BAB 2 SISTEM MAKRO DAN MIKRO

BAB 2

SISTEM MAKRO DAN MIKRO

Sistem yang akan di bahas dalam skripsi ini adalah sistem fermion yang mengikuti kaidah eksklusi Pauli, merupakan partikel identik dan memiliki sifat-sifat yang berbeda jika di bandingkan dengan sistem boson. Oleh karena itu dalam skripsi ini, untuk menjelaskan gambaran mengenai partikel fermion secara lebih detail sebaiknya terlebih dahulu kita mengkaji mengenai dasar-dasar mekanika statistik sebagai bahan bagi kita untuk lebih memahami skripsi ini.

2.1 Sistem Makroskopik dan Mikroskopik

Cabang fisika mekanika statistik menunjukkan atau menjelaskan hubungan antara sifat makroskopik sistem banyak partikel dengan sifat mikroskopik partikel itu sendiri. Pokok utama mekanika statistik adalah mencari gambaran semua hukum-hukum termodinamika dengan kelakuan atom-atom atau molekul-molekul materi, sehingga pandangan tentang hukum-hukum termodinamika dapat di mengerti secara rinci. Mekanika statistik sesungguhnya tidaklah mempersoalkan interaksi antara partikel individual melainkan mempersoalkan kelakuan dengan peluang terbesar.

2.1.1 Review ( kajian) Mekanika Kuantum

Prinsip mekanika kuantum (sistem mikroskopik) mengarah kepada hasil bahwa energi partikel, tidak mematuhi beberapa gaya konservatif seperti gravitasi, listrik, atau medan magnetik, tidak bisa menerima beberapa harga yang berubah-ubah, atau tidak dapat berubah dalam bentuk kontinu. Melainkan partikel dapat berada hanya dalam salah satu jumlah keadaan yang memiliki energi yang khusus. Energi ini dikatakan terkuantisasi. Persamaan yang paling dikenal dalam mekanika kuantum adalah schrodinger.

2.1.2 Partikel Identik (Indistinguishable Particles)

Dua partikel dikatakan identik jika tidak ada efek ketika kedua partikel tersebut dipertukarkan. Lebih tepatnya, semua kuantitas teramati harus tidak berubah jika posisi, momentum dan variabel dinamis lainnya seperti spin dari partikel pertama dipertukarkan dengan variabel dinamis dari partikel kedua. Fungsi gelombang lengkap ψ dari elektron dalam atom hidrogen dapat dinyatakan sebagai perkalian dari fungsi-fungsi gelombang yang terpisah, masing-masing menggambarkan bagian ψ dari variabel-variabel dinamis yang di ketahui.

ψ(1,2,3,…) = ψ(1)ψ (2)ψ(3)… (2.1) Kita misalkan salah satu partikel yang kita tinjau dalam keadaan kuantum a dan yang lain dalam keadaan kuantum b, karena partikel itu identik, tidak terdapat perbedaan dalam kerapatan peluang |ψ|2 dari sistem itu jika partikel itu dipertukarkan, partikel dalam keadaan a menggantikan yang dalam keadaan b dan sebaliknya.dengan kata lain

|ψ|2(1,2) = |ψ|2(2,1) (2.2) Jadi fungsi gelombang ψ(2,1) menyatakan partikel yang dipertukarkan dapat diberikan oleh salah satu

ψ(2,1) = ψ(2,1) (2.3) ψ(2,1) = -ψ(2,1) (2.4) dan tetap memenuhi persamaan(2.2). Fungsi gelombang sendiri bukanlah kualitas yang dapat diukur, sehingga dapat diubah tandanya oleh pertukaran partikel. Fungsi gelombang yang tidak dipengaruhi oleh pertukaran partikel disebut simetrik, sedangkan yang tandanya berubah setelah pertukaran partikel disebut antisimetrik.

Jika partikel 1 dalam keadaan a dan partikel 2 dalam keadaan b, menurut persamaan (2.1) fungsi gelombang sistim menjadi

ψ_I = ψ_a(1) ψ_b(2) (2.5)

sedangkan jika partikel 2 dalam keadaan a dan partikel 1 dalam keadaan b, fungsi gelombangnya adalah

ψ_II = ψ_a(2)ψ_b(1) (2.6) Karena kedua partikel tidak dapat dibedakan, maka kombinasi linier ψ_I dan ψ_II

merupakan pemberian yang tepat untuk menyatakan keadaan sistim. Terdapat dua kombinasi yang mungkin, simetrik (ψS) dan antisimetrik (ψA).

