Hladniku za strokovni pregled. Brez njega bi ostala v besedilu še marsikatera nepotrebna napaka. Ljubljana, avgust 2016 Dr. Marko Razpet 5.

1. Dogovor o zapisih. V besedilu se bomo skušali držati dogovora, da cela števila označujemo s črkami j, k, m, n, p, r, r, realna pa s t, x, y. Potence funkcij bomo pisali z eksponentom tik za simbolom funkcije, na primer f m (x) pomeni isto kot (f (x))m . Ulomkovo črto v vrstičnih matematičnih izrazih bomo označevali z znakom /, na primer a/b, v usredinjenih pa z vodoravno črto. Znak za kompozitum funkcij bo ◦, na primer (f ◦ g)(x) = f (g(x)). Pogosto srečujemu tudi n-kratni kompozitum funkcije f same s seboj. Označevali ga bomo s f ⟨n⟩ . Rekli bomo, da se številska izraza I in J izražata linearno, z racionalnima koeficientoma, če obstajata taki racionalni števili α in β, da velja I = α + βJ. Množice naravnih, celih in racionalnih števil bomo označevali ustrezno z N, Z, Q.. Slika 1: Evklid iz Aleksandrije (365–275 pne.) – starogrški matematik.. 2. Kovinsko razmerje. Zlato razmerje ϕ je eno od najbolj razvpitih razmerij že od antičnih časov naprej. Uporablja ga Evklid – Εὐκλείδης ὁ ᾿Αλεξανδρεύς – v svojih Elementih – Στοιχεῖα, le da mu reče skrajno in srednje razmerje, ἄκρος καὶ μέσος 6.

λόγος (glej [2]). Najdemo ga na primer v pravilnem petkotniku ali pentagonu, v pravilnem ikozaedru ali dvajsetercu in pravilnem dodekaedru ali dvanajstercu. To sta dva od petih pravilnih poliedrov ali platonskih teles. Nekateri starogrški filozofi so pravilnim poliedrom prirejali štiri antične elemente. To so bili ogenj, voda, zemlja, zrak, katerim so dodali še eter ali kozmos. Ikozaedru je pripadala voda, grško ὕδωρ, dodekaedru pa eter, grško αἰθήρ. Ikozaeder in dodekaeder sta si dualni telesi: središča ploskev prvega določajo oglišča drugega in obratno. Na veliko so zlato razmerje ϕ, φ, Φ ali τ uporabljali in ga še vedno uporabljajo tudi v umetnosti. S črko ϕ ga označujemo, ker se ime slavnega grškega kiparja, slikarja in arhitekta Fidije, grško Φειδίας, iz petega stoletja pred našo ero začne s to črko. Fidija je zlato razmerje ali število zlatega reza dobro poznal in ga tudi uporabljal. Nekateri, ki ne marajo, da se stvari imenujejo po osebah, pa črko τ uporabljajo zato, ker je to začetnica besede τομή, kar pomeni med drugim tudi rez. Tistim pa, ki jim grške črke ne gredo dobro, pa uporabljajo raje kar črki g in G (iz gold, zlato). Zlatega razmerja niso prvi poznali Grki. Znano je bilo že Egipčanom, katerim je bilo to razmerje sveto.. Slika 2: Hipatija iz Aleksandrije (∼370–415) – antična matematičarka. So pa tudi ljudje, ki menijo, da je bila oznaka ϕ uvedena zaradi Fibonac7.

cija, katerega ime se začne s Fi. Njegovo znano zaporedje 1, 1, 2, 3, 5, . . ., v katerem je vsak člen od tretjega naprej vsota svojih predhodnikov, ima lastnost, da zaporedje kvocientov členov s svojimi predhodniki, to se pravi zaporedje 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, . . ., konvergira proti številu ϕ. Tako mnenje pa je malo iz trte izvito, kajti ime Fibonacci se pojavi veliko kasneje, kot je živel Leonardo iz Pise, ki je omenjeno zaporedje odkril. Sam imena Fibonacci nikjer v svojih delih, od katerih je najbolj znana računica Liber abbaci, ne omenja. Najbolj je Leonardova računica za razvoj evropske matematike verjetno pomembna zaradi predstavitve mestnega desetiškega številskega sistema in novih števk ter računanja z njimi. V petem stoletju, nekako s smrtjo aleksandrijske matematičarke in neoplatonistke Hipatije – ῾Υπατία ἡ ᾿Αλεξανδρεῖα, se je končalo slavno obdobje aktivne antične matematike in umetnosti. Seveda pa to ne pomeni, da matematike v vsem vmesnem obdobju niso uporabljali, le kaj bistveno novega niso odkrili. Pridno so prepisovali in komentirali Evklida in druge antične avtorje, tako da je znanje prehajalo iz roda v rod, zlasti v vzhodnem delu nekdanjega rimskega cesarstva. V Atenah je formalno delovala Platonova Akademija, ustanovljena leta 387 pne. in ukinjena leta 529 ne. Najbolj ljudem v spominu navadno ostane napis, ki je baje bil pritrjen nad vhodom v Akademijo: ΑΓΕΟΜΕΤΡΗΤΩΣ ΜΗΔΕΙΣ ΕΙΣΙΤΩ. Naj ne vstopa, kdor ne zna geometrije. Od sedmega stoletja naprej se začne razcvet arabske matematike, ki je trajal vse do leta 1258, ko je padel Bagdad v mongolske roke. V Bagdadu je vse do zavzetja delovalo vseučilišče, imenovano Hiša modrosti, kjer so študirali mnogi raznovrstni učenjaki tistega časa. Zbirali so tudi antične spise in jih prevajali. Hiša modrosti je bila ustanovljena v osmem stoletju v času vladanja kalifa Al Mamuna. Arabskim znanstvenikom se moramo zahvaliti, da so s prevodi ohranili marsikatero antično delo. Za antično matematiko in umetnost so se resno spet začeli zanimati v obdobju evropske renesanse. Zlato razmerje je Luca Pacioli imenoval la divina proportione ali božansko razmerje. Seveda je za zlato razmerje vedel tudi Leonardo da Vinci, ki je Lucu Pacioliju lepo narisal pravilne poliedre.. 8.

Slika 3: Leonardo da Vinci (1452–1519) – vsestranski italijanski umetnik in izumitelj.. Slika 4: Johannes Kepler (1517–1630) – nemški matematik, astrolog in astronom. Že Johannes Kepler (1571–1630) je nekje zapisal, da geometrija skriva v sebi dva velika zaklada: Pitagorov izrek in zlato razmerje. Prvega lahko primerjamo z mernikom zlata, drugega pa z dragocenim draguljem. Katere izraze je Kepler dejansko uporabil, lahko poznavalci srednjeveške latinščine izluščijo iz priloženega besedila. Če je verjeti prevajalcem in prepiso9.

Slika 5: Odlomek iz Keplerjevega dela Mysterium Cosmographicum (1596), stran 47. valcem, je Kepler očitno zlato povezal s Pitagorovim izrekom, dragulj pa z zlatim rezom.. Slika 6: Pravilni ikozaeder. Johannes Kepler je bil dolgo prepričan, da obstaja neka povezava med platonskimi telesi in takrat znanimi planeti. V to je vložil precej napora, s katerim pa ni prišel daleč. Šele Tycho de Brahe (1546–1601), danski astronom in astrolog, ki je natančno opazoval gibanje planetov in vestno zapisoval rezultate, je pripomogel k temu, da je Kepler sprevidel svojo zmoto in na koncu ugotovil, da planeti krožijo okoli Sonca po elipsah. Takrat so spet začeli študirati stožnice, s katerimi se je že davno ukvarjal Apolonij iz Perge (265–170 pne.) – ᾿Απολλώνιος ὁ Περγαῖος. Apolonij jim je dal tudi imena, ki 10.

jih uporabljamo še danes: elipsa, parabola, hiperbola.. Slika 7: Pravilni dodekaeder. Imena platonskih teles izvirajo iz grščine (več o tem v [6]). Imamo sicer tudi lepa slovenska imena četverec, šesterec (kocka), osmerec, dvanajsterec in dvajseterec, ki niso ravno prevodi iz grščine. Asociirajo pa nas lahko na kaj drugega, recimo veslanje. V drugi polovici 19. stoletja so bila predlagana imena četverostenje, šesterostenje, osmerostenje, dvanajsterostenje in dvajseterostenje, ki pa se niso uveljavila. Morda po češkem zgledu: čtyřstěn, šestistěn (krychle), osmistěn, dvanáctistěn, dvacetistěn. Tudi pri Nemcih se niso prijeli izrazi Vierflächner, Sechsflächner (Würfel), Achtflächner, Zwölfflächner, Zwanzigflächner. Rusi imajo tudi svoje izraze: qetirhgrannik, xestigrannik (kub), vos~migrannik, dvenadcatigrannik, dvadcatigrannik. Vrnimo se k tako opevanemu zlatemu razmerju. Delitev v zlatem razmerju bi lahko opisali tudi z besedami. Nekaj razdelimo na dva neenaka dela v zlatem razmerju, če je celota proti večjemu delu v enakem razmerju kot večji del proti manjšemu delu. Najlaže natančno definiramo zlato razmerje z delitvijo daljice v zlatem razmerju. Točka Z deli daljico AB v zlatem razmerju, če je |AB| : |AZ| = |AZ| : |ZB|. Označimo a = |AZ| in b = |ZB|, pri čemer vzamemo, da je 11.

Slika 8: Delitev daljice v zlatem razmerju. a > b. Potem je |AB| = a + b in veljati mora relacija a+b a = . a b. (1). Slika 9: Luca Pacioli (1445–1514) – italijanski matematik. Prepišimo jo v obliko a 1 = 1+ a. b b Po vpeljavi zlatega razmerja ali zlatega števila ϕ = a/b dobimo relacijo 1 . ϕ. (2). ϕ2 = ϕ + 1.. (3). ϕ=1+ Predelamo jo v enakovredno obliko. 12.

Zlato razmerje ϕ je torej pozitivna rešitev enačbe ξ 2 − ξ − 1 = 0.. (4). Rešitvi, po splošni formuli za korena kvadratne enačbe, sta √ √ 1+ 5 1− 5 ξ1 = , ξ2 = . 2 2 Drugi koren je negativen in ne pride v poštev. Našli smo √ 1+ 5 = 1, 618033988 . . . ϕ= 2 Število ϕ je iracionalno, kar je bilo znano že nekaterim pitagorejcem. Ker je ϕ med 1 in 2, ga imenujejo tudi zlata sredina. Enostavno pa dobimo iz (2) zanj verižni ulomek: ϕ=1+. 1 =1+ ϕ. 1 1 1+ ϕ. 1. =1+. .. 1. 1+ 1+. 1 1+. 1 .... Krajše ga zapišemo kot ϕ = [1; 1],. (5). kjer enka pred podpičjem pomeni celi del števila ϕ, črta nad 1 pa ponavljanje. Število ϕ ima v razvoju v verižni ulomek periodo dolžine 1. Iz (2) ali iz verižnega ulomka (5) vidimo, da je število 1/ϕ decimalni del števila ϕ. Razvoj v verižni ulomek pa je 1 = [0; 1]. ϕ Kot kaže, je šele Nemec Martin Ohm v 19. stoletju začel na veliko uporabljati izraz zlato razmerje, ki se je lepo uveljavil. Martin Ohm je bil brat bolj znanega Georga Simona Ohma (1789–1854), po katerem se imenujeta znani zakon v elektrotehniki (Ohmov zakon, ki povezuje električno napetost, tok in upornost) in enota za električno upornost ohm (Ω). Nemci rečejo 13.

Slika 10: Martin Ohm (1792–1872) – nemški matematik. zlatemu razmerju goldene Zahl, Angleži golden ratio, Čehi zlatý řez, Francozi nombre d’or, Rusi zolotoe seqenie. Število ϕ je iracionalno. Nekateri pitagorejci, ki so to vedeli, verjetno niso hoteli s tem vznemirjati Pitagoro, ki je verjel v to, da je na svetu vse v racionalnih razmerjih. Že v pentagramu, nekakšnem emblemu pitagorejcev, dobimo razmerje ϕ, ki ni racionalno število. To so nekako pometli pod preprogo, čeprav so nekateri že znali dokazati iracionalnost zlatega razmerja, in to precej preprosto: z metodo protislovja. Če bi namreč bilo razmerje ϕ racionalno, bi ga lahko zapisali kot okrajšan ulomek: ϕ = m/n, kjer sta m in n tuji si števili. Iz osnovne zveze (4) bi potem dobili m/n = (m + n)/n, kjer pa je ulomek (m + n)/n spet okrajšan, kar se hiro vidi. Potemtakem bi dobili m = m + n in m = n, kar bi dalo m = 2m. To pa je v naravnih številih nemogoče. To se pravi, da ϕ ni racionalno število. Obravnavali bomo posplošitev znanega zlatega razmerja ali zlatega števila. Naj bo n naravno število, števili a in b pa pozitivni realni, pri čemer je a > b. Sorazmerje (1) posplošimo: na + b a = . (6) a b. 14.

Slika 11: Pentagon in pentagram. Prepišimo ga v obliko a 1 = n+ a. (7) b b Po vpeljavi n-tega kovinskega razmerja, n-tega kovinskega števila ali n-te kovinske sredine σ(n) = a/b, dobimo relacijo σ(n) = n +. 1 . σ(n). (8). Predelamo jo v enakovredno obliko σ 2 (n) = nσ(n) + 1.. (9). Torej je n-to kovinsko razmerje σ(n) pozitivna rešitev enačbe λ2 − nλ − 1 = 0.. (10). Rešitvi sta λ1 = λ1 (n) =. n+. √ √ n − n2 + 4 n2 + 4 , λ2 = λ2 (n) = . 2 2. Večji koren kvadratne enačbe bomo vselej označevali z indeksom 1, manjšega pa z indeksom 2. Manjši je vedno negativen.. 15.

Slika 12: Vera Martha Winitzky de Spinadel (1929 – ) – argentinska matematičarka. Kovinska razmerja je konec 20. stoletja uvedla in popularizirala argentinska matematičarka Vera Spinadel. Več o tem je na primer v [4] in [5], pa tudi v drugih njenih številnih člankih in knjigah. Enačba (8) med drugim tudi pove, da ima za vsak naraven n preslikava γn : (0, ∞) → (0, ∞), dana s predpisom 1 γn (x) = n + , x negibno točko ξn = σ(n), ki je abscisa presečišča krivulje y = γn (x) in premice y = x (slika 13). Število ξn = σ(n) je rešitev enačbe x = γn (x) in je limita zaporedja x0 , γn (x0 ), γn⟨2⟩ (x0 ), γn⟨3⟩ (x0 ), . . . , (n). (n). (n). (n). (n). kjer je x0 > 0 poljubno izbrano število. Našli smo že, da je √ n + D(n) σ(n) = , 2 kjer je D(n) = n2 + 4 diskriminanta karakteristične enačbe (10). Zaporedje diskriminant je naraščajoče. Zanjo očitno velja relacija n2 < D(n) < (n + 1)2 , 16.

Slika 13: Preslikave γn . iz katere sledi n < σ(n) < n + 1. Zato je σ(n) neke vrsta sredine, ker leži med n in n + 1, pravimo ji zato kovinska sredina. Ker je ( ) √ n + D(n) lim (σ(n) − n) = lim − n = 0, n→∞ n→∞ 2 se z rastočim n kovinske sredine približujejo spodnji meji n. Iz zveze (8) dobimo celi in ulomljeni del števila σ(n): ⌊σ(n)⌋ = n, {σ(n)} =. 1 . σ(n). Celi del realnega števila u, to je ⌊u⌋, je največje celo število, ki ne presega u. Ulomljeni del števila u pogosto označujejo z {u}, kar je po definiciji {u} = u − ⌊u⌋. Vedno velja u = ⌊u⌋ + {u}, 0 ≤ {u} < 1, u ≤ ⌊u⌋ < u + 1. Primeri. ⌊3⌋ = 3, ⌊3.14⌋ = 3, ⌊−4⌋ = −4, ⌊−3.14⌋ = −4. {3} = 0, {3.14} = 0.14, {−4} = 0, {−3.14} = 0.86. Števila σ(n) so iracionalna. Zakaj? Za noben naraven n ni diskriminanta D(n) = n2 + 4 kvadrat drugega naravnega števila m. V nasprotnem primeru 17.

bi imeli n2 + 4 = m2 . Obstajal bi pitagorejski trikotnik s katetama n in 2 ter hipotenuzo m. Takega pa ni, saj ima najmanjši pitagorejski trikotnik kateti 3 in 4 ter hipotenuzo 5.. Slika 14: Pitagora s Samosa (570–495 pne.) – starogrški matematik in filozof. Pitagora s Samosa, Πυθαγόρας ὁ Σάμιος, je vsem dobro znan po Pitagorovem izreku, ki pove, da je v pravokotnem trikotniku kvadrat hipotenuze c enak vsoti kvadratov katet a in b: c2 = a2 + b2 . Pitagorejski pa je tak pravokoten trikotnik, ki ima stranice izražene z naravnimi števili. Za n-to kovinsko število najdemo verižni ulomek takole: σ(n) = n +. 1 =n+ σ(n). 1 1 n+ σ(n). 1. =n+. .. 1. n+ n+. 1 n+. 1 .. .. Krajše ga zapišemo kot σ(n) = [n; n],. (11). kjer n pred podpičjem pomeni celi del števila σ(n). Vsa kovinska števila imajo v razvoju v verižni ulomek periodo dolžine 1. Ker na velikih tekmovanjih v določeni disciplini prvouvrščeni (1.) prejme zlato medaljo, drugouvrščeni (2.) srebrno medaljo, tretjeuvrščeni (3.) pa 18.

bronasto, je res smiselno imenovati ϕ = σ(1) zlato število, ψ = σ(2) srebrno število in χ = σ(3) bronasto število. Potemtakem n-to kovinsko razmerje ustreza uvrščenemu na n-to mesto, ker ima razvoj v verižni ulomek v obliki (11) povsod samo število n. Nekaj kovinskih razmerij in njihovih približkov kaže tabela 1. n D(n). σ(n). približek. tudi. ime. 1. 5. √ 1+ 5 2. 1,618033989. ϕ, τ. zlato razmerje. 2. 8. 2,414213562. ψ. srebrno razmerje. 3. 13. 3,302775638. χ. bronasto razmerje. 4. 20. 2+. 5. 29. 6. 40. 5,192582404 √ 3 + 10 6,162277660. 1+. √. 2. √ 3+ 13 2. √. 5. √ 5+ 29 2. 4,236067977. Tabela 1: Nekaj kovinskih razmerij Iz relacije (9) dobimo ekvivalentno relacijo √ σ(n) = 1 + nσ(n).. (12). Če jo uporabljamo korak za korakom, dobimo še razvoj z vgnezdenimi koreni √ √ √ √ √ √ √ σ(n) = 1 + nσ(n) = 1 + n 1 + nσ(n) = 1 + n 1 + n 1 + n 1 + . . .. Relacija (12) med drugim tudi pove, da ima za vsak naraven n preslikava ϑn : (0, ∞) → (0, ∞), dana s predpisom √ ϑn (x) = 1 + nx, negibno točko ξn = σ(n), ki je abscisa presečišča krivulje y = ϑn (x) in premice y = x (slika 15). Število ξn = σ(n) je rešitev enačbe x = ϑn (x) in je limita zaporedja ⟨3⟩ x0 , ϑn (x0 ), ϑ⟨2⟩ n (x0 ), ϑn (x0 ), . . . , (n). (n). (n). 19. (n).

Slika 15: Preslikave ϑn . (n). kjer je x0 > 0 poljubno izbrano število. Pri danem naravnem številu n je množica Qn = {α + βσ(n); α ∈ Q, β ∈ Q} komutativen obseg, ki vsebuje obseg racionalnih števil Q. V Qn seštevamo in množimo po pravilih (α + βσ(n)) + (α′ + β ′ σ(n)) = (α + α′ ) + (β + β ′ )σ(n), (α + βσ(n)) · (α′ + β ′ σ(n)) = (αα′ + ββ ′ ) + (nββ ′ + αβ ′ + α′ β)σ(n), ničla v Qn je 0 + 0 · σ(n) = 0, enota 1 + 0 · σ(n) = 1, obratno vrednost pa dobimo za α ̸= 0 in β ̸= 0 po pravilu 1 α + nβ β = 2 − 2 σ(n). 2 α + βσ(n) α + nαβ − β α + nαβ − β 2 Imenovalec α2 + nαβ − β 2 tedaj ne more biti enak 0, saj bi v nasprotnem √ √ primeru imeli α/β = (−n ± D(n))/2, kar je nemogoče, ker je D(n) iracionalno število, α/β pa racionalno. Na podoben način preverimo, da v Qn velja: α + βσ(n) = α′ + β ′ σ(n) ⇐⇒ α = α′ 20. in β = β ′ ..