ψ_S= 2 1

_[

ψa(1)ψb(2) + ψa(2)ψb(1)

]

(2.7) ψ_A = 2 1

_[

ψa(1)ψb(2)-ψa(2)ψb(1)

]

(2.8) Faktor 2

1 diperlukan untuk menormalisasi ψs dan ψA.

Perbedaan yang mencolok antara kasus yang pertama dan kedua adalah pada kasus pertama, partikel 1 dan 2 dapat berada dalam keadaan kuantum yang sama secara serentak, dengan a = b, sedangkan dalam kasus kedua partikel tidak dapat berada dalam keadaan kuantum yang sama.

Kondisi inilah yang membedakan kedua partikel kuantum fermion dan boson. Fermion mengikuti fungsi gelombang antisimetrik dan boson mengikuti fungsi gelombang simetrik. Sehingga ketika fermion-fermion dalam keadaan yang sama, total ψ adalah nol. Contohnya, ψa = ψb, ini membuktikan kebenaran dari hukum yang menyatakan tidak terdapat dua elektron dalam keadaan kuantum yang sama atau berlakunya prinsip eksklusi Pauli.

2.1.3 Prinsip Eksklusi Pauli

Dalam tahun 1925, Wolfgang Pauli menemukan prinsip pokok yang mengatur konfigurasi elektronik atom yang memiliki lebih dari satu elektron. Prinsip eksklusinya (larangannya) menyatakan bahwa tidak terdapat dua elektron dalam sebuah atom yang dapat berada dalam keadaan kuantum yang sama. Masing-masing elektron dalam sebuah atom harus memiliki kumpulan bilangan kuantum n,l,m_l dan m_s yang berbeda. Bersifat gelombang simetrik atau asimetrik. Sifat gelombang maksudnya adalah fungsi

gelombang yang tidak dipengaruhi oleh pertukaran partikel dan sebaliknya fungsi gelombang yang berpengaruh terhadap pertukaran partikelnya disebut gelombang asimetrik.

2.2 Mekanika Statistik

Kita menggunakan mekanika statistik untuk membuktikan sistem riil (sistem banyak partikel). Dengan mudah kita dapat memecahkan persamaan schrodinger satu partikel. Untuk banyak partikel,solusinya adalah

ψ_total = kombinasi linier ψ_a(1)ψ_b(2)ψ_c(3)… (2.9) ψa artinya partikel dalam keadaan a dengan suatu energi Ea.

Jika distribusi dari partikel-partikel dari sistem sepanjang energi keadaannya diketahui, sifat-sifat makroskopik dari sistem dapat ditentukan. Jadi masalah inti dari mekanika statistik adalah menentukan distribusi yang mungkin dari partikel-partikel sepanjang energi level dan energi keadaan.

Gambaran dari suatu kumpulan partikel tunggal tergantung kepada apakah partikel-partikel tersebut terbedakan (distinguishable) atau tak-terbedakan (indistinguishable).

2.2.1 Mikrokanonik,Kanonik dan Kanonik Total

Tinjau suatu sistem partikel-partikel yang tidak saling berinteraksi, dengan Hamiltoniannya diberikan oleh

Λ H =

∑

m a a E a

N

Λ (2.10)

Dimana E_a merupakan energi keadaan kuantum partikel tunggal i_α dan

α

N

Λ

sedangkan m menunjukkan jumlah aras energi yang berbeda (dapat merosot), dinotasikan sebagai

_i

_α= 1,…,m, dengan m dapat tak berhingga.

Mekanika statistik kita diperhadapkan dengan situasi dimana keadaan kuantum dari sistem tidak diketahui.Nilai harap dari suatu observabel harus dirata-ratakan

A =

∑

w_i i|A|i (2.11) Dimana keadaan i adalah ortonormal dari Hamiltonian H dan wiadalah peluang berada dalam keadaan i .w_iharus memenuhi

∑

w_i= 1. Nilai harap dapat dituliskan dalam bentuk bebas

A = Tr{ρA} (2.12)

ρ adalah matriks densitas. Dalam hal ini ρ =

∑

_iwi i i . Keadaan

∑

wi = 1 yakni peluangnya bertambah 1,yaitu

Tr{ρ } = 1 (2.13)

Kita selalu diperhadapkan kepada tiga ensemble: mikrokanonik ensemble, kanonik ensemble, dan kanonik ensemble total. Dalam mikrokanonik ensemble diasumsikan sistim dalam keadaan tertutup, sehingga energi E tetap, tetapi semua keadaan dengan energi E sama dengan probabilitas

ρ = Cδ (H – E) (2.14) dimana ρ adalah matriks densitas.

δ adalah delta kronecker.