3. Fibonaccijevi in Lucasovi polinomi. Fibonaccijevi polinomi Fm (x), kjer je indeks m nenegativno celo število, so za realna števila x definirani z rekurzijo Fm+2 (x) = xFm+1 (x) + Fm (x) (m = 0, 1, 2, . . .). (13). pri začetnih pogojih F0 (x) = 0, F1 (x) = 1. Iz (13) postopoma zapišemo F0 (x) = 0, F1 (x) = 1, F2 (x) = x, F3 (x) = x2 + 1, F4 (x) = x3 + 2x, F5 (x) = x4 + 3x2 + 1, F6 (x) = x5 + 4x3 + 3x, F7 (x) = x6 + 5x4 + 6x2 + 1, F8 (x) = x7 + 6x5 + 10x3 + 4x, F9 (x) = x8 + 7x6 + 15x4 + 10x2 + 1, F10 (x) = x9 + 8x7 + 21x5 + 20x3 + 5x.. Polinomi Fm (x) imajo za m ≥ 1 stopnjo m − 1. Za sode m so Fm (x) lihe, za lihe m pa sode funkcije. Lucasovi polinomi Lm (x), kjer je indeks m nenegativno celo število, so za realna števila x definirani s prav tako rekurzijo kot Fibonaccijevi, to se pravi Lm+2 (x) = xLm+1 (x) + Lm (x). (m = 0, 1, 2, . . .),. (14). toda pri začetnih pogojih L0 (x) = 2, L1 (x) = x. Za x = 1 očitno dobimo običajna Fibonaccijeva in Lucasova števila: Fm = Fm (1), Lm = Lm (1). 21.

Slika 16: Leonardo iz Pise, Fibonacci (1170–1250) – italijanski matematik. Zapišimo še nekaj Lucasovih polinomov:. L0 (x) = 2, L1 (x) = x, L2 (x) = x2 + 2, L3 (x) = x3 + 3x, L4 (x) = x4 + 4x2 + 2, L5 (x) = x5 + 5x3 + 5x, L6 (x) = x6 + 6x4 + 9x2 + 2, L7 (x) = x7 + 7x5 + 14x3 + 7x, L8 (x) = x8 + 8x6 + 20x4 + 16x2 + 2, L9 (x) = x9 + 9x7 + 27x5 + 30x3 + 9x. L10 (x) = x10 + 10x8 + 35x6 + 50x4 + 25x2 + 2. Polinomi Lm (x) imajo za m ≥ 0 stopnjo m. Za sode m so Lm (x) sode, za lihe m pa lihe funkcije. Videli bomo, da so Fibonaccijevi in Lucasovi polinomi zelo pripravni za obravnavo kovinskih števil. Da bi našli zanje eksplicitne izraze, obrav22.

Slika 17: François Édouard Anatole Lucas (1842–1891) – francoski matematik. navamo (13) in (14) kot homogeno linearno diferenčno enačbo drugega reda s parametrom x: um+2 − xum+1 − um = 0,. (m = 0, 1, 2, . . .).. (15). Slika 18: François Viète (1540–1603) – francoski matematik in pravnik.. 23.

Netrivialno rešitev poiščemo z nastavkom u m = λm , s katerim dobimo λm+2 − xλm+1 − λm = 0 in po krajšanju tako imenovano karakteristično enačbo diferenčne enačbe (15) λ2 − xλ − 1 = 0. (16) Karakteristična enačba ima različna karakteristična korena √ √ x + x2 + 4 x − x2 + 4 λ1 = λ1 (x) = , λ2 = λ2 (x) = . 2 2 Po Viètovih pravilih velja za vsak realen x λ1 + λ2 = λ1 (x) + λ2 (x) = x, λ1 λ2 = λ1 (x)λ2 (x) = −1.. (17). Funkcija x 7→ λ1 (x) je pozitivna, funkcija x 7→ λ2 (x) pa negativna. Njuna grafa sta na sliki 19.. Slika 19: Grafa karakterističnih korenov. Splošna rešitev enačbe (15) je m um = C1 λm 1 + C2 λ2 ,. 24.

kjer sta C1 in C2 od m neodvisni funkciji parametra x. Za Fibonaccijeve polinome dobimo iz začetnih pogojev sistem enačb za C1 in C2 : C1 + C2 = 0, C1 λ1 + C2 λ2 = 1. Njegova rešitev je C1 =. 1 1 =√ = −C2 . 2 λ1 − λ2 x +4. Nazadnje dobimo: Fm (x) =. m √ √ 1 λm 1 − λ2 √ = ((x + x2 + 4)m − (x − x2 + 4)m ). (18) λ1 − λ2 2m x2 + 4. Za Lucasove polinome dobimo sistem enačb za C1 in C2 : C1 + C2 = 2, C1 λ1 + C2 λ2 = x. Njegovo rešitev dobimo z uporabo prvega Viètovega pravila v (17): C1 = C2 = 1. Nazadnje dobimo: m Lm (x) = λm 1 + λ2 =. √ √ 1 2 + 4)m + (x − ((x + x x2 + 4)m ). 2m. (19). Formuli (18) in (19) imenujemo Binetovi formuli Fibonaccijevih oziroma Lucasovih polinomov. Z binomsko formulo najdemo še obliki ) ( m 1 ∑ Fm (x) = m−1 (x2 + 4)j xm−2j−1 , 2j + 1 2 j≥0 ( ) 1 ∑ m (x2 + 4)j xm−2j , Lm (x) = m−1 2j 2 j≥0 iz katerih se vidi, da res gre za polinome. Rodovni funkciji zaporedja Fibonaccijevih in Lucasovih polinomov sta potenčni vrsti F(x, t) =. ∞ ∑ m=0. 25. Fm (x)tm.

Slika 20: Jacques Philippe Marie Binet (1786–1856) – francoski matematik. in L(x, t) =. ∞ ∑. Lm (x)tm .. m=0. Izraza zanju dobimo iz (18) in (19) ter formule za vsoto geometrijske vrste. ( ) ∞ ∑ 1 1 1 1 m m m F(x, t) = (λ − λ2 )t = − = λ1 − λ2 m=0 1 λ1 − λ2 1 − λ1 t 1 − λ2 t =. t . 1 − xt − t2. Prav tako dobimo L(x, t) =. ∞ ∑. m m (λm 1 + λ2 )t =. m=0. =. 1 1 + = 1 − λ1 t 1 − λ2 t. 2 − xt . 1 − xt − t2. Pri danem x konvergirata vrsti za |t| < 1/λ1 = F(x, t) =. √ x2 + 4 − x. Našli smo:. 2 − xt t , L(x, t) = . 2 1 − xt − t 1 − xt − t2. 26.

Rodovne funkcije so zveza med diskretno in zvezno matematiko. Navedimo le en primer uporabe. Iz razvoja ∞ ∞ ∑ ∑ t 2m+1 F(0, t) = = t = Fm (0)tm 1 − t2 m=0 m=0. lahko preberemo: Fm (0) = 1 za lihe indekse m in Fm (0) = 0 za sode. Prav tako lahko iz zapisa ∞ ∞ ∑ ∑ 2 2m L(0, t) = =2 t = Lm (0)tm , 1 − t2 m=0 m=0. sklepamo: Lm (0) = 0 za lihe indekse m in Lm (0) = 2 za sode. Odvajajmo: ∞ ∑ t(t2 + 1) ∂L (x, t) = = L′ (x)tm , ∂x (1 − xt − t2 )2 m=1 m ∞ ∞ ∑ ∂F t2 + 1 1∑ m−1 (x, t) = = mFm (x)t = mFm (x)tm . 2 2 ∂t (1 − xt − t ) t m=1 m=1. Iz obeh razvojev spoznamo, da velja L′m (x) = mFm (x) za vsak indeks m. Do istega rezultata pridemo tudi brez rodovnih funkcij. Najprej izračunajmo ( ) √ 1 1 x λ1 (x) ′ ′ 2 λ1 (x) = (x + x + 4) = 1+ √ =√ 2 2 x2 + 4 x2 + 4 in λ′2 (x). √ 1 1 = (x − x2 + 4)′ = 2 2. ) ( λ2 (x) x = −√ . 1− √ 2 x +4 x2 + 4. Nato pa ′ m−1 m (x)λ′2 (x)) = (x)λ′1 (x) + λm−1 L′m (x) = (λm 2 1 (x) + λ2 (x)) = m(λ1. 27.

m m =√ (λm 1 (x) − λ2 (x)) = mFm (x). 2 x +4 Podobno dobimo tudi enakost (x2 + 4)Fm′ (x) = mLm (x) − xFm (x). Če jo še enkrat odvajamo na obeh straneh in preuredimo, dobimo: (x2 + 4)Fm′′ (x) + 3xFm′ (x) − (m2 − 1)Fm (x) = 0. Polinom Fm (x) je torej rešitev homogene linearne diferencialne enačbe (x2 + 4)y ′′ + 3xy ′ − (m2 − 1)y = 0 pri začetnih pogojih y(0) = (1 − (−1)m )/2 in y ′ (0) = m(1 + (−1)m )/2. Zaporedji Fibonaccijevih in Lucasovih polinomov lahko razširimo tudi na negativne indekse m, če za m > 0 vzamemo F−m (x) = (−1)m+1 Fm (x), L−m (x) = (−1)m Lm (x). Rekurziji (13) in (14) potem veljata za vse cele indekse m. Usklajeno je pa tudi z izrazi v (18) in (19), saj je za m < 0 F−m (x) = =. ( ) 1 −m −m (−λ−1 − (−λ−1 = 2 ) 1 ) λ1 − λ2. 1 m m+1 (−1)m (λm Fm (x) 2 − λ1 ) = (−1) λ1 − λ2. in podobno −m −m m m L−m (x) = (−λ−1 + (−λ−1 = (−1)m (λm 2 ) 1 ) 2 + λ1 ) = (−1) Lm (x).. Dvostranski zaporedji {Fm (x)}m∈Z in {Lm (x)}m∈Z za nekaj indeksov blizu m = 0 potekata takole: m : ... Fm (x) : . . .. −3. −2. x2 + 1. −x. −1 0 1 1. 0 1. 2. 3. .... x. x2 + 1. .... Lm (x) : . . . −x3 − 3x x2 + 2 −x 2 x x2 + 2 x3 + 3x . . . 28.

Izmed številnih relacij, ki veljajo za Fibonaccijeve in Lucasove polinome, izpeljimo le še nekatere. Ena od njih je (x2 + 4)Fm2 (x) = L2m (x) + 4(−1)m+1 .. (20). Dobimo jo iz izrazov (18) in (19): m 2 2m 2m m (x2 + 4)Fm2 (x) = (λm 1 − λ2 ) = λ1 + λ2 − 2(λ1 λ2 ) = 2m m m+1 m 2 m+1 = λ2m = (λm . 1 + λ2 + 2(−1) + 4(−1) 1 + λ2 ) + 4(−1). Prav tako veljata enakosti λm 1,2 (x) = Fm (x)λ1,2 (x) + Fm−1 (x).. (21). Preverimo jo za prvi indeks: Fm (x)λ1 (x) + Fm−1 (x) = =. ( m ) 1 m−1 (λ1 − λm − λm−1 = 2 )λ1 + λ1 2 λ1 − λ2. ( m+1 ) 1 1 λ1 + λm−1 + λm−1 − λm−1 = (λm+1 − λm 2 1 2 1 λ2 ) = λ1 − λ2 λ1 − λ2 1 1 m = λm 1 (λ1 − λ2 ) = λ1 . λ1 − λ2. S seštevanjem obeh enačb v (21) dobimo: m λm 1 + λ2 = Fm (x)λ1 + Fm−1 (x) + Fm (x)λ2 + Fm−1 (x) =. = Fm (x)(λ1 + λ2 ) + Fm−1 (x) + Fm−1 (x) = xFm (x) + Fm−1 (x) + Fm−1 (x) = = Fm−1 (x) + Fm+1 (x). Velja torej enakost Lm (x) = Fm−1 (x) + Fm+1 (x).. (22). S to formulo pokažemo, da je polinom Lm (x) rešitev homogene linearne diferencialne enačbe (x2 + 4)y ′′ + xy ′ − m2 y = 0 (23) 29.

Slika 21: Blaise Pascal (1623–1662) – francoski matematik, fizik in filozof. pri začetnih pogojih y(0) = 1 + (−1)m in y ′ (0) = m(1 − (−1)m )/2. K diferencialnima enačbama Fibonaccijevih in Lucasovih polinomov se bomo še vrnili. Če je indeks Lucasovega polinoma liho število, recimo 2m + 1, je y(0) = 0 in y ′ (0) = 2m + 1. Rešitev diferencialne enačbe (??) je polinom stopnje 2m + 1. Lahko ga poiščemo kar z neskončno vrsto y=. ∞ ∑. ak (m)xk ,. k=0. za katero se bo izkazalo, da je končna. Očitno je a0 (m) = 0 in a1 (m) = 2m+1. Odvajajmo, vstavimo in primerjajmo koeficiente pri enakih potencah. Za k > 0 dobimo rekurzijo: (2m + 1)2 − k 2 ak+2 (m) = ak (m). 4(k + 1)(k + 2) Iz nje vidimo, da je a2k = 0 za vse k in a2k+1 = 0 za vse k > m ter (2m + 1)(m − 1)m(m + 1)(m + 2) (2m + 1)m(m + 1) , a5 (m) = . 3 · 2! 5 · 4! Iz teh dveh koeficientov uganemo splošno obliko ( ) 2m + 1 m + k a2k+1 (m) = . 2k + 1 2k a3 (m) =. 30.

Lucasov polinom ima zato obliko ( ) m ∑ 2m + 1 m + k 2k+1 L2m+1 (x) = x . 2k + 1 2k k=0 Prav tako najdemo za sode indekse razvoj ( ) m ∑ m m + k − 1 2k L2m (x) = 2 + x . k 2k − 1 k=1 S spremembo smeri seštevanja in z upoštevanjem simetričnosti binomskih koeficientov lahko zapišemo z enotnim izrazom: ⌊ m−1 ⌋ 2. Lm (x) =. ∑ k=0. ( ) m m − k − 1 m−2k x + 1 + (−1)m . m − 2k k. Iz enakosti Fm (x) = L′m (x)/m za m > 0 dobimo še izraz ⌋( ⌊ m−1 2. Fm (x) =. ∑ k=0. ) m − k − 1 m−2k−1 x . k. Iz teh izrazov vidimo, da se Fibonaccijeva števila da izraziti z vsoto binomskih koeficientov: ⌊ m−1 ⌋( ) 2 ∑ m−k−1 Fm = . k k=0 To pomeni, da so Fibonaccijeva števila vsote števil po premicah s tretjinskim naklonom v Pascalovem trikotniku (slika 22). Če Pascalov trikotnik popravimo tako, da zapišemo vanj člene v razvoju binoma (x + 1)m , lahko s seštevanjem po premicah v istih smereh kot prej dobimo Fibonaccijeve polinome (slika 23).. 4 Hiperbolični sinus in kosinus Za vsak realen x definiramo hiperbolični sinus sh in hiperbolični kosinus ch z izrazoma ex − e−x ex + e−x sh x = , ch x = . 2 2 31.

Slika 22: Fibonaccijeva števila in Pascalov trikotnik.. Slika 23: Fibonaccijevi polinomi in Pascalov trikotnik. Osnovna zveza med tema dvema funkcijama je ch2 x − sh2 x = 1.. 32.

Veljata tudi formuli sh x + ch x = ex , sh x − ch x = −e−x . Funkcija sh je liha in povratno enolična, funkcija ch pa je soda in je povratno enolična njena zožitev na poltrak [0, ∞). Funkcija sh zavzame vse realne vrednosti, funkcija ch pa samo tiste na poltraku [1, ∞) (slika 25). Obratna funkcija funkcije sh je funkcija arsh (area hiperbolični sinus), ki se izraža z logaritmom: √ arsh x = ln(x + x2 + 1).. Slika 24: Leonhard Euler (1707–1783) – švicarski matematik, fizik in astronom. Hiperbolične funkcije je po svoje srečal že vsestranski in veliki matematik Leonhard Euler, vendar jih ni formalno vpeljal. To sta neodviosno eden od drugega naredila Johann Heinrich Lambert in Vincenzo Riccati. Lambert je prvi dokazal, da je število π, to je razmerje med obsegom in premerom kroga, iracionalno število. Riccati se je veliko ukvarjal z diferencialnimi enačbami in odkril, da se z enačbo y ′ = a(x)y 2 + b(x)y + c(x). 33.

do takrat še ni spopadel nihče. Danes taki enačbi pravimo Riccatijeva diferencialna enačba. Kotne funkcije so povezane s krožnico x2 + y 2 = 1, hiperbolične pa s hiperbolo x2 − y 2 = 1. Formule, ki veljajo za hiperbolične funkcije, so zelo podobne formulam za kotne funkcije. Ena od glavnih razlik med obema družinama funkcij je, da hiperbolične funkcije nimajo realne periode, krožne pa jo imajo.. Slika 25: Grafa funkcij sh in ch. S hiperboličnima funkcijama lahko izrazimo korena karakteristične enačbe (16). Realno število x v njih lahko na en sam način zapišemo kot x = 2 sh t oziroma t = arsh(x/2), kjer je t realno število, in nato λ1 = sh t + ch t = et , λ2 = sh t − ch t = −e−t . S tem lahko izrazimo Lucasove polinome: mt m + (−1)m e−mt . Lm (x) = λm 1 + λ2 = e. Posebej je L2k (x) = 2 ch(2kt) = 2 ch(2k arsh(x/2)), L2k+1 (x) = 2 sh((2k + 1)t) = 2 sh((2k + 1) arsh(x/2)). 34.

Za sode indekse m je torej Lm (x) = 2 ch(m arsh(x/2)), za lihe m pa Lm (x) = 2 sh(m arsh(x/2)), Zanimiv je kompozitum Lucasovih polinomov. Če je m liho število, n pa nenegativno celo število, velja (Ln ◦ Lm )(x) = Ln (Lm (x)) = Lmn (x). Vlogi števil m in n ne moremo v tej formuli zamenjati.. Slika 26: Johann Heinrich Lambert (1728–1777) – švicarski matematik, fizik in astronom. Vzemimo, da je n sodo in m liho število. Produkt mn je tedaj sodo število. Potem je Ln (Lm (x)) = 2 ch(n arsh(Lm (x)/2)) = 2 ch(n arsh(sh(m arsh(x/2)))) = = 2 ch(nm arsh(x/2)) = Lmn (x). Vzemimo, da sta n in m lihi števili. Lih je tedaj tudi produkt mn. Dobimo Ln (Lm (x)) = 2 sh(n arsh(Lm (x)/2)) = 2 sh(n arsh(sh(m arsh(x/2)))) = 35.

= 2 sh(nm arsh(x/2)) = Lmn (x). Za liha m in n velja: Ln (Lm (x)) = Lm (Ln (x)) = Lmn (x). Korena λ1 in λ2 enačbe (16) imata še eno lastnost. Če ju potenciramo z lihim eksponentom m in seštejemo, dobimo m m m λm 1 + λ2 = Lm (x), λ1 λ2 = −1. m to pomeni, da sta µ1 = λm 1 in µ2 = λ2 rešitvi enačbe. µ2 − Lm (x)µ − 1 = 0. Če je n tudi liho število, potem sta ν1 = µn1 = λmn in ν2 = µn2 = λmn rešitvi 1 2 enačbe ν 2 − Lmn (x)ν − 1 = 0 oziroma ν 2 − Ln (Lm (x))ν − 1 = 0. Ugotovitev lahko posplošimo na več lihih števil. Če so m1 , m2 , . . . , mr liha števila in λ1 pozitiven koren kvadratne enačbe λ2 − L1 (x)λ − 1 = 0, potem je 1 m2 ···mr µ1 = λm 1. pozitiven koren kvadratne enačbe µ2 − Lm1 m2 ···mr (x)µ − 1 = 0. Pri tem lahko zapišemo Lm1 m2 ···mr (x) = (Lm1 ◦ Lm1 ◦ . . . ◦ Lmr )(x).. 36.