C adalah konstanta normalisasi dan entropi diberikan oleh:

Dengan demikian S = ln (# keadaan dari energi E). Temperatur invers, T k_B 1 = β (2.16) V ES      ∂ ∂ = β (2.17) Tekanan P, E B V S T k P       ∂ ∂ = (2.18) Dari hukum pertama termodinamika

dS = dV V S dE E S ∂ ∂ + ∂ ∂ (2.19) dE = k_BTdS – PdV (2.20) Energi bebas, F = E - k_BTS (2.21)

Jika persamaan ini diturunkan dan dihubungkan dengan persamaan sebelumnya

dF = dE - kB(SdT + TdS )

= k_BTdS – PdV - k_BSdT - k_BTdS (2.22) = - k_BSdT – PdV

Maka diperoleh persamaan –persamaan

S = - V B T F T k      ∂ ∂ 1 (2.23) Tekanan P, P = - T VF      ∂ ∂ (2.24)

Energi E kita peroleh kembali dalam formulasi yang baru E = F + k_BTS = F - T V T F       ∂ ∂ (2.25) = - T2       ∂ ∂ T F T

Dalam kesetimbangan termal, asumsinya sistem kontak dengan panas reservoir sehingga temperatur dalam keadaan konstan. Matrik densitasnya

ρ =Ce−βH (2.26)

Ini berguna untuk menurunkan konstanta normalisasi, C dan bekerja dengan matriks densitas tanpa normalisasi sehingga kita dapat mendefenisikan fungsi partisi

Z = Tr{ρ } (2.27) atau Z =

∑

− i Ei e β (2.28)

Energi rata-ratanya diperoleh E =

∑

− a E a i e E Z β 1

= - lnZ β ∂ ∂ (2.29) = - k Z T T2 ln ∂ ∂ β

Oleh karena itu dapat diperoleh persamaan energi bebas berdasarkan kanonik ensembel F = - k_βT ln Z (2.30) Potensial kimia µ di defenisikan sebagai

N F ∂ ∂ = µ (2.31)

N adalah jumlah partikel.

Dalam kanonik lengkap total, temperatur T dan potensial kimia µ diketahui dan matriks densitas

ρ =Ce−β(H−µN) (2.32) Di sini juga berlaku matriks densitas tanpa normalisasi dan membentuk fungsi partisi kanonik lengkap Z =

∑

− − a a E N N E e , ) ( µ β (2.33) Jumlah partikel rata-rata di peroleh

N = - k_βT µ ∂ ∂ ln Z (2.34) Sehingga energi rata-ratanya diperoleh

E = - β ∂ ∂ ln Z + µ µ ∂ ∂ T kB ln Z (2.35)

Pada skripsi ini kita akan menggunakan fungsi partisi kanonik lengkap untuk kondisi temperatur dan potensial kimia yang diketahui dalam suatu sistem.

2.2.2 Ensemble Kanonik

Semua ensemble yang berada dalam ensemble kanonik mempunyai temperatur yang sama. Oleh karena itu di dinding pemisah bersifat permeabel yang artinya dapat ditembus oleh panas atau cairan. Oleh karena setiap ensemble yang mempunyai temperatur yang sama maka terjadi kesetimbangan termodinamika. Energi dari sebuah ensemble yang berada dalam ensemble kanonik berubah terhadap waktu mulai dari energi ke nol sampai ke energi totalnya. Apabila sebuah ensemble yang di dalam ensemble kanonik berada pada state ke i dengan energi ε yang dinyatakan posisi. _i Probobilitas bahwa sebuah berada dalam state ke i sama dengan nol.

P_i = P(0) e −ε/kT (2.36) Di mana P(0) adalah fungsi temperatur T.

Oleh karena pada state ke i ensemble harus sama dengan 1 sehingga probabilitas menjadi:

εP_i = 1

Fungsi partisi dari ensembel yang berada di dalam ensemble kanonik adalah : Z =

∑

−

i

kT i

e ε/ (2.37) Fungsi partisi ini mempunyai sifat-sifat sama dengan partisi total.