Slika 27: Vincenzo Riccati (1707–1775) – italijanski matematik in fizik.. 5. Diferencialni enačbi. Videli smo, da Lucasovi polinomi Lm (x) zadoščajo homogeni linearni diferencialni enačbi (x2 + 4)y ′′ + xy ′ − m2 y = 0. (24) Pozabimo, kako smo jo dobili. Obravnavajmo jo kot diferencialno enačbo drugega reda in jo rešimo. Število m je naravna konstanta. Poiskati moramo dve linearno neodvisni rešitvi y1 in y2 ter nato z njima sestaviti splošno rešitev y = C1 y1 + C2 y2 . Enačba (24) nima konstantnih koeficientov. Toda z zamenjavo neodvisne spremenljivke x z novo t po formuli x = 2 sh t jo poenostavimo v enačbo s konstantnimi koeficienti. Najprej je x2 + 4 = 4 sh2 t + 4 = 4 ch2 t, potem pa pripravimo še odvoda dy sh t dy dt 1 dy ′ 1 ′ ′′ y = . = · = ẏ · , y = = ÿ · 2 − ẏ · dx dt dx 2 ch t dx 4 ch t 4 ch3 t Pika označuje odvod po spremenljivki t. Enačba (24) se poenostavi v ÿ − m2 y = 0. Njena splošna rešitev je y = C1 ch(mt) + C2 sh(mt), 37.

splošna rešitev enačbe (24) pa y = C1 ch(m arsh(x/2)) + C2 sh(m arsh(x/2)). Fibonaccijevi polinomi Fm (x) zadoščajo homogeni linearni diferencialni enačbi (x2 + 4)y ′′ + 3xy ′ − (m2 − 1)y = 0.. (25). Tudi enačba (25) nima konstantnih koeficientov. Z njo se ni treba posebej mučiti, ker jo lahko povežemo z enačbo (24). Če slednjo odvajamo, dobimo: (x2 + 4)y ′′′ + 2xy ′′ + xy ′′ + y ′ − m2 y ′ = (x2 + 4)y ′′′ + 3xy ′′ − (m2 − 1)y ′ = 0. Torej je z = y ′ rešitev enačbe (x2 + 4)z ′′ + 3xz ′ − (m2 − 1)z = 0. To pa je ravno enačba (25). Njeno splošno rešitev dobimo, če odvajamo splošno rešitev enačbe (24). Upoštevamo osnovne odvode (ch x)′ = sh x, (sh x)′ = ch x, (arsh x)′ = √. 1 x2 + 1. ,. verižno pravilo za odvajanje in dobimo, da je 1 z=√ (C1 ch(m arsh(x/2)) + C2 sh(m arsh(x/2))). 2 x +4 splošna rešitev enačbe (25). Konstanti C1 in C2 smo mimogrede med seboj zamenjali. Da dobimo za rešitve enačbe (24) y = Lm (x), to je Lucasove polinome, moramo upoštevati naslednje začetne pogoje: y(0) = 1 + (−1)m ) in y ′ (0) = m(1 − (−1)m )/2. Da pa dobimo za rešitve enačbe (25) z = Fm (x), to je Fibonaccijeve polinome, moramo upoštevati tudi začetne pogoje z(0) = (1 − (−1)m )/2 in z ′ (0) = m(1 + (−1)m )/2. Velja pa seveda zveza mFm (x) = L′m (x). Grafi delnih rešitev y1,m (x) = ch(n arsh(x/2)), y2,m (x) = sh(m arsh(x/2)), 1 1 ch(m arsh(x/2)), z2,m (x) = √ sh(m arsh(x/2)) z1,m (x) = √ x2 + 4 x2 + 4 niso posebno zanimivi. Tiste z indeksom 1 so sode funkcije in imajo pri 0 vrednost 1, tiste z indeksom 2 pa so lihe funkcije (sliki 28 in 29). 38.

Slika 28: Delne rešitve prve enačbe.. Slika 29: Delne rešitve druge enačbe.. 6. Matrični zapis in nekaj enakosti. Oglejmo si matriko.  M (x) = .  0 1 1 x. 39. ,.

v kateri je x realno število. Matrika M (x) je obrnljiva z determinanto −1. Njen karakteristični polinom je −λ. 1. 1. x−λ. = λ2 − λx − 1.. Potence matrike M (x) z eksponentom m so oblike  m   0 1 a (x) bm (x)  = m , M m (x) =  1 x cm (x) dm (x) kjer so očitno am (x), bm (x), cm (x), dm (x) polinomi spremenljivke x. Nekaj polinomov imamo takoj: a0 (x) = 1, b0 (x) = 0, c0 (x) = 0, d0 (x) = 1, a1 (x) = 0, b1 (x) = 1, c1 (x) = 1, d1 (x) = x. Iz enakosti M m+1 (x) = M m (x)M (x) sledi matrični zapis      am (x) bm (x) 0 1 am+1 (x) bm+1 (x)  .  = cm (x) dm (x) 1 x cm+1 (x) dm+1 (x) S primerjavo matričnih elementov dobimo sistem rekurzij: am+1 (x) = bm (x), bm+1 (x) = am (x) + xbm (x), cm+1 (x) = dm (x), dm+1 (x) = cm (x) + xdm (x). Iz druge dobimo bm+2 (x) = xbm+1 (x) + bm (x), iz zadnje pa dm+2 (x) = xdm+1 (x) + dm (x). 40.

Rešitve so očitno: am = Fm−1 (x), bm (x) = Fm (x), cm (x) = Fm (x), dm (x) = Fm+1 (x). S tem smo našli: m.  . 0 1.  =. 1 x. .  Fm−1 (x). Fm (x). Fm (x). Fm+1 (x). .. S primerjavo determinant obeh strani dobimo Cassinijevo enakost: Fm−1 (x)Fm+1 (x) − Fm2 (x) = (−1)m . Velja za vsa cela števila m.. Slika 30: Giovanni Domenico Cassini, Jean-Dominique Cassini (1625–1712) – italijansko-francoski matematik in astronom. Cassinijevo enakost lahko dokažemo tudi brez matrik, zgolj z Binetovo formulo in Viètovima praviloma. Prav tako Catalanovo enakost Fm−r (x)Fm+r (x) − Fm2 (x) = (−1)m+1−r Fr (x), ki je poslošitev Cassinijeve, velja pa za vsa cela števila m in r. 41.

Slika 31: Eugène Charles Catalan (1814–1894) – belgijsko-francoski matematik.. Slika 32: Philbert Maurice d’Ocagne (1862–1938) – francoski matematik. Tudi d’Ocagnejeva enakost, Fm (x)Fr+1 (x) − Fm+1 (x)Fr (x) = (−1)m Fm−r (x), ki jo dokažemo podobno kot Catalanovo, je posplošitev Cassinijeve. Iz matrične enakosti M p (x)M q (x) = M p+q (x), kjer sta p in q celi števili,. 42.

dobimo      F (x) Fq (x) F (x) Fp+q (x) F (x) Fp (x)  =  p+q−1 .   q−1  p−1 Fq (x) Fq+1 (x) Fp+q (x) Fp+q+1 (x) Fp (x) Fp+1 (x) S primerjavo matričnih elementov pridemo do enakosti Fp+q (x) = Fp−1 (x)Fq (x) + Fp (x)Fq+1 (x). Za p = q = m dobimo zvezo F2m (x) = Fm (x)Lm (x), za p = m + 1 in q = m pa 2 F2m+1 (x) = Fm2 (x) + Fm+1 (x).. V posebnih primerih dobimo za x = 1 enakosti s Fibonaccijevimi in Lucasovimi števili: 2 F2m = Fm Lm , F2m+1 = Fm2 + Fm+1 . Vsota kvadratov dveh zaporednih Fibonaccijevih polinomov je Fibonaccijev polinom. Vsota kvadratov dveh zaporednih Fibonaccijevih števil je Fibonaccijevo število. Če je m pozitivno sodo število, je polinom Fm (x) deljiv s polinomom Fm/2 (x). Kvocient je Lucasov polinom. Če je m pozitivno sodo število, je število Fm deljivo s številom Fm/2 . Kvocient je Lucasovo število.. 7. Potence kovinskih razmerij. Kovinsko razmerje σ(n) je torej pozitivna ničla enačbe λ2 − nλ − 1 = 0. Lahko ga zapišemo kot σ(n) = λ1 (n), kjer je λ1 (x) pozitivni koren enačbe (16). To pomeni, da kovinska razmerja lahko povežemo s Fibonaccijevimi in Lucasovimi polinomi. Zanimive so potence σ m (n), kjer je m celo in n naravno število. Vse take potence so v obsegu Qn . 43.

Iz relacije (21) dobimo enoličen zapis σ m (n) = Fm−1 (n) + Fm (n)σ(n).. (26). V posebnih primerih velja σ 0 (n) = 1, σ 1 (n) = σ(n), σ 2 (n) = 1 + nσ(n), σ −1 (n) = −n + σ(n). S tem lahko potence števila σ(n) razširimo na vse cele eksponente m. Za m > 0 je σ −m (n) = (σ −1 (n))m . Iz osnovne relacije σ 2 (n) = nσ(n)+1 dobimo rekurzivno zvezo za potence: σ m+2 (n) = nσ m+1 (n) + σ m (n).. (27). n\m. …. –5. –4. –3. –2. –1. 0. 1. 2. 3. 4. 5. …. 1. …. 5. –3. 2. –1. 1. 0. 1. 1. 2. 3. 5. …. 2. …. 29. –12. 5. –2. 1 0. 1. 2. 5. 12. 29. …. 3. …. 109. –33. 10. –3. 1 0. 1. 3. 10. 33. 109. …. 4. …. 305. –72. 17. –4. 1 0. 1. 4. 17. 72. 305. …. 5. …. 701. –135. 26. –5. 1 0. 1. 5. 26. 135. 701. …. 6. … 1405. –228. 37. –6. 1 0. 1. 6. 37. 228. 1405. …. Tabela 2: Nekaj števil Fm (n). √ √ Za n = 1 je D(1) = 5, λ1 = (1 + 5)/2 in λ2 = (1 − 5)/2. V tem primeru je ) √ √ 1 ( √ (1 + 5)m − (1 − 5)m , Fm (1) = 2m 5 kar pa ni nič drugega kot m-to Fibonaccijevo število Fm . Zato je smiselno Fm (n) imenovati m-to Fibonaccijevo število reda n. Rekurzija zanje je Fm+2 (n) = nFm+1 (n) + Fm (n) z začetnima vrednostma F0 (n) = 0, F1 (n) = 1. √ √ Za n = 2 je D(2) = 8, λ1 = 1 + 2 in λ2 = 1 − 2. V tem primeru je √ )m ( √ )m ) 1 (( Fm (2) = √ 1+ 2 − 1− 2 , 2 2 44.

kar pa ni nič drugega kot m-to Pellovo število Pm . Zato je smiselno reči, da je Pellovo število Pm = Fm (2) ravno m-to Fibonaccijevo število reda 2. Rekurzija zanje je tedaj Pm+2 = 2Pm+1 + Pm z začetnima vrednostma P0 = 0, P1 = 1. √ √ Za n = 3 je D(3) = 13, λ1 = (3 + 13)/2 in λ2 = (3 − 13)/2. V tem primeru je (( √ )m ( √ )m ) 1 √ Fm (3) = 3 + 13 − 3 − 13 , 2m 13 kar pa ni nič drugega kot m-to Anonymusovo število Hm . Zato je smiselno reči, da je Anonymusovo število Hm = Fm (3) ravno m-to Fibonaccijevo število reda 3. Rekurzija zanje je tedaj Hm+2 = 3Hm+1 + Hm z začetnima vrednostma H0 = 0, H1 = 1. Prav tako je smiselno Lm (n) imenovati m-to Lucasovo število reda n. Rekurzija zanje je Lm+2 (n) = nLm+1 (n) + Lm (n) z začetnima vrednostma L0 (n) = 2, L1 (n) = n. Za n = 1 imamo Lucasova števila reda 1, kar so običajna Lucasova števila ) √ √ 1 ( Lm (1) = m (1 + 5)m + (1 − 5)m . 2 Lucasova števila reda 2 so (( Lm (2) =. 1+. √ )m ( √ )m ) 2 + 1− 2 .. Lucasova števila reda 3 so √ )m ( √ )m ) 1 (( Lm (3) = m 3 + 13 + 3 − 13 . 2 V tabeli 1 opazimo, da imata kovinski števili σ1 in σ4 skupno število √ D(1) = 5. Zato lahko σ(4) linearno, z racionalnima koeficientoma, izrazimo s σ(1): σ(4) = 1 + 2σ(1) = ϕ3 .. √. Zato se lahko vprašamo, kdaj je potenca kovinskega števila σ m (n) kovinsko število σ(M ) za neki M ≥ n. Na primeru smo videli, da za n = 1 in m = 3 45.

lahko izberemo M = 4. Poglejmo diskriminanti D(1) = 5, D(4) = 20 = 4 · 5 = 4D(1). Razločujeta se za kvadratni faktor, kar pomeni, da σ(1) in σ(4) pripadata istemu obsegu Q1 . Samo tedaj je možno σ(4) izraziti linearno, z racionalnima koeficientoma, s ϕ = σ(1) in v posebnem primeru s potenco σ(1): √ √ σ(4) = (4 + 20)/2 = 2 + 5 = 2 + (2ϕ − 1) = 1 + 2ϕ = ϕ3 . Seveda je trivialen primer n = M = 1. V primeru, ko D(M )/D(n) > 1 ni kvadratno število, to ni mogoče. Za n = 1 in M = 11 je D(11)/D(1) = 125/5 = 25 kvadratno število in √ √ σ(11) = (11 + 125)/2 = (11 + 5 5)/2 = (11 + 5(2ϕ − 1))/2 = 3 + 5ϕ = ϕ5 . Splošen odgovor se nam ponuja na podlagi enakosti (20), ki se za lihe indekse in naravne x = n glasi: 2 (n2 + 4)F2m+1 (n) = L22m+1 (n) + 4.. Za M = L2m+1 (n) je σ(M ) = (M +. √ √ M 2 + 4)/2 = (M + F2m+1 (n) n2 + 4)/2 =. = (M + F2m+1 (n)(2σ(n) − n))/2 = (M − nF2m+1 (n))/2 + F2m+1 (n)σ(n). Izraz M − nF2m+1 (n) = L2m+1 (n) − nF2m+1 (n) pa lahko z enakostjo (22) še poenostavimo: M − nF2m+1 (n) = F2m + F2m+2 − nF2m+1 (n) = 2F2m (n). Nazadnje imamo enakost σ(L2m+1 (n)) = F2m (n) + F2m+1 (n)σ(n) = σ 2m+1 (n). Liha potenca kovinskega števila je kovinsko število. Do tega rezultata pridemo še hitreje, če upoštevamo, da je µ1 = λ2m+1 (n) = 1 2m+1 σ (n) pozitivna rešitev enačbe µ2 − L2n+1 (n)λ − 1 = 0, 46.

če je le λ1 (n) = σ(n) pozitivna rešitev enačbe λ2 − nλ − 1 = 0. Tedaj je namreč σ(L2n+1 (n)) = σ 2m+1 (n). Naraven koeficient M v katerikoli kvadratni enačbi ξ2 − M ξ − 1 = 0 pove, da je njena pozitivna rešitev M -to kovinsko število. Sode potence kovinskih števil ne morejo biti kovinska števila, ker zadoščajo enačbi oblike ξ 2 − M ξ + 1 = 0. Z verižnimi ulomki bi lahko še zapisali: [n; n]2m+1 = [L2n+1 (n); L2n+1 (n)].. m. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Fm (1). 0. 1. 1. 2. 3. 5. 8. 13. 21. 34. 55. 89. Lm (1). 2. 1. 3. 4. 7. 11. 18. 29. 47. 76. 123. 199. Fm (2). 0. 1. 2. 5. 12. 29. 70. 169. 408. 985. 2378. 5741. Lm (2). 2. 2. 6. 14. 34. 82. 198. 478. 1154. 2786. 6726. 16238. Fm (3). 0. 1. 3. 10. 33. 109. 360. 1189. 3927. 12970. 42837. 141481. Lm (3). 2. 3. 11. 36. 119. 393. 1298. 4287. 14159. 46764. 154451. 510117. Fm (4). 0. 1. 4. 17. 72. 305. 1292. 5473. 23184. 98209. 416020. 1762289. Lm (4). 2. 4. 18. 76. 322. 1364. 5778. 24476. 103682. 439204. 1860498. 7881196. Tabela 3: Nekaj števil Fm (n) in Lm (n). Iz tabele 3 lahko na primer preberemo: σ(4) = 1 + 2ϕ = ϕ3 , 47.

σ(11) = 3 + 5ϕ = ϕ5 , σ(29) = 8 + 13ϕ = ϕ7 , σ(76) = 21 + 34ϕ = ϕ9 , σ(199) = 55 + 89ϕ = ϕ11 , σ(14) = 2 + 5ψ = ψ 3 , σ(82) = 12 + 29ψ = ψ 5 , σ(478) = 70 + 169ψ = ψ 7 , σ(2786) = 408 + 985ψ = ψ 9 , σ(16258) = 2378 + 5741ψ = ψ 11 , σ(36) = 3 + 10χ = χ3 , σ(393) = 33 + 109χ = χ5 , σ(4287) = 360 + 1189χ = χ7 , σ(46764) = 3927 + 12970χ = χ9 , σ(510117) = 42837 + 141481χ = χ11 . Bodita n in M naravni števili in M ≥ n. Kdaj lahko izrazimo σ(M ) s σ(n) v obliki σ(M ) = a + bσ(n), kjer sta a in b racionalni števili? Očitno mora biti σ(M ) v obsegu Qn . Torej mora za neko pozitivno racionalno število k veljati D(M ) = k 2 D(n), to se pravi M 2 + 4 = k 2 (n2 + 4). Takrat bo veljalo σ(M ) = =. M+. √ √ D(M ) M + k D(n) = = 2 2. M + k(2σ(n) − n) M − nk = + kσ(n). 2 2 48.

Tako smo našli koeficienta a=. M − nk , b = k. 2. Glavni problem je sedaj, kako najti pri danem naravnem n rešitve enačbe M + 4 = k 2 (n2 + 4). Števili M 2 + 4 in n2 + 4 nista kvadratni, kot smo spoznali že ob uvedbi kovinskih števil. Pri tem je M 2 + 4 > n2 + 4 in zato k > 1. Vedno pa je na razpolago enakost 2. 2 (n), L22m+1 (n) + 4 = (n2 + 4)F2m+1. iz katere vidimo, da lahko za primerna cela števila p, q, r vzamemo M = L2p+1 (r) in n = L2q+1 (r) in dobimo 2 L22p+1 (r) + 4 (r2 + 4)F2p+1 (r) M2 + 4 = = = 2 2 2 2 n +4 L2q+1 (r) + 4 (r + 4)F2q+1 (r). (. F2p+1 (r) F2q+1 (r). )2 .. Če vzamemo k = F2p+1 (r)/F2q+1 (r), imamo potem σ(M ) =. M − nk + kσ(n). 2. Linearno, z racionalnima koeficientoma, torej lahko povežemo kovinski števili σ(M ) in σ(n), če obstaja tak naraven r in lihi števili 2p + 1, 2q + 1, za katere je M = L2p+1 (r) in n = L2q+1 (r). Oglejmo si primer M = 11 = L5 (1), n = 4 = L3 (1). Tedaj je k = F5 (1)/F3 (1) = 5/2 in σ(11) =. 11 − 4 · (5/2) 5 1 5 + σ(4) = + σ(4). 2 2 2 2. Rezultat preverimo še neposredno: √ √ √ √ 11 + 121 + 4 11 5 5 4 + 16 + 4 σ(11) = = + , σ(4) = = 2 + 5. 2 2 2 2 Torej σ(11) =. 1 5 11 5(σ(4) − 2) + = + σ(4). 2 2 2 2 49.

Lahko pa delamo tudi takole. Naj bosta M in N taki različni naravni števili, za kateri sta σ(M ) in σ(N ) linearno, z racionalnima koeficientoma, izrazljivi s σ(n). Potem se tudi σ(M ) in σ(N ) linearno, z racionalnima koeficienta, izražata med seboj. To vidimo iz zapisov σ(M ) = α + βσ(n), σ(N ) = α′ + β ′ σ(n). Z izločitvijo σ(n) dobimo σ(M ) = α′′ + β ′′ σ(N ), pri čemer so α, β, α′ , β ′ , α′′ , β ′′ racionalna števila. Primer. Vemo, da je σ(76) = 21 + 34ϕ, σ(11) = 3 + 5ϕ. Prvo enakost pomnožimo s 5, drugo s 34 in dobimo: 5σ(76) − 34σ(11) = 105 − 102 = 3. Tako dobimo 3 34 σ(76) = + σ(11). 5 5 Linearno, z racionalnima koeficientoma, sta povezani katerikoli potenci istega kovinskega števila. Bodita p in q različni naravni števili. Za katerikoli naravni r potem veljata enakosti √ √ 1 1 (r + r2 + 4)p + p (r − r2 + 4)p = Lp (r), p 2 2 √ √ √ 1 1 (r + r2 + 4)p − p (r − r2 + 4)p = r2 + 4Fp (r). p 2 2 Če enakosti seštejemo, dobimo 2σ p (r) = Lp (r) + Prav tako velja 2σ q (r) = Lq (r) +. √ √. r2 + 4Fp (r).. r2 + 4Fq (r).. Iz obeh enakosti sledi √ 2σ p (r) − Lp (r) 2σ q (r) − Lq (r) r2 + 4 = = . Fp (r) Fq (r) Od tod lahko izrazimo σ p (r) =. Fq (r)Lp (r) − Fp (r)Lq (r) Fp (r) q + σ (r). 2Fq (r) Fq (r) 50.