Z = ! N ZN (2.38) Sehingga P_i = p(o) e −εi /kT (2.39) Po = _{i kT} e / 1 ε ε (2.40) Di mana Z = ε e−εi /kT (2.41) Maka

P_i= _{i kT} kT i e e / / ε ε ε − − (2.42) P_i= Z e−εi /kT

2.2.3 Sifat- Sifat Termodinamika Ensemble Kanonik

Pengertian ensemble disini adalah suatu ensemble yang terdiri dari beberapa sistem yang berada pada satu ruangan masing-masing tempat dapat berada pada sistem energi. Energi rata-rata dari sebuah ensemble dapat dituliskan persamaannya sebagai berikut di bawah ini

=ε − E P_i iε (2.43) Pi = P(0) e kT i / ε − P(0) = _{i kT} ze / 1 ε − Z = ε e−εi /kT P_i = _{i kT} kT i ze e / / ε ε − − P_i = Z e−εi /kT − E = Z P_i ε i Maka E Z e E kT i / ε ε − − = 1 (e / i) Z E ε −εi kTε − = (2.44)

∫

∂ ∂ =     ∂ ∂ = − − − − − T Z kT e T E e E( εi/kT:εi) _1/kT εi/kT (2.45) T Z Z kT E ∂ ∂ = − 2

2.3 Fermion dan Boson

Fermion, diambil dari nama Enrico Fermi, yang artinya adalah partikel yang membentuk status kuantum komposit yang benar-benar antisimetrik. Hasilnya fermion bersifat sesuai dengan prinsip eksklusi Pauli dan juga sesuai dengan statistik Fermi-Dirac.Teori spin-statistik menyatakan bahwa fermion mempunyai spin yang berupa separuh bilangan bulat. Salah satu cara untuk menggambarkan spin ini ialah bahwa partikel dengan spin 1/2 , seperti fermion, harus diputar oleh dua rotasi penuh untuk mengembalikan mereka ke keadaan semula. Contoh-contoh fermion antara lain: elektron, proton, dan neutron.

Karena masing-masing keadaan kuantum hanya dapat dihuni paling banyak oleh satu elektron, kita harus mengingat bahwa lebih dari N keadaan kuantum, N₁ dari seluruhnya yang akan ditempati(terisi).

Jadi, untuk memberikan jumlah dari tingkat energi gi, banyaknya cara ni menempati tingkat-tingkat energi ini adalah

( )

_      = Ω i i i i n g E

( )

₍

₎

! ! ! i i i i i i n g n g E − = Ω (2.46) Dengan E_i = niε .Jadi untuk keseluruhan sistem i

Ω(E) =

∏

∏

− = Ω i i i i i i i i n g n g E )! ( ! ) ( ! (2.47) dan E =

∑

=

∑

i i i i n E ε (2.48) Dengan menggunakan pendekatan sterling, kita dapat menghitung entropi, energi bebas, dan potensial kimia.

S = k lnΩ (E) = k

∑

i i g ln g_i– n_iln n_i–(g_i– n_i) ln(g_i–n_i) (2.49) Energi bebas (F), F = E – TS Di mana E = n ε Maka F =

∑

− − − − − i i i i i i i i i i i T g g n n g n g n n ( ln ln ( )ln( )] [ ε (2.50)

Untuk menghitung potensial kimia melalui persamaan (2.31) dari kulit I yaitu i i n F ∂ ∂ = µ = ε_i −T[−lnn_i −1+ln(g_i −n_i)+1] Sehingga, _      − = − i i i i i n n g T ) ( ln µ ε Maka, ni= 1 ) exp( − + T g i i i µ ε (2.51) Dalam kesetimbangan, semua potensial kimia untuk semua kulit yang berbeda harus sama. Dalam hal ini µ → µ dan mengintepretasikan kedudukan n_{i i} dalam bentuk yang bersesuaian dengan nilai rata-rata kedudukan dalam kesetimbangan, sehingga dapat dituliskan:

Untuk distribusi fermion

ni = 1 ) exp( − + T g i i i µ ε (2.52) Untuk distribusi boson

1 ) exp( − − = T g n i i i i ε µ (2.53)

2.3.1 Distribusi Bose –Einstein

Untuk sistem boson, fungsi partisinya dari persamaan fungsi partisi kanonik lengkap (2.33) yaitu Z =

∑

− − a a E N N E e , ) ( µ β (2.54)

Suku-suku dalam nilai eigen partikel tunggal dan energi partikel tunggal adalah E =

∑

nε =n0ε0 +n1ε1+... i i i a (2.55) n_i= 0,1,2,3… Sehingga, Z = { }

∑

− ∑ − ∑ i i i i i i n n n e β( ε µ ) =

∏ ∑

_      _{− −} i n n n i i i i e β( ε µ ) (2.56) =

∏

_{− −} − i e i ) ( 1 1 µ ε β 1 1 ) ( ₋ = _βε−µ i e n_i (2.57) Banyaknya jumlah partikel dalam sistem,

N =

∑

i

i n

=

∑

− − i e i 1 1 ) (ε µ β (2.58)

Energinya diberikan oleh E = _{a i} i i n ε

∑

=

∑

_{− −} i i i eβ(ε µ)1 ε (2.59) N akan meningkat seiring peningkatan µ . Kondensasi Bose-Einstein terjadi ketika N >

∑

≠0 i i n (2.60) 2.3.2 Distribusi Fermi-Dirac

Statistik Fermi-Dirac pertama sekali di perkenalkan oleh Enrico Fermi dan Paul Dirac pada 1926. Salah satu aplikasi dari statistika Fermi-Dirac ini adalah dalam distribusi Fermi-Dirac yaitu untuk sistem fermion identik.