Primer. Z uporabo tabele 3 najdemo σ 3 (3) = −. 1 10 1 33 + σ 4 (3), σ 4 (3) = + σ 3 (3). 33 33 10 10. Izračunajmo vsoto geometrijske vrste )k ∞ ( ∑ n . σ(n) k=0 Njen kvocient je q = n/σ(n) < 1, zato konvergira: )k ∞ ( ∑ σ 2 (n) 1 n = = = σ 2 (n). n 2 (n) − nσ(n) σ(n) σ 1− k=0 σ(n) Brez začetnega člena imamo potem še )k ∞ ( ∑ n = σ 2 (n) − 1 = nσ(n). σ(n) k=1 Našli smo: )k )k ∞ ( ∞ ( ∑ ∑ n n 2 = σ (n), = nσ(n). σ(n) σ(n) k=0 k=1 Videli smo, kako se izražajo potence kovinskih števil za lihe eksponente z verižnimi ulomki. Tako kovinsko število kot njegova liha potenca se izražajo z verižnima ulomkoma s periodo dolžine 1. Kaj pa za sode potence? Tedaj dobimo verižne ulomke s periodo dolžine 2 razen za ϕ2 = 1 + ϕ, ko je perioda dolga 1. Poglejmo, kako pridemo do tega. Kovinsko število σ(n) je pozitivna rešitev enačbe λ2 − nλ − 1 = 0. Njena korena sta σ(n) = λ1 (n) in λ2 (n). Naj bo m naravno število in 2m µ1 = λ2m 1 (n) − 1, µ2 = λ2 (n) − 1.. Potem je 2m µ1 + µ2 = λ2m 1 (n) + λ2 (n) − 2 = L2m (n) − 2. 51.

in 2m µ1 µ2 = (λ2m 1 (n) − 1)(λ2 (n) − 1) = 2m = (λ1 (n)λ2 (n))2m − (λ2m 1 (n) + λ2 (n)) + 1 = 2 − L2m (n).. Viètovi pravili povesta, da sta µ1 in µ2 rešitvi kvadratne enačbe µ2 − (L2m (n) − 2)µ − (L2m (n) − 2)) = 0 in da je µ1 njen večji koren. Označimo K2m (n) = L2m (n)−2, kar je za m > 0 pozitivno število, tako da dobimo lepšo enačbo: µ2 − K2m (n)µ − K2m (n) = 0.. (28). Iz nje izrazimo: µ1 = K2m (n) +. K2m (n) . µ1. Ker je K2m (n) < µ1 , lahko nadaljujemo µ1 = K2m (n)+. 1 1 1 = K2m (n)+ = K2m (n)+ . µ1 1 K2m (n) 1+ K2m (n) + K2m (n) µ1 µ1 K2m (n). Iz te oblike že vidimo verižni ulomek s periodo dolžine 2, če je le L2m (n)−2 ̸= 1: µ1 = σ 2m (n) − 1 = [K2m (n); 1, K2m (n)] = [L2m (n) − 2; 1, L2m (n) − 2]. Nazadnje imamo za m > 1: σ 2m (n) = [L2m (n) − 1; 1, L2m (n) − 2]. Za n = 1, ko imamo opravka z zlatim razmerjem ϕ, in m = 1 dobimo ϕ2 = [3 − 1; 1, 3 − 2] = [2; 1] = 1 + [1; 1] = 1 + φ, kar je seveda pravilno. Za m > 1 je L2m (n) − 2 > 1 in perioda se ne more skrajšati. 52.

S tabelo 3 imamo takoj za zlato razmerje ϕ: ϕ2 = [2; 1], ϕ4 = [6; 1, 5], ϕ6 = [17; 1, 16], ϕ8 = [46; 1, 45]. Za srebrno razmerje ψ je: ψ 2 = [5; 1, 4], ψ 4 = [33; 1, 32], ψ 6 = [197; 1, 196], ψ 8 = [1153; 1, 1152]. Prav tako za bronasto razmerje χ: χ2 = [10; 1, 9], χ4 = [118; 1, 116], χ6 = [1297; 1, 1296], χ8 = [14158; 1, 14157]. Za negativne eksponente ni težav, ker se lahko skličemo na splošno enakost, ki velja za verižne ulomke: [a0 ; a1 , a2 , . . .]−1 = [0; a0 , a2 , a3 , . . .]. Primeri: ϕ−4 = [0; 6, 1, 5], ψ −6 = [0; 197, 1, 196], χ−2 = [0; 10, 1, 9].. 8 Ekvivalenčna relacija V množico naravnih števil N lahko s kovinskimi števili vpeljemo ekvivalenčno relacijo ∼. Naravni števili m in n sta ekvivalentni, v znakih m ∼ n natanko tedaj, ko obstajata taki racionalni števili α in β, za kateri je σ(m) = α + βσ(n). Pri tem β ̸= 0, saj bi v nasprotnem primeru imeli σ(m) = α, kar pa pri nobenem naravnem m ni res, ker je σ(m) iracionalno število. Relacija ∼ je refleksivna v N, saj za α = 0 in β = 1 velja σ(n) = σ(n), torej je n ∼ n za vsak naraven n. Relacija ∼ je simetrična v N, saj iz m ∼ n, kar pomeni σ(m) = α+βσ(m) pri racionalnih številih α in β sledi σ(n) = α′ + β ′ σ(n) za racionalni števili α′ = −α, β ′ = 1/β, kar pomeni n ∼ m. Pri tem sta m in n naravni števili 53.

Relacija ∼ je tranzitivna v N, saj iz m ∼ n in n ∼ r pri naravnih m, n, r, kar pomeni σ(m) = α + βσ(n) in σ(n) = α′ + β ′ σ(r) pri racionalnih številih α, β, α′ , β ′ , sledi σ(m) = α + β(α′ + β ′ σ(r)) = α′′ + β ′′ σ(r) za α′′ = α + βα′ , β ′′ = ββ ′ . Števili α′′ in β ′′ sta tudi racionalni. Torej je m ∼ r. Po relaciji ∼ razpade množica N na ekvivalenčne razrede [n]∼ = {m ∈ N : m ∼ n}. Iz tabele 3 lahko naštejemo nekaj ekvivalenčnih razredov (zlatega, srebrnega in bronastega): [1]∼ = {1, 4, 11, 29, 76, 199, . . .}, [2]∼ = {2, 14, 82, 478, 2786, 16238, . . .}, [3]∼ = {3, 36, 393, 4287, 46764, 510117, . . .}. Samo v okviru razreda [n]∼ lahko potence σ m (n) s celimi eksponenti m izrazimo linearno, z racionalnima koeficientoma, s σ(n).. 9 Kovinski pravokotniki Pravokotnik, ki ima eno stranico σ(n)-krat daljšo od druge, bomo imenovali kovinski pravokotnik reda n. Za n = 1, 2, 3 govorimo ustrezno o zlatem, srebrnem in bronastem pravokotniku (slike 34, 35, 36). Vsi kovinski pravokotniki reda n so si podobni. Brez škode za splošnost je lahko krajša stranica kovinskega pravokotnika enota 1, daljša pa σ(n) (slika 33). Če od takega kovinskega pravokotnika reda n odrežemo zaporedno n enotskih kvadratov, ostane še pravokotnik s stranicama 1 in σ(n) − n, kar je manj kot 1. Ta je prav tako kovinski reda n: 1 σ(n) σ(n) = 2 = . σ(n) − n σ (n) − nσ(n) 1 54.

Slika 33: Kovinski pravokotnik reda n.. Slika 34: Zlati pravokotnik.. Slika 35: Srebrni pravokotnik.. 55.

Slika 36: Bronasti pravokotnik. Relacija σ(L2m+1 (n)) = F2m (n) + F2m+1 (n)σ(n) pove, da kovinski pravokotnik reda L2m+1 (n) lahko razdelimo na F2m (n) enotskih kvadratov in F2m+1 (n) kovinskih pravokotnikov reda n. Slika 37 kaže delitev kovinskega pravokotnika reda 4 na enotski kvadrat in dva zlata pravokotnika v skladu z enakostjo σ(4) = 1 + 2ϕ = ϕ3 .. Slika 37: Delitev kovinskega pravokotnika reda 4. Če od kovinskega pravokotnika reda n odrežemo po vrsti n enotskih kvadratov, nam ostane še manjši kovinski pravokotnik rena n. Slika 38 kaže primer za n = 4. Če včrtamo obema diagonali, tako da se sekata v notranjosti manjšega pravokotnika, ni težko dognati, da se sekata pravokotno. Če 56.

po spodnji stranici postavimo os x pravokotnega kartezičnega koordinatnega sistema, po levi stranici pa os y, potem ima premica nosilka daljše diagonale enačbo y = 1 − x/σ(n) in smerni koeficient k1 = −1/σ(n), premica nosilka krajše diagonale pa enačbo y = σ(n)(x − n) in smerni koeficient k2 = σ(n). Zmnožimo: k1 k2 = (−1/σ(n))σ(n) = −1. To pa pomeni pravokotnost diagonal.. Slika 38: Kovinski pravokotnik reda 4. V oba pravokotnika sta vrisani pravokotno sekajoči se diagonali. Presečišče obeh diagonal imenujemo kovinsko oko. Od krajše stranice je oddaljeno za σ(n)/(σ 2 (n) + 1), od daljše pa za 1/(σ 2 (n) + 1). Vsak kovinski pravokotnik reda n ima 4 kovinska očesa (slika 38). Določajo pravokotnik s stranicama σ 2 (n) − 1 σ 2 (n) − 1 , b(n) = . σ 2 (n) + 1 σ 2 (n) + 1 Ker je a(n)/b(n) = σ(n), je ta pravokotnik tudi kovinski pravokotnik reda n. Kvadrat s stranico ψ = σ(2) lahko razdelimo na 4 enotske kvadrate, 4 srebrne pravokotnike s stranicama 1 in ψ − 2 ter na sredinski kvadrat s stranico ψ − 2 (slika 40). To je v skladu z enakostjo a(n) = σ(n). ψ 2 = ((ψ − 2) + 2)2 = 4 + 4(ψ − 2) + (ψ − 2)2 . Delitev nastalih kvadratov na tak način, kot smo razdelili osnovni kvadrat, lahko nadaljujemo v nedogled in dobimo zanimivo fraktalno strukturo. 57.

Slika 39: Še en kovinski pravokotnik.. Slika 40: Delitev kvadrata s stranico ψ.. 10. Srebrni trapez. Srebrni trapez je enakokraki trapez, v katerem imajo kraka in krajša osnovnica enako dolžino, kraka pa oklepata z daljšo osnovnico kot 45◦ = π/4. Brez škode za splošnost sta kraka in krajša osnovnica lahko kar 1. Daljša. 58.

osnovnica ima potem dolžino ψ (slika 41). Zakaj? Projekciji krakov na daljšo √ osnovnico sta očitno dolgi 1/ 2. zato je daljša osnovnica dolga √ 1 2 · √ + 1 = 2 + 1 = ψ. 2 √ Višina trapeza je prav tako 1/ 2 = (ψ−1)/2, srednjica pa (ψ+1)/2. Ploščina trapeza je potem (ψ + 1)(ψ − 1)/4 = (ψ 2 − 1)/4 = ψ/2.. Slika 41: Srebrni trapez. Štiri skladne srebrne trapeze lahko zložimo v kvadratni okvir (slika 42). Ploščina okvira je 2ψ.. Slika 42: Kvadratni okvir, sestavljen iz srebrnih trapezov. Srebrni pravokotnik s krajšo stranico 1 lahko dopolnimo z dvema skladnima srebrnima trapezoma s krajšo osnovnico 1 do pravilnega osemkotnika (slika 43). 59.

Slika 43: Pravilni osemkotnik, sestavljen iz dveh srebrnih trapezov in srebrnega pravokotnika. V pravilnem osemkotniku je diagonala ψ-krat daljša od njej vzporedne stranice. Njegova ploščina je 2ψ. Če pa ima pravilni osemkotnik stranico a, je njegova ploščina 2a2 ψ. Slika 44 kaže, kako danemu kvadratu včrtamo pravilni osemkotnik. Kvadratu včrtamo četrtine krogov s središči v ogliščih s krajišči v ogliščih. Premice, vzporedne s stranicami danega kvadrata, skozi presečišča teh lokov z diagonalama sekajo stranice tega kvadrata v ogliščih iskanega pravilnega osemkotnika. Konstrukcijo lahko utemeljimo s prejšnjimi dognanji. Do pravilnega osemkotnika lahko na podlagi te konstrukcije pridemo tudi s prepogibanjem kvadratnega lista papirja.. Slika 44: Pravilni osemkotnik, včrtan kvadratu. 60.

√ Papirji formata A so pravokotne oblike, stranici pa sta v razmerju 2 : 1. Če ga prepognemo po krajši srednjici, dobimo manjša pravokotnika, ki sta podobna začetnemu. Vzamemo list papirja formata A4 in mu odrežemo največji možni kvadrat. Ostane srebrni pravokotnik (slika 45). Kvadrat prepognemo po diagonali, nato s prepogibom razpolovimo kot med stranico in diagonalo. Vogal, nasproti vrha kota med stranico in diagonalo prepognemo tako, da se stakneta vrhova pravih kotov na diagonali. S tem smo dobili stranico pravilnega osemkotnika in dve njegovi oglišči. Prepogibanje ponovimo še trikrat, da dobimo preostale stranice in oglišča (slika 46).. Slika 45: Prvi prepogibi papirja do pravilnega osemkotnika.. Slika 46: Pravilni osemkotnik s prepogibanjem papirja.. 61.

Pravilen osemkotnik lahko brez težav razdelimo na dva kvadrata in štiri rombe (slika 47).. Slika 47: Pravilni osemkotnik, razdeljen na dva kvadrata in štiri rombe. Pravilni osemkotnik najdemo tudi v umetnosti in oblikovanju: tlorisi zgradb, podstavki, kelihi, prometni znak STOP, mize.. Slika 48: Lesen izdelek, ki ima za prečen presek pravilen osemkotnik. Prisekana kocka (slika 49) je omejena s šestimi skladnimi pravilnimi osemkotniki in osmimi skladnimi enakostraničnimi trikotniki. Nastane iz kocke, ki ji prisekamo oglišča v taki razdalji, da nastanejo iz kvadratov, ki omejujejo kocko, pravilni osemkotniki. 62.

Slika 49: Prisekana kocka. Obstajajo še druga telesa, ki so deloma omejena s pravilnimi osemkotniki, na primer: prizma, antiprizma, piramida, prisekana piramida in prisekani kubooktaeder. Ravnino lahko tlakujemo s skladnimi pravilnimi osemkotniki in kvadrati (slika 50).. Slika 50: Tlakovanje ravnine s kvadrati in pravilnimi osemkotniki.. 63.

11. Pellova enačba. Enačba x2 − Dy 2 = 1 je običajna Pellova enačba. Število D v njej je naravno in ni kvadrat nekega naravnega števila. Zanimajo nas naravne rešitve Pellove enačbe. Več o njih je na primer v [3], sicer pa je o tej temi na razpolago ogromno druge literature.. Slika 51: John Pell (1611–1685) – angleški matematik. Enakost (20) nam bo tu v veliko pomoč, ampak le za D posebne oblike: Dn = n2 + 4. Za x vanjo vstavimo naravno število n L2m (n) − (n2 + 4)Fm2 (n) = 4(−1)m . Opravka imamo z enačbo, ki je sorodna Pellovi: x2 − Dn y 2 = 4(−1)m . Ima nešteto rešitev v naravnih številih xm = Lm (n), ym = Fm (n). Prav tako ima enačba x2 − ∆n y 2 = (−1)m , 64. (29).

ki jo dobimo iz prejšnje z zamenjavo n → 2n in z deljenjem s 4, nešteto rešitev xm = Lm (2n)/2, ym = Fm (2n). Pri tem je ∆n = n2 + 1. Za n = 1 imamo opravka z enačbo x2 − 2y 2 = ±1. Za m = 2, 4, 6, 8 dobimo x2 = L2 (2)/2 = 3, y2 = F2 (2) = 2, x4 = L4 (2)/2 = 17, y4 = F4 (2) = 12, x6 = L6 (2)/2 = 99, y6 = F6 (2) = 70, x8 = L8 (2)/2 = 577, y8 = F8 (2) = 408. To so začetne rešitve Pellove enačbe x2 − 2y 2 = 1. Za m = 1, 3, 5, 7 dobimo x1 = L1 (2)/2 = 1, y1 = F1 (2) = 1, x3 = L3 (2)/2 = 7, y3 = F3 (2) = 5, x5 = L5 (2)/2 = 41, y5 = F5 (2) = 29, x7 = L7 (2)/2 = 239, y7 = F7 (2) = 169. To so začetne rešitve sorodne Pellove enačbe x2 − 2y 2 = −1. Problem, kdaj je p-to trikotniško število kvadratno, nas vodi do Pellove enačbe. Nastavimo enačbo Tp =. p(p + 1) = q 2 = Qq . 2 65.

Obe strani enačbe pomnožimo z 8, nato na obeh straneh prištejemo 1 in dobimo: 4p2 + 4p + 1 = 8q 2 + 1. Preuredimo v (2p + 1)2 − 2(2q)2 = 1. Vpeljemo x = 2p + 1 in y = 2q, pa imamo Pellovo enačbo x2 − 2y 2 = 1, ki ima nešteto rešitev, kot smo videli zgoraj. Izražajo se z Lucasovimi in Fibonaccijevimi polinomi s sodim indeksom. Rešitev lahko izrazimo takole: pm =. L2m (2) − 2 F2m (2) , qm = . 4 2. Pri tem je m naravno število. Z že izračunanimi vrednostmi dobimo nekaj začetnih primerov: (p1 , q1 ) = (1, 1), (p2 , q2 ) = (8, 6), (p3 , q3 ) = (49, 35), (p4 , q4 ) = (288, 204). Drugi primer je nazorno upodobljen na sliki 52.. Slika 52: Nazorna interpretacija števil T8 in Q6 . Trikotniška in kvadratna števila, Tp in Qq , so posebni primeri mnogokotniških števil. To so tudi figurativna števila, ker enake krožce lahko zložimo v skladovnico pravilne geometrijske oblike.. 66.

12. Samopodobnost. Samopodobnost zaradi enostavnosti pokažimo za srebrne pravokotnike. V pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu Oxy narišemo pravokotnik z oglišči (±ψ, ±1). Pravokotnik ima stranici dolžin 2ψ in 2 in je zato srebrn. Nato konstruiramo zaporedje srebrnih pravokotnikov z oglišči (±1/ψ n−1 , ±1/ψ n ) za n = 0, 2, 4, . . . in zaporedje srebrnih pravokotnikov z oglišči (±1/ψ n , ±1/ψ n−1 ) za n = 1, 3, 5, . . .. Vsak pravokotnik druge skupine je v pravokotniku prve skupine, kot kaže slika 53, in odreže od njega dva kvadrata.. Slika 53: Zaporedje srebrnih pravokotnikov. Če v te kvadrate včrtamo kroge, dobimo še bolj pestro sliko in opazimo, da se slike znova in znova ponavljajo, le da v pomanjšani kopiji. Prav tako lahko v kvadrate včrtamo četrtine krožnic, kot kaže slika 55, in dobimo dvojno srebrno spiralo. Krogi imajo naslednja središča in polmere: (±(ψ − 1)/ψ n , 0), rn = 1/ψ n 67.

Slika 54: Krogi v zaporedju srebrnih pravokotnikov. za n = 0, 2, 4, . . . in (0, ±(ψ − 1)/ψ n ), rn = 1/ψ n za n = 1, 3, 5, . . ... Slika 55: Dvojna srebrna spirala. Razpravo o kovinskih številih bi lahko začeli tudi kako drugače, ne pa kot posplošitev pojma zlatega razmerja. Ena od možnosti je z Gaußovo preslikavo. 68.