Oleh sebab itu prinsip eksklusi Pauli yaitu bahwa tidak terdapat dua elektron dalam sebuah atom yang dapat barada dalam keadaan kuantum yang sama, jadi jumlah partikel yang dapat menempati keadaan tunggal hanya 0 dan 1, sehingga jika ada g_i keadaan berenergi sama ε dan ada n_{i i} partikel,maka n_i keadaan terisi dan (g_i-n_i) kosong. Sejumlah g keadaan dapat diatur dalam g_{i i}! cara yang berbeda, tetapi ada n_i! permutasi dari keadaan terisi di antara mereka yang tidak relavan partikel itu tak terbedakan dan (gi −ni)! permutasi keadaan kosong di antara mereka yang tidak relavan karena keadaan tidak ada isinya.

Untuk sistem fermion bebas, fungsi partisinya dari persamaan (2.33) adalah Z =

∑

− − a a E N N E e , ) ( µ β

sama halnya pada distribusi Bose-Einstein, bahwa E_a =

∑

= + + i i i n n nε ₀ε_{0 1}ε₁ ... hanya, oleh karena prinsip eksklusi pauli

n_i = 0,1 (2.61) sehingga Z = { }

∑

− ∑ − ∑ i i i i n n n e β( ε µ ) =

∏ ∑

_      = − − i n n n i i i i e 1 0 ) ( ε µ β (2.62) =

∏

(

+ − −

)

i i e ( ) 1 β ε µ 1 1 ) ( + = _{β ε−µ} i e ni (2.63) dari persamaan ini diperoleh

N = , 1 1 ) (

∑

− ₊ i e i µ ε β (2.64) dan E =

∑

+ − i i eβ(ε µ) 1 ε (2.65) maka distribusi Fermi-Dirac untuk fermion adalah

f( )ε = 1 1 ) (ε−µ + β e (2.66)

Jikalau dibandingkan dengan sistem boson, maka distribusi untuk partikel boson yang mengikuti distribusi Bose-Einstein adalah

f(ε)= 1 1 ) (ε−µ − β e (2.67)

Pada sistem boson tidak ada batas dalam mengisi jumlah pada masing-masing level keadaan atau tidak memenuhi eksklusi Pauli.

Tanda positif dan negatif pada persamaan inilah yang menyebabkan perbedaan antara kedua distribusi ini. Di mana bahwa dalam distribusi Fermi-Dirac terbukti bahwa peluang elektron menempati suatu keadaan adalah antara 0 dan 1, karena dibatasi oleh pembagi +1.

2.4 Statistika Kuantum

Statistika kuantum adalah sejumlah energi yang terdistribusi diantara sistem

partikel dalam kesetimbangan termal pada temperatur dimana bahwa sistem mekanika kuantum yang terdiri dari N partikel. Fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann berlaku untuk sistem partikel identik yang satu sama lain dapat di bedakan dengan fungsi gelombangnya bertumpangan. Molekul dalam gas cocok dengan pemerian tersebut, dan memenuhi statistika Maxwell-Boltzman. Jika fungsi gelombang cukup banyak saling bertumpangan, keadaannya berubah karena partikel tersebut tidak dapat dibedakan. Akibat mekanika kuantum dari partikel yang tak terbedakan, maka fungsi gelombang dalam sistem partikel tersebut yang saling bertumpangan dapat dilihat dalam dua bagian yaitu:

1. Partikel dengan spin 0 atau bilangan bulat yang disebut boson. Boson tidak me menuhi prinsip eksklusi, dan fungsi gelombang boson tidak terpengaruh oleh – pertukaran setiap pasangan partikel. Fungsi gelombang semacan ini disebut simetrik.

2. Partikel dengan spin setengah bilangin bulat-ganjil ( 2 1 , ,...) 2 5 , 2 3 di sebut fer- mion. Fermion memenuhi prinsip eksklusi yaitu bahwa tidak terdapat dua elektron dalam sebuah atom yang barada dalam keadaan kuantum yang sama, dan fungsi gelombang sistem fermion berubah tanda terhadap pertukaran setiap pasangan partikel. Fungsi gelombang semacam ini disebut antisimetri